山东省青岛即墨区2020届高三数学上学期期中教学质量检测试题理[含答案]
第 I 卷(选择题 共 52 分)
一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．已知向量 a
1,
3
,
b
m,1，若向量
a,
b
夹角为
，则 m
3
3
A．
B． 3
C．0
3
D． 3
2．如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则 BF
为“等差向量列”， d 称为“公差向量”；平面内的“向量列” bn ，如果 b1 0 且对于任意
的正整数 n ，均有 bn1 q bn , q 0 ，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数 q 称为“公
比”．
(1)若“向量列” an 是“等比向量列”，用 b1 和“公比”q 表示 b1 b2 bn ；
A．
3
AB
1
AD
44
B．
1
AB
1
AD
42
C．
1
AB
AD
2
D．
3
AB
1
AD
44
3．在平面直角坐标系中，角
的始边与
x
轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点
P
3 5
,
4 5
，
则 sin 2
24
A.
25
6
B.
5
C. 3 5
6 2
D.
4
4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，
·····7 分
（2） Q c, b, a 成等差数列
c : b : a 3 : 5 : 7 ，不妨设 c 3x,b 5x, a 7x, (x 0)
cos A 9x2 25x2 49x2 1
由余弦定理得：
23x 5x
2
A 2 3 ·································
3 , tan C
······················
················12 分
1 3 1 12 2 2 tan C 2
b c
1 2
,
2
·······························
···················14 分
f (x) 2
3 cos(
sin C
(1)求
；
sin B
(2)若三边 c，b，a 成等差数列，求角 A．
20．(本小题满分 14 分)
在锐角三角形 ABC 中， a ，b，c 分别是角 A, B,C 的对边，且 2sin C sin B a cos B .
sin B
b cos A
(1)求 A；
b
(2)求 的取值范围．
c
21．(本小题满分 14 分)
C． ABC 外接圆直径为 4 21 3
D． ABC 中线 CD 的长为 3 2
第Ⅱ卷(非选择题 共 98 分) 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。
14．已知向量
a
cos
x,
1,
b
3
sin
x,
1 2
，若，a /则/b
a __________.
l5．已知函数 f x sin2 x 1 , 0的周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单
n1
．
(1)求公比 q 和 a3 的值；
(2)若 an 的前 n 项和为 Sn，求证： a1, Sn 1, a2n1 成等比数列．
19．(本小题满分 l4 分)
在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，D 是 BC 上的点，AD 平分 BAC ，
ABD 的面积与 ABD 面积比为 3 ． 5
内单调递增，且函数 y f x的图象关于 , 1对称，则函数 y f x的最大值为
__________， ___________.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．(本小题满分 12 分)
已知数列 an 为等比数列，且
an1
an
1 2
余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即
S
1 4
c2a2
c2
a2 2
b2
．现有
ABC
满足 sin
A : sin
B
: sin C
2
:
3:
7 ，且
ABC 的面积 SABC 6 3 ，请运用上述公式判断下列命题正确的是
A． ABC 周长为10 2 7 B． ABC 三个内角 A，C，B 成等差数列
A． a b a b
B. a b a b
2 2
C. a b a b a b
2 2
D. a b a b
8．在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，点 E 为 BC 的中点，点 F 在线段 DC 上．若 AE AF AP ，
··················6 分
（2）由正弦定理得：
b sin B sin(120 C) 3 1 1
c sin C
sin C
2 tan C 2 ·················
·············10 分
因为 ABC 为锐角三角形, 所以 30 C 90
tan C 3 0 1 3
山东省青岛即墨区 2020 届高三数学上学期期中教学质量检测试题 理
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第 I 卷选择题的正确答案选项填 涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120 分钟，满分 150 分。 注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上． 3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不 按以上要求作答的答案无效．
(1)设 cn
b2 n1
bn2 , n N ，求证：
cn
是等差数列；
(2)若
a1
1 2
,d
1, dn
1 cn2 1
n N
，
(I)求数列 1n bn2 的前 2n 项和 S2n ；
(IT)求数列dn的前 n 项和Tn ．
23．(本小题满分 14 分)
平面内的“向量列” an ，如果对于任意的正整数 n ，均有 an1 an d ，则称此“向量列”
斩末一尺，重二斤，箠重几何?”意思是：“现有一根金杖，长 6 尺，一头粗，一头细，在
最粗的一端截下 1 尺，重 5 斤；在最细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问金杖重多少斤?”(设该
金杖由粗到细是均匀变化的)
A．21
B．18
C．15
D．12
5．已知 sin
cos
4 3
,
4
, 2
, 则 sin
B．对任意的
xR
，都有
f
x
12
f
12
x
0
C．
f
x
在
12
,
3
上是增函数
D．由
y
2 sin 2x 的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
C
6
l2．已知平面向量a, b, c 满足 a
b
c
1
，若
a
b
1
，则
ab
2b c
的值可能为
2
A． 2
B． 3 3
C．0
D． 2
设 f x 2
3
cos
2
x
sin
x
sin
x
cos
x 2
1
．
(I)求 f x的周期及 y f x图象的对称轴方程；
(II)讨论
f
x在
6
,
5 6
上的单调性及最值.
22．(本小题满分 14 分)
已知an是各项为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 n N ，b是n 和an an1 的等比中项.
