实数与向量积及几何意义
向量的数乘几何意义
向量的数乘几何意义
向量的数乘是指将向量乘以一个实数。
数乘的结果是一个新的向量，它的方向和原向量相同或相反，而长度则是原向量长度的绝对值与实数的乘积。
数乘的几何意义是可以使向量的长度增长或缩短，同时也可以改变向量的方向。
当实数为正时，数乘可以将向量拉长；当实数为负时，数乘可以将向量缩短甚至翻转方向。
在空间中，向量的数乘可以用来描述缩放、伸展、旋转等变换。
例如，在三维空间中，将一个向量乘以一个实数，可以实现对该向量的缩放。
如果实数为负数，则会将向量翻转成相反的方向。
总之，向量的数乘是一个基本的向量运算，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
熟练掌握向量的数乘，能够更好地理解向量的本质，为实际问题的求解提供更多的工具和方法。
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实数和向量的积
实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ) =λ+μ(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λa .4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件. 例1 化简32［(4-3)+31-41 (6-7)］= . 例2 设，是不共线的两个向量，已知=2+k ，=+, CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断、是否平行，就是判断能否用表示出来. 解：设=,=因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点 所以=21 =21 =21 例5 求向量,:【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31( ++)例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD =λ.试证：=λλ++1 例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知=m ·+n ·,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若AB =31e , CD =-51e 且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形 例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，≠时，λ与的方向一定相反(2)λ＞0，≠时，λ与的方向一定相同(3)λ≠0，≠时，λ与是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2|| ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则= .。
向量内积和外积的几何意义
向量内积和外积的几何意义
**内积和外积的几何意义：**
1. 内积：
内积是指两个向量相乘，结果是一个标量（实数）。
例如，给定两个实数向量（x1，y1）和（x2，y2），他们的内积就是：x1*x2+y1*y2。
内积可以用来表示空间中两个向量的位置和比例关系，而且它的大小是受向量的角度和大小的影响的。
意义：内积的几何意义就是可以用来判断两个向量之间是相互垂直，相互平行，还是有任意夹角。
当两个向量垂直时，他们的内积为0；当两个向量平行时，他们的内积等于其中一个向量的模长的平方乘以另一个向量模长的绝对值；而介于这两者之间的内积都不为0且小于上述的数值。
2. 外积：
外积又称叉积，是一种向量的乘法，一般指两个空间上的向量相乘所得的向量，而不是标量。
例如，给定两个实数向量（x1，y1）和（x2，y2），他们的外积可以表示成：
(x1*y2-y1*x2，x2*y1-y2*x1)
外积的大小可以用来表示两个向量间距离。
外积可以具有正数，负数和0三种不同的值。
意义：外积的几何意义是表示两个向量相乘之后所产生的新向量的方向和大小，以及它们之间的方向关系。
通常，外积的大小与两个向量之间角度大小成正比，外积模值乘以两个向量模值的乘积等于正弦值的角度值的平方。
而当两个向量互斥（垂直）时，外积的模值等于这两个向量的模长的乘积。
如果外积的结果是正的，则表明两个向量的夹角是逆时针；如果外积的结果是负的，则表明两个向量的夹角是顺时针。
8.0.2实数与向量的乘积(附录2)
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 可以验证，向量数乘满足下面的运算律: 设 , R ①
( a) ()a
(a b) a b （分配律）
② ( )a a a（分配律）
③
例1.计算： (1) (3) 4a 12a (2) 3(a b) 2(a b) a 5b
例5. 对于任意两个非零向量a, b 已知 OA 4b ，求
解：AB OB OA b 证
A, B, C 三点共线.
C
B A
AC OC OA 3b AC 3AB AC ∥ AB
O
一般地, A, B, C三点共线
The Vector Multiplied by a Real Number
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 定义：实数 和向量 a 的乘积是一个向量 记作 a ， 它的长度与方向规定如下： (1) | a | | || a |
0 时， a 与 a 同方向 (2) a(a 0) 的方向 0 时， a 与 a 反方向 0 时， 0a 0 ；
. .
