等边三角形典型试题
等边三角形的性质与判定(分层作业)(原卷版)
13.3.3等边三角形的性质与判定夯实基础篇一、单选题：1．下列说法错误的是（）A ．有两边相等的三角形是等腰三角形B ．直角三角形不可能是等腰三角形C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形2．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE =AD ，则∠EDC =（）度．A ．30B ．20C ．25D ．153．一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距()A ．30海里B ．40海里C ．50海里D ．60海里4．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（）A ．30CED ∠=︒B ．120BDE ∠=︒C ．DE BD =D ．DE AB =5．如图，AB AC =，AE EC CD ==，60A ∠=︒，若2EF =，则DF =（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图：等边三角形AB C 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°二、填空题：7．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝度．8．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为.9．如图，将边长为5cm 的等边ABC 向右平移1cm ，得到'''A B C ，此时阴影部分的周长为cm ．10．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA ＝EB ，△ABC 外一点D 满足BD ＝AC ，且BE 平分∠DBC ，则∠D ＝.11．已知：如图，点E 、F 分别在等边三角形ABC 的边CB 、AC 的延长线上，BE ＝CF ，FB 的延长线交AE 于点G 则∠AGB ＝．三、解答题：12．如图，△ABC 是等边三角形，DF ⊥AB ，DE ⊥CB ，EF ⊥AC ，求证：△DEF 是等边三角形．13．如图：已知等边△AB C 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE =CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．14．如图，已知等边ABC D E ∆，，分别在BC AC 、上，且BD CE =，连接BE AD 、交F 点．求证：60AFE ︒∠=15．如图所示：ABC 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M .求证：MD ME =能力提升篇一、单选题：1．如图，点P 在边长为1的等边△ABC 的边AB 上，过点P 作PE ⊥AC 于点E ．Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．B ．C ．D ．不能确定2．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6cm ，则∠AOB 的度数是（）A ．15B ．30C ．45D ．603．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A -⋯⋯在射线ON 上，点1B 、2B 、3B ⋯⋯在射线OM 上，112A B A 、223A B A 、334A B A ⋯⋯ 均为等边三角形，若11OA =，则201820182019A B A 的边长为（）A．2017B．2018C．201722D．2018 4．如图所示，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，O C．以下五个结论：①△ACD≌△BCE；②△AOC≌△BQC;③△APC≌△BOC;④△DPC≌△EQC;⑤∠AOB＝60°．其中正确的是（）A．①②③④⑤B．①④⑤C．①④D．①③④二、填空题：5．如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE ⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为．6．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为cm时，线段CQ+PQ的和为最小．7．如图△AB C中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为．三、解答题：8．如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE。
专题23 等边三角形(专项训练)(解析版)
专题23 等边三角形一、单选题1．（2021·甘肃庆阳市·九年级）如图，AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，且2AC BC ==，30BCD ∠=︒，则BD 的长为（ ）A B C D 【答案】C 【分析】根据AB 为O 的直径，2AC BC ==，可利用勾股定理求直径长，再根据30BCD ∠=︒，可得△OBD 为等边三角形，可求BD 的长． 【详解】解：△AB 为O 的直径，2AC BC ==，△△ACB =90°，AB = 连接OD ， △30BCD ∠=︒， △△DOB =60°， △OD =OB ，△△OBD 为等边三角形，△BD OD == 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用圆周角的性质得出直角三角形和等边三角形．2．（2021·河南开封·）如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，若A，E间的距离调节到60cm时，则这个活动衣帽架所围成的面积为（）A．2600cm B．2C．2D．2【答案】B【分析】连接AE，由题意得AC=13AE=20（cm），再证△ABC是等边三角形，即可求解．【详解】解：连接AE，如图所示：△AE间的距离调节到60cm，木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，△AC=13AE=20（cm），△菱形ABCD的边长为20cm，△AC =AB =BC ， △△ABC 是等边三角形，△这个活动衣帽架所围成的面积为：3S 菱形ABCD =3×2S △ABC 2×202=2，故选：B ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等图形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2021·贵州九年级）等边三角形12//l l ，如图放置，若38α∠=︒，则β∠等于（ ）A ．22°B ．17°C ．27°D ．32°【答案】A 【分析】过点A 作AD △l 1，如图，根据平行线的性质可得△BAD =△α．根据平行线的传递性可得AD △l 2，从而得到△DAC =△β．再根据等边△ABC 可得到△BAC =60°，就可求出△DAC ，从而解决问题． 【详解】解：过点A 作AD △l 1，如图，则△BAD =△α． △l 1△l 2， △AD △l 2， △△DAC =△β，△△ABC 是等边三角形， △△BAC =60°，△△β=△CAD =△BAC -△α=60°-38=22°． 故选：A ．4．（2021·广东深圳·九年级）如图，PA ，PB 与O 分别相切于点A ，B ，2PA =，60P ∠=︒，则AB =（ ）A B ．2 C ．D ．3【答案】B 【分析】先判断出PA PB =，进而判断出PAB △是等边三角形，即可得出结论． 