平面向量数量积的物理背景及几何意义
平面向量数量积的物理背景及几何意义
向量的数量积运算类似于多项式运算
例2.已知 | a | 6,| b | 4, a与b夹角为60 , 求： (1)(a 2b) (a 3b)
(2) a 2b | .
解：（1）. (a 2b) (a 3b) a a b 6b a a b cos 6 b 72
A D C
答案：2；2；-4;4;-2;0.
例2 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
是非零向量， e 是与b 方向相同的 设 a、b 单位向量， 是a与e 的夹角，则 a b | a || b | cos (1)e a a e | a | cos (2)a b a b 0 判断垂直的又一条 件 B (3)当a与b 同向时，a b | a || b |; b
一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹 角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与 b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a b b a
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
( ×) ( a) b (a b) a (b) ( √ )
(a b) c a c b c
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
高二数学平面向量数量积的物理背景及含义
高二数学平面向量数量积的物理背景及含义4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ叫ａ与ｂ的夹角.说明：当θ＝０时，ａ与ｂ同向；当θ＝π时，ａ与ｂ反向；当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0180两向量共线的判定练习若a=，b=，且a∥b，则y=A.6B.5c.7D.8若A，B，c三点共线，则xA.-3B.-1c.1D.3力做的功：=|F||s|cos F与s的夹角.二、讲解新课：．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos a b，即有a b=|a||b|cos.并规定0向量与任何向量的数量积为0.1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos.两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“•”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若a0，且a b=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且a b=0，不能推出b=0.因为其中cos0.已知实数a、b、c，则ab=bc a=c.但是a b=b ca=c 如右图：a b=|a||b|cos=|b||oA|，b c=|b||c|cos =|b||oA|a b=b c但a c在实数中，有c=a，但是c a显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a与c不共线.．“投影”的概念：作图定义：|b|cos b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；0；=0|b|=180|b|.．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos .探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，a b a b=0当a与b同向时，a b=|a||b|；当a与b反向时，a b=|a||b|.特别的a a=|a|2或|a b|≤|a||b|cos=探究：平面向量数量积的运算律．交换律：a b=b a证：设a，b a b=|a||b|cos ba=|b||a|cos a b=b ab==a证：若>0b=|a||b|cos=|a||b|cos a=|a||b|cos若<0b=|a||b|cos=|a||b|=|a||b|cos=|a||b|cosa=|a||b|cos=|a||b|=|a||b|cos.．c=a c+b c在平面内取一点o，作=a，=b，=c，∵a+b在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos 1+|b|cos 2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c=c a+c b c=a c+b c说明：一般地，с≠ａａ•с＝ｂ•с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，＝ａ•с＋ａ•ｄ＋ｂ•с＋ｂ•ｄ三、讲解范例：例1．证明：２＝ａ２＋２ａ•ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12，|b|=9，，求与的夹角。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义4
(a b ) c a (b c )
(3)(a b ) c a c b c
b
B
a
A
C1
O
A1
c
B1
C
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
3.向量的数量积（内积） b
θ
a
规定:0 a 0
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos (a 0, b 0)
B
b
O
A
a
b B
A
A1
a
aA
大于零
B1 O
O
b
B
等于零
小于零
例1 已知|a|=5,||=4, b a与b 的夹角 =120求a b.
解: a 2b a 3b a a b 6b
6 4 cos 60 12
0 2 2
且a 36, b 16
a 2b a 3b
36 12 6 16 72
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？ 解:
a
A
B1
b 在 a 上投影
a 的长度 a
练习2
1.若a =0,则对任一向量b,有a b 0 √ 2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 × 3.若a 0, a b 0, 则b 0 × 4.若a b 0, 则a, b中至少有一个为0 × 5.若a 0, a b b c, 则a c 7.对任意向量a有a a
高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义
如图可知：
(a b) c a c b c
| OB1 || OB | cos | a b | cos | OA1 || a | cos1 | A1B1 || AB2 || b | cos2
| OB1 || OA1 | | A1 B1 | | a b | cos | a | cos 1 | b | cos 2
A
a
1
b
2
B2
B
c (a b) | c || a b | cos c a c b
O
| c || a | cos 1 | c || b | cos 2
A1 c B1 C
(a b) c a c b c
数量积的运算规律：
(1)a b b a; (2)( a) b (a b) a ( b); (3)(a b) c a c b c.
2
2
(2)(a b)(a b) a b .
