2020届上海市奉贤区高三上学期调研测试(一模)数学试题(PDF版)
上海市奉贤区2020届高三一模
数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算：32
lim
21
n n n →∞-=+
2. 在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =，则△ABC 的面积是
3. 圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于
4. 设3
(,sin )2
a α=r ，1(cos ,)3
b α=r ，且a r ∥b r ，则cos2α=
5. 在252
()x x
-二项展开式中，x 的一次项系数为 （用数字作答）
6. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选 法种数为
7. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 8. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为1()f x -=
9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，||6ON =uuu r ，ON =uuu r r
，过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设
11OT M M N N =+uu u r uuuu u r uuu u r
，则点T 的轨迹方程是
10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为 属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精
含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rx
p p e =⋅（r 为常数），若某人饮酒后血液中的
酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则 此人饮酒后需经过 小时方可驾车（精确到小时）
11. 给出下列一组函数：212()log (23)f x x x =++，22()ln(258)f x x x =++，23()lg(3813)f x x x =++，
240.3()log (7.46551713.931034)f x x x =++，⋅⋅⋅，请你
通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式2
log ()
a y Ax Bx C =++（0a >，1a ≠）：
12. 已知直线1y x =+上有两个点11(,)A a b 、22(,)B a b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足
1212|a a b b +=12a a >，||2AB =，则这样的点A 有
个
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知点(,)P a b ，曲线1C
的方程y =，曲线2C 的方程221x y +=，则“点
(,)P a b 在曲线1C 上“是”点(,)P a b 在曲线2C 上“的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件 14. 一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 4个
D. 无穷多个 15. 复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（ ） A. [3,7] B. [0,5] C. [0,9] D. 以上都不对
16. 由9个互不相等的正数组成的矩阵11121321
222331
32
33a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
中，每行中的三个数成等差数列， 且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（ ） ① 第2列中的12a 、22a 、32a 必成等比数列；② 第1列中的11a 、21a 、31a 不一定成等比 数列；③ 12322123a a a a +>+；
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 0个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，14AA =，点M 是棱11C D 上 的动点.
（1）求三棱锥11D A B M -的体积；
（2）当点M 是棱11C D 上的中点时，求直线AB 与 平面1DA M 所成的角（结果用反三角函数值表示）.
18. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：
（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市 时间x 的变化关系并说明理由：① y ax b =+；② 2y ax bx c =++；③ log b y a x =⋅； ④ x y k a =⋅；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
19. 平面内任意一点P 到两定点1(F 、2F 的距离之和为4.
（1）若点P 是第二象限内的一点且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r
，求点P 的坐标；
（2）设平面内有关于原点对称的两定点1M 、2M ，判别12PM PM ⋅uuuu r uuuu r
是否有最大值和最小值，请说明理由？
20. 函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；
（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11
()()2g x x x
=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.
21. 有限个元素组成的集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，*n ∈N ，集合A 中的元素个数记为()d A ，
定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当
()(()1)
()2
d A d A d A A ⋅++=
时，称集合A 具有性质Γ.
（1）设集合{1,,}M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列， 请说明理由；
（2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中11
3
d =
，数列{}n d 中的前 2020项：1232020,,,,d d d d ⋅⋅⋅组成的集合1232020{,,,,}d d d d ⋅⋅⋅记作D ，将集合D D +中的所有元素123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅（*k ∈N ）从小到大排序，即123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅满足123k t t t t <<<⋅⋅⋅<，求2020t ；
（3）已知集合12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由.
参考答案
一. 填空题
1.
3
2
2. 3
3.
4. 0
5. 80-
6. 180
7. 22
19y x -=± 8. 2log (1)x - 9. 22536x y +=(0x ≠且5
x ≠
10. 8 11. 23log (4710)y x x =++（答案不唯一） 12. 3
二. 选择题
13. A 14. D 15. A 16. C
三. 解答题
17.（1）1164433V =
⨯⨯=；（2）arcsin
3
. 18.（1）②；（2）21
(20)264
y x =
-+，上市20天，最低价26元.
19.（1）(；（2）222212()PM PM x y m n ⋅=+-+uuuu r uuuu r ，最大值224()m n -+，
最小值221()m n -+.
20.（1）奇函数；（2）略；（3）sin(tan )1tan 2(tan1.50,tan1.57)2
k π
ωωπ=⇒=
+∈，
∴1.99199.6k <<，∴2,3,4,,199k =⋅⋅⋅，∴ω的个数为198个.
21.（1）否；（2）123
n n d -=，(1)22k k k t +=，∴6320162t =，63
202028t =+；
（3）具有性质Γ.。
上海市奉贤区2020年高考模拟考试数学试卷(理工类)
上海市奉贤区2020年高考模拟考试数学试卷（理工类）2020.05（完卷时间：120分钟 满分：150分）一、填空题：（共55分，每小题5分）1、方程233log (10)1log x x -=+的解是 。
2、不等式1223x->的解集为 。
3、已知复数z ＝－i 为纯虚数，则实数a= 。
4、在极坐标系中，O 是极点，设点)6,4(πA ，)65,2(πB ，则三角形OAB 的面积为 5、若51x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 项的系数是80，则实数a 的值为 ．6、在1，2，3，4，5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是 。
