线性与非线性规划问题求解
线性与非线性规划问题求解
实验目的：学会用lindo 和lingo 软件求解线性和非线性规划，并作简单分析。 实验内容：
问题1：最佳连续投资方案
某部门在今后五年内考虑下列项目投资，已知
项目1 从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％；
项目 2 第三年年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4
万元；
项目 3 第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140％，但规定最大投资额不超过3
万元；
项目4 五年内每年年初可购买公债，于每年末归还，并加利息6％.
该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？
提示：设ij y 表示第i 年年初投资给项目j 的资金额度（单位：万元），则各年的投资限制为 第一年：;101411≤+y y
第二年：年初拥有的资金额为,06.110141114y y y --+因此有
;06.0101411242321y y y y y +-≤++
第三年：年初拥有的资金额为
;06.115.106.01024232124111411y y y y y y y ---+++-
因此有
;06.006.015.0102423211411343231y y y y y y y y +--++≤++
依次类推有： 第四年：
;06.006.015.006.015.01034323124232114114441y y y y y y y y y y +--+-+++≤+
第五年：
;
06.006.015.006.015.006.015.0104441343231242321141154y y y y y y y y y y y +-+-++-+++≤本问题是要制定投资方案使第五年末该部门拥有的资金额最大，即
5441322306.115.125.140.1max
y y y y f +++=.
问题2：运输问题
某公司有3个仓库A1、A2、A3，库存原料量分别为：A1为21吨，A2为12吨，A3为27
吨。该公司把这些产品分别运往4个工厂。各工厂需求量分别为：B1为9吨，B2为18吨，B3为15吨，B4为18吨。已知从各仓库到各工厂的单位产品运价如下表所示，问该公司应如何调运产品，在满足各工厂的需求量的前提下，使总运费为最少。
提示：设ij x 为i A 发点运往j B 收点的产品量，4,3,2,1;3,2,1==j i 。 注：以上两题属于线性规划，用lindo 或lingo 软件求解。
问题3：生产计划的制定
某公司将现有的生产线加工产品A,5小时可加工1000件。若用该生产线加工产品B ，6小时可加工1000件。设产品A 和产品B 每件占用生产场地分别为2和1个体积单位，而生产场地允许15000个体积单位的存储量。假设生产线每周加工时间不得超过60小时，产品A 的收益为11)480(x x -元，产品B 的收益为22)560(x x -元，其中21,x x 分别表示产品A 和产品B 的产量（单位：千件），而收购部门限制产品B 的产量每周不得超过8000件，试制定最优的周生产计划使获益最大。
注：此题属非线性规划，用lingo 软件求解。
基本不等式与线性规划
基本不等式与线性规划
不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 +
6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 ． 8.若1 M A T L A B 非线性规划及非线性约束条件求解 【题1】求非线性规划问题：221212121min 262 f x x x x x x = +--- clear all clc f=@(x)((1/2)*x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-6*x(2)); A=[11;-12;21]; b=[2;2;3]; Aeq=[];beq=[]; lb=[0;0]; ub=[100;100]; x0=[11]'; intlist=[0;0]; [errmsg,Z,X]=BNB20_new(f,x0,intlist,lb,ub,A,b,Aeq,beq) 【题2】求非线性规划问题：123min f x x x =- clear all clc f=@(x)(-x(1)*x(2)*x(3)); A=[-1-2-2;122]; b=[0;72]; Aeq=[];beq=[]; lb=[];ub=[]; x0=[1;1;1]; intlist=[000]'; [errmsg,Z,X]=BNB20_new(f,x0,intlist,lb,ub,A,b,Aeq,beq) 【题3】求非线性规划问题：()12212122min 42421x f e x x x x x =++++ function [c,ceq]=nolic2(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+3/2; ceq=[]; end clear all clc f=@(x)exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2) +1); A=[];b=[];Aeq=[];beq=[]; lb=[-10-10]'; ub=[]; x0=[11]'; intlist=[00]'; 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 ． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 ． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ． 4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 ． 8.若1 智能控制作业 姓名： 学号： 2013. 智能控制作业（二） 无监督学习神经元网络 2. 利用Hopfield 神经网络求解如下非线性规划问题。 2222 1212121212min[(1)] 25.. 1.0060 x x x x x x x x s t x x -+++-=?? +-≤? 1.引入松弛变量：212 1.0060x x z +-+= 2.记2222 21212121212(1)(25)( 1.006)L x x x x x x x x x x z λη=-++++--++-+ 原问题化为如下无约束问题：12,,min x x z L 3.Hopfield 网络构造 12111 122111x x z dx L c dt x dx L c dt x dz L c dt z d L c dt d L c dt λ ηλληη-----??=-?????=-??????=-????=?????=??? 则有：121112212222111112121212[2(1)2(21)][22(21)](2)(25)( 1.006)x x z dx c x x x x dt dx c x x x x dt dz c z dt d c x x x x dt d c x x z dt ληληληηλη-----?=--++++?? ?=-++-+?? ?=-???=+--???=+-+?? 假定,,,x z c c c c λη分别赋予以下实值，观察图形并比较最终结果的差异。 