【详解】解：△PA ，PB 与O 分别相切于点A ，B ，△PA PB =， △60APB ∠=︒， △PAB △是等边三角形， △2AB AP ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 5．（2021·河北）如图，AD 是等边△ABC 的中线，AE ＝AD ，则△EDC 的度数为（ ）A．30°B．20°C．25°D．15°【答案】D【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD△BC，△CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得△ADE的度数，继而求得答案．【详解】解：△AD是等边△ABC的中线，△AD△BC，△BAD=△CAD=12△BAC=12×60°=30°，△△ADC=90°，△AD=AE，△△ADE=△AED=180752CAD∠︒-=︒，△△EDC=△ADC-△ADE=90°-75°=15°．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．6．（2021·山东临沂市·）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A ．12πB ．C ．9πD ．6π【答案】A 【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为4，据此即可得出表面积． 【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为△正三角形的边长=4， △圆锥的底面圆半径是2，母线长是4， △底面周长为4π， △侧面积为12×4π×4=8π，△底面积为πr 2=4π， △全面积是12π． 故选：A ． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．7．（2021·湖北荆门市·）如图，ABC 是等边三角形，BCD △是等腰三角形，且BC CD =，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，若8AB =，6DE =，则BD 的长为（ ）A ．6B ．CD ．【答案】B 【分析】连接AC 交BD 于点O ，由题意证明AC 垂直平分BD ，由ABD △是等边三角形，得到30,8,4BAO DAO AB AD BD BO OD ∠=∠=︒=====，通过证明EDF 是等边三角形，可得2DE EF DF ===，由勾股定理求得OC BC 、的长即可．【详解】解：连接AD 交BC 于点O ，取AC 中点N ，连接ON ，如图，ABC 是等边三角形,60AB AC ABC ∴=∠=︒BCD △是等腰三角形，BD DC ∴=AD ∴垂直平分BCBO CO ∴=ON ∴是ABC 的中位线，118422ON AB ∴==⨯=////ON AB DE ∴::4:62:3AO AD ON DE ∴===:2:1AO OD ∴= 12OD AO ∴=tan AOABO BO∴∠=8AO ∴===1122OD AO ∴==⨯=Rt BOD 中，BD =故选：B ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．（2021·江苏）将如图所示的纸片折叠、粘合成正方体形状．下列结论：△粘合时，线段AB 与线段FG 重合；△在正方体中，DE 所在的面与GH 所在的面相对； △在正方体中，AC //DE ；△在正方体中，DE 与EF 的夹角是60°． 其中所有正确结论的序号是 A ．△△△ B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B 【分析】根据正方体的平面展开图，折叠成几何体的直观图，直接利用相关性质判定△△△△的结论． 【详解】解：根据正方体的平面展开图，折叠成几何体的直观图，如图所示：△粘合时，线段AB与线段FG重合，故△正确，符合题意；△在正方体中，DE所在的面与GH所在的面相对，故△正确，符合题意；△在正方体中，AC和DE不在同一平面内，不平行，故△错误，不符合题意；△在正方体中，连接BD，所以△BDE为等边三角形，DE与EF所在直线成60°角，故△正确，符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了正方体及其平面展开图，等边三角形的判定和性质，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．9．（2021·山东九年级）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据边三角形纸片ABC的周长为6可求BC=2，根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：△等边三角形纸片ABC的周长为6，BC△2△E ，F 是边BC 上的三等分点， △EF =23，△△ABC 是等边三角形， △△B =△C =60°， 又△DE △AB ，DF △AC ，△△DEF =△B =60°，△DFE =△C =60°， △△DEF 是等边三角形，△剪下的△DEF 的周长是23×3=2．故选：B ． 【点睛】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF 是等边三角形．10．（2021·河北）如图，AD 是等边ABC 的中线，点E 在AC 上，AE AD =，则EDC ∠的度数为（ ）A ．30B ．20︒C ．25︒D ．15︒【答案】D 【分析】由等边三角形三线合一即可求出30DAC ∠=︒，90ADC ∠=︒．再由等腰三角形的性质可求出75ADE ∠=︒，最后即可求出15EDC ∠=︒． 【详解】△ABC 是等边三角形，且AD 为中线． △1302DAC BAC ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，△AE AD =，△11(180)(18030)7522ADE AED DAC ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，△907515EDC ADC ADE ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 故选：D ．【点睛】本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键． 二、填空题11．（2021·重庆字水中学）如图，半径为4的扇形AOB 的圆心角为90°，点D 为半径OA 的中点，CD △OA 交于点C ，连接AC 、CO ，以点O 为圆心OD 为半径画弧分别交OC 、OB 于点F 、E ，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】3π-【分析】先根据垂直平分线的性质证得AOC ∆为等边三角形，得到60AOC ∠=︒，即可得到CD =，然后根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】解：点D 为半径OA 的中点，CD OA ⊥，OC CA ∴=，4OA OC ==，AOC ∴∆为等边三角形， 60AOC ∴∠=︒，CD ∴= 90AOB ∠=︒，30BOC ∴∠=︒，∴图中阴影部分的面积为：226041302433602360OAC OAC OEFS S S πππ∆⨯⨯-+=-⨯⨯=-扇形扇形，故答案为：3π-【点睛】本题考查的是扇形面积计算，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式2360n r S π=是解题的关键．12．（2021·上海奉贤·九年级）如图，已知点O 是正六边形ABCDEF 的中心，记OD π=，OF n =，那么OB ＝__________________（用向量π、n 表示）．