（用分数表示）7、关于函数()x x x f 2arcsin =有下列命题：①()x f 的定义域是R ；②()x f 是偶函数；③()x f 在定义域内是增函数；④()x f 的最大值是4π，最小值是0。
其中正确的命题是 。
（写出你所认为正确的所有命题序号）8、已知直角三角形的两直角边长分别为3cm 和4cm ，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为 。
9、已知各项均为正数的等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比为q 的取值范围是 。
10、设实数y x ,满足1)1(22=-+y x ，若对满足条件y x ,，不等式0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是 。
11、现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为1，2，…67；第二行依次为68，69…134；…依次把表格填满。
现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1，2…，31；第二列从上到下依次为32，33，…，62；…依次把表格填满。
对于上述两种填法，在同一小格里两次填写的数相同，这样的小格在表格中共有_________个。
上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试(一模)试题(答案不全)
上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试（一模）试题（答案不全）一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算：32lim21n n n →∞-=+2. 在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =，则△ABC 的面积是3. 圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于4. 设3(,sin )2a α=r ，1(cos ,)3b α=r ，且a r ∥b r ，则cos2α=5. 在252()x x-二项展开式中，x 的一次项系数为 （用数字作答）6. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选 法种数为7. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 8. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为1()f x -=9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，||6ON =uuu r ，ON =uuu r r，过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设 11OT M M N N =+uu u r uuuu u r uuuu r，则点T 的轨迹方程是10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为 属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rxp p e =⋅（r 为常数），若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则 此人饮酒后需经过 小时方可驾车（精确到小时）11. 给出下列一组函数：212()log (23)f x x x =++，22()ln(258)f x x x =++，23()lg(3813)f x x x =++，240.3()log (7.46551713.931034)f x x x =++，⋅⋅⋅，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式2log ()a y Ax Bx C =++（0a >，1a ≠）：12. 已知直线1y x =+上有两个点11(,)A a b 、22(,)B a b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足1212|a a bb +=，若12a a >，||2AB =，则这样的点A 有个二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知点(,)P a b ，曲线1C 的方程21y x =-，曲线2C 的方程221x y +=，则“点(,)P a b 在曲线1C 上“是”点(,)P a b 在曲线2C 上“的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14. 一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 无穷多个 15. 复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（ ） A. [3,7] B. [0,5] C. [0,9] D. 以上都不对16. 由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列， 且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（ ） ① 第2列中的12a 、22a 、32a 必成等比数列；② 第1列中的11a 、21a 、31a 不一定成等比 数列；③ 12322123a a a a +>+；A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，14AA =，点M 是棱11C D 上 的动点.（1）求三棱锥11D A B M -的体积；（2）当点M 是棱11C D 上的中点时，求直线AB 与 平面1DA M 所成的角（结果用反三角函数值表示）.18. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市 时间x 的变化关系并说明理由：① y ax b =+；② 2y ax bx c =++；③ log b y a x =⋅； ④ x y k a =⋅；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.19. 平面内任意一点P 到两定点1(F 、2F 的距离之和为4.（1）若点P 是第二象限内的一点且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r，求点P 的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点1M 、2M ，判别12PM PM ⋅uuuu r uuuu r是否有最大值和最小值，请说明理由？20. 函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.21. 有限个元素组成的集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，*n ∈N ，集合A 中的元素个数记为()d A ， 定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()(()1)()2d A d A d A A ⋅++=时，称集合A 具有性质Γ.（1）设集合{1,,}M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列， 请说明理由；（2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中113d =，数列{}n d 中的前 2020项：1232020,,,,d d d d ⋅⋅⋅组成的集合1232020{,,,,}d d d d ⋅⋅⋅记作D ，将集合D D +中的所有元素123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅（*k ∈N ）从小到大排序，即123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅满足123k t t t t <<<⋅⋅⋅<，求2020t ； （3）已知集合12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由.参考答案一. 填空题1.322. 3 4. 0 5. 80- 6. 1807. 2219y x -=± 8. 2log (1)x - 9. 22536x y +=(0x ≠且5x ≠10. 8 11. 23log (4710)y x x =++（答案不唯一） 12. 3二. 选择题13. A 14. D 15. A 16. C三. 解答题17.（1）1164433V =⨯⨯=；（2）. 18.（1）②；（2）21(20)264y x =-+，上市20天，最低价26元.19.（1）(；（2）222212()PM PM x y m n ⋅=+-+uuuu r uuuu r ，最大值224()m n -+，最小值221()m n -+.20.（1）奇函数；（2）略；（3）sin(tan )1tan 2(tan1.50,tan1.57)2k πωωπ=⇒=+∈，∴1.99199.6k <<，∴2,3,4,,199k =⋅⋅⋅，∴ω的个数为198个.21.（1）否；（2）123n n d -=，(1)22k k k t +=，∴6320162t =，63202028t =+；（3）具有性质Γ.。
上海市奉贤区高三上学期数学一模试卷附解析