1 a0 a a 1 b0 a a
例 3．在 ABC 中，G 是中线 AD, BE 的
交点，若 AB a , AC b ，试用 a , b 表 示 BC, AD, AG, CG
A
a
G B
D
b
E
C
例4.已知P 1P 3PP2 ,
1若 P1P2 P2 P, 则
.
2若 P2 P1 P1P, 则
.
二、向量平行的条件 平行向量基本定理
（1）非零向量 a , b ，若 a b ，则 a // b ；
2_2_3向量数乘运算及其几何意义
课堂导入我们已经知道两实数乘积的意义，以及实数乘法运算满足结合律、分配律等运算律，那么实数与向量是否能够相乘？在本节我们就来讨论这个问题．课前自主学习2.｜λa｜＝________．3.当________时，λa与a方向相同；λ＜0时，λa与a方向________；当________时，λa＝0（a≠0）．4.实数与向量的积得运算律中，结合律是________，它的几何意义是________．5.第一分配律是________，几何意义是________．6.第二分配律是________，几何意义是________．7.向量b与非零向量a共线的等价条件是________．8.向量线性运算是指向量的________运算，几何意义是________．9.与非零向量a共线的单位向量是________．答案 1.λa2.｜λ｜｜a｜3.λ＞0，相反，λ＝04.λ（μa）＝λμ（a）将表示向量a的有向线段先伸长或压缩｜μ｜倍，在伸长或压缩｜λ｜倍．与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩｜λμ｜倍所得结果相同．5.（λ+μ）a＝λa+μa，将表示向量a的有向线段伸长或压缩｜λ｜倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩｜μ｜倍后相加．与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩｜λ+μ｜倍所得结果相同6.λ（a+b）＝λa+λb将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩｜λ｜倍，再相加所得结果相同7.存有唯一实数λ使b＝λa8.加、减、数乘将表示两个向量a、b的有向线段先分别伸长或缩短｜μ1｜，｜μ2｜倍，再相加（或相减），最后再伸长或缩短｜λ｜倍，与江表示这两个向量a、b的有向线段先分别伸长或缩短｜μ1｜，｜μ2｜倍，再相加（或相减）所得的结果相同9.±a｜a｜课堂合作探究知识点一向量的数乘知识点归纳实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜；②当λ＞0，时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．易混淆点提示（1）向量的数乘是实数与向量的乘法运算法则，具有明显的集合意义，它是一个合理的规定．（2）由向量的数乘概念可知，向量λa与a向量相同或相反，所以这两个向量是共线向量．把a的模伸长（当｜λ｜＞1时）或缩短（当｜λ｜＜1）时，到它的｜λ｜倍，就是λa的模．（3）当λ＝0时，有λa ＝0；当λ≠0时，而a ＝0时，也有λa ＝0的充要条件是λ＝0或a ＝0．（4）实数与向量能够相乘，但不能实行加减运算，如λ+a ， a-λ是没有意义的． 典例剖析【例1】证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半． 解析 利用向量共线能够证明线段平行，利用向量的模长关系能够证明数量关系．证明：如以下列图，在△ABC 中，E D ，分别是边AC AB ，的中点，则AD =AB 21，AC AE 21= ∵ ()BC AB AC AB AC AD AE DE 21212121=-=-=-=∴ 向量DE 与BC 方向相同，且B C DE 21=．又DE 与BC 不在同一条直线上，∴ DE ∥BC ,且DE =BC 21 故原命题成立．规律总结 对于两个共线向量，只要能够确定它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就能够利用向量的数乘概念，将其中一个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化．【变式训练1】如以下列图，在平行四边形ABCD 的对角线DB 的延长线及反向延长线上分别取点E 、F ，使BE ＝DF ，求证四边形AECF 是平行四边形． 证明：由向量加法的三角形法则可知，DC FD FC BE AB AE +=+=,,∵ ABCD 是平行四边形∴ DC AB =.又DF BE =,且E 、B 、D 、F 四点共线，∵ FD BE =，∴ FC AE =故四边形AECF 是平行四边形．知识点二 向量的数乘运算律知识点归纳设a 、b 为任意向量，λ、μ为实数．则：①λ（μa ）＝（λμ）a ；②（λ+μ）a ＝λa+μa ；③λ（a+b ）＝λa+λb ．提醒（1）向量的数乘运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等式左右两边的运算结果都是向量，但运算次序不同．（2）特别地，有（-λ）a＝-（λa）＝λ（-a）；λ（a-b）＝λa-λb．（3）上述运算律是在向量的数乘概念下推导出来的结论，而不是规定。
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
向量数乘运算及其几何意义
2．2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确． 3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)． 又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34b C.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ， 使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 14b －14a解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a .11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6.12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用 答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →， ∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 三、解答题 13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b . ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．→＝AB→＋BC→＋CD→∵AD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，→＝2BC→.∴AD→与BC→共线，且|AD→|＝2|BC→|.∴AD又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
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A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
解:
uuur uuur uuur AB OB OA
a 2b a b b
C 3b
B
uuur uuur uuur
AC OC OA
2b
A
a 3b a b 2b
uuur uuur AC 2AB
所以,A、B、C三点共线 a
r
r
r
思与考向题量2ar:
向量 3a 与向量
有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同,
向量
r 3a
的长度是
r a
归纳总结
一、实数与向量的积的定义：
实数与向量 a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定 如下：
1a a
一样进行运算.