2
2
(3) (a b)3 (a)3 3(a)2 b 3a (b)2 (b)3
例3.已知 | a | 6,| b | 4 ，a 与 b 的夹角60º ， 求 (a 2b) (a 3b),| a b |。
2 | a | a a _____ . | a | a a
(3) | a b | ____ ≤ | a || b | .( 填 或 )
注：常记 a a 为 a 。
2
(a)2 | a |2
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º ， 求 a b 。
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 a 0 0 。 B
平面向量的数量积及其物理意义几何意义
平面向量的数量积及其物理意义几何意义数量积，也称为内积、点积或标量积，是平面向量的一种重要运算。
在数学上，给定两个平面向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，它们的数量积可以表示为a·b=a1b1+a2b2、在本文中，我将讨论平面向量数量积的物理意义和几何意义。
物理意义：数量积在物理学中扮演着重要的角色，它有许多实际的物理意义和应用。
以下是其中一些常见的物理意义：1. 力和位移之间的关系：数量积可以用于计算两个力之间的关系。
当一个物体受到力F作用时，它在位移s方向上的分量可以表示为向量F和向量s之间的数量积。
根据数量积的定义，F·s = Fscosθ，其中θ是F和s之间的夹角。
因此，数量积可以帮助我们计算出物体在特定方向上受到的力的大小。
2.功的计算：在物理学中，功是通过应用力在物体上产生的能量变化。
当一个力F作用于物体上时，物体在位移s方向上的功可以表示为F·s。
这是因为功是力与位移的数量积，能够给出在应用力的方向上所做的工作的大小。
3. 速度和加速度之间的关系：当一个物体被施加一个恒定的力F时，它的加速度a可以表示为F和物体质量m之间的比值，即a = F/m。
然而，我们也可以从另一个角度理解这个关系。
我们知道，加速度a等于速度v的变化率。
因此，v = at。
将F = ma和v = at相结合，我们可以得到v = (F/m)t = (F·t)/m，其中t是时间。
这表明速度v可以用力F和时间t的数量积来计算。
几何意义：数量积不仅在物理学中有实际应用，而且在几何学中也有重要的几何意义。
以下是其中一些常见的几何意义：1. 夹角的计算：由数量积的定义可知，a·b = ，a，b，cosθ，其中θ是a和b之间的夹角，a，和，b，分别是向量a和b的长度。
通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值，从而计算向量之间的夹角。
2.正交性：如果两个向量的数量积为零，即a·b=0，那么这两个向量是相互正交的。
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2
2
题2、 已知 a 6， b 4， a与b的夹角为60 ，
0
求(a＋2b) (a－3b)
题3、 已知 a 3， b 4，且a与b不共线.k为 何值时，向量 a k b与a k b互相垂直.
提高练习：
1、三角形ABC为正三角形，问：
(1) AB与 AC 夹角为 600 (2) AB与 BC 夹角为 1200 (3) AB在 AC 上的投影为 (4) AB在 BC 上的投影为
(3)a (b c) a b a c (分配律)
说明：向量数量积不满足消去律，
也就是说：
当a 0, a b a c时，不一定有b c.
巩固训练
题1、求证：
(1)(a b) a 2a b b
2
2
2
(2)(a b)(a b) a b
平面向量数量积 的物理背景及其 含义
一、向量数量积的物理背景
在物理课中，我们学过功的概念， 即如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移 S ，那么力 F 所做的功
W F S cos
F
S
我们将功的运算类比到两个向量 的一种运算，得到向量“数量积”的 概念。
W F S cos
1 | AB | 2 1 | AB | 2
2、判断下列说法的正误，并说明理由
(1)在ABC中，若AB BC ＜0，则ABC是锐角。
假
(2)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是钝角。
真
(3)在ABC中，若AB BC 0，则ABC是直角。
真
3、 已知 a 2, b 3, a与b的夹角为 120 (1)a b =-3 (5) a b
平面向量数量积的物理背景及其含义(高中数学课件)
2
2
a a ab b a bb
a 2a b b
2
2
（ 2） (a b) (a b) a a - a b b a - b b
a b
2
2
平面向量数量积的物理背景及其含义
| b | 4 ， 例2．已知 | a | 6 ， a 与 b 的夹角为 60o ，
求 (a 2b) (a 3b) . 解： (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2 | a |2 | a || b | cos60 6 | b |2 1 6 6 4 6 4 2 72
| b | cos 叫做 b 在 a方向上的投影；
| a | cos 叫做 a在 b方向上的投影；
| a | cos
平面向量数量积的物理背景及其含义
a b | a || b | cos
平面向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投 影 | b | cos 的乘积．
a b | a || b | ；
用于计算向量的模 用于计算向量的夹角,以 及判断三角形的形状.
(4) | a b | ≤
| a || b | .