高三上学期数学一模试卷一、单项选择题1. ，，那么“ 〞是“ 〞的〔〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，那么为〔〕A. B. C. D.3.垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,那么点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 双曲线D. 抛物线4.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数为：当〔为正整数，是既约真分数〕时，当或或为上的无理数时. 、、a+b都是区间内的实数，那么以下不等式一定正确的选项是〔〕A. B.C. D.二、填空题5.椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，那么点到另一个焦点的距离为________.6.在展开式中，常数项为________.〔用数值表示〕7.假设实数满足，那么的最大值为________．8.复数的虚部是________.9.设集合，那么________.10.函数的图像关于直线对称，那么________.11.等差数列中，公差为，设是的前项之和，且，计算________.12.假设抛物线的准线与曲线只有一个交点，那么实数满足的条件是________.13.某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，那么其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为________.14.对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值.设，，假设、的算术平均值是1，那么、的几何平均值〔是自然对数的底〕的最小值是________.15.在棱长为的正方体中，点分别是线段〔不包括端点〕上的动点，且线段平行于平面，那么四面体的体积的最大值是________.16. 是奇函数，定义域为，当时，〔〕，当函数有3个零点时，那么实数的取值范围是________.三、解答题17.如图，在四棱锥中，平面，且四边形为直角梯形，，，.〔1〕当四棱锥的体积为时，求异面直线与所成角的大小；〔2〕求证：平面.18.在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度〔单位：〕和燃料的质量〔单位：〕，火箭〔除燃料外〕的质量〔单位：〕满足〔为自然对数的底〕.〔1〕当燃料质量为火箭〔除燃料外〕质量的两倍时，求火箭的最大速度〔单位：〕结果精确到0.1〕；〔2〕当燃料质量为火箭〔除燃料外〕质量的多少倍时，火箭的最大速度可以到达〔结果精确到0.1〕.19.在① ；② ；③ 三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；假设问题中的三角形不存在，请说明理由. 问题：是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，_______.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.如图，曲线的方程是，其中、为曲线与轴的交点，点在点的左边，曲线与轴的交点为. ，，，的面积为.〔1〕过点作斜率为的直线交曲线于、两点〔异于点〕，点在第一象限，设点的横坐标为、的横坐标为，求证：是定值；〔2〕过点的直线与曲线有且仅有一个公共点，求直线的倾斜角范围；〔3〕过点作斜率为的直线交曲线于、两点〔异于点〕，点在第一象限，当时，求成立时的值.21.数列满足恒成立.〔1〕假设且，当成等差数列时，求的值；〔2〕假设且，当、时，求以及的通项公式；〔3〕假设，，，，设是的前项之和，求的最大值.答案解析局部一、单项选择题1.【答案】A【解析】【解答】假设，那么，那么成立，即充分性成立；反之，假设，那么，当时，，此时，故必要性不成立，所以“ 〞是“ 〞的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论。
2024届上海奉贤区高三一模数学试卷和答案
2023-2024学年上海奉贤区高三数学练习卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．若()()2i i 1i ,+=-∈a b a b R ，其中i 是虚数单位，则+a bi =_____________．2．设集合{}2,1,0,5,10,20=--A ，{}lg 1=<B x x ，则= A B _____________．3．曲线2221-=x y 的渐近线方程为__________．4．某公司生产的糖果每包标识质量是500g ，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量X 服从500μ=的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过5克的可能性为p ，则()495500≤≤P X 的值为____________．（用含p 的代数式表达）5．在四面体-P ABC 中，若底面ABC 的一个法向量为()1,1,0=n ，且()2,2,1=- CP ，则顶点P 到底面ABC 的距离为_____________．6．已知数列{}n a 是各项为正的等比数列，11=a ，51=a ，则其前10项和10=S __________．7．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品．8．已知函数()=y f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()()=+是常数xf x e b b ，则()ln 2-=f _____________．9．设函数()sin 0=>y wx w 在区间()0,2π上恰有三个极值点，则ω的取值范围为__________．10．某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A 和B ．某日两个观测点的林场人员都观测到C 处出现火情．在A 处观测到火情发生在北偏西040方向，而在B 处观测到火情在北偏西060方向．已知B 在A 的正东方向10km 处（如图所示），则-=BC AC km .（精确到0.1km ）11．已知直线1:20-=l y 和直线2:10+=l x ，则曲线()2211-+=x y 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是____________．12．已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为1，{1,1}(1,2,3,4)λ∈-=i i ，则311421λλλλ+++AB BC AC BD 的最大值是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．已知两个不同的平面α和β，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“β⊥m ”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件．14．函数2121-=+x x y 在定义域(),-∞+∞上是（）16．已知等差数列n 的前项和为n ，且关于正整数的不等式1(2022)(2022)0+--<n n S S 与不等式1(2023)(2023)0+--<n n S S 的解集均为M ．命题α：集合M 中元素的个数一定是偶数个；命题β：若数列{}n a 的公差0>d ，且0∈n M ，则011+>n a ．下列说法中正确的是（）A ．命题α是真命题，命题β是假命题；B ．命题α是假命题，命题β是真命题；C ．命题α是假命题，命题β是假命题；D ．命题α是真命题，命题β是真命题．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.18．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1==PA BC ．（1）若13==AB PC ，，求证：四面体-P ABC 是鳖臑，并求该四面体的体积；（2）若四面体-P ABC 是鳖臑，当()1=>AC a a 时，求二面角--A BC P 的平面角的大小．19．某连锁便利店从2014年到2018年销售商品品种为2000种，从2019年开始，该便利店进行了全面升级，销售商品品种为3000种.下表中列出了从2014年到2023年的利润额.年份x 2014201520162017201820192020202120222023利润额y /万元27.642.038.448.063.663.772.880.160.599.3（1）若某年的利润额超过45.0万元，则该便利店当年会被评选为示范店；若利润额不超过45.0万元，则该便利店当年不会被评选为示范店.试完成22⨯列联表，并判断商品品种数量与便利店是否为示范店有关？（显著性水平0.05α=，2( 3.841)0.05χ≥≈P ）品种为2000种品种为3000种总计被评为示范店次数未被评为示范店次数总计（2）请根据2014年至2023年（剔除2022年的数据）的数据建立y 与x 的线性回归模型①；根据2019年至2023年的数据建立y 与x 的线性回归模型②.分别用这两个模型，预测2024年该便利店的利润额并说明这样的预测值是否可靠？（回归系数精确到0.001，利润精确到0.1万元）回归系数ˆa与ˆb 的公式如下：()()()111122211ˆˆˆˆ,nnn niii iiii i i i nniii i x x y y x y nx yy a xaby ax nx x xnx ======----===-=--∑∑∑∑∑∑20．已知椭圆22221(0)+=>>x y a b a b 的焦距为离心率为32，椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，直角坐标原点记为O ．设点()0,P t ，过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B 、C ．