13．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题， 分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五
“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a, b, c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等
价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，
2
2
位 a>0，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为___________；
16．已知
a,
b
为单位向量，且
a
b
1
，若c，则2a
b
2
cos a, c ___________；
17．已知函数 f x 3 sin 2x cos 2x 1, 0, x R，若f x在区间 , 国)
············14 分
2sin C sin B sin Acos B
20. 解：（1）由正弦定理得： sin B
sin B cos A
化简得： 2sin C cos A sin B cos A sin Acos B 2sin C cos A sin C cos A 1 2
2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,52. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 13. 已知．若，则（ ）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b=A.B.D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件5.此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1D. 11e+e 1-e二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE V AE BD CD 4BD=（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,5【正确答案】B【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.P 【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，61y x =+y ∈N 1x +661236所以，{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，{}15Q x x =-≤<所以，{}0,1,2P Q ⋂=故选：B.2. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 1【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.z 【详解】由题意知，()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+所以，z ==故选：C.3. 已知．若，则（）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b =A.B.D. 【正确答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅=-【详解】因为，且，()2a b a+⊥1a = 则，可得，()2220a a a ab b +⋅=+⋅= 21322a b a⋅=-=-rr r 所以.cos ,a b a b a b⋅===⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由，得，()223123111111S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=21q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；7m =217q q ++=2q =3q =-当时，，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.7m ={}n a 故选：A5. 此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，1111ABCD A B C D -1O ABCD -设底边边长，高AB a =1OO =则，1O E ==又正四棱柱的侧面积，114S AB OO =⋅=正四棱锥的侧面积，21142S AB O E a=⋅⋅=则，解得，a=a =所以正四棱锥体积，2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【正确答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭22,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.()fx故选：C7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π【正确答案】A【分析】先化简，根据图象变换求出，将方程转化为()f x ()g x ()21g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.()12m g x +=()g x 【详解】根据题意可得，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，7π012x ≤≤ππ3π2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且，，()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程等价于有两个不同的解，()21g x m -=()12m g x +=12,x x .12ππ2126x x ∴+=⨯=故选：A.8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A.B. C. 1D. 11e +e 1-e【正确答案】C【分析】构建，分析可知的定义域为，且在()()ln f x ax x b=--()f x (0,+∞)()0f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建(0,+∞)ln 1a b ≤+1e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.()1ln ,ee g a a a a =-≤≤【详解】设，()()ln f x ax x b=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，1e e a ≤≤()f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为，()111xf x x x -=-='令，解得；令，解得；f ′(x )>001x <<f ′(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，()f x (0,1)(1,+∞)则，可得，则，()()1ln 10f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b aa +≥=可得，当且仅当时，等号成立，1e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=令，解得；令，解得；()0g a '>1e a <≤()0g a '<11e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()11g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，1eln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.1eln b a +-故选：C.方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>【正确答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得，，33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即，所以，1515110log 3log 5a b ∴<=<=110a b <<0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；15151511log 3log 5log 151a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，因为，，0a b >>111a b +=所以，()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b aa b =2a b =35a b =49a b +>确.故选：ABD.10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以，即，故B 错误；21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；2023202131a a a a =++++ 对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π【正确答案】ACD【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取，的中点为，连接，，11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D所以，又E ，F 分别是棱，的中点，11//MN B D 11B C 11C D 所以，所以，11//EF B D //MN EF 平面，平面，MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，//MN ∴CEF 因为分别是棱，的中点，所以，且，,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，CDNE 所以，又平面，平面，//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，//BDNM CEF点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；MN MN ==A 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，A 1,,AB AD AA x y z 由题意得，设，(0,0,0)A (,,4)P x y，AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，221x y +=P 1A 14所以点P 的轨迹长度为.故错误；1π2π42⋅=B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111DC B A 连接，与交于点，此时取到最小值，PC EF Q PQ CQ+，且，CE CF === 2PE PF ==所以点为的中点，所以Q EFPQ EQ ===所以，CQ ===即的最小值为，故正确；PQ CQ +C如图，连接，交于点，连接，PF 11B D 1O PE 若P 是棱的中点，则，11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，FP PEF !1O PEF !过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，1O ABCD P CEF -O 连接，设，则，OP 1OO t =2222t R +=连接，，所以，OC 12AC ==()(2224t R -+=所以，解得，()(222224t t +=-+52=t 所以，222541244R =+=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -24π41πS R ==D 故选.ACD方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++【正确答案】.430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，223673(1)4y x x x '=++=++所以时，，又时，，1x =-min4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，PO h =在中，，同理可得，，Rt POA △otan 30OP OA ==OB =OC h =在中，，则，OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-⋅⋅.