平面向量数量积的物理背景及其含义
B
b
O OB | b | cos
1
a b | a || b | cos
a
B1
A
| b | cos a b |a| a b |b|
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c 上的射影的数量分别 是OM、MN、 ON, 则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
s
对非零向量a与b，定义| b | cosθ叫向量b
在a 方向上的投影．
| a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影．
数量积的几何意义
作 O Aa ， O Bb，过点B作BB1直线OA
则 O B 1 的数量是| b | cosθ （不是向量）
B
B
B
b
b
b
O
B1 a A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
向量的数量积运算类似于多项式运算
例 2.已 知 |a|6,|b|4,a与 b夹 角 为 60, 求 ： (1)(a2b)(a3b)
(2)a2b|.
解 ： （ 1） .(a2b)(a3b)a2ab6b2
a2abcos6b272
2
2
(2 )a 2 ba 4 a b 4 b 23 7
例 3.已 知 |a|3,|b|4,且 a与 b不 共 线 . k为 何 值 时 ,(akb)(akb)？
a b a b c o s 2 2 c o s 4 5 0 2
单a位b 设 向| aa量、 | | ，b b| 是c 是 o s 非a 与 零( 1 向e)e 的量a 夹，e 角是 a ，e 则与 b| a 方 |向c相o 同的s
(2 )a b ab 0判断垂直的又一条
(√ )
结合律： (ab)c=a(bc)
(ab)ca(bc) (×)
(a)b(ab)a(b)(√ )
分配律： (a+b)c=ab+bc (ab)cacbc ( √ )
消去律: ab=bc(b≠0) a=c
× abbc(b0) ac( )
数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 ，则:
(1)ab b a;
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0
即a2-k2b2=0
9-16 k 2 =0
所以，k= 3
4
例4、
(2009·海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在 △ABC所在平面内，且 OAOBOC,N A N B N C 0 ,
P A P B P B P C P C P A ,则 点 O ,N ,P 依 次 是 A B C 的 （ C ）
5 . 0 时 ， (a ) b 与 b 的 方 向 相 同 .×
B1 O a A
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
O aA
θ为直角时， | b | cosθ=0
a ·b的几何意义：数量积a ·b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。
数量积的运算律
回顾实数运算中有关的运算律，类比数量
积得运算律:
在实数中
在向量运算中
交换律: ab=ba
abba
(2)(a)b(ab) a(b)
(3)ab)c acbc
证明运算律(3)
向量a、b、a + b
a
b
在c上的射影的数量分 别是OM、MN、 ON,
a+b
OM
Nc
则： (a + b) ·c = ON |c|
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
典型例题
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 |a||b|cos叫做a 与
b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
ababcos
注 （1）两向量的数量积是一个数量，
意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能省.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时 a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时 a·b为负。 当θ =90°时 a·b为零。
例题讲解
例1．已知 a =5， b =4，a 与 b 的夹角 120 ，求 a b . 答案：10
A．重心、外心、垂心 C．外心、重心、垂心
B．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
知识回顾:
夹角的范围
数量积
0
a b |a ||b |c os
性质 运算律
或 a·a|=a||a|2
（简写
aa
a2
=
|a|2）
(1) a · b= b ·a(交 换律)
(2) (a ) b a (b ) ( a b )
例1.已知向量a，b,求证下列各式
（1）(ab)2
2
a
2
2abb
22
(2)(ab)(ab)a b
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.
2.4.1 平面向量数量积 物理背景及其含义
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
情景引入 一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
bB
(3 )当 a 与 b 同向 a b |a 时 |b ||件;
Oθ
A
B1 a
当 a 与 b 反向 a b 时 |a |b ||， ;
求 角
特别地
(4)cos
aa|a|2
ab | a||b|
或 |a|
aa
a2求模的方法
(5 )|ab| |a||b|
数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 只有在位移方向上的力做功．
变式:如图的菱形ABCD中，角A等于6 0 ，
AB=2,求下列各数量积.
B
ABAD,ABBC,ABCD
A
C
ABDC,BABC,ACBD.
答 案 ： 2 ； 2 ； - 4 ; 4 已知 a =(1,1), b =(2,0),求 a b。
解：a 2 , b2,450
(3) (a＋b) ·c = a·c＋b·c (分配律)
巩固练习 1.已知向量 a , b , c 和实数
判断正误，并说理. 1．若 a b0，则 a , b 中至少有一个为0 ．×
2. 若b≠0，a·b＝c·b ，则a=c× 3. (a·b)c=a(b·c) ×
4. 对任意向量 a 有a2 | a |2 √