【答案】n π-- 【分析】根据正六边形性质，得OEF 为等边三角形，根据平行线性质，得//FE OD ；结合向量性质，得FE OD =，再根据向量性质计算，即可得到答案． 【详解】 连接OE ，△六边形ABCDEF 是正六边形， △360606EOD EOF ︒∠=∠==︒，OE OF OD OB === △FE OE OF OD === △OEF 为等边三角形△OEF EOF ∠=∠ △//FE OD △FE OD =△OE OF FE n π=+=+ △OB OE n π=-=-- 故答案为：n π--． 【点睛】本题考查了正多边形、等边三角形、平行线、向量的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、向量的性质，从而完成求解．13．（2021·河南九年级）某种商品的商标图案如图所示（阴影部分），已知菱形ABCD 的边长为4，60A ∠=︒，弧BD 是以A 为圆心，AB 长为半径的弧，弧CD 是以B 圆心，BC 长为半径的弧，则该商标图案（阴影部分）的面积为______．【答案】 【分析】根据菱形和圆的对称性易得阴影部分的面积为菱形面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：连接BD ，作DE BC ⊥于E ．△图中阴影部分的面积就是BCD △的面积，且等于菱形面积的一半， 菱形ABCD 边长是4cm ，60A ∠=︒，DE ∴=ABCD S BC DE ∴=⨯=菱形S ∴=阴影故答案为： 【点睛】考查扇形面积的计算；得到阴影部分面积就是BCD △的面积，且等于菱形面积的一半是解决本题的关键． 14．（2021·江苏秦淮区·九年级）如图，在Rt ABC △中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒．将ABC 绕点C 顺时针旋转后得A B C ''，且点B '落在AB 边上，连接AA '．若2BC =，则四边形AB CA ''的面积为_________．【答案】【分析】首先根据旋转的性质得出A B C ''≅ABC ，得出BCB '是等边三角形，再证明AB A ≅CB A （SAS ）,那么四边形AB CA ''的面积即可转化为两个全等三角形的面积，即可求出答案． 【详解】△A B C ''是由ABC 旋转得到， △2BCCB ,B CB A ,AC A C '= ,又△30BAC ∠=︒,90ACB ∠=︒, △4,60ABB CB A ,△BB C '△是等边三角形，AC = △2BB BC '==,60BB C '∠=︒, △422ABAB BB ,18060A B A BB CCB A,在AB A 和CB A 中， △AB CB AB A CB A B A B A ''''''''=⎧⎪∠='∠'⎨⎪=⎩, △AB A ≅CB A （SAS ）,△S 四边形AB CA''=1222223432ABCB CAS S,故填：【点睛】本题考查旋转的性质，含30°锐角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握旋转的性质．15．（2021·黑龙江九年级）如图，点D在ABC内部，DAB≌EAC，若添加一个条件：______．则ADE 是等边三角形．【答案】AD=DE或△EAD=60°或△BAC=60°或AB=BC等【分析】根据全等三角形的性质定理和等边三角形的判定即可得到结论．【详解】解：△△DAB△△EAC，△AD=AE，若添加条件：AD=DE，则△EAD是等边三角形；若添加条件：△EAD=60°，则△EAD是等边三角形；若添加条件：△BAC=60°，△△DAB△△EAC，△AD=AE，△BAD=△CAE，△△EAD=△CAE+△CAD=△BAD +△CAD =60°，△△EAD是等边三角形；若添加条件：AB=BC，同理可得△EAD是等边三角形．故答案为：AD=DE或△EAD=60°或△BAC=60°或AB=BC等．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．三、解答题16．（2021·福建龙岩市·）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．（1）尺规作图，在BC上作一点E，使得DAE D∠=∠；⊥，求B的度数．（2）在（1）的条件下，若点E恰好是BC的中点，连接AC恰好AC AB【答案】（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）根据作一个角等于已知角作法解题，或利用平行四边形对角相等性质，得到△B=△D，由平行四边形对边平行的性质，得到△AEB=△DAE，由此，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC于点E即可得到△B=△AEB，据此解题；（2）由直角三角形斜边的中线性质得到AE＝BE，结合平行四边形对边平行性质，及（1）中结论，得到△AEB ＝△B，据此证明AB＝BE＝AE，即ABE△是等边三角形，即可求解．【详解】（1）△点E为所求作．或（2）解：△AC△AB△△BAC＝90°△点E 是BC 的中点 △AE ＝BE△四边形ABCD 是平行四边形 △AD //BC ，△D ＝△B △△AEB ＝△DAE △△D ＝△DAE △△AEB ＝△B △AB ＝AE △AB ＝BE ＝AE △ABE △是等边三角形 △△B ＝60°． 【点睛】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角、平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·福建莆田市·）如图，ABC 中，,40AB AC BAC =∠=︒，将线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AD ，连接BD ．（1）根据题意，补全图形（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）求DBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）10DBC ∠=︒ 【分析】（1）线段AB 绕点A 逆时针旋转60︒，得到等边三角形，据此根据等边三角形的性质做边AB 的垂直平分线，以点A 为圆心，AB 长为半径，在垂直平分线上画弧就得到点 D ，连接．或者分别以点A 、B 为圆心，AB 长为半径做弧，交于一点，连接．（2）观察知DBC ABC ABD ∠=∠-∠，分别在对应三角形中求解计算． 【详解】 （2）（作法一）如图，AD 、BD 即为所求 ． （作法二）如图，线段AD ，BD 即为所求． （2）解：△,40AB AC BAC =∠=︒， △70ABC ∠=︒．△由旋转可知，60,BAD AB AD ∠=︒=，△ABD △为等边三角形， △60ABD ∠=︒．△10DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，涉及了尺规作图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键18．（2021·西城·北京四中九年级）如图所示，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，△ABC ＝60°，点E 为边BC 上动点（不含端点），点B 关于直线AE 的对称点为点F ，点G 为DF 中点，连接AG ． （1）依题意，补全图形；（2）点E 运动过程中，是否可能EF △AG ？若可能，求BE 长；若不可能，请说明理由； （3）连接CG ，点E 运动过程中，直接写出CG 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）不可能，见解析；（31 【分析】（1）根据题意画出图形即可．（2）如图1中，结论：不可能．