=h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】23【分析】根据中点坐标公式可得，进而可得为等比数列，()*122n n n a a a n +++=∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点、，设点，()10,0A ()21,0A ()(),0n n A a n *∈N 则数列满足，，，{a n }10a =21a =()*122n n n a a a n +++=∈N 所以，，1212n nn n a a a a +++--=-所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-211a a -=12-所以，，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，2n ≥()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+也满足，故对任意的，.10a =121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，，故11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.23四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，24a =2n n a =*N n ∈（2）332n nn T +=-【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算1n =12a =2n =出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；{}n a 22{}n a （2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，1n =111222S a a +=+=12a =当时，，即，解得，2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a a -={}n a ∴，.1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】由（1）可得，，，2nn a =112n n a ++=在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，n a 1n a +n ()2+n n d 则有，()11n n na a n d +-=+∴，∴，1211nn n n a a d n n +-==++112n n n d +=∴，1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴.332n n n T +=-16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C【正确答案】（1）π3B =（2）18-【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由22b ac =sin sin A C ，可得的值.cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】因为，π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得，12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >，cos 1B B -=即，因为，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得，则.ππ66B -=π3B =【小问2详解】因为边上的高，AC h =所以①21122ABC S b h b =⋅==又②11sin 22ABC S ac B ac === 由①②可得，22b ac =由正弦定理可得，2sin 2sin sin B A C =结合（1）中可得，π3B =3sin sin 8A C =因为，()1cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=所以.1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE VAE BD CD 4BD =（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.E【小问1详解】连接，BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，ADE V 由余弦定理得，所以2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，222222,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以平面，BE ⊥ADE 又平面，所以平面平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥ABCE 【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，()()()(()2,0,0,0,,,,0,0,0A B CD E -设，()01DF DB λλ=≤≤故，()((,,1,EC ED DB=-==-，((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，z ABCE ABCE ()0,0,1m =所以，cos ,m AF m AF m AF⋅===化简得，解得或（舍去），23830λλ+-=13λ=3λ=-所以，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，DEC (),,n x y z =则有，可取，00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩)1n =- 所以点到平面FDEC18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调(0)0f '=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；（3）设，，当时，由（1）知，()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.[π,)+∞【小问1详解】由题意知，且，(0)0f =(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，解得，(0)20f a '∴=-=2a =，，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则，1()cos 21f x x x '=+-+当时，，．故，0x ≥cos 1≤x 111x ≤+()0f x '≤所以在区间上单调递减，所以．()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令，10x -<<1()cos 21g x x x =+-+则，21()sin (1)g x x x '=--+，，，sin (0,1)x -∈ 211(1)x >+()0g x '∴<在区间上单调递减，则，()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】因为，()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>记，，1()sin ln(1)2m x x x =++-π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 12x ≤≤ln(1)0x +>；1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->当时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=++记，则，1()()cos 1n x m x x x '==++21()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，()m x '∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤⎥⎝⎦，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->综上所述，当时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>【小问3详解】设，，()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，单调递减，π()0,x ∈1()cos 11h x x x '=+-+又，，(0)10h '=>1(π)20π1h '=-<+存在，使得，∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当时，当时，00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，()0(0)0h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18m（3）证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=21a =2，而，故不是“理想数”；33110⨯+=1052=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=41612=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22112=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34172=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=4058=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52134=17，而，故不是“理想数”；319158⨯+=58292=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9921p m =+-，且，921p ∈-Z211p-≥，或，或，解得，或，211p ∴-=213p -=219p-=1p =2p =，或，即的值为12或18．1991821m ∴=+=-2991221m =+=-m 【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如的整数，()*2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦若奇数，不妨设，1m >(2222,2k k m -⎤∈⎦若为"理想数"，则，且，即，且，m (*3112s m s +=∈N )2s >(*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)133t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，(*413t m t -∴=∈N )1t >又，即，22241223t k k--<<1344134k t k-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，(2222,2k k -(*413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，()*413k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，∴()*341kk ∈-N 1133134144441k k k ++<=⨯---1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即．21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。
山东青岛即墨区高三上学期期中考试(教学质量检测)数学(理)试题含答案
高三教学质量检测数学试题2019.11本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分。
注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共52分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量()()1,3,,1a b m =-=，若向量,a b 夹角为3π，则m =ABC ．0D ．2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =A ．3144AB AD + B ．1142AB AD -+C ．12AB AD +D ．3144AB AD +3．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α=A.2425B.65C. 35-D.4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何?”意思是：“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤?”(设该金杖由粗到细是均匀变化的) A ．21B ．18C ．15D ．125．已知4sin cos ,,,sin cos 342ππθθθθθ⎛⎫+=∈-= ⎪⎝⎭则A.B. 3-C.13D. 13-6．在ABC ∆中，6012A AB AC ∠===，，，若3,BD DC AE AC AB R λλ==-∈，， 且1AD AE λ⋅=，则的值为 A ．213B ．1C ．311D ．8137．对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是 A ．a b a b ⋅<⋅B. a b a b -≤-C. ()()22a ba b ab -+=-D. ()()22a ba b +=-8．在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅= A.32B. 94-C. 52-D. 3-9．22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．1-10．已知,αβ为锐角，()4tan ,cos tan 35ααββ=+=-=A ．2 BC ．23D ．79二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。