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上有一动点T ，求()12PT TF TF ⋅-的取值范围；（3）设线段BC 的中点为M ，当≥t 时，判别椭圆上是否存在点Q ，使得非零向量OM与向量PQ 平行，请说明理由．21．若函数()=y f x 满足：对任意的实数s ，(0,)∈+∞t ，有()()()+>+f s t f s f t 恒成立，则称函数()=y f x 为“∑增函数”．（1）求证：函数sin =y x 不是“∑增函数”；（2）若函数12-=--x y x a 是“∑增函数”，求实数a 的取值范围；（3）设()(1)=+x g x e ln x ，若曲线()=y g x 在0=x x 处的切线方程为=y x ，求0x 的值，并证明函数()=y g x 是“∑增函数”．参考答案一、填空题1．12--i ；2．{}5；3．0±=x ；4．12-p ；5．6．10；7．；8．1-；9．⎦⎤ ⎝⎛4745，；10．7.8；11．24-；12．14二、选择题（本大题满分18分，共4题，前两题各4分，后两题各5分）13．B 14．A 15．C 16．B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（1）由正弦定理得BA ABC sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=由于()B A C +-=π，得()BA AB B A sin sin cos sin 3sin 3⋅+⋅=+2分展开得BA AB B A B A sin sin cos sin 3sin cos 3cos sin 3⋅+⋅=⋅+⋅化简得B B sin cos 3=，2分则3tan =B 所以3π=B 2分（222sin sin sin3==cA C Cc A sin sin 2260sin 32== ，22sin =A ，因为<a b ，所以A 是锐角，即4π=A 2分因为32π=+C A ,所以，5,sin 12sin 3ππ==⨯=C c C 3分所以115sin sin 32212π∆==⨯=+ABCS ab C 3分18．（1）ABC P A 平面⊥ ACP A AB P A ⊥⊥∴且P AB P AC ∆∆∴和为直角三角形2分222=-=∆∴P A PC AC P AC Rt 中，在∴∆==在中，Rt PAB PB222BC AB AC ABC +=∆∴中，在BC AB ⊥∴ABC ∆∴为直角三角形1分222BC PB PC PBC +=∆中，在 BC PB ⊥∴PBC ∆∴为直角三角形则ABC P -是鳖臑1分61111213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-P A S V ABC ABC P 3分（2）⊥ PA 面ABC因为1,=>=∴∠AC a AB A 不可能是直角1分若2π∠=ABC ，可以证得可得⊥PB BC ∴∠ABP 是二面角--A BC P 的平面角,1,tan ==∴=∴∠=AC a BC AB PBA所以二面角--A BC P 的平面角的大小为2tan 1-arc a ．3分若2π∠=ACB ，可得∠ACP 是二面角--A BC P 的平面角，所以1tan ∠==AP ACP AC a所以二面角的平面角的正弦值为1arctan a3分19．解：（1）列联表为3分品种为2000种品种为3000种总计被评为示范店次数257未被评为示范店次数303总计55102210(015) 4.29 3.8415573χ-=≈>⨯⨯⨯，2分可以判断商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关.1分（2）线性回归模型①：7.62715332.20=-y x ，2分当2024=x 时，预测值为104.9；1分线性回归模型② 5.8911828.41=-y x ，2分当2024=x 时，预测值为93.0.1分模型①的预测不可靠，根据（1）可以知道商品品种与便利店的品质有关，影响了利润额，因此按照经济发展规律，应该用比较新的数据即品种为3000种的数据进行预测；1分模型②的预测不可靠，2022年可能因为受疫情影响或者其它不可因素，其利润额60.5为异常数据，应该剔除.1分20．（1）由题意，得23==a c ，所以122=-=c a b 2分则椭圆的标准方程为1422=+y x 2分（2）设动点()y x T ,，(),3212-=F F 1分(),=-PT x y t ，1分()xF F PT TF TF PT 321221-=⋅=-⋅2分[]2,2∈- x 所以()21TF TF PT -⋅的取值范围为⎡-⎣2分(3)显然直线的斜率存在，所以可以设设直线:=+l y kx t ，联立得到⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x t kx y 整理，得()()044841222=-+++t ktx x k 则22212214144,418k t x x k kt x x +-=⋅+-=+则2241,414k t t kx y k kt x +=+=+=中中中—⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∴2241,414k t k kt M 2分又 直线l 与椭圆交于两点()()444146422221>-+-=∆∴t k t k 化简得016166422>-+t k 则4122->t k ①1分kk OM 41-=∴如果OM //PQ ，则k k k OM PQ 41-==2分设直线PQ 为t x k y +-=41，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=144122y x t x ky 整理得0442411222=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+k x k t x k 要使得存在点Q ，则()2222241414404⎛⎫∆=-+-≥ ⎪⎝⎭t t k k 整理得22224116160,44+-≥∴≤-t k k t ②1分由①②式得，22211444-∴<≤-t k t 则4414122-<-t t ，解得22<<-t 1分所以当2≥t 时，不存在点Q ，使得OM //PQ1分21．解：（1）取2π==s t ，则sin 0,sin sin 22222ππππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，因为02<故函数sin =y x 不是“∑增函数”.4分（2）因为函数12-=--x y x a 是“∑增函数”，故任意的s ，(0,)∈+∞t 有1112()22+----+->--+--s t s t s t a s a t a 恒成立，即111222+----->-s t s t a 恒成立2分所以11(21)(21)22-->-s t a 恒成立.又s ，(0,)∈+∞t ，故2,2(1,)∈+∞st，则1(21)(21)(0,)2--∈+∞st 则102-≤a ，即12≥a .4分（3）记1()[(1)]1'=+++x g x e ln x x ，根据题意，得00001()[(1)11'=++=+x g x e ln x x 可得方程的一个解00=x 2分再求()()()000000011()(1)(1)11⎡⎤'⎡⎤⎛⎫'''⎢⎥'=+++++ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦x x g x eln x e ln x x x ()221()(1)1(1)⎡⎤⎢''=++-++⎣⎦x g x e ln x x x ，令221()(1)1(1)=++-++h x ln x x x ，设23231221()011(1)()1()+'=-+=>++++x h x x x x x ，故()=y h x 在(0,)+∞上是严格增函数，又因为(0)1=h ，故()0>h x 在(0,)+∞恒成立，故()()0''>g x ，故()'=y g x 在(0,)+∞上是严格增函数；所以00=x 是唯一解3分设()g()()()=+--w s s t g s g t ,其中0,0>>s t .()()()'''=+-w s g s t g s ，由()'=y g x 在(0,)+∞上是严格增函数以及0>t 得()()''+>g s t g s ，即()()()0'''=+->w s g s t g s 所以()s ()()()=+--w g s t g s g t 在(0,)+∞上是严格增函数，因为0>s ，则()()0(0)0>=-=w s w g ,故()()()+>+g s t g s g t ，得证.3分。
2020学年第一学期高三调研考试数学试题参考答案
16. 13
16.
解：由题意知 ∠F1AF2 = 90
,
cos
∠F1BF2
=
−
3 5
,所以
cos
∠ABF1
=
3 5
,即
AB BF1
= 3, 5
易得 AB : AF1 : BF1 = 3 : 4 : 5 .设 AB = 3 , AF1 = 4 BF1 = 5 , BF2 = x .
由双曲线的定义得： 3 + x − 4 = 5 − x ，解得： x = 3 ，所以 | F1F2 |= 42 + 62 = 4 13 ⇒ c = 13 ，因为 2a = 5 − x = 2 ⇒ a = 1，所以离心率 e = 13 .
因为 AB 为圆 O1 的直径，所以 ∠ACB = 90 ，
中， ， 在 Rt∆ABC ∠ABC = 60 AC = 3 ,
所以 BC = AC = 1 ， tan 60
中， 所以在 Rt∆FBC FC = BC tan 45 = 1………………………7 分
（方法一）因为 BC ⊥ AC ， BC ⊥ FC ， AC ∩ FC = C , 所以 BC ⊥ 平面 FAC ， 又 FA ⊂ 平面 FAC ， 所以 BC ⊥ FA .
=
2
.
所以, an = a1qn−1 = 2 × 2n−1 = 2n .