连接BD ．只要证明平行时，点E 与B 重合，不符合题意即可． （3）如图2中，取AD 的中点T ，连接GT ，CG ，CT ，AC ．解直角三角形求出CT ，GT ，根据CG ≥CT ﹣GT ，求出CG 的最小值即可． 【详解】解：（1）图形如图1所示：（2）如图1中，结论：不可能．理由：连接BD．△四边形ABCD是菱形，△△ABC＝△ADC＝60°，AB＝AD，△△ADB＝△BDC＝30°，△点B关于直线AE的对称点为点F，△AF＝AB＝AD，△AFE＝△ABE＝60°，△点G为DF中点，△FG＝DG，△AG△DF，若EF//AG，则EF△DF，△△EFG＝90°，△△AFG＝30°，△△AFD＝△ADF，△△ADF＝30°，△△ADB＝△ADF，此时点F与B重合，不符合题意，△不可能存在EF//AG．（3）如图2中，取AD的中点T，连接GT，CG，CT，AC．△四边形ABCD是菱形，△△B＝△ADC＝60°，DA＝DC，△△ACD是等边三角形，△AT＝TD，△CT△AD，△CT＝CD•sin60°△AG△DF，△△AGD＝90°，△AT＝TD，AD＝1，△TG＝12△CG≥CT﹣GT，△CG1，△CG1．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形、等边三角形的性质，解直角三角形，三角形三边关系等；解题的关键是准确作出辅助线．⊥于D，E是BC延长线上的一点，19．（2021·北京门头沟·）已知，如图，ABC是等边三角形，BD AC∠的度数．DB DE=．求E【答案】30． 【分析】首先证明30DBC ∠=︒，根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：ABC ∆是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，BD AC ⊥，1302DBC ABC ∴∠=∠=︒，DB DE =，E DBC ∴∠=∠，30E ∴∠=︒．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．20．（2021·浙江）如图，在ABC ∆中，,AB AC AD =是BC 边上的中线，E 是AC 边上一点，过点D 作DE DF ⊥交CA 的延长线于点,F DB DF =．（1）求证：ABD EFD △≌△； （2）若30,6B AB ∠=︒=，求AF 的长． 【答案】（1）见详解；（2）3AF =【分析】（1）由题意易得AD BC ⊥，DB DF DC ==，则有90ADB EDF ∠=∠=︒，F C B ∠=∠=∠，然后问题可求证；（2）由（1）可得6,AB EF DE AD ===，进而可得60DEF ∠=︒，则有△ADE 是等边三角形，然后可得AD =AE =AF ，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：△,AB AC AD =是BC 边上的中线， △AD BC ⊥，BD CD =，B C ∠=∠， △DE DF ⊥，△90ADB EDF ∠=∠=︒， △DB DF =， △DB DF DC ==， △F C B ∠=∠=∠， △()ABD EFD ASA ≌；（2）解：由（1）可得ABD EFD △≌△， △30,6B AB ∠=︒=，△6,AB EF DE AD ===，30B F ∠=∠=︒， △60DEF ∠=︒， △△ADE 是等边三角形， △60DAE ∠=︒，△30ADF DAE F F ∠=∠-∠=︒=∠， △AD =AE =AF ， △132AF EF ==． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰三角形及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形、等腰三角形及全等三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·陕西西安市·）如图，△ABD 和△BCE 都为等边三角形，连接AE 、CD ．求证：AE ＝DC ．【答案】见解析【分析】先由△ABD和△BCE是等边三角形，可知AB=BD，BE=BC，△ABD=△CBE，从而得到△ABE=△CBD，即可证明△ABE△△DBC，从而得到结论．【详解】解：证明：△△ABD和△BCE都为等边三角形，△AB=BD，BE=BC，△ABD=△CBE，△△ABE=△CBD，△△ABE△△DBC（SAS），△AE=DC．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ABE△△DBC是解答此题的关键．22．（2021·湖北黄冈市·）如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，试猜想写出线段CP与BQ的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）．【答案】(1) BQ＝CP．理由见解析;(2) 成立：PC＝BQ, 理由见解析.【分析】（1）由△ACB=90°，△A=30°得到△ABC=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到OB=OC，则可判断△OCB、△CPH为等边三角形，作辅助线PH△AB交CO于H，证明△POH△△QPB全等可得PH＝QB= PC；(2)与（1）的证明方法同样得到△POH△△QPB，可得PH＝QB= PC．【详解】解：（1）结论：BQ＝CP．理由：如图1中，作PH△AB交CO于H．在Rt△ABC中，△△ACB＝90°，△A＝30°，点O为AB中点，△CO＝AO＝BO，△CBO＝60°，△△CBO是等边三角形，△△CHP＝△COB＝60°，△CPH＝△CBO＝60°，△△CHP＝△CPH＝60°，△△CPH是等边三角形，△PC＝PH＝CH，△OH＝PB，△△OPB＝△OPQ+△QPB＝△OCB+△COP，△△OPQ＝△OCP＝60°，△△POH＝△QPB，△在△POH与△QPB中，△△POH△△QPB（SAS），△PH＝QB，△PC＝BQ．（2）成立：PC＝BQ．理由：作PH△AB交CO的延长线于H．在Rt△ABC中，△△ACB＝90°，△A＝30°，点O为AB中点，△CO＝AO＝BO，△CBO＝60°，△△CBO是等边三角形，△△CHP＝△COB＝60°，△CPH＝△CBO＝60°，△△CHP＝△CPH＝60°，△△CPH是等边三角形，△PC＝PH＝CH，△OH＝PB，△△POH＝60°+△CPO，△QPO＝60°+△CPQ，△△POH＝△QPB，△在△POH与△QPB中，△△POH△△QPB（SAS），△PH＝QB，△PC＝BQ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等边三角形的判定与性质, 含30度角的直角三角形．，连接CO并延长，交边AB于点D，23．（2021·上海）如图，O是ABC的外接圆，AB长为4，AB AC交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：（1）边BC的长；．（2）O的半径．【答案】（1）4；（2【分析】（1）根据垂径定理证明点C 在AB 垂直平分线上，即可解题；（2）连结BO ，先证明ABC 是等边三角形，再结合已知可证30DBO ︒∠=，继而根据余弦的定义解题． 【详解】证明：（1）△E 为AB 中点，OE 为半径 △OE 垂直平分AB △C 在AB 垂直平分线上 △4CB CA AB ===（2）连结BO △CB CA AB == △ABC 是等边三角形 △60ABC ︒∠=△CD AB ⊥，又△OB OC = △30OBC OCB ︒∠=∠= △30DBO ︒∠= 又△122BD AB ==△2cos30r BO ︒=== 【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．。
等边三角形测验题及答案