2020-2021学年山东省青岛市即墨灵山中学高三数学理月考试题含解析
2020-2021学年山东省青岛市即墨灵山中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．33参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质．【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求．【解答】解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==．故选D．2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=x2+1 B．y=|lgx| C．y=cosx D．y=e x﹣1参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】先判定函数的奇偶性、再确定函数是否存在零点．【解答】解：对于A，函数是偶函数，不存在零点，不正确；对于B，函数不是偶函数，不正确；对于C，既是偶函数又存在零点，正确；对于D，函数不是偶函数，不正确．故选C．3. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1参考答案：D略4. 双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程是（）A．y=±4x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的方程直接求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程是：y=±x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的求法，是基础题．5. 设，则（）A． B．C． D．参考答案：B6. 设复数，，则在复平面内对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：A7. 已知{a n}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不为零，得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．8. 从8名女生4名男生中，选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为参考答案：C略9.等差数列的公差d不为0，a1=9d，若a k是a1与a k-的等比中项，则k= （） A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：答案：B10. 复数满足，则= ( )A. B. C . D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】综合题．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．12. 已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=___.参考答案：-6本题考查了基底形式的向量运算，通过对向量的分解转化为基底的夹角，难度较小。
2020届山东省青岛即墨区高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2020届山东省青岛即墨区高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知向量()1,3a =-，(),1b m =，若向量a ，b 夹角为3π，则m =（ ） A ．33B ．3C ．0D ．3-【答案】A【解析】利用数量积的定义和数量积的坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】cos ,3a b a b a b m ⋅=⋅<>=-+，2=a ，21b m =+，1cos ,cos32a b π<>==213m m ∴+=-+，解得：33m =故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，涉及到数量积的定义和数量积的坐标运算，属于基础题.2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =（ ）A ．3144AB AD + B ．1142AB AD -+ C ．12AB AD + D ．3144AB AD + 【答案】B【解析】根据平面向量的加减法运算和数乘运算即可表示出结果. 【详解】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA=+=+=+-=+=+1124AD AB =-【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算. 3．在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2425B ．65C ．35D 【答案】A【解析】由任意角三角函数值的定义可求得sin ,cos αα，利用二倍角的正弦公式求得结果. 【详解】α终边与单位圆交于34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭ 4sin 5α∴=，3cos 5α=4324sin 22sin cos 25525ααα∴==⨯⨯=故选：A 【点睛】本题考查任意角三角函数值的定义、二倍角正弦公式的应用，属于基础题.4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠，长六尺，斩本一尺，重五斤，斩末一尺，重二斤，箠重几何？”意思是:“现有一根金杖，长6尺，一头粗，一头细，在最粗的一端截下1尺，重5斤；在最细的一端截下1尺，重2斤；问金杖重多少斤？”（设该金杖由粗到细是均匀变化的）（ ） A ．21 B ．18C ．15D ．12【答案】A【解析】根据金杖均匀变化可将问题转化为等差数列前6项和的求解问题，根据等差数列求和公式可计算得到结果. 【详解】设最细的一端截下的一尺重量为12a =斤，最粗的一端截下的一尺重量为65a =斤 金杖由粗到细是均匀变化 ∴每一尺的重量成等差数列∴金杖的重量为()166637212a a S +==⨯=斤 故选：A本题考查等差数列的实际应用问题，涉及到等差数列前n 项和公式的应用；关键是能够将问题转化为等差数列前n 项和的求解问题. 5．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ）A ．B ．C ．13D ．13-【答案】A【解析】将已知等式平方后，结合同角三角函数的平方关系可求得2sin cos θθ，进而得到()2sin cos θθ-；根据角的范围可确定sin cos θθ>，由此得到结果. 【详解】4sin cos 3θθ+=()216sin cos 12sin cos 9θθθθ∴+=+=，解得：72sin cos 9θθ=()272sin cos 12sin cos 199θθθθ∴-=-=-=,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos θθ∴> sin cos 3θθ∴-=故选：A 【点睛】本题考查利用同角三角函数平方关系求值的问题，易错点是忽略角所处的范围，造成符号求解错误.6．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1AB =，2AC =，若3BD DC =，AE AC AB λ=-，R λ∈，且1AD AE ⋅=，则λ的值为（ ）A ．213B ．1C ．311D ．813【答案】D【解析】由余弦定理可求得2BC ，根据勾股定理可知AB BC ⊥；利用平面向量的线性运算可将AD AE ⋅化为()22314AB BC λλ-+，从而构造出关于λ的方程，解方程求得结果. 【详解】由余弦定理得：2222cos 144cos603BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥ 0AB BC ∴⋅=()()()34AD AE AB BD AC AB AB BC AB BC ABλλλ⎛⎫∴⋅=+⋅-=+⋅+- ⎪⎝⎭()()()223391111444AB BC AB BC AB BC λλλλλλ⎛⎫⎡⎤=+⋅-+=-+=-+= ⎪⎣⎦⎝⎭813λ∴=故选：D 【点睛】本题考查根据平面向量数量积求解参数值的问题，涉及到余弦定理解三角形、向量垂直关系的向量表示、平面向量的线性运算和数量积的运算性质；关键是能够利用平面向量的线性运算，将已知数量积表示为已知模长和夹角的两向量的形式，进而构造方程求得结果.7．对于任意向量,a b ，下列关系中恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅<⋅B ．a b a b -≤-C ．()()22a b a b a b -⋅+=- D ．()()22a ba b +=-【答案】C【解析】根据向量数量积的定义和运算性质可判断出A 、D 错误、C 正确；根据向量减法的三角形法则可知B 错误. 【详解】A 中，当,a b 夹角为0或π时，a b a b ⋅=⋅，A 错误；B 中，当,a b 不共线时，由向量减法的三角形法则可知,,a b a b -构成三角形三边，此时a b a b -<-，B 错误；C 中，由数量积的运算性质知()()2222a b a b a b a b -⋅+=-=-，C 正确；D 中，()2222222cos ,a ba ab b a b a b a b +=+⋅+=++<>；成立D 错误.故选：C 【点睛】本题考查与平面向量相关的命题的辨析，涉及到平面向量数量积的定义及运算性质、向量减法的三角形法则等知识.8．在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上.若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则EF AP ⋅=（ ）A ．32B ．94-C ．52-D ．-3【答案】B【解析】以A 为原点建立平面直角坐标系，设DF x =，可根据平面向量的坐标运算表示出,AP AC ；由//AP AC 可构造方程求得x ，从而得到F 点坐标；根据平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】以A 为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系设DF x =，则()0,0A ，12,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，(),1F x ，()2,1C 32,2AP AE AF x ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，()2,1AC =//AP AC 23x ∴+=，解得：1x = 33,2AP ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又()1,1F 11,2EF ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 39344AP EF ∴⋅=-+=- 故选：B立平面直角坐标系的方式，利用平面向量的坐标运算来进行求解. 9．22cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B ．1sin 2x -C ．1cos2x -D ．-1【答案】B【解析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果. 【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111sin 2sin 21sin 22222x x x =-+-=- 故选：B 【点睛】本题考查利用降幂升角公式和诱导公式化简的问题，考查基础公式的应用. 10．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos αβ+=tan β=（ ） A ．2 BC ．23D ．79【答案】A【解析】根据同角三角函数关系可求得()tan αβ+，利用两角和差正切公式可求得结果. 【详解】,αβ均为锐角 ()0,αβπ∴+∈ ()sin αβ∴+==()()()sin tan 2cos αβαβαβ+∴+==-+()()()42tan tan 3tan tan 241tan tan 123αβαβαβααβα--+-∴=+-===⎡⎤⎣⎦++-⨯故选：A 【点睛】围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.二、多选题11．