4 3 3 3 y1 =-0.6872 y2 =-2.3953 10203040 5060708090 t y 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 第七章线性规划与非线性规划 例1m a x z=10x 1+5x2 s.t.5x1+2x2<=8 3x1+4x2=9 x1+x2>=1 x1,x2>=0 首先可化为标准形式：min - z = -10x1 -5x2 s.t. 5x1+2x1<=8 -x1-x2<=-1 3x1+4x2=9 x1,x2>=0 library(Rglpk) obj<-c(-10,-5) mat<-matrix(c(5,2,-1,-1,3,4),3,2,T) dir<-c("<=","<=","==") rhs<-c(8,-1,9) Rglpk_solve_LP(obj,mat,dir,rhs) #直接求解 library(Rglpk) obj<-c(10,5) mat<-matrix(c(5,2,1,1,3,4),3,2,T) dir<-c("<=",">=","==") rhs<-c(8,1,9) Rglpk_solve_LP(obj,mat,dir,rhs,max=T) 非线性规划求解（Rdonlp2） 例2 有如下的条件约束最优化问题： 22min(sin cos ) 1001001001002133 2sin cos 3z x y y x x y x y x y xy x y =+-< 求解非线性规划 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： 非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来,解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且,也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。 1.2 线性规划与非线性规划的区别 如果线性规划的最优解存在,其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到)；而非线性规划的最优解(如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。 1.3 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 )(min x f ???????=≤=?≤0 )(0)(x Ceq x C Beq x Aeq B Ax ， 其中)(x f 是标量函数，Beq Aeq B A ,,,是相应维数的矩阵和向量,)(),(x Ceq x C 是非线性向量函数。 Ｍat ｌa ｂ中的命令是 X ＝ＦM ＩNC ＯN(FU Ｎ,Ｘ０,A,B,Ae ｑ,Ｂe ｑ,LB ，ＵB,ＮONLCON,OP ＴIONS) 它的返回值是向量x ,其中FUN 是用M 文件定义的函数)(x f ;Ｘ0是x 的初始值；Ａ，B,Aeq,B ｅq 定义了线性约束Beq X Aeq B X A =≤*,*，如果没有等式约束,则A=[],Ｂ＝[]，Aeq ＝[],Ｂeq ＝[];LB 和U Ｂ是变量x 的下界和上界,如果上界和下界没有约束，则LB=[],UB=［],如果x 无下界，则LB=-inf,如果x 无上界,则U Ｂ=inf ；NON ＬＣO Ｎ是用M 文件定义的非线性向量函数)(),(x Ceq x C ；O ＰTIONS 定义了优化参数，可以使用Ma ｔl ａｂ缺省的参数设置。 例2 求下列非线性规划问题 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 实验7：线性规划与非线性规划 班级：2015级电科班，学号：222015333210187，姓名：吴京宣，第1组 ====================================================================== 一、实验目的： 1. 了解线性规划的基本内容。 2. 直观了解非线性规划的基本内容。 3. 掌握用数学软件求解优化问题。 二、实验内容 1. 两个引例. 2. 用数学软件包MATLAB求解线性规划与非线性规划问题. 3. 用数学软件包LINDO、LINGO求解线性规划问题. 4. 建模案例：投资的收益与风险. 5. 非线性规划的基本理论 6. 钢管订购及运输优化模型． 三、实验步骤 对以下问题,编写M文件: 1.某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过800箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论: 1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资. 2)若每100箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划. 2.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60 台、80台．每季度的生产费用为（单位:元）, 其中x 是该季度生产的台数．若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元．已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问:工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低．讨论a、b、c变化对计划的影响，并作出合理的解释． 非线性规划模型 在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。 一、非线性规划的分类 1无约束的非线性规划 当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为 ()min 0 x R f X X ∈??? ≥?? 此类问题即为无约束的非线性规划问题 1.1无约束非线性规划的解法 1.1.1一般迭代法 即为可行方向法。对于问题()min 0x R f X X ∈??? ≥?? 给出)(x f 的极小点的初始值)0(X ，按某种规律计算出一系列的 ),2,1()( =k X k ，希望点阵}{)(k X 的极限*X 就是)(x f 的一个极小点。 由一个解向量) (k X 求出另一个新的解向量)1(+k X 向量是由方向和长度确定的，所以),2,1()1( =+=+k P X X k k k k λ 即求解k λ和k P ，选择k λ和k P 的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即 .)()()(10 ≥≥≥≥k X f X f X f 检验}{)(k X 是否收敛与最优解，及对于给定的精度0>ε，是否 ε≤?+||)(||1k X f 。 1.1.2一维搜索法 当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有： （1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618法等）； （2）插值法（抛物线插值法，三次插值法等）； 线性规划及基本不等式 一、知识梳理 （一）二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数，求2x+x 1 的最小值 第三章 非线性规划 §1 非线性规划 1.1 非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。 下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。 例 1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i 个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。试选择最佳投资方案。 解 设投资决策变量为 个项目 决定不投资第，个项目决定投资第i i x i 0,1，n i ,,1 ， 则投资总额为 n i i i x a 1 ，投资总收益为 n i i i x b 1。