等边三角形班级___________姓名_______________一、选择题（每题5分）1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF •的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形ED CABF4．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（ ） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm5．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准确的判断是（ ）21EDCA BA ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状二、填空题（每题6分）6．△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．7．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．9．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD •的长度是_______． 三、解答题10．已知D 、E 分别是等边△ABC 中AB 、AC 上的点，且AE=BD ，求BE 与CD •的夹角是多少度？（10分）11．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC •于点D ，•求证：•BC=3AD.（11分）D CAB答案：1．C 2．D 3．A 4．C 5．B 6．60° 7．60° 8．三；三边的垂直平分线 9．1cm 10．60°或120° 11．∵AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°， ∴在Rt △ADC 中CD=•2AD ，•∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°， ∴∠B=∠BAD ，∴AD=BD ，∴BC=3AD。
初二数学等边三角形试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 在等边三角形ABC中，角A的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 等边三角形的边长为a，那么它的周长是：A. 2aB. 3aC. 4aD. 5a3. 等边三角形的高是边长的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/54. 等边三角形的内角和是：A. 90°B. 120°C. 180°D. 360°5. 在等边三角形中，边长为x的线段是高的话，那么这个三角形的边长是：A. 2xB. 3xC. 4xD. 5x6. 等边三角形的面积是边长的平方乘以：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 等边三角形的周长是边长的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/58. 在等边三角形中，若边长为a，那么它的外接圆半径是：A. a/2B. a/3C. a/4D. a/59. 等边三角形的内角平分线与边长的比是：A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:410. 等边三角形的面积是边长的平方乘以：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、填空题（每题4分，共40分）1. 等边三角形的每个内角是_________度。
2. 等边三角形的周长是边长的_________倍。
3. 等边三角形的高是边长的_________倍。
4. 等边三角形的面积是边长的平方乘以_________。
5. 等边三角形的外接圆半径是边长的_________。
6. 等边三角形的内角平分线与边长的比是_________。
7. 等边三角形的面积是周长的_________。
8. 等边三角形的内角和是_________。
9. 等边三角形的周长是边长的_________。
10. 等边三角形的面积是边长的平方乘以_________。
三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知等边三角形ABC的边长为10cm，求该三角形的高和面积。
等边三角形试题及答案
等边三角形试题及答案
1. 等边三角形的三个内角各是多少度？
答案：等边三角形的三个内角都是60度。
2. 在等边三角形中，如果一边的长度是a，那么其周长是多少？
答案：等边三角形的周长是3a。
3. 已知等边三角形的高为h，求其面积。
答案：等边三角形的面积是\(\frac{\sqrt{3}}{4} \times h^2\)。
4. 等边三角形的外接圆半径和内切圆半径的关系是什么？
答案：等边三角形的外接圆半径是内切圆半径的两倍。
5. 如果等边三角形的边长增加10%，那么其面积会增加多少？
答案：等边三角形的面积会增加约33.1%。
6. 等边三角形的中线、角平分线和高线是否重合？
答案：是的，等边三角形的中线、角平分线和高线都重合。
7. 等边三角形的外心、内心和重心是否重合？
答案：是的，等边三角形的外心、内心和重心都重合。
8. 等边三角形的对角线长度是多少？
答案：等边三角形的对角线长度是\(\frac{\sqrt{3}}{2} \times a\)。
9. 在等边三角形中，如果一个内角的度数增加5度，那么这个三角形
还是等边三角形吗？
答案：不是，因为等边三角形的每个内角都是60度，增加5度后不再
是等边三角形。
10. 等边三角形的边长和高的关系是什么？
答案：等边三角形的高是边长的\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)倍。
等边三角形测试题
第十三章轴对称13. 3.2等边三角形一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，则∠PAB 的度数是A．10°B．15°C．20°D．25°【答案】C2．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是A．8个B．10个C．11个D．12个【答案】D【解析】如图，直角三角形有：△AEC、△BEC、△AFC、△AFB、△BDA、△BDC、△AEO、△ADO、△BEO、△BFO、△CDO、△CFO．学*科网故选D．3．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是A．PD=DQ B．DE=12AC C．AE=12CQ D．PQ⊥AB【答案】D4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形【答案】A【解析】∵这个三角形是轴对称图形，∴一定有两个角相等，∴这是一个等腰三角形.∵有一个内角是60°，∴这个三角形是等边三角形．故选A．学*科网5．下面几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】对于①，有两个角为60°的三角形为等边三角形，故①正确；对于②，三个外角都相等的三角形为等边三角形，故②正确；对于③，一条边上的高也是这条边上的中线的三角形有可能是等腰三角形或等边三角形，故③错误； 对于④，有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，故④正确． 综上，①②④所述为等边三角形．故选B ．学*科网6．如图所示，△ABC 是等边三角形，且BD =CE ，∠1=15°，则∠2的度数为A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．