………………………………4 分 ………………………………5 分
（2）解法一：因为 bn
=
an
log 2
1 2
n
=
−
n ⋅ 2n
………………………………6 分
所以, −Tn = 1× 2 + 2 × 22 + 3× 23 +⋯ + n × 2n ……①
2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=．2．函数的定义域是．3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有．（用数字作答）9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=．11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是．12．在（x++2）4展开式中的常数项是（用数值作答）13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5，5）D．前三个都不正确三、解答题（共5小题，满分60分）19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．2020年上海市奉贤区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若i（bi+1）是纯虚数，i是虚数单位，则实数b=0．【考点】复数的基本概念．【分析】由i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，即可得到实部等于0，则b可求．【解答】解：i（bi+1）=﹣b+i，又i（bi+1）是纯虚数，则﹣b=0，即b=0．故答案为：0．2．函数的定义域是[0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得函数的定义域．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解不等式可得x≥0所以函数的定义域是[0，+∞）故答案为：[0，+∞）3．在△ABC中，||=2，||=3，•＜0，且△ABC的面积为，则∠BAC=150°．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得∠BAC 为钝角，再由×2×3×sin∠BAC=，解得sin∠BAC=，从而得到∠BAC的值．【解答】解：∵在△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，∴=，即，解得sin∠BAC=，又•＜0，∴，∴∠BAC=150°．故答案为：150°．4．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线与直线tx+y+1=0垂直，则t=±\frac{1}{2}．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得渐近线为y=±2x，直线tx+y+1=0的斜率为﹣t，而渐近线的斜率为±2，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得﹣t=±，即有t=±．故答案为：±．5．已知抛物线y2=4x上一点M（x0，2），则点M到抛物线焦点的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】把点M（x0，2）代入抛物线方程，解得x0．利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离=x0+1．【解答】解：把点M（x0，2）代入抛物线方程可得：=4x0，解得x0=3．∴点M到抛物线焦点的距离=x0+1=4．故答案为：4．6．无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，则S n=2，则q=\frac{1}{2}．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由无穷递缩等比数列的各项和可得=2，解方程可得．【解答】解：∵无穷等比数列首项为1，公比为q（q＞0）的等边数列前n项和为S n，且S n=2，∴=2，解得q=，故答案为：．7．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=\frac{3}{2}cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．8．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有34．（用数字作答）【考点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故答案为34．9．在平面直角坐标系xOy中，将点A（2，1）绕原点O逆时针旋转到点B，若直线OB的倾斜角为α，则cosα的值为\frac{\sqrt{10}}{10}．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，tanα==，cosα=．【解答】解：设直线OA的倾斜角为θ，则tanθ=，则tanα====3，∴cosα===．故答案为：．10．已知函数f（x）=2x﹣a•2﹣x的反函数是f﹣1（x），f﹣1（x）在定义域上是奇函数，则正实数a=1．【考点】反函数．【分析】f﹣1（x）在定义域上是奇函数，可得：原函数f（x）在定义域上也是奇函数，利用f（0）=0即可得出．【解答】解：∵f﹣1（x）在定义域上是奇函数，∴原函数f（x）在定义域上也是奇函数，∴f（0）=1﹣a=0，解得a=1，∴f（x）=，经过验证函数f（x）是奇函数．故答案为：1．11．已知x≥1，y≥0，集合A={（x，y）|x+y≤4}，B={（x，y）|x﹣y+t=0}，如果A∩B≠∅，则t的取值范围是[﹣4，2]．．【考点】交集及其运算．【分析】把A∩B≠∅转化为线性规划问题，作出可行域，由直线x﹣y+t=0与可行域有交点求得t的范围．【解答】解：由作出可行域如图，要使A∩B≠∅，则直线x﹣y+t=0与可行域有公共点，联立，得B（1，3），又A（4，0），把A，B的坐标分别代入直线x﹣y+t=0，得t=﹣4，t=2．∴﹣4≤t≤2．故答案为：[﹣4，2]．12．在（x++2）4展开式中的常数项是70（用数值作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：（x++2）4 =的展开式的通项公式为T r+1=•=•x4﹣r，令4﹣r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项是=70，故答案为：70．13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是\frac{3+\sqrt{3}}{2}．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．14．若数列{a n}满足a n+a，且a1=x，{a n}单调递增，则x的取值范围是（1，3）．【考点】数列的函数特性．【分析】数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，解出即可得出．【解答】解：数列{a n}单调递增⇔a1＜a2＜a3，∵数列{a n}满足a n+a，且a1=x，解得a2=6﹣x，a3=4+x．∴x＜6﹣x＜4+x，解得1＜x＜3．故答案为：（1，3）．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）15．平面α的斜线与平面α所成的角是35°，则与平面α内所有不过斜足的直线所成的角的范围是（）A．（0°，35°]B．（0°，90°]C．[35°，90°）D．[35°，90°]【考点】直线与平面所成的角．【分析】做出斜线与射影所确定的平面，则当α内的直线与射影平行时．夹角最小为35°，当直线与射影垂直时，夹角最大为90°．【解答】解：设平面α的斜线的斜足为B，过斜线上A点做平面α的垂线，垂足为C，则∠ABC=35°，∴当α内的直线与BC平行时，直线与斜线所成的角为35°，当α内的直线与BC垂直时，则此直线与平面ABC垂直，∴直线与斜线所成的角为90°，故选：D．16．下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【考点】其他不等式的解法．【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．17．若复数z满足关系=1，则z对应的复平面的点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，（x，y∈R），代入复数z满足关系=1，化简即可得出．【解答】解：设z=x+yi，（x，y∈R），∵复数z满足关系=1，∴x2+y2=1．则z对应的复平面的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．故选：A．18．方程9x+|3x+b|=5（b∈R）有一个正实数解，则b的取值范围为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5.25，﹣5）C．[﹣5，5）D．前三个都不正确【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简9x+|3x+b|=5可得3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得．【解答】解：∵9x+|3x+b|=5，∴|3x+b|=5﹣9x，∴3x+b=5﹣9x或3x+b=﹣5+9x，①若3x+b=5﹣9x，则b=5﹣3x﹣9x，其在（﹣∞，0）上单调递减，故当b≤3时，无解，当3＜b＜5时，有一个解，当b≥5时，无解；②若3x+b=﹣5+9x，则b=﹣5﹣3x+9x=（3x﹣）2﹣，∵x∈（﹣∞，0）时，0＜3x＜1，∴当﹣＜b＜﹣5时，有两个不同解；当b=﹣时，有一个解；综上所述，b的取值范围为（﹣5.25，﹣5），故选B．三、解答题（共5小题，满分60分）19．平面外ABC的一点P，AP、AB、AC两两互相垂直，过AC的中点D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，连接BP，BE，多面体B﹣PADE的体积是；（1）画出面PBE与面ABC的交线，说明理由；（2）求BE与面PADE所成的线面角的大小．【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．【分析】（1）延长PE交AC于F，可证F与C重合，故直线BC即为面PBE与面ABC的交线；（2）连接AE，则∠BEA为所要求的角，根据棱锥的体积计算AB，利用勾股定理计算AE，则tan∠BEA=．【解答】解：（1）延长PE交AC于F，∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC，∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA，∴，∴F与C重合．∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC，∴C是平面PBE和平面ABC的公共点，又B是平面PBE和平面ABC的公共点，∴BC是面PBE与面ABC的交线．（2）连接AE，∵AP、AB、AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC，∴∠BEA为BE与平面PAD所成的角，∴V B==（1+2）×1×AB=，﹣PADE∴AB=．又∵AE==，∴tan∠BEA==．∴BE与面PADE所成的线面角为arctan．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A、B是四条直线x=±a，y=±b所围成的两个顶点，P是椭圆C上的任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，列出方程组，能求出椭圆方程．（2）由已得A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），由此能证明点Q（m，n）在定圆x2+y2=运动．【解答】（1）解：∵椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2，∴，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆方程为．（2）证明：∵A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点，∴A（2，1），B（﹣2，1），设P（x0，y0），则+y02=1．由，得，∴+（m+n）2=1，故点Q（m，n）在定圆x2+y2=运动．21．