函数()()222cos sin f x x x x =--的图象为C ，如下结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 D ．由2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C 【答案】ABC【解析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；根据正弦型函数的最小正周期的求法可知A 正确；利用代入检验验证对称中心和单调区间的方法可知,B C 正确；由三角函数左右平移的原则可知D 错误.【详解】()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()f x 最小正周期22T ππ==，A 正确； 当12x π=时，()0f x = ()f x ∴关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 01212f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∴++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；当,123x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，20,62x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ()f x ∴在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，C 正确；将2sin 2y x =向右平移6π个单位长度得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.12．已知平面向量,,a b c 满足1a b c ===，若12a b ⋅=，则()()2a b b c -⋅-的值可能为（ ）A ．2-B ．3C ．0D ．【答案】ACD【解析】根据平面向量数量积的运算律可将所求数量积化为cos ,cos ,1b c a c <>-<>-，根据余弦函数的值域可求得()()[]23,1a b b c -⋅-∈-，依次判断各个选项是否在区间[]3,1-内，由此得到结果. 【详解】()()22221cos ,2cos ,a b b c a b a c bb c a c b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅=-<>-+<>cos ,cos ,1b c a c =<>-<>-[]cos ,1,1b c <>∈-，[]cos ,1,1a c <>∈- ()()[]23,1a b b c ∴-⋅-∈-[]23,1-∈-，[]33,1-，[]03,1∈-，[]3,1- ()()2a b b c ∴-⋅-的值可能为2,0,-故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，关键是熟练应用平面向量数量积的运算律将所求数量积进行化简.13．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =.现有ABC ∆满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC ∆的面积ABC S ∆=，请运用上述公式判断A ．ABC ∆周长为10+B ．ABC ∆三个内角A ，C ，B 成等差数列 C ．ABC ∆外接圆直径为3D ．ABC ∆中线CD的长为【答案】ABC【解析】利用正弦定理角化边可得三边比例关系，代入三角形面积公式可求得三边长，由此得到三角形周长，知A 正确；利用余弦定理求得3C π=，知B 正确；由正弦定理可求得外接圆直径长，知C 正确；利用中线定理求得中线长，知D 错误. 【详解】由正弦定理可得：::2:a b c =设2a m =，3b m =，c =()0m >2S ∴===2m = ABC ∆∴的周长为4610a b c ++=++=+，A 正确；由余弦定理得：2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯ 3C π∴=A B C π++= 23A B π∴+=，即2C A B =+ ,,A C B ∴成等差数列，B 正确；由正弦定理知外接圆直径为2sin 3sin 3c R C ===，C 正确； 由中线定理得：2222122a b c CD +=+，即2111636281922CD ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭CD ∴=D 错误.故选：ABC 【点睛】角形三边长；涉及到正弦定理角化边和解三角形的应用、余弦定理和中线定理的应用等知识.三、填空题14．已知向量()cos ,1a x =-，13sin ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎭，若//a b ，则a =__________.【答案】13【解析】根据向量平行的坐标表示可构造方程求得tan x ，利用同角三角函数关系可求得2cos x ，代入向量模长的公式可求得结果. 【详解】//a b 1cos 2x x ∴-=，即tan 6x =212cos 13x ∴=2cos a x ∴===【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到向量平行关系的坐标表示、同角三角函数值的求解；关键是明确两向量平行，则1221x y x y =.15．已知函数()21sin 2f x x ω=-，（0>ω）的最小正周期为2π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位0a >，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为___________；【答案】8π【解析】利用二倍角公式可整理得()1cos 22f x x ω=-，根据余弦型函数的最小正周期可求得函数解析式，根据三角函数平移变换可得到()()1cos 442f x a x a -=--，根据()f x a -图象关于原点对称可知42a k ππ=+，由此可求得a 的最小值.【详解】()211cos 211sin cos 22222x f x x x ωωω-=-=-=-()()1cos 442f x a x a ∴-=--()f x a -图象关于原点对称，即()f x a -为奇函数 42a k ππ∴=+，k Z ∈8a k ππ∴=+，k Z ∈，又0a > a ∴的最小值为8π 故答案为：8π 【点睛】本题考查根据三角函数部分知识的综合应用问题，涉及到二倍角公式化简三角函数、余弦型函数的周期性、三角函数平移变换和奇偶性的综合应用等知识；关键是明确当函数图象关于原点对称时，函数为奇函数，根据奇偶性可确定初相的值. 16．已知,a b 为单位向量，且12a b ⋅=，若2c a b =-，则cos ,a c <>=___________；【解析】由222c a b =-可求得c ，根据数量积的运算律可求得a c ⋅，代入向量的夹角公式可求得结果. 【详解】22222444213c a b a a b b =-=-⋅+=-+= 3c ∴=又()21322222a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅=-= 32cos ,13a c a c a c ⋅∴<>===⋅⨯故答案为：2【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，涉及到平面向量数量积和模长的求解问题；关键是能够应用平面向量数量积的运算律求得向量模长的平方，进而得到向量的模长.17．已知函数()()2cos210,f x x x x R ωωω=-->∈，若()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于(),1ω-对称，则函数()y f x =的最大值为__________，ω=___________.【答案】16【解析】利用辅助角公式化简函数为()2sin 216f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；由正弦型函数值域可确定()f x 值域，进而得到最大值；根据正弦型函数对称中心可构造方程求得2212k ππω=+；利用单调性可构造不等式组求得2ω的范围，进而确定2ω的值，从而得到结果. 【详解】()2cos 212sin 216f x x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x R ∈ []sin 21,16x πω⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭ ()[]3,1f x ∴∈-，即()max 1f x =()f x 关于(),1ω-对称 226k πωπ∴-=，k Z ∈ 2212k ππω∴=+，k Z ∈ ()f x 在(),ωω-内单调递增 2222622262k k ππωπππωπ⎧--≥-+⎪⎪∴⎨⎪-≤+⎪⎩，k Z ∈解得：26k πωπ≤-，k Z ∈且23k πωπ≤+，k Z ∈212πω∴=6ω∴=故答案为：1【点睛】本题考查正弦型函数的值域的求解、根据正弦型函数的单调性和对称中心求解参数值的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的性质，确定参数所满足的方程或不等关系，进而确定参数的值.四、解答题18．已知数列{}n a 为等比数列，且1112n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.（1）求公比q 和3a 的值；（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求证:121,1,n n a S a --+成等比数列. 【答案】（1）12，18（2）证明见解析【解析】（1）由已知等式可得22112n n n a a +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，两式作比可求得公比q ；令1n =得到2114a a -=-，从而求得1a ；根据等比数列通项公式求得3a ； （2）利用等比数列求和公式求得n S ，等比数列通项公式求得21n a -，从而可得到()21211n n S a a --+=，进而证得结论.【详解】（1）1112n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭22112n n n a a +++⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭21211111122n n n n n n n n n n a a a q a q q a a a a +--+++++--⎛⎫∴====⎪--⎝⎭又211111124a a a q a a -=-=-=- 112a ∴= 23118a a q ∴==（2）由（1）得：11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭- 1111122n n n S ⎛⎫⎛⎫∴-+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又112a =，212221112n n n a a q ---⎛⎫== ⎪⎝⎭21211124n nn a a -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又()2114nn S ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()21211n n S a a -∴-+= 121,1,n n a S a -∴-+成等比数列【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等比数列的证明问题，涉及到等比数列通项公式和前n 项和公式的应用；证明数列是等比数列的关键是能够证得中间数是前后两个数的等比中项.19．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积与ADC ∆面积比为35.（1）求sin sin CB；（2）若三边,,c b a 成等差数列，求角A . 【答案】（1）35（2）23π【解析】（1）利用三角形面积公式可表示出35ABD ADC S c S b ∆∆==，利用正弦定理边化角可得结果；（2）根据等差数列定义可得2b a c =+，由此可得到三边的比例关系；利用余弦定理可求得cos A ，进而求得角A . 【详解】（1）由三角形面积公式得：1sin 22ABD A S c AD ∆=⋅，1sin 22ADC A S b AD ∆=⋅ 1sin32215sin 22ABD ADC Ac AD S c A S b b AD ∆∆⋅∴===⋅ 由正弦定理得：sin 3sin 5C c B b == （2）,,c b a 成等差数列 2b a c ∴=+由（1）知：35c b =75a b ∴= ::7:5:3a b c ∴= 设7a m =，5b m =，()30c m m =>由余弦定理得：222222259491cos 22532b c a m m m A bc m m +-+-===-⨯⨯()0,A π∈ 23A π∴=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到三角形面积公式的应用、正弦定理边角转化、余弦定理解三角形等知识；关键是能够通过三边成等差数列得到三边的比例关系，进而利用余弦定理求得角的余弦值.20．