如图，ABC △是等边三角形，BD 平分ABC ∠，点E 在BC 的延长线上，且1CE =，30E ∠=︒，则BC =__________．【答案】2【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =60°，BA =BC ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC =∠E =30°，BD ⊥AC ， ∴∠BDC =90°，∴BC =2DC ，∵∠ACB =∠E +∠CDE ，∴∠CDE =∠E =30°， ∴CD =CE =1，∴BC =2CD =2，故答案为：2．8．如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在边BC 和CD 上，则∠AEB =_______度．【答案】75【解析】因为△AEF是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF，因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°．所以Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF．所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°，学*科网所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°．故答案为：75．9．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=_______时，△AOP为等边三角形．【答案】5三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图所示，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使DE=BD．求证：CE=12 BC．【解析】∵△ABC为等边三角形，BD为中线，∴CD=12BC，∠DBC=30°．∵DB=DE，∴∠E=∠DBC=30°．∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=30°，∴∠CDE=∠E，∴CD=CE，∴CE=12 BC．11．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D 两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a，则△BEF的形状如何？12．如图，四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形．（1）求证：△ABE ≌△DCE ； （2）求∠AED 的度数．【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形， ∴BA =BC =CD =BE =CE ，∠ABC =∠BCD =90°，∠EBC =∠ECB =60°， ∴∠ABE =∠ECD =30°，在△ABE 和△DCE 中，=AB DCABE DCE BE CE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ABE ≌△DCE （SAS ）．（2）∵BA =BE ，∠ABE =30°，∴∠BAE =12（180°-30°）=75°， ∵∠BAD =90°，∴∠EAD =90°-75°=15°，同理可得∠ADE =15°，∴∠AED=180°-15°-15°=150°．13．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA，PB的对称点，连接MN，与PA，PB 分别相交于点E、F，已知MN=6 cm．（1）求△OEF的周长；（2）连接PM，PN，若∠APB=a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；（3）当∠a=30°，判定△PMN的形状，并说明理由．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是() A．－3℃B．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为() A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是()A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD ＝n，则AB的长是()A ．m －nB ．m ＋nC ．2m －nD ．2m ＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解； ③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b>0. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________． 14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个． 16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分)19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1. 22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOE ＝2∠EOF ＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE ＝2∠COF .(2)∠BOE ＝2∠COF 仍成立．理由：设∠AOC ＝β，则∠AOE ＝90°－β，又因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOF ＝90°－β2.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF ＝∠AOF ＋∠AOC ＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE ＝2∠COF .25．解：(1)0.5x ；(0.65x －15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a 度．根据题意，得0.65a －15＝0.55a ，解得a ＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C 在原点右边，则点C 表示的数为100÷(3＋1)＝25； 若点C 在原点左边，则点C 表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50. 故点C 表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D 经过的时间为t s ，则6t －4t ＝130， 解得t ＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D 表示的数为－290.(4)ON －AQ 的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
等边三角形经典练习题