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16千米处，AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的背面建一个垃圾发电厂P，垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求（A，B，P可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大），现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，设|PA|=5x＞0．（1）求cos∠PAB（用x的表达式表示）（2）问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）由条件可设PA=5x，PB=3x，运用余弦定理，即可得到cos∠PAB；（2）由同角的平方关系可得sin∠PAB，求得点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，化简整理配方，由二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值及PA，PB的值．【解答】解：（1）由条件①，得，∵PA=5x，∴PB=3x，则，可得；（2）由同角的平方关系可得，所以点P到直线AB的距离h=PAsin∠PAB，=，∵cos∠PAB≤1，∴，∴2≤x≤8，所以当x2=34，即时，h取得最大值15千米．即选址应满足千米，千米．22．（1）已知0＜x1＜x2，求证：；（2）已知f（x）=lg（x+1）﹣log3x，求证：f（x）在定义域内是单调递减函数；（3）在（2）的条件下，求集合M={n|f（n2﹣214n﹣1998）≥0，n∈Z}的子集个数．【考点】对数函数的图象与性质；子集与真子集．【分析】（1）使用分析法证明；（2）设0＜x1＜x2，利用（1）的结论和对数函数的性质化简f（x1）﹣f（x2）判断其符号，得出结论；（3）由（2）的结论及f（9）=0列出不等式组，解出n即可得出M中元素的个数．【解答】（1）证明：∵x2+1＞0，x2＞0，欲证：，只需证：x2（x1+1）＞x1（x2+1），即证：x1x2+x2＞x1x2+x1，只需证：x2＞x1，显然x2＞x1成立，∴．（2）解：f（x）的定义域为（0，+∞）．设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=lg（x1+1）﹣lg（x2+1）+log3x2﹣log3x1=lg+log3=lg﹣log．∵0＜x1＜x2，∴0＜＜＜1，∴lg＞log＞log，∴f（x1）﹣f（x2）=lg﹣log＞log﹣log=0．∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在定义域（0，+∞）上是减函数．（3）解：由（2）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，且f（9）=0，∵f（n2﹣214n﹣1998）≥0，∴0＜n2﹣214n﹣1998≤9．∴13447＜（n﹣107）2≤13456．∵115＜＜116，=116，n∈Z，∴n﹣107=116或n﹣107=﹣116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．23．数列{a n}，{b n}满足，a1＞0，b1＞0；（1）求证：{a n•b n}是常数列；（2）若{a n}是递减数列，求a1与b1的关系；（3）设a1=4，b1=1，c n=log3，求{c n}的通项公式．【考点】数列递推式；数列的函数特性．【分析】（1）化简可得b n+1=2，从而可得a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，从而证明；（2）由题意知a n+1=a n+b n＜a n，从而求得；（3）化简可得a n+1=+，从而可得===（）2，从而可得数列{cn}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而求得．【解答】解：（1）证明：∵=+=（），∴b n+1=2，∴a n+1b n+1=（a n+b n）•2=a n b n，∴{a n•b n}是常数列；（2）∵{a n}是递减数列，∴a n+1=a n+b n＜a n，∴a n＞b n，∴a1＞b1．（3）∵a1=4，b1=1，∴a n•b n=4，∴a n+1=a n+b n=a n+=+，∴===（）2，∴log3=log3（）2=2log3，即c n+1=2c n，又∵c1=log3=1，故数列{c n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴c n=1•2n﹣1=2n﹣1．2020年7月15日。
上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试(一模)试题(答案不全)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市奉贤区2020届高三数学上学期调研测试（一模）试题一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 计算：32lim21n n n →∞-=+2. 在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =，则△ABC 的面积是3. 圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于4. 设3(,sin )2a α=r ，1(cos ,)3b α=r ，且a r ∥b r ，则cos2α=5. 在252()x x-二项展开式中，x 的一次项系数为 （用数字作答）6. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选 法种数为7. 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 8. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为1()f x -=9. 设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，||6ON =uuu r ，ON =uuu r r，过点M 作1MM y ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设 11OT M M N N =+uu u r uuuu u r uuuu r，则点T 的轨迹方程是10. 根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为 属于饮酒驾车，假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0rxp p e =⋅（r 为常数），若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则 此人饮酒后需经过 小时方可驾车（精确到小时）11. 给出下列一组函数：212()log (23)f x x x =++，22()ln(258)f x x x =++，23()lg(3813)f x x x =++，240.3()log (7.46551713.931034)f x x x =++，⋅⋅⋅，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式2log ()a y Ax Bx C =++（0a >，1a ≠）：12. 已知直线1y x =+上有两个点11(,)A a b 、22(,)B a b ，已知1a 、1b 、2a 、2b 满足1212|a a bb +=，若12a a >，||2AB =，则这样的点A 有 个二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知点(,)P a b ，曲线1C 的方程21y x =-，曲线2C 的方程221x y +=，则“点(,)P a b 在曲线1C 上“是”点(,)P a b 在曲线2C 上“的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 14. 一个不是常数列的等比数列中，值为3的项数最多有（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 无穷多个 15. 复数z 满足|3i |2z -=（i 为虚数单位），则复数4z -模的取值范围是（ ） A. [3,7] B. [0,5] C. [0,9] D. 以上都不对16. 由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列， 且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有（ ） ① 第2列中的12a 、22a 、32a 必成等比数列；② 第1列中的11a 、21a 、31a 不一定成等比 数列；③ 12322123a a a a +>+；A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，14AA =，点M 是棱11C D 上 的动点.（1）求三棱锥11D A B M -的体积；（2）当点M 是棱11C D 上的中点时，求直线AB 与 平面1DA M 所成的角（结果用反三角函数值表示）.18. 某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：（1）根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市 时间x 的变化关系并说明理由：① y ax b =+；② 2y ax bx c =++；③ log b y a x =⋅； ④ x y k a =⋅；（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.19. 平面内任意一点P 到两定点1(F 、2F 的距离之和为4.（1）若点P 是第二象限内的一点且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r，求点P 的坐标；（2）设平面内有关于原点对称的两定点1M 、2M ，判别12PM PM ⋅uuuu r uuuu r是否有最大值和最小值，请说明理由？20. 函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.21. 有限个元素组成的集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，*n ∈N ，集合A 中的元素个数记为()d A ， 定义{|,}A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()(()1)()2d A d A d A A ⋅++=时，称集合A 具有性质Γ.（1）设集合{1,,}M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列， 请说明理由；（2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中113d =，数列{}n d 中的前 2020项：1232020,,,,d d d d ⋅⋅⋅组成的集合1232020{,,,,}d d d d ⋅⋅⋅记作D ，将集合D D +中的所有元素123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅（*k ∈N ）从小到大排序，即123,,,,k t t t t ⋅⋅⋅满足123k t t t t <<<⋅⋅⋅<，求2020t ； （3）已知集合12{,,,}n C c c c =⋅⋅⋅，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由.参考答案一. 填空题1.322. 3 4. 0 5. 80- 6. 1807. 2219y x -=± 8. 2log (1)x - 9. 22536x y +=(0x ≠且x ≠10. 8 11. 23log (4710)y x x =++（答案不唯一） 12. 3二. 选择题13. A 14. D 15. A 16. C三. 解答题17.（1）1164433V =⨯⨯=；（2）arcsin 3. 18.（1）②；（2）21(20)264y x =-+，上市20天，最低价26元.19.（1）(33-；（2）222212()PM PM x y m n ⋅=+-+uuuu r uuuu r ，最大值224()m n -+，最小值221()m n -+.20.（1）奇函数；（2）略；（3）sin(tan )1tan 2(tan1.50,tan1.57)2k πωωπ=⇒=+∈，∴1.99199.6k <<，∴2,3,4,,199k =⋅⋅⋅，∴ω的个数为198个.21.（1）否；（2）123n n d -=，(1)22k k k t +=，∴6320162t =，63202028t =+；（3）具有性质Γ.。
