高等数学 格林公式
叙述格林公式
叙述格林公式格林公式是高等数学中的一个重要公式，它在向量场的线积分和面积分之间建立了一种联系。
咱们先来说说格林公式到底是啥。
简单来讲，格林公式就像是一座桥梁，把沿着封闭曲线的线积分和在曲线所围成区域上的面积分给连起来啦。
比如说，有一个封闭曲线围成的区域，咱们想知道沿着这个曲线的某种向量场的线积分，这时候格林公式就能派上用场，通过计算相关的面积分来得出线积分的值。
我给您讲个事儿啊，就前几天我给学生上课的时候，讲到格林公式这部分内容。
有个学生特别较真儿，一直问我为啥这个公式会这样，怎么就能从线积分跳到面积分啦。
我就给他举了个特别形象的例子，我说：“你看啊，咱们把这个封闭曲线想象成一个农场的篱笆，篱笆里面是一块地。
线积分呢，就好比你沿着这个篱笆走一圈，看看走得多累。
而面积分呢，就像是算这块地里能种多少庄稼。
这两者之间是有关系的，格林公式就是告诉咱们怎么从算种庄稼的事儿，知道沿着篱笆走的情况。
”这学生听了，眼睛一下子亮了，好像是明白了点啥。
那格林公式到底有啥用呢？它的用处可大了去啦！比如说在物理学中，计算电场或者磁场的相关问题时，经常会用到格林公式。
还有在工程领域，像流体力学里，研究液体或者气体的流动，格林公式也能发挥重要作用。
要想熟练运用格林公式，可得把相关的概念搞清楚。
比如说啥是曲线的正向，啥是偏导数，这些都是基础中的基础。
可别小看这些基础概念，一旦弄混了，那用格林公式的时候可就容易出错啦。
咱们再来说说怎么证明格林公式。
这证明过程啊，可需要一些数学功底。
得用到一些微积分的知识，像是二重积分的换元法，还有一些巧妙的构造。
不过别担心，只要跟着教材一步一步来，多做几道练习题，慢慢就能理解其中的奥妙啦。
在实际解题的时候，用格林公式得小心一些细节。
比如说曲线是不是封闭的，如果不是封闭的，得想办法给它补成封闭的。
还有曲线是不是光滑的，如果不光滑，可能就得分段计算。
总之啊，格林公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真学，多练习，就一定能掌握它，让它成为咱们解决数学问题的有力工具。
格林公式(公开教学用)
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成； （2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2） 条其实是可以修改的，应该改成什么？
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧
高数考研备战格林公式的应用与解题技巧格林公式（Green's theorem）是高等数学中的一个重要定理，也是考研数学中的重要内容之一。
它在很多场景中有广泛的应用，帮助我们解决各种复杂的问题。
本文将介绍格林公式的基本原理和应用，并提供一些解题技巧，以帮助考生备战高等数学考研。
一、格林公式的基本原理格林公式是由英国数学家格林（George Green）于1828年提出的，它将二维平面上的曲线积分转化为对该曲线所围成的区域的面积积分。
具体地说，设曲线C是一条分段光滑的闭合曲线，曲线C所包围的区域称为D。
如果函数P(x, y)和Q(x, y)在区域D上具有一阶连续偏导数，那么有格林公式的表达式如下：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qₓ - Pᵧ)dA其中，∮C表示曲线C上的曲线积分，∬D表示对区域D上的面积积分，Pdx + Qdy表示关于x和y的微分形式，Qₓ和Pᵧ分别表示Q对x求偏导和P对y求偏导。
二、格林公式的应用格林公式在物理、工程和数学等多个领域都有广泛的应用。
下面将介绍几种常见情况下的应用。
1. 曲线积分的计算格林公式可以帮助我们计算曲线C上的曲线积分。
具体操作是，将积分转化为对曲线所包围的区域D上面积积分的计算。
通过求解二重积分，我们可以更简单地计算出原本复杂的曲线积分。
2. 面积的计算格林公式可以通过计算面积积分来帮助我们计算区域D的面积。
通过求解面积积分，我们可以不需要遍历整个区域来计算面积，而是通过对边界曲线上的积分来得到结果。
这在实际问题中十分有用，节省了计算的时间和精力。
3. 流量的计算格林公式还可以用于计算流体力学中的流量。
通过设定P和Q的形式并代入格林公式，我们可以将流量计算问题转化为对面积积分的计算。
这样一来，我们可以更加方便地求解流体力学中的流量问题。
三、解题技巧在考研中遇到格林公式的应用题时，我们可以采取以下的解题技巧：1. 理解问题在开始解题之前，先要完全理解问题的背景和要求。
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式高考数学知识点解析：斯托克斯公式与格林公式在高考数学的众多知识点中，斯托克斯公式与格林公式是较为复杂但又十分重要的内容。