等边三角形经典练习题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、下图是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB ＝,∠A ＝30°立柱BC 、 DE 要多长 B2、如图：在Rt △ABC 中∠A=300,AB+BC=12cm 则AB=_____cm第2题图 第3题图 第4题图3、如图:△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC,DE ⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿， BE=____4、如图在△ABC 中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=150,CD 是腰AB 上的高，求CD 的长5、要把一块三角形的土地均匀分给甲 、乙、丙三家农户去种植,如果∠C ＝90°∠B ＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.ACBＣ ＢＡ３００AC EBDDCBAA6、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD ⊥BC 于D 。
求证：BC=4CD7、如图， ∠AOB= 30°，P 是角平分线上的点，PM ⊥OB 于M ，PN8、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，则此三角形的三个角的度数分别是_________ ____________________________________9、如图，在正△ABC 的边BC 上任取一点D ，以CD 为边向外作正△CDE ， 求证：BE=AD 。
10、如图，已知△ABC 、 △DCE 都是等边三角形，B 、C 、E 三点在同一直线上. 求证：（1）BD=AE （2）连接FG ，说明△DCE 是等边三角形.ABCDEANM PBOABCD11、已知：如图，△ABC中，AB=BC=CA，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：BP=2PQ12、Rt B=Rt1CAD=BAC D DE AC 2DE ADC1BD=DC2ABC∠∠∠∠⊥∠已知：如图，在中，，，过点作，恰好是的平分线.求证：C13、等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，求证：AE+BE=BCAEB C14、如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE。
等边三角形练习题
等边三角形练习题1. 已知等边三角形的边长为6cm，求其高。
解：设等边三角形的高为h，根据等边三角形的性质，高将底边平分，形成两个30°-60°-90°的直角三角形。
在这种三角形中，较短的直角边（即高）是斜边（即边长）的一半的根号3倍。
因此，h = √3 * (6/2)。
2. 若等边三角形的周长为18cm，求其面积。
解：设等边三角形的边长为a，则a = 18/3 = 6cm。
等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²，代入a = 6cm，得A = √3/4 * 6²。
3. 等边三角形的顶角为60°，求其底角。
解：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60°。
因此，底角也是60°。
4. 已知等边三角形的高为4cm，求其边长。
解：设等边三角形的边长为a，高为h。
根据30°-60°-90°三角形的性质，斜边（即边长）是高（即较短的直角边）的两倍的根号3倍。
因此，a = 2 * h / √3 = 2 * 4 / √3。
5. 等边三角形的面积为12平方厘米，求其边长。
解：设等边三角形的边长为a，面积为A。
等边三角形的面积公式为A = √3/4 * a²。
代入A = 12，得√3/4 * a² = 12，解得a = √(12 * 4/√3)。
6. 已知等边三角形的边长为8cm，求其内切圆半径。
解：设等边三角形的内切圆半径为r。
等边三角形的内切圆半径r 等于高h的1/3，而高h = √3 * (8/2)。
因此，r = (√3 * 8/2) /3。
7. 等边三角形的边长为10cm，求其外接圆半径。
解：设等边三角形的外接圆半径为R。
等边三角形的外接圆半径R等于边长a的一半的根号3倍。
因此，R = √3 * (10/2)。
8. 已知等边三角形的面积为27平方厘米，求其周长。
解：设等边三角形的边长为a，面积为A。
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等边三角形典型试题一．选择题1.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）A．180° B．220° C．240° D．300°2．如图，已知∠ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=（）A．30° B．20° C．15° D．100°3.如图，已知：∠MON=30°，点A１、A２、A３…在射线ON上，点B１、B２、B３…在射线OM上，∠A１B１A２、∠A２B２A３、∠A３B３A４…均为等边三角形，若OA１=1，则∠A６B６A７的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．644．正三角形∠ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA１=BB１=CC１=1，则∠A1B1C1的面积是（） A.3/4 B.3√3/4 C.9/4 D.9√3/4 5.在等边∠ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将∠BCD绕点B逆时针旋转60°，得到∠BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A．AE∠BC B．∠ADE=∠BDC C．∠BDE是等边三角形D．∠ADE的周长是96．如图，过边长为1的等边∠ABC的边AB上一点P，作PE∠AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A.1/3B.1/2C.2/3 D．不能确定7．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将∠ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA１B１，则点A１的坐标为（）A.(√3,1) B.√3,-1) C.(1,-√3) D.(2,-1)8.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A.(1/3×1/2)5a B.(1/2×1/3)5a C.(1/3×1/2)6a D.(1/2×1/3)6a如图，等边∠ABC中，AB=2，D为∠ABC内一点，且DA=DB，E为∠ABC外一点，且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE∠AC；③∠DEB=30°；④若EC∠AD，则S∠EBC=1，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个１０.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边∠ACD和等边∠BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．下列结论：①∆ACE≌∆DCB②∠AFD=60③∆CMN是等边三角形④FC平分∠AFB⑤MN∠AB．，其中结论正确的个数是（）A2个B3个C4个D5个二．填空题1．如图，在等边∠ABC中，D为AB上一点，连接CD，在CD上取一点E，连接BE，且∠BED=60°，若CE=5，∠ACD的面积为，则线段DB的长为．2．如图，已知等边∠ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是度．