问题思考
想一想：
1.a与a有何关系？(a
0)
2.如果b
a,那么a，b是共线向量吗？
3.如果
a与
b是共线向量，那么b
a？
归纳总结
三、共线向量基本定理：
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当
有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
1
uuur BD
1
a
1
b
2
22
课堂小结
1.向量数乘的定义 2.向量数乘的运算律 3.向量共线基本定理 4.定理的应用
课本 P91---92 9, 10, 11
再见！
3则向量BA a b
B
两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点， 方向指向被减向量终点的向量.
BA OA OB
共起点，连终点， 方向指向被减向量.
问题思考
思考题1:已知向量
ar,如何作出
r a
r a
ar和
r (a)
r (a)
r (a)?
r a
rrr aaa
OA
B
b
b
a
O
例题解析
例 且
u如uur 图,uYuurABCD 的两条对角u线uur 相uuu交r uu于uur 点uMuuur,
AB=a, AD b,你能用a,b表示MA、MB、MC和MD
解：uuur在YuuuAr BuCuuDr 中
AC AB AD a b
D
C
b
M
uuur uuur uuur
C
uuur uuur uuur uuur r r r
OC OA AB BC a a a
r rr a a a
N
M
QP
rrr r
记: a a a 3a
即:
uuur r OC 3a.
同理可得:
uuur r r r r PN (a) (a) (a) 3a
2当 0时，a的方向与a的方向相同；
当 0时，a的方向与a的方向相反；
特别地，当
0或a
0时，a
0.
归纳总结
二、实数与向量的积的运算律：
设a,
b为任意向量，、为
任意实数，则有：
(1) (a) ()a
(2) ( )a a a
DB AB AD a - b
A
a
B
平行四边形的两条对角线互相平分
uuur MA
1
uuur AC
1
a
+
b
1
a
1
b
uuur MB
1
2uuur DB
1
2 a
-
b
1
a
2 1
b
2
2
2
22
uuuur MC
1
uuur AC
1
a
1
b
2
22
uuuur MD
uuur MB
试试身手 判断下列各小题中的向量a与b是否共线
1a 2e,b 2e;
a=-b a,b共线
2a e1 e2,b 2e1 2e2.
a=-2b a,b共线
例题解析
例2.uu如ur 图,已知u任uur意两个非零uuu向r 量 a, b, 试作 OA a + b,OB a 2b,OC a 3b 你能判断
bb
b
A
b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a
B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.
注意共起点.共线向量不适用
温故知新
r a b
O
二、向量减法法则:
作法：1在平面内任取一点 O
A
2作OA a,OB b
2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几何意义
温故知新 1、向量加法的三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
注意：
b
b
b b bO b
b
bb
a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一
个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
(3)
(a
b)
a
b
例题解析
Байду номын сангаас
例1：计算题
(1)
(3) 4a
r 12a
(2) (3)
3( a (2a
b)
3b
2( a
b)
c)
(3ar
r 2abr5cbr)
a 5b 2c
注：向量与实数之间可以像多项式