电动力学_郭芳侠_电磁波的辐射 (1)
第五章 电磁波辐射1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是A ． 210A c t ϕ∂∇⋅-=∂ B. 210A c t ϕ∂∇⋅+=∂ C. 22210A c tϕ∂∇⋅+=∂ D. 222210A c tϕ∂∇+=∂答案：B2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生A ．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.B 4.B3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是 A ．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ．电磁场在传播时需要介质；C ．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；D ．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是 A ．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B5.严格的讲,电偶极辐射场的A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是A. 2πθ=;B. 4πθ=;C. 6πθ= D. πθ,0=答案：D7.电偶极辐射场的平均功率 A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C8.若一电流J =40ωcos x 't z e，则它激发的矢势的一般表示式为A =——————。
答案： ⎰''-'=v Z r v d e c r t x A )(cos 4040ωπμ9.变化电磁场的场量E 和B 与势（A 、ϕ）的关系是E =—————，B=—————。
答案： tAE ∂∂--∇=φ ,A B ⨯∇=10.真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅0P 不变，当辐射频率有由ω时变为3ω，则偶极辐射总功率由原来的p 变为—————。
答案：加速，81P 011.势的规范变换为='A ————，='φ————；答案：ψ∇+='A A ，t∂∂-='ψφφ12.洛仑兹规范辅助条件是————；在此规范下，真空中迅变电磁场的势ϕ满足的微分方程是——————.答案： 012=∂∂+⋅∇t c A φ ，022221ερφφ-=∂∂-∇tc ， 13.真空中一点电荷电量t q q ωsin 0=，它在空间激发的电磁标势为______________.答案： rc r t q 004)(sin πεωφ-=14.一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为λ,绕圆环的轴线以角速度ω匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为 . 答案： 零15.真空中某处有点电荷t i e q q ω-=0那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电荷电量等于 . 答案： )(0),(crt i eq t r q --=ω16.已知自由空间中电磁场矢势为A ，波矢为K，则电磁场的标势等于φ答案：A K c⋅=ωφ2,17.真空中电荷）（t Q 距场点m 6109⨯,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案： 0.17s18.电偶极子在 方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面19.稳恒的电流 (填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案：不会20.已知体系的电流密度(,)J x t ',则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 . 答案：(,)vJ x t dv '⎰21.短天线的辐射能力是由 来表征的,它正比于答案：辐射电阻 ,2()lλ22.真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了1R的高次项)之间的关系是 .答案： E c Bn =⨯ 23.电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有 .答案： 辐射压力24.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场．解: 将方程组中的电场、磁场、电流、分为无旋和无散两部分．据此，可将麦克斯韦方程组写成另外一种表达形式，进一步证明电场的无旋部分对应于库仑场．（1）以角标L 和T 分别代表纵场和横场两部分，则有L T E E E =+ L T B B B =+ L T J J J =+将E 、B 、J 的分解式分别代入真空中的麦克斯韦方程组中，得0001()()()0L T L T L T L T L T L T L T B B BE E E t t t E E DH B B J J J t t tD E E B B B εμερ⎫∂∂∂∇⨯=∇⨯+∇⨯=-=-=-⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪∇⨯=∇⨯+∇⨯=+=+++⎬∂∂∂⎪⎪∇⋅=∇⨯+∇⨯=⎪∇⋅=∇⨯+∇⨯=⎪⎭① ①式可近一步化简为00000,,0L TL T L TL L T T L T L T B B E E t t E E B J B J t t E E B B εμεμρε⎫∂∂∇⨯=-∇⨯=-⎪∂∂⎪⎪∂∂∇⨯=+∇⨯=+⎪∂∂⎬⎪∇⨯+∇⨯=⎪⎪⎪∇⨯+∇⨯=⎭②由纵场和横场定义，得00L T E E ∇⨯=∇⋅=00L T B B ∇⨯=∇⋅=00L TJ J ∇⨯=∇⋅= ③并且 1C εμ=④将③④两式代入②式，得02021100TT L T L T LL L B E tE E B J t c E B J tc ρεμμ∂ ∇⨯=-∂ ∇⨯=∂ ∇⨯=+∂∂= +=∂（2）以角标L 和T 代表纵场和横场，则电场分解为L T E E E =+，并且00T L E E ∇⋅= ,∇⨯= ，再由E ϕ=-∇（ϕ为标势），得 20()L T L E E E E ρϕϕε∇⋅=∇⋅+∇⋅=∇⋅=∇⋅-∇=-∇=⑤ 由L T E E E ∇⨯=∇⨯+∇⨯，有()0T E E ϕ∇⨯=∇⨯=∇⨯-∇= ⑥由⑤⑥式可知E 的纵场部分完全由ϕ描述，ϕ即为库仑规范，E 的纵场对应于库仑场．25.若φ,A 是满足洛伦兹规范的电磁势，证明当ψ满足012222=∂∂-∇tc ψψ，那么新的矢势和标势tA A ∂∂-='∇+='ψφφψ， 仍然满足洛伦兹规范。