在锐角三角形ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin cos sin cos C B a BB b A-=.（1）求A ； （2）求b c的取值范围.【答案】（1）3π（2）1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式和诱导公式可整理求得cos A ，进而得到角A ；（2）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可将b c整理为12tan 2C +，根据角C 的范围可求得tan C 的范围，进而得到b c的取值范围.【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin sin cos sin sin cos C B A BB B A -=sin cos 2sin sin cos A BC B A∴-=()()2sin cos sin cos sin cos sin sin sin C A A B B A A B C C π∴=+=+=-= ()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2A ∴= ()0,A π∈ 3A π∴=（2）由正弦定理得：()sin sin sin cos cos sin 1sin sin sin 2tan 2A C bB AC A C c C C C C ++====+ABC ∆为锐角三角形且3A π= ,62C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ tan C ⎫∴∈+∞⎪⎪⎝⎭(1tan C ∴∈ 11,222⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边角互化、两角和差公式和诱导公式化简、正切函数值域问题的求解等知识；求解边长比例关系问题的关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域问题的求解；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值域求解错误.21．设()()2sin sin cos 12f x x x x x π⎛⎫=+++-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期及()y f x =图象的对称轴方程； （2）讨论()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及最值. 【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为122k x ππ=+，k Z ∈；（2）()f x 在7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；()min 2f x =-()max 0f x =【解析】利用二倍角和辅助角公式整理函数为()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）根据正弦型函数2T ωπ=求得最小正周期；令232x k πππ+=+，解得x 即为所求对称轴方程；（2）由x 的范围得到22,233x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，求得3232x ππ+=时x 的值，结合正弦函数的性质可得到函数的单调性；根据单调性和正弦函数图象和确定最大值和最小值. 【详解】()22sin cos 2sin 22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-+=-=+- ⎪⎝⎭（1）()f x 最小正周期22T ππ== 令232x k πππ+=+，k Z ∈，解得：122k x ππ=+，k Z ∈ ()f x ∴对称轴方程为122k x ππ=+，k Z ∈ （2）5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 22,233x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦令3232x ππ+=，解得：712x π=()f x ∴在7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()min 7212f x f π⎛⎫∴==-⎪⎝⎭()max 22sin 03f x π== 【点睛】本题考查正弦函数最小正周期、对称轴、单调性和最值的求解问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的性质来求解正弦型函数的性质.22．已知{}n a 是各项为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n *∈N ，n b 是n a 和1n a +的等比中项．（1）设221n n n c b b +=-，n *∈N ，求证：{}n c 是等差数列；（2）若112a =，1d =，()211n n d n c *=∈-N ， （Ⅰ）求数列(){}21nnb -的前2n 项和2nS；（Ⅱ）求数列{}n d 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析(2) （Ⅰ）22n n +（Ⅱ）()41nn + 【解析】(1)根据等差数列定义即可证明；(2)(Ⅰ)求出数列{}n c 的通项，再利用并项求和即可得出2n S ；（Ⅱ）求出数列{}n d 的通项，再利用裂项求和即可得出n T . 【详解】（1）证明：∵n b 是n a 和1n a +的等比中项，∴21n n n b a a +=⋅，()2211211212n n n n n n n n n n n c b b a a a a a a a d a +++++++=-=⋅-⋅=⋅-=⋅，122n n c da ++=，()212122n n n n c c d a a d +++-=-=，n *∈N ，所以{}n c 是等差数列．（2）由（1）可得22222221234212n n n S b b b b b b -=-+-++-+()()()2222222143221n n b b b b b b -=-+-++-1321n c c c -=+++，（Ⅰ）知21n c n =+，数列(){}21nnb -的前2n 项和2nS；()22132134122n n n S c c c n n n -+-=+++=⋅=+．（Ⅱ）因为21n c n =+，()211n n d n c *=∈-N ， ∴()()221111111444141211n d n n n n n n n ⎛⎫===⋅=- ⎪+++⎝⎭+-，()11111111111142233414141n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差定义的应用，等差数列通项公式，数列求和的并项求和、裂项求和的应用，考查学生的计算能力，是中档题.23．平面内的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”；平面内的“向量列”{}n b ，如果10b ≠且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅，0q ≠，则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）若“向量列”{}n a 是“等比向量列”，用1b 和“公比”q 表示12n b b b ++⋅⋅⋅+；（2）若{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”()1,0d =，110,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q，11,12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),n n n b m k =.求1122n n b a b a b a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.【答案】（1）11,11,11n nb q q b q q ⎧=⎪⎨-⋅≠⎪-⎩（2）()11122n n --⋅+【解析】（1）利用等比数列求和公式整理可得结果；（2）利用“等差向量列”定义可求得n a ，利用“等比向量列” 定义可求得n b ，由此得到n n a b ⋅，利用错位相减法可求得n S .【详解】（1）()111211,11+1,11n n n nb q b b b b q q qq b q q -⎧=⎪++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⎨-⋅≠⎪-⎩（2）1(1)n a a n d =+-⋅ 1n x n ∴=-，12n y =，即()1,1,2n n n a x y n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭11n n b q b -=⋅，1122n n m -=⋅，12n n k -=，即()111,2,22n n n n n b m k --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭1112112222222n n n n n n n n a b n -----∴⋅=⋅+⋅=⋅=⋅令1122n n n S a b a b a b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅10121222322n n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅012121222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式相减得:1012122222n n n S n ----=+++⋅⋅⋅+-⋅()()1111212212122n n n n n ---=-⋅=-⋅-- ()11122n n S n -∴=-⋅+【点睛】本题考查数列中的新定义问题的求解，关键是明确所给新定义的本质是等差和等比数列的应用问题；涉及到等差和等比数列通项公式、等比数列求和公式的应用、错位相减法求解数列的前n 项和的问题.。
2020届山东省青岛市即墨区高三上学期期中教学质量检测地理试题及答案
绝密★启用前山东省青岛市即墨区2020届高三年级上学期期中教学质量检测地理试题2019年11月本试卷分笫I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。
考试时间90分钟，满分100分。
考生注意：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号和考生号等填写在试卷和答题卡规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题,共40分)一、本卷共20小题。
每小题2分,共40分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
甲图示意地球自转速度随纬度变化和乙图示意地球公转速度变化,读图回答1~2题。
1．当公转速度为N时A．松花江畔——稻穗沉甸甸B．澳大利亚悉尼——干旱少雨C．漠河市民——欢度“白夜”D．新西兰南部海域——冰山座座2．处于M点纬度的天文爱好者每天正午时刻观测太阳黑子活动情况,天文望远镜镜筒与地面的夹角最大约为A．16.5°B．36.5°C．53.5°D．83.5°下图为世界某区域示意图,T岛东北部全年高温多雨,据图回答3~4题。
3．1月份T岛东北部降水丰富,是因为该区域受A．东南信风控制B．赤道低气压带控制C．东北信风控制D．墨西哥湾暖流控制4．依据T岛的优势资源及条件,适宜发展A．甜菜制糖B．咖啡加工C．棉纺织业D．葡萄酒酿制下图为北半球大陆西岸某山地西坡各月降水量(单位：mm)随海拔高度分布图。
读图回答5~7题。
5．7月份,影响该地降水随海拔变化较小的主要原因A．低压控制气流上升B．副高控制气流下沉C．西风控制气流下沉D．反气旋控制气流上升6．该山麓地带发展经济作物的优势条件是A．温差较小B．光热充足C．风力较弱D．雨水较多7．在同纬度的大陆东岸分布的自然带是A．常绿阔叶林B．落叶阔叶林C．常绿硬叶林D．针叶林下图为都江堰水利工程示意图。
山东省青岛市即墨蓝村中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析