因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 n i i i A x a 10 另外，由于),,1(n i x i 只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i 最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为： n i i i n i i i x a x b Q 11 max s.t. n i i i A x a 10 .,,1,0)1(n i x x i i 上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式 )(min x f q j x h j ,,1,0)(s.t. (NP) p i x g i ,,1,0)( 非线性规划模型 在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在 实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都 可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。 一、非线性规划的分类1无约束的非线性规划当问题没有约束条件时，即求多元函数 的极值问题，一般模型为 I r m i n f(X) X 一0 此类问题即为无约束的非线性规划问题 1.1无约束非线性规划的解法 1.1.1 一般迭代法 即为可行方向法。对于问题J mnf(X) [X X O 给出f (X)的极小点的初始值X(O),按某种规律计算出一系列的X(k)(k =1,2,…)， 希望点阵｛X (k)｝的极限X "就是f (X)的一个极小点。 由一个解向量X(k)求出另一个新的解向量X(kI) 向量是由方向和长度确定的，所以XZ I)=X k「k P k(k =12…) 即求解A和P k,选择'k和P k的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即 f (X0) 一f (X1) 一- f (X k) 一. 检验｛X(k)｝是否收敛与最优解，及对于给定的精度；7,是否IIlf(X k JlF ； 1.1.2 一维搜索法 当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有： (1)试探法(“成功一失败”，斐波那契法，0.618法等)； (2)插值法(抛物线插值法，三次插值法等)； (3)微积分中的求根法(切线法，二分法等)。考虑一维极小化问题 a?f(t) 若f (t)是[a,b]区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短[a,b]的长度，来 线性与非线性规划问题求解 实验目的：学会用lindo 和lingo 软件求解线性和非线性规划，并作简单分析。 实验内容： 问题1：最佳连续投资方案 某部门在今后五年内考虑下列项目投资，已知 项目1 从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115％； 项目 2 第三年年初需要投资，到第五年末能回收本利125％，但规定最大投资额不超过4 万元； 项目 3 第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140％，但规定最大投资额不超过3 万元； 项目4 五年内每年年初可购买公债，于每年末归还，并加利息6％. 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？ 提示：设ij y 表示第i 年年初投资给项目j 的资金额度（单位：万元），则各年的投资限制为 第一年：;101411≤+y y 第二年：年初拥有的资金额为,06.110141114y y y --+因此有 ;06.0101411242321y y y y y +-≤++ 第三年：年初拥有的资金额为 ;06.115.106.01024232124111411y y y y y y y ---+++- 因此有 ;06.006.015.0102423211411343231y y y y y y y y +--++≤++ 依次类推有： 第四年： ;06.006.015.006.015.01034323124232114114441y y y y y y y y y y +--+-+++≤+ 第五年： ; 06.006.015.006.015.006.015.0104441343231242321141154y y y y y y y y y y y +-+-++-+++≤本问题是要制定投资方案使第五年末该部门拥有的资金额最大，即 5441322306.115.125.140.1max y y y y f +++=. 问题2：运输问题 某公司有3个仓库A1、A2、A3，库存原料量分别为：A1为21吨，A2为12吨，A3为27 第五章 非线性规划的概念和原理 非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的。1951年，库恩（H.W.Kuhn ）和塔克（A.W.Tucker ）等人提出了非线性规划的最优性条件，为它的发展奠定了基础。以后随着电子计算机的普遍使用，非线性规划的理论和方法有了很大的发展，其应用的领域也越来越广泛，特别是在军事，经济，管理，生产过程自动化，工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。 一般来说，解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法。非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围。都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。这正是需要人们进一步研究的课题。 5.1 非线性规划的实例及数学模型 [例题6.1] 投资问题： 假定国家的下一个五年计划内用于发展某种工业的总投资为b 亿元，可供选择兴建的项目共有几个。已知第j 个项目的投资为j a 亿元，可得收益为j c 亿元，问应如何进行投资，才能使盈利率（即单位投资可得到的收益）为最高？ 解：令决策变量为j x ，则j x 应满足条件() 10j j x x -= 同时j x 应满足约束条件 1 n j j j a x b =≤∑ 目标函数是要求盈利率()1121 ,,,n j j j n n j j j c x f x x x a x === ∑∑L 最大。 [例题6.2] 厂址选择问题： 设有n 个市场，第j 个市场位置为() ,j j p q ，它对某种货物的需要量为j b ()1,2,,j n =L 。 现计划建立m 个仓库，第i 个仓库的存储容量为i a ()1,2,,i m =L 。试确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程乘积之和为最小。 解：设第i 个仓库的位置为(),i i x y ()1,2,,i m =L ，第i 个仓库到第j 个市场的货物供应量为i j z ()1,2,,,1,2,,i m j n ==L L ，则第i 个仓库到第j 个市场的距离为 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2， 过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域， △ABC 的面积即为所求， 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得 到整点个数为13个，选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 非线性规划（nonlinear programming） 1.非线性规划概念 非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。 2.非线性规划发展史 公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。 最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。 (1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。 (2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。 (3)数值计算法：这种方法也是一种直接法。它以梯度法为基础，所以是一种解析与数值计算相结合的方法。 (4)其他方法：如网络最优化方法等。 非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。 1.2 线性规划与非线性规划的区别 如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。 1.3 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式 )(min x f ???????=≤=?≤0 )(0)(x Ceq x C Beq x Aeq B Ax , 其中)(x f 是标量函数， Beq Aeq B A ,,,是相应维数的矩阵和向量，)(),(x Ceq x C 是非线性向量函数。 Matlab 中的命令是 X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS) 它的返回值是向量x ，其中FUN 是用M 文件定义的函数)(x f ；X0是x 的初始值；A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束Beq X Aeq B X A =≤*,*，如果没有等式约束，则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[]；LB 和UB 是变量x 的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=[]，UB=[]，如果x 无下界，则LB=-inf ，如果x 无上界，则UB=inf ；NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数)(),(x Ceq x C ；OPTIONS 定义了优化参数，可以使用Matlab 缺省的参数设置。 例2 求下列非线性规划问题 高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析 一、高考要求 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。 2.一元二次不等式 （1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。 （2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。 （2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 4.基本不等式： （1）了解基本不等式的证明过程。 （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、规律分析 【规律总结】 全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。具体来说，有这样的规律： （1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。 （2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有2010年在填空题中考查了基本不等式，分析发现2010年以前山东高考是填空题的形式进行考查，2011年之后，则改为以选择题的形式考查。 （2）从2011年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，2011年只是考查求线性规划的最大值问题，2012年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。2014年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。 4—简单的线性规划、基本不等式 知识块一：求目标函数的最值 归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一：求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8. 2．若x ，y 满足???? ? y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0， 则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________. 解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1. ! 答案：1 角度二：求非线性目标的最值 3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜 率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1 3 D ．－12 解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1 3. 一般非线性规划 标准型为： min F(X) s.t AX<=b b e q X A e q =? G(X)0≤ Ceq(X)=0 VLB ≤X ≤VUB 其中X 为n 维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab 求解上述问题，基本步骤分三步： 1. 首先建立M 文件fun.m,定义目标函数F （X ）: function f=fun(X); f=F(X); 2. 若约束条件中有非线性约束:G(X)0≤或Ceq(X)=0,则建立M 文件nonlcon.m 定义函数G(X)与Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=... Ceq=... 3. 建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon (‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon (‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon (‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon (‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon (‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) (6) [x,fval]= fmincon(...) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...) 注意： [1] fmincon 函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在MAAB非线性规划及非线性约束条件求解
基本不等式与线性规划
利用Hopfield神经网络求解如下非线性规划问题
高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题
R语言求解线性规划和非线性规划
求解非线性规划
高考数学专题练习：不等式与线性规划
数学建模线性规划与非线性规划
非线性规划模型
线性规划与基本不等式
第三章 非线性规划[001]
非线性规划模型
线性与非线性规划问题求解
非线性规划的概念和原理
练习-线性规划与基本不等式
线性规划和基本不等式常见题型
非线性规划
求解非线性规划
《线性规划与基本不等式》的案例分析
4—简单的线性规划、基本不等式
一般非线性规划