理解和掌握这两个公式，对于解决一些涉及曲线积分和曲面积分的问题具有关键作用。
首先，我们来认识一下格林公式。
格林公式建立了平面区域上的二重积分与沿着该区域边界的曲线积分之间的关系。
如果我们有一个闭区域 D 及其边界曲线 L，函数 P(x,y) 和 Q(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，那么格林公式可以表示为：∮L Pdx ＋ Qdy ＝∬D （∂Q/∂x∂P/∂y)dxdy 。
为了更好地理解格林公式，我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面区域是由一个半径为 r 的圆所围成的，我们要计算沿这个圆边界的曲线积分。
如果我们设P(x,y) ＝y ，Q(x,y) ＝x ，那么根据格林公式，曲线积分就可以转化为对这个圆区域的二重积分。
通过计算这个二重积分，就能得到曲线积分的结果。
那么，格林公式有什么用呢？它可以帮助我们简化曲线积分的计算。
有时候，直接计算曲线积分可能会比较困难，但通过格林公式将其转化为二重积分，可能会让计算变得更加简便。
接下来，我们再来看斯托克斯公式。
斯托克斯公式是格林公式在三维空间中的推广。
它建立了空间曲面上的曲面积分与沿着曲面边界的曲线积分之间的关系。
如果有一个有向曲面 S ，其边界曲线为Γ ，函数 P(x,y,z) 、Q(x,y,z) 和 R(x,y,z) 具有一阶连续偏导数，那么斯托克斯公式可以表示为：∮Γ Pdx ＋ Qdy ＋ Rdz ＝∬S （curlF)·ndS ，其中curlF 表示向量场 F ＝（P, Q, R) 的旋度，n 是曲面 S 的法向量。
同样，通过一个例子来帮助理解斯托克斯公式。
假设我们有一个半球面，要计算沿其边界圆的曲线积分。
运用斯托克斯公式，将曲线积分转化为对半球面的曲面积分，然后通过计算曲面积分来得到曲线积分的结果。
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式内容
格林公式内容格林公式是高等数学中的一个重要公式，不过您这标题提到要从小学到高中的教材角度来写，可格林公式并不在这个阶段的教材里呀。
但既然接到了这个任务，那我就用比较通俗易懂的方式来跟您聊聊这个不在小学到高中教材里的格林公式，尽量让您有个初步的了解。
咱先来说说格林公式到底是啥。
简单来讲，格林公式把沿着一个封闭曲线的曲线积分和在这个曲线所围成的区域上的二重积分联系了起来。
这就好像是找到了两个不同世界之间的秘密通道，能让我们在计算的时候从一种方法轻松地转换到另一种方法。
比如说，有一个操场，您沿着操场的跑道跑一圈，这就是曲线积分。
而操场里面的整个区域呢，就相当于二重积分。
格林公式就告诉我们，这两者之间有着密切的关系。
我还记得之前给学生讲这个的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这有啥用啊？”我就笑着跟他说：“你想想，要是让你算沿着一个特别复杂的曲线走一圈的路程，多麻烦啊。
但如果能用格林公式转换成在一个区域里的计算，是不是就简单多啦？”那学生若有所思地点点头。
在实际应用中，格林公式的作用可大了。
比如说在物理学中，计算电场或者磁场的一些问题时，它就能派上大用场。
还有在工程学里，设计一些复杂的结构时，也能靠它来帮忙简化计算。
想象一下，有个工程师要设计一个形状奇特的零件，需要计算各种物理量。
如果没有格林公式，那他可能得花费大量的时间和精力去一点点计算。
但有了格林公式，就好像给他配备了一把神奇的钥匙，能打开快速解决问题的大门。
对于学习格林公式，重点在于理解它的原理和掌握运用的方法。
可别死记硬背，得通过多做练习题来真正掌握它的精髓。
总之，格林公式虽然有点复杂，但一旦掌握了，就能在数学和相关领域的学习和应用中如鱼得水。
希望您对格林公式能有个初步的认识啦！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a
0
mx
dx
D
1 ma2 1ma2
8
2
1 m a2( 4).
8
2) 简化二重积分的计算
y
B
例3 求 e y2dxdy, 其中 D 是以O(0,0), 1 D D
A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形区域.
o 解 取 P 0, Q xe y2 , 则 Qx Py e y2 ,
复连通区域
2. 正向边界曲线 D+
y L1
L2
y
L1
L2
O
x
D由L1与L2连成
O
x
D由L1与L2连成
边界曲线 D 的正向:当观察者沿边界行走时, 区域D总 在他的左边. D的正向边界曲线记为: D+.
平面单连通区域: 边界曲线的逆时针方向为正向.
平面复连通区域: 边界曲线的外圈, 逆时针方向为正向, 边界曲线的里圈, 顺时针方向为正向.