山东省青岛市即墨蓝村中学2020-2021学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是(B) (C)(D)D略2. 在复平面内，复数对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A3. 如图是一个算法的程序框图，当输入的x等于5时，其输出的结果是（）A． B．C．2 D．4参考答案：C4. 若关于x的不等式2－>|x－a| 至少有一个负数解，则a的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：A略5. 的单调减区间为（）A． B． C． D．参考答案：A略6. 已知函数f（x）=，若f（x）﹣（m+1）x≥0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．[﹣1，1] C．[0，2] D．[2，+∞）参考答案：B【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得f（x）≥（m+1）x，分别作出函数f（x）和直线y=（m+1）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，求出m=1，通过图象观察，即可得到所求m的范围．【解答】解：若f（x）﹣（m+1）x≥0，即有f（x）≥（m+1）x，分别作出函数f（x）和直线y=（m+1）x的图象，由直线与曲线相切于原点时，（x2+2x）′=2x+2，则m+1=2，解得m=1，由直线绕着原点从x轴旋转到与曲线相切，满足条件．即有0≤m+1≤2，解得﹣1≤m≤1．故选：B．【点评】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．7. 复数z满足，则z对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z满足==，则z对应的点位于复平面第一象限．故选：A．8. 设函数的最大值为,最小值为,则的值为、、、、参考答案：A由已知，令，易知为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为，，=，故选.9. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．10. 已知函数，则下列说法不正确的是A.函数的周期为B.函数的图像关于点对称C.将函数的图像向右平行移动个单位得到函数的图像D.函数的图像关于直线对称参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且，则．参考答案：略12. 函数的定义域为R ，且定义如下：（其中M 是实数集R的非空真子集），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足，则函数的值域为。
山东省青岛市即墨第四中学2020年高三数学理月考试题含解析
山东省青岛市即墨第四中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，若，则的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：D略2. 已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P 点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=( )A．B．C．﹣D．﹣参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP 和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ ）=c os∠xOP?cos∠xOQ﹣sin∠xOP?sin∠xOQ=﹣=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．3. 已知集合｛x｜x=2a,｝，则集合A．B．C．D．参考答案：D略4. 下面是关于复数的四个命题::,的共轭复数为的虚部为其中真命题为参考答案：C5. 某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（）A．5400种B．3000种 C.150种D．1500种参考答案：D6. 已知定义在的函数存在极值点，则的取值范围是（）参考答案：C7. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳参考答案：A【分析】根据折线图的数据，依次判断各个选项所描述的数据特点，得到正确结果。
2020年山东省青岛市即墨通济中学高三数学理测试题含解析
2020年山东省青岛市即墨通济中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知、，以为一腰作的直角梯形，且中点的纵坐标为1，若椭圆以、为焦点且经过点，则此椭圆的方程为（）参考答案：C2. 在平面直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足，当A、B、C三点构成直角三角形时，实数k的可能值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：答案：B3. 已知，则=A. B. C.- D.参考答案：C因为，所以，选C.4. 己知△ABC的外心、重心、垂心分别为O，G，H，若，则=（A）3 （B）2 （C）（D）参考答案：A5. 已知双曲线的离心率为2，则实数（）A. 2B.C.D. 1参考答案：D略6. 若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为( )A．3 B.4 C.5 D.6参考答案：A7. 已知集合，，则集合（）A．B．C．D．参考答案：D8. 执行下面的程序框图，若输出的S的值为63，则判断框中可以填入的关于i的判断条件是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【详解】执行框图如下：初始值：，第一步：，此时不能输出，继续循环；第二步：，此时不能输出，继续循环；第三步：，此时不能输出，继续循环；第四步：，此时不能输出，继续循环；第五步：，此时不能输出，继续循环；第六步：，此时要输出，结束循环；故，判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.9. 已知点P是直线上的动点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为（）A. 5B.C.D.参考答案：B【分析】平移，当直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值.【详解】设曲线上切点为到直线的距离为即的最小值为故答案为B【点睛】本题考查了曲线的切线问题，最小值问题，将距离的最小值转化到点到直线的距离是解题的关键.10. 二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积），三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积），应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度（）A． B． C. D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数定义在上，对任意的，已知，则_________.参考答案：1略12. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为参考答案：13. 设函数，则______.参考答案：略14. 用a，b，c表示空间三条不同的直线，α，β，γ表示空间三个不同的平面，给出下列命题：①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若b?α，b⊥β，则α⊥β；④若c是b在α内的射影，a?α且a⊥c，则a⊥b．其中真命题的序号是．参考答案：①③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间直线和平面，平面和平面之间垂直和平行的性质分别进行判断即可．解答：解：①根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a⊥α，b⊥α，则a∥b成立，故①正确；②垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故②错误．①③④解：①根据垂直于同一平面的两条直线互相平行即可得到若a⊥α，b⊥α，则a∥b成立，故①正确；②垂直于同一平面的两个平面不一定平行，有可能相交，故②错误．③根据面面垂直的判定定理知，若b?α，b⊥β，则α⊥β成立，故③正确，④∵c是b在α内的射影，∴在b上一点B作BC⊥α，则C在直线c上，则BC⊥a，∵a⊥c，∴a⊥平面BOC，则a⊥b，故④正确，故答案为：①③④点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，根据相应的判定定理和性质定理是解决本题的关键．15. 设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=．参考答案：2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】画正态曲线图，由对称性得c﹣1与c+1的中点是2，由中点坐标公式得到c的值．【解答】解：∵N（2，32）?，，∴，解得c=2，故答案为：2．【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．16. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为．参考答案：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△及其内切圆和外切圆，且两圆同圆心，即△的内心与外心重合，易得△为正三角形，由题意的半径为，∴△的边长为，∴圆锥的底面半径为，高为，∴．17. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为 .参考答案：-9三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2022-2023学年山东省青岛市即墨区高三(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年山东省青岛市即墨区高三（上）期中数学试卷1. 若复数为纯虚数，则实数m的值为( )A. 1B.C. 2D.2. 已知向量，，，若，则( )A. 3B.C. 2D.3. 如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为( )A.B.C.D.4. 若，且为第四象限角，则( )A. B. C. D.5. 要得到函数的图像，只需要将函数的图像( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值为( )A. 16B. 8C. 4D. 27.已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D.8. 已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为，则该正四棱锥的体积最大值为( )A. 18B.C.D. 279. 下列关于平面向量的命题正确的是( )A. 若，，则B. 两个非零向量垂直的充要条件是：C. 若向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上D.向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使10. 设函数，则下列结论正确的是( )A. 的周期是B. 的图像关于直线对称C. 在单调递减D. 在上的最小值为11. 已知正方体，则下列结论正确的是( )A. 平面与直线平行B. 平面与直线垂直C.平面与平面平行 D. 平面与平面垂直12. 数列依次为1，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，其中第一项为1，接下来三项为，再五项为，依次类推，记的前n项和为，则下列说法正确的是( )A.B. 为等差数列C.D. 对于任意正整数n都成立13. 已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是______.14. 已知非零单位向量，满足，则与的夹角余弦值为______.15. 公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为45，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为，则______.16. 已知四边形ABCD，为边BC边上上一点，连接交BD于，点满足，其中是首项为1的正项数列，，则的前n项______.17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，求的值；求的值．18. 已知数列，为的前n项和，，，证明：是等比数列；设，求数列的前n项和为19. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面PAB，，E 是AD的中点，M是PB的中点．证明：平面PCD；若，，求平面PCE与平面PBC夹角的余弦值．20. 已知函数，的图象经过点，周期为求的解析式；在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，的角平分线交AB于若恰为的最大值，且此时，求的最小值．21. 如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点．求证：；在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为①确定点F的位置；②求点C到平面PEF的距离．22.求数列的前2023项和答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数为纯虚数，则，解得故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：向量，，，，，，则故选：利用向量坐标运算法则和向量垂直的性质直接求解．本题考查向量坐标运算法则和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设，则，，，，，解得故选：根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，即可求解．