3.如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，∠A1B1A2、∠A2B2A3、∠A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则∠A5B5A6的边长为16，∠A2012B2012A2013的边长为．4.如图，∠ABD与∠AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是．①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO．5．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④PC 平分∠APB；⑤∠APD=60°．其中不正确结论是．（填序号）三．解答题1．如图，∠ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与∠ABC的外角平分线CE交于点E，连结AE，试判断∠ADE的形状，并说明理由．2．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．3.如图，P是等边∠ABC内一点，∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明．4.如图，D是等边∠ABC内一点，AD=BD，∠DBP=∠DBC，且BP=BA，求∠P的度数．5．如图，点E是等边∠ABC内一点，且EA=EB，∠ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）6.如图，点B是AC上一点，∠ABD与∠DCE都是等边三角形．(1)AC与BE相等吗？为什么？(2)若BE∠DC，试求∠BDC的度数．7.已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边∠ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边∠ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．8．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∠ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时∠PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．9．如图（1），在等边的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发△ABC分别以每分钟1各单位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD 与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．10．已知：如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ 与直线AC相交于点D，作PE∠AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论．11．如图，∠ABC和∠ADC都是每边长相等的等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，各自沿BA，AD方向运动到点A，D停止，运动的速度相同，连接EC，FC．（1）在点E，F 运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；（2）在点E，F运动过程中，以点A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由；（4）若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去；（1）小题中的结论还成立吗？（直接写出结论，不必说明理由）12．如图Rt∠ABC中，CD是斜边AB上的高，且AC=2BC．求证：AD=4BD．13．如图，已知∠ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE=BE+BC．14.已知：∠ABC为等边三角形，为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD=DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点，点在AC的延长线上时，求证：BD+AB=AE；（2）如图2，当点D为线段BC上任意一点，点在AC的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点在线段AC上时，请直接写出BD、AB、AE的数量关系．15.如图，在∠ABC和∠ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，∠ABC不动，∠ADE绕点A 旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．16．如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OE∠AB，OF∠AC，试说明BE=EF=FC．17．如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，且E在边AC的垂直平分线上，作CD∠BA，垂足为D．若∠ACE=30°，试证明：（1）∠CEB是等边三角形；（2）AB=4BD．18．如图所示，一个六边形的六个内角都是120°，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．19．如图，A、B、C三点在同一直线上，∠ABM和∠BCN是正三角形，P是AN中点，Q是CM 中点．求证：∠BPQ是正三角形．20.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边∠ACD和等边∠BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∠AB．21.如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°，∠ABD=90°-1/2∠DBC．求证：AC=AD22.如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且AC与BD不平行，∠AOC=60°，判断AC+BD与AB的大小关系，并说明理由．23.如图①，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．（1）如图②，若连接AC，则∠ADC 的形状是三角形．你是根据哪个判定定理？（2）如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边∠BCE，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．（3）在第（2）题的前提下，请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由．24.．如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．将三角板中30°角的顶点D放在AB 边上移动，使这个30°角的两边分别与∠ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB 垂直．（1）∠BDF是什么三角形？请说明理由；（2）设AD=x，CF=y，试求y与x之间的函数关系式；（不用写出自变量x的取值范围）（3）当移动点D使EF∠AB时，求AD的长．。