2020年上海奉贤区高三一模数学试卷
2020年上海奉贤区高三一模数学试卷一、填空题（本大题共12小题，1~6题每题4分，7~12每题5分，共54分）1.计算： ．2.在中，若，，，则的面积是 ．3.若圆锥底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为 ．4.设，，且，则 ．5.在二项展开式中，的一次项系数为 （用数字作答）．6.若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中只有门相同的选法种数为 ．7.若双曲线的渐近线方程为，它的焦距为，则该双曲线的标准方程为 ．8.已知点在函数的图象上，则的反函数 ．9.设平面直角坐标系中，为原点，为动点， ， ，过点作轴于，过作轴于点，与不重合，与不重合，设 ，则点的轨迹方程是 ．10.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）毫克/毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为毫克/毫升，经过个小时，酒精含量降为毫克/毫升，且满足关系式（为常数）．若某人饮酒后血液中的酒精含量为毫克/毫升，小时后，测得其血液中酒精含量降为毫克/毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．（精确到小时）11.给出下列一组函数：，，，，，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式（，）： ．12.已知直线上有两个点、 ，已知、、、满足，若，，则这样的点有 个．二、选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知点，曲线的方程，曲线的方程，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.一个不是常数列的等比数列中，值为的项数最多有（ ）．A.个B.个C.个D.无穷多个15.复数满足（为虚数单位），则复数模的取值范围是（ ）．A.B.C.D.以上都不对16.由个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列判断正确的有（ ）．①第列中的、、必成等比数列；②第列中的、、不一定成等比数列；③；A.个B.个C.个D.个三、解答题（本大题共5小题，共76分）（1）（2）17.已知长方体中，，，，点是棱上的动点．求三棱锥的体积．当点是棱上的中点时，求直线与平面所成的角．（结果用反三角函数值表示）．（1）（2）18.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间天市场价元根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由：①；②；③；④．利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．【答案】解析:原式．（1）（2）19.平面内任意一点到两定点 、 的距离之和为．若点是第二象限内的一点且满足 ，求点的坐标．设平面内有关于原点对称的两定点、，判别 是否有最大值和最小值，请说明理由？（1）（2）（3）20.函数，其中，讨论的奇偶性．时，求证：的最小正周期是．，当函数的图象与 的图象有交点时，求满足条件的的个数，说明理由．（1）（2）（3）21.有限个元素组成的集合，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当时，称集合具有性质．设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由．设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：,,,,组成的集合记作，将集合中的所有元素,,, ,从小到大排序，即,,,,满足﹐求．已知集合，其中数列是等比数列，,且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由．1.2.解析:如图中，过作，交于点，∵，，，，，∴．故面积为．3.解析:∵圆锥的底面半径为，高为，∴母线长为：，∴圆锥的侧面积为：，故答案为：．4.解析:，，∵，∴，，则，即，，所以．故答案为：．5.解析:二次展开式，通项为，令，则，，，故的一次项系数为．6.解析:根据题意，甲乙所选的课程只有门相同，有种情况．故答案为：．7.解析:①若双曲线焦点在轴上，，令，即，由双曲线渐近线为，则，又∵双曲线焦距为，则，由，则，．∴双曲线方程为．②若双曲线焦点在轴上，，由双曲线渐近线为，，由双曲线焦距，，∵，∴，，所以双曲线方程为，综上所述，双曲线方程为．解析:，故，∴∴．解析:设，则，，，∴，，设，则由，可得，∴，，又，∴，即，化简得，8.且9.故点的轨迹方程是且．解析:由题意， ，∴，∵，∴．故答案为：．解析:根据所给出的函数的规律来看，、、成等差数列，因此．解析:构造，，，或，，，当，根据对称性此时点在第三象限，点在第一象限，这样的点有一个，当，在第二象限有两个点对应点在第一象限，而点对应点在第三象限，故这样的点一共有个．解析:①∵点在曲线：上，则，即，，∴点也在曲线：上，点在曲线上是点在曲线上的充分条件；②若点在曲线：上，10.11.12.A 13.则，，即或，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上．故点在曲线上是点在曲线上的充分非必要条件，正确．解析:若数列的通项公式为，则数列为等比数列，且不是常数列，则值为的项数有无穷多个．故选．解析:设，则由可得点位于以为圆心，为半径的圆上，则，点到圆心的距离，则的最小值为，最大值为，故的取值范围是，即的取值范围是．故选．解析:由题意设由个正数组成的矩阵是：，由，，成等比数列，则有：，故①正确；，故③正确；再题意设由个正数组成的矩阵是：，故②正确；故选．D 14.A 15.C 16.（1）．（2）．17.（1）（2）（1）解析:因为长方体中有平面，因为与平行，所以点到线段的距离等于，所以，所以．长方体中，可得：，，，从而，过点作平面，由得：，求得：，由平面，且，知为直线与平面所成的角，中，，所以，所以直线与平面所成的角的大小为．解析:∵随着时间的增加，的值先减后增，而所给的四个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，（1）选择②，证明减解析．（2）天，元．18.（2）（1）（2）∴．把点，，代入中，得，解得，，，∴，∴当时，有最小值．解析:由条件知，点的轨迹是以 ，为焦点，长轴长为的椭圆，所以，，，所以点的轨迹方程是 ，设，由， 得，由，点是第二象限内的点，解得，所以点的坐标为．设，、，因为，是关于原点对称的两个定点，所以、、、为定值，，，所以，因为，，（1）点的坐标为．（2）有最大值与最小值．证明见解析．19.（1）（2）（3）所以由、为定值，，知式在左右端点时有最大值，在上下端点时有最小值．解析:由，得，，所以函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，，所以函数是上的奇函数．，，函数是周期函数，且是它的一个周期，因为，所以函数是周期函数，且是它的一个周期，假设是函数的最小正周期，且，那么对于任意实数，都有成立，取，则，所以，，取，则，所以，把式代入上式，得，所以，，，得， ，，时，上式左边为无理数，右边为有理数，所以只能但由于，，知，所以假设错误，故是的最小正周期．因为，且，（1）函数是上的奇函数．（2）证明见解析．（3）满足条件的的个数有个．证明见解析．20.（1）（2）由成立，当且仅当成立，，得，所以，，，因为，所以只能，得，，得是的递增函数，当时，，不符合，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，无解，故满足条件的的个数有个．解析:因为集合具有性质，所以，因为中的元素可能为，，，，，，这六个元素同时满足，，，所以集合中的三个元素不可能组成等差数列．由①，得②，①、②相减得到③，得，，所以，（1）不能，证明见解析．（2）．（3）具有性质，证明见解析．21.（3）所以，得到，集合中的所有元素从小到大进行排序，得到，，，，，，满足，其中与数对，，； ，，；，，，；；，，，，对应．所以，解得．当时，，所以对应的数对为，所以．设数列的公比为，则，的元素至多有个，因为，所以，．设，所以或，只要证明恒不成立即可，则，假设，即（*），因为是有理数，设，且，互质．得，所以左边是的倍数，右边不是的倍数，所以（*）式不成立．所以集合具有性质．。
上海市奉贤区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
上海市奉贤区2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =u u u u r u u u r，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>【答案】D 【解析】 【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，022)，1(2O ，12，0)，(0E ，02)，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =u u u u r ，112(,22OE =--u u u r ，1122(,)22OF =-u u u r ，12)EB =u u u r ，2)EF =u u u r ， 设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =u r，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =-r，平面OEF 的法向量272(p =u r ，平面1EFB 的法向量2(2,3)q =-r ．∴461cos ||||m n m n α==u r r g u r r g ，434cos ||||m p m p β==u r u r g u r u r g ，46cos ||||m q m q γ==u r rg u r r g ．γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【详解】 运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =； 第二次，2i =，3lg 2lglg32S =+=；第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lg lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C. 【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.3．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．18【答案】D 【解析】 【分析】设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由24x my m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my m --=，∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.又由24x my y x=⎧⎨=⎩，得240y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，∵||3||BD OA =， ∴)()()224212(191616my y m m +-=+，又∵()()22212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18m =. 故选：D 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.4．已知向量()1,2a =-v，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（ ）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值. 【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v， ()2//b a a v v Q v -，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A. 【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.5．