本题主要考查平面向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：因为，且为第四象限角，所以，则故选：由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，所以只需将函数的图像向左平移个单位长度，即可得到函数的图像．故选：利用诱导公式化简，再根据函数图象的平移法则，得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握函数图象的平移法则，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：在各项均为正数的等比数列中，，则，等比数列各项均为正数，，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为故选：根据等比数列的性质，推得，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由，可得O为线段BC的中点，又O为的外接圆的圆心，则，设外接圆的半径为r，则，，，，则向量在向量上的投影向量为故选：由三点共线的向量表示可得O为线段BC的中点，推得为直角三角形，再由直角三角形的性质和一个向量在另一个向量上的投影向量的定义可得所求．本题考查直角三角形的判断和性质，以及一个向量在另一个向量上的投影向量的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长，高PO为h，外接球的球心为M，则，球的体积为，所以球的半径，在中，，所以正四棱锥的体积，整理为，，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，故选：根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可得，进而由体积公式转化为关于h的函数，利用导数求函数的最值．本题主要考查几何体的体积，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：对于A，当时，有，且，但不一定成立，错误；对于B，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，正确；对于C，若向量，与方向和大小都相同，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上，错误；对于D，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使，正确．故选：根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析与判断即可．本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．10.【答案】ACD【解析】解：函数，故的最小正周期为，故A正确；令，求得，不是最值，可得的图像不关于直线对称，在上，，函数单调递减，故C正确；在上，，故当时，函数取得最小值为，故D正确，故选：由题意，利用两角和的余弦公式化简函数的解析形式，再根据余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，，，，对于A，，平面，平面，平面，故正确；对于B，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，又，与不平行，则平面与直线不垂直，故错误；对于C，在正方体中，可得，，因为AC，平面，，平面，所以平面，平面，又因为，，平面，所以平面平面，故正确；对于D，，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，平面与平面不垂直，故错误．故选：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，，，，对于A，利用线面平行的判定定理，即可判断；对于B，根据平面的法向量为与不平行，即可判断；对于C，利用面面平行的判定定理，即可判断；对于D，根据平面与平面的法向量不垂直，即可判断．本题考查了直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题．12.【答案】CD【解析】解：设分母为1的数为第一组，分母为3的数为第二组，…，分母为的数为第n 组，则前n组数共有个数，对A选项，令，可得，为第8组最后一个数，，选项正确；对B选项，显然依次为1，3，3，3，5，5，5，5，5，7，7，7，7，7，7，7，…，显然不为等差数列，选项错误；对C选项，前项共有n组数，又每组数的和为1，前n组数的和为n，即，选项正确；对D选项，又A选项分析可知：，，选项正确．故选：根据归纳推理思想，等差数列的定义与通项公式，不等式思想，即可分别求解．本题考查归纳推理思想，等差数列的定义与通项公式，不等式思想，属中档题．13.【答案】【解析】解：因为在复平面内对应的点在第四象限，则，，解得故答案为：由已知结合复数的几何意义即可求解．本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设与的夹角为，，非零单位向量，满足，，，，，，故答案为：根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查平面向量的数量积公式，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：作出图形，如图所示：由题意得米，米，米，，，，在中，米，在中，米，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，两式相加得，即，在中，，，故答案为：作出图形，由题意得米，米，米，，，，利用余弦定理，即可得出答案．本题考查解三角形和余弦定理，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，，又B，，C三点共线，，，又，是以首项为4，公比为2的等比数列，，，又，，，又，，又，，故答案为：根据向量共线定理的推论，向量的线性运算，等比数列的定义与通项公式，分组求和法，等比数列的求和公式，即可求解．本题考查向量共线定理的推论，向量的线性运算，等比数列的定义与通项公式的应用，分组求和法的应用，等比数列的求和公式的应用，属中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理可得：，即，又因为，可得，，在三角形中，由余弦定理可得；在中，由可得，所以【解析】由题意和正弦定理可得a，c与b的关系，再由余弦定理可得B角的余弦值；由可得B的正弦值，再由两角差的正弦公式可得的正弦值．本题考查正余弦定理的应用及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．18.【答案】解：证明：为的前n项和，又，，，，，，又，，，，，又，是以2为首项，2为公比的等比数列；由可得，又，，，，，，【解析】根据化归转化思想，等比数列的定义，即可证明；先根据求出，从而可得，进而可得，最后再利用错位相减法，即可求解．本题考查化归转化思想，等比数列的定义，错位相减法求和，属中档题．19.【答案】解：证明：取PC的中点N，连接MN，DN，因为M，N分别为各边的中点，所以且，且，所以且，所以四边形DEMN为平行四边形，所以，所以面PCD，面PCD，所以面设，则，，因为，，因为面PAB，以AB中点O为原点，过点O和AD平行的直线为z轴，如图建立空间直角坐标系：，，，所以，，设是面PCE的一个法向量，则有，解得，是平面PBC的法向量，，，由图可知面PCE与面PBC夹角为锐角，所以面PCE与面PBC夹角的余弦值为【解析】取PC的中点N，连接MN，DN，由中位线定理可得且，进而可得，由线面平行的判定定理，即可得出答案．根据题意可得面PAB，以AB中点O为原点，过点O和AD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设是面PCE的一个法向量，则有，解得，是平面PBC的法向量，再计算，，即可得出答案．本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题中需要理清思路，属于中档题．20.【答案】解：由函数的周期为，知，因为函数图象经过点，所以，所以，，又，所以，故因为恰为的最大值，且，所以，所以，即，，因为，所以，因为的角平分线交AB于D，所以，因为，所以，即，化简得，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为【解析】由，可得的值，再由，求得的值，即可；由，可得，再结合角分线的性质定理与三角形面积公式，推出，即，然后利用“乘1法”，得解．本题考查解三角形与三角函数的综合，理解中，的几何意义，熟练掌握三角形面积公式与基本不等式中的“乘1法”是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】证明：取AB的中点O，连结PO，因为，所以，又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，所以底面ABCD，取CD的中点G，连结OG，则OB，OP，OG两两垂直，分别以OB，OG，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，所以，则，故，所以解：①由可知，，，，，，所以，，设，则，所以，设平面PEF的法向量为，则，令，则，故，所以，整理可得，解得，所以在BD上存在点F，使得直线AP与平面PEF所成角的正弦值为，此时点F为靠近点B 的三等分点，即；②由①知，，点C到平面PEF的距离【解析】取AB的中点O，连结PO，取CD的中点G，连结OG，利用面面垂直的性质定理证明OB，OP，OG两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；①设，则，即可得到的坐标，表示出平面PEF 的法向量，利用空间向量方程得到方程，解得即可；②根据点到平面的距离公式求解即可．本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．22.【答案】解：，又，，，，，又，是以首项为1，公比为2的等比数列，；由可得，，又，，，，，又，，，，，是周期为2的周期数列，，【解析】根据对数的运算，等比数列的定义与通项公式，即可求解；将的奇数项和转化为的和，再利用已知的递推关系，可得是周期为2的周期数列，从而利用等比数列求和公式及数列的周期性，即可求解．本题考查对数的运算，等比数列的定义与通项公式，化归转化思想，数列的周期，属中档题．。
山东省青岛即墨区2020届高三化学上学期期中教学质量检测试题
通电 山东省青岛即墨区2020届高三化学上学期期中教学质量检测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第Ⅰ卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡上交。
满分100分，考试时间90分钟。
注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
3．考试结束，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Al 27 Na 23 Cu 64 Fe 56第Ⅰ卷(选择题，共45分)一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．在《彰施·诸色质料》中记述了：“象牙色，栌木煎水薄染。
”“金黄色，栌木煎水染，复用麻蒿灰淋碱水漂。
”下列说法错误的是A ．上述记载内容说明植物染料色素在不同的酸碱介质中能产生平衡的移动B ．古代染色工匠凭经验进行调色，以达到染色的目的C ．栌木中的黄木素具有酸碱指示剂的性质D ．栌木中的黄木素在碱性介质中呈淡黄色2．厦门大学与华南理工在电催化合成氨研究取得重要进展。
如图所示，将Li +嵌入PEBCD 分子作为电极，该电极材料在电催化氮气还原合成氨的过程中具有极高的选择性，且反应可在常温常压下进行。
下列分析错误的是 A ．a 为直流电源的负极B ．电解过程中，电解质溶液中阳离子经质子交换膜向左侧烧杯移动C ．电路中通过2.4 mol e －时，阴极生成13.6g 气体，阳极生成13.44L 气体 D ．采用该原理合成氨的化学方程式为：2N 2+6H 2O 4NH 3+3O 2 3．下列离子方程式中，不能正确表达反应颜色变化的是 A ．澄清石灰水久置后出现白色固体Ca 2++2OH －+CO 2=CaCO 3↓+H 2OB ．向FeCl 3溶液中加入过量Na 2S 溶液，溶液中出现黑色沉淀2Fe 3++S 2－=2Fe 2++S ↓C ．向1L 0．4 mol ·L -1FeI 2溶液中通入11．2 L Cl 2(标准状况)，溶液变为黄色 2Fe 2++8I －+5Cl 2=2Fe 3+4I 2+10C1－D ．向Mg(OH)2悬浊液中滴加足量FeCl 3溶液出现红褐色沉淀 3Mg(OH)2+2Fe 3+=2Fe(OH)3+3Mg 2+4．室温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是 A ．0．1 mol ·L -1Na[A1(OH)]4溶液：NO 3一、HCO 3一、K +、NH 4+B ．12()110()c H c OH +--=⨯的溶液：SiO 32－,NO 3－,K +、Na +C ．pH=1的溶液：S 2O 32－、C1－、K +、Na +D ．0．1 mol ·L -1FeSO 4溶液：C1－、MnO 4－、K +、Mg 2+5．二聚环戊二烯(C 10H 12)是一种重要的化工原料，可由环戊二烯聚合而成。