第四节 格林公式
一、格林(Green)公式 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求解 * 四、曲线积分基本定理
一、格林公式
1. 区域连通性 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的 部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域 , 否则 称为复连通区域.
D D
单连通区域
P(
D
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
(Q x
P y
)dxdy
1) 公式中有向曲线应为区域 D 的正向边界.
例5 计算 L xy2dy x2 ydx, 其中 L 是圆周 x2 y2 2x
取顺时针方向.
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分 ( y2 x2 )dxdy
O
2x
D
2
取 P y, Q 0, 得 A ydx D
取 P y, Q x, 得 A 1 xdy ydx 2 D
例4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成的面积.
A(a,0)
解 直线段OA : y 0, x : 0 a, o 曲线弧 AO : y ax x, x : a 0,
应用格林公式计算 Pdx Qdy时应注意两点：
L
1) L必须是封闭曲线, 且二重积分易算出. 若L不封闭,
要添加辅助线使之封闭,且添加部分的线积分易算出.
2) P(x,y), Q(x,y) 在所考虑区域上应有连续偏导.
d
2
2cos 3d 8
0
2 cos4 d
0
3.
2
2) L 是封闭曲线但在L 所围区域 D 内P、Q有奇点,则 不能直接应用格林公式.
例6
计算
L
xdy x2
ydx y2
,其中
L
为一条分段光滑且
不经过原点的连续闭曲线,且 L 取逆时针方向.
解
记
L
围成的闭区域为
D
,令
P
y x2 y2
,
Q
x2
的OAB 的正向边界.
I 2.
y
2B A
D
o
1x
例1 计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,
L
其中 L 是以O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点
y
2B A
D
的OAB 的正向边界.
解 令 P x2 2xy, Q y2 2xy,
o
1x
则 Qx 2 y, Py 2x , 记L所围区域为 D ,
则原积分
(2
y
2 x )dxdy
1
0
2
dx 2 x
(2
y
2 x ) dy
D
1
0(4x 4)dx 2.
情形2：L 是非封闭曲线, 可添加辅助线化为情形1.
例2 计算 (e x sin y m( x y)dx (e x cos y m)dy,
L
其中 L 为上半圆周 x2 y2 ax 从 A(a,0) 到 O(0,0) ,
A
x
1
e y2dxdy
xe y2dy xe y2dy
D
OA AB BO
OA
1 xe x2dx
0
1 2
[
e
x
2
]
1 0
1 (1 e1 ). 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
格林公式:
D
(Q x
P y
)dxdy
Pdx
D
Qdy
闭区域 D 的面积A dxdy.
D
取 P 0, Q x, 得 A xdy D
3、格林 (Green ) 公式
定理1 设 xoy 面上的有界闭区域 D 的边界曲线D
由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成, 函数 P(x, y), Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有:
Q P
D
(
x
y
)dxdy
P(x,
D
y)dx
Q( x,
y)dy
(1)
公式(1)叫做格林公式.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积 分之间的联系.
4、格林公式的简单应用
1) 简化第二类曲线积分 Pdx Qdy 的计算.
L
情形1：L是封闭曲线且在L所围区域D内P、Q无奇点,
(奇点：P 或Q无定义或偏导不存在或偏导不连续的点)
则可直接应用格林公式.
例1 计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,
L
其中 L 是以O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点
记 L 和 l 所围成区域为 D1, 则有：
y
L
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
D1
0dxdy
0
,
l D1
or
x
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
0 dt 2
2 .
格林公式小结:
1.格林公式： Pdx D
Qdy
Hale Waihona Puke D(Q xP y
)dxdy
2. 格林公式的应用.
m 为任意常数.
y
解 记原积分 P( x, y)dx Q( x, y)dy,
D
则 Qx
e
x
L
cos
y,
Py e x cos y m ,
O
Ax
作定向线段 OA : y 0, x : 0 a,它与L所围闭区域记为 D,
则原积分 Pdx Qdy Pdx Qdy
LOA
OA
m
dxdy
A ydx ( ) ydx
D
OA AO
0
0 a (
ax
x)dx
a
0
(
1
ax2
x)dx
1
a2.
6
或:
A
1
xdy
2 D
ydx
1 2
(
OA
AO
)xdy
ydx
1 2
0
a[ x( 2
a ax
1)
(
ax x)]dx
aa
4 0
xdx 1 a2 . 6
5. 应用格林公式时一定要注意条件
x
y2
,
则当 x 2 + y 20 时, 有:
Qx
(
y2 x2
x2 y2 )2
Py ,
(1) 当 (0,0)D 时,
xdy ydx
L x2 y2
0dxdy 0 .
D
y
D
o
L x
(2) 当 (0,0)D 时,
作位于D内圆周 l : x 2 + y 2= r 2 , l 取顺时针方向.