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π【答案】D 【解析】 【分析】根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】70412212π≈. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.6．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力. 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】A 【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．8．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.9．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ） A ．-4 B ．-2C ．0D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m nm n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键. 10．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1'()ln ()<-f x x f x x，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,1)-UB ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(1,)-??D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】D 【解析】构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x=+，由()()1'f x lnx f x x<-可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，当x ∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x 2-1)f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x 2-1)f(x)<0 ∵f(x)是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)>0.综上所述,使得(x 2-1)f(x)>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 11．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.12．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6 B ．6C ．-6D ．132【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项性质代入可得解，由等比数列项的性质确定值即可. 【详解】由等比数列中等比中项性质可知，23159a a a ⋅=，所以96a ===±，而由等比数列性质可知奇数项符号相同，所以96a =， 故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列中等比中项的简单应用，注意项的符号特征，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学一模试卷含解析
上海市奉贤区2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可. 【详解】因为3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+6π)-3π]+1=2sin(3x+6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确； 令3x+6π=kπ+2π，得x=3k π+9π(k ∈Z)，所以x=59π不是对称轴，故①错误； 令3x+6π=kπ，得x=3k π-18π(k ∈Z)，取k=2，得x=1118π，故函数g(x)的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确； 令2kπ-2π≤3x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x≤23k π+9π，取k=2，得109π≤x≤139π，取k=3，得169π≤x≤199π，故④错误；故选：B 【点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型2．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B 【解析】 【分析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.3．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得1121AF BF p+==；再由基本不等式可求得4AF BF +的最小值． 【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l 过抛物线24y x =的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知1121AF BF p+== 所以4AF BF +()114AF BF AF BF ⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭ 441BF AF AF BF ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭因为AF BF 、为线段长度，都大于0，由基本不等式可知4415BF AF AF BF ⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭522≥+⨯9≥，此时2BF AF =所以选B 【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．4．已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 【答案】B 【解析】由题意可得c=F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′， 所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF ′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 5．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．1112- B ．31 C ．221-D ．32【答案】C 【解析】 【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】 如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则121022211a b b a ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，即点()3,0C ，所以，圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程为()2231x y -+=，设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()224222213948416216y y y MC y y ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭当2y =±时，MC 取最小值2min min 1221MN MC =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.6．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数()f x 是奇函数， 所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x --=--+--，又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----， 所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f ax f x +<-，可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立，则1120ax x a x⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩，所以a 的取值范围是(3,1)--. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 7．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G，若PA =AB =O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥， 又由2AB =，所以2AG =，在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．8【答案】A【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积． 【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2， 直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 9．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0.080.080.080.08log 0.042log 0.2log 0.2log0a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，所以0.20.211log 0.08,log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+0.080.3< 所以11a b>，所以b a >，又因为0.080.08log 0.2log0.081a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.10．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．11．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为13,2，则小正方形的边长为312-，小正方形的面积23131222S⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.13450067112-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯=⎪⎪⨯⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.12．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD)有15cm，跨接了6个坐位的宽度(AB)，每个座位宽度为43cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A．250cm B．260cm C．295cm D．305cm【答案】B【解析】【分析】»AB为弯管，AB为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB所在圆的半径为r，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示，»AB为弯管，AB为6个座位的宽度，则643258AB cm =⨯=15CD cm =设弧AB 所在圆的半径为r ，则222()r r CD AC =-+22(15)129r =-+解得562r cm ≈129sin 0.23562AOD ∠=≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526x x π≈⇒<所以弧长5622946π<⨯≈.故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。