证明:电磁势φ，A满足洛伦兹规范012=∂∂+⋅∇tc A φ (1)作规范变换 tA A ∂∂-='∇+='ψφφψ，则 222222111tc t c A t c A ∂∂-∇+∂∂-⋅∇=∂'∂+'⋅∇ψψφφ (2) 将(1)代入(2),可看出只要ψ满足012222=∂∂-∇tc ψψ则φ''，A满足洛伦兹规范条件: 012=∂'∂+'⋅∇tc A φ 26.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若ρ=0，J ＝0，则E 和B 可 完全由矢势A 决定．若取ϕ＝0，这时A 满足哪两个方程?证明 （1）若0ρ=，0J =，对线性各向同性均匀非导电介质中的单色波麦克斯韦方程组为BE t∂∇⨯=-∂ ① EB tμε∂∇⨯=-∂ ② 0E ∇⋅= ③ 0B ∇⋅= ④将B A =∇⨯,A E tϕ∂=-∇-∂ 代入场方程①～④中，并选择洛伦兹规范0A tϕμε∂∇⋅+=∂ ⑤ 得2222220,0A A t tϕμεϕμε∂∂∇⋅-=∇-=∂∂ ⑥对单色波(,)()i t A x t A x e ω-=,(,)()i t x t x e ωϕϕ-= ⑦代入⑤式中,得iA ϕμεω=-∇⋅ ⑧于是1()AE A B A tμεω∂=∇∇⋅-=∇⨯∂ ⑨ 可见在线性均匀非导电介质中，当0ρ=，0J =时，E 、B 完全由矢势A 决定．（2）若取0ϕ=，由⑤⑥两式变为22200AA t A με⎫∂∇⋅-=⎪∂⎬⎪∇⋅=⎭⑩上式便是此时A 满足得方程．27. 证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势()A ωτ表示，其中/t z c τ=-，A 垂直于z 轴方向．解题思路 由于AE tϕ∂=-∇∂,B A =∇⨯，再考虑沿z 方向传播的电磁波矢势A 解析表达式，找出于ϕ与A 的关系便可证明．证明: 利用上题中得到的自由空间矢势的方程222210AA c t∂∇-=∂ ①解得平面波解为()0i k x t A A e ω⋅-= ②由于平面波沿z 轴方向传播，故z K ke =，则②式可写为 ()()000(,)ci t i kz t iT zA A e A e A e A ωωωωτ----====根据洛伦兹规范210A tc ϕ∂∇⋅+=∂ 得22c ic A K A ϕωω=-∇⋅=-⋅由已知条件z A Ae =，故0ϕ= 因此 (,)AE i A tωωτ∂=-=∂,(,)B A ωτ=∇⨯ 易犯错误 不能抓住平面电磁波的特点，未应用沿轴传播这一特定条件． 引申拓展 求解此类题目时，将E 、B 用A 、ϕ表示出来，再已知条件下分析解析式A 、ϕ及其之间的关系即可． 28.设真空中矢势(,)A x t 可用复数傅里叶展开为(,)A x t =*[()()]ik x ik x k kka t e a t e ⋅⋅+∑， 其中*k a 是k a 的复共轭．(1)证明k a 满足谐振子方程2222()()0k k d a t k c a t dt+=． (3)把E 和B 用k a 和*k a 表示出来．证明: 已知矢势(,)A x t 的傅里叶展开式是不同频率平面波的线性叠加，因此矢势(,)A x t 满足齐次达朗贝尔方程，将(,)A x t 的展开式代入达朗贝尔方程，用规范辅助条件化简后便可得到要证明的结论．（1）由(,)A x t 为真空中矢势可知0ρ=，0J =若采用洛伦兹规范，则(,)A x t 满足达朗贝尔方程，即222210AA c t∂∇-=∂将(,)A x t 的复数傅里叶展开式代入上式，有2**2221()()()()0ik x ik x ik x ik x k k k k k k a t e a t e a t e a t e c t ⋅-⋅⋅-⋅∂⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤∇+-+=⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦∂⎩⎭⎩⎭∑∑ 即22**222221()()()()0ik xik xik x ik x k k k k kk d d k a t ek a t ea t e a t e c dt dt ⋅-⋅⋅-⋅⎡⎤⎡⎤---+=⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 要使上式恒成立，应有2222**221()()01()()0ik xik xk k ik x ik x k k d k a t e a t e c dtd k a te a t e c dt⋅⋅-⋅-⋅--=--= 整理以上两式，有22222**222()()0()()0ik x k k ik x k k d a t e c k a t dtd a te c k a t dt ⋅⋅+=+= 故结论得证．（2）若取0A ∇⋅=，0ϕ=(,)A x t ∇⋅=*[()()]0ik x ik x k kk a t e a t e ⋅⋅⎧⎫∇⋅+=⎨⎬⎩⎭∑ 即*()()0ik x ik x k k kk a t e k a t e ⋅-⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦∑ 为使上式恒成立，则有()0k k a t ⋅= *()0k k a t ⋅= （3）由（2）有：0k A ⋅=，且0ϕ=**[()()][()()]ik x ik x k k k ik x ik x k k kB A ik Aik a t e a t e ik a t e ik a t e ⋅⋅⋅⋅=∇⨯=⨯⎧⎫ =⨯+⎨⎬⎩⎭=⨯+⨯∑∑*22*()()()()k k ik x ik x k ik x ik x k k k A E td a t d a te e dt dt ick a t e a t e ⋅-⋅⋅-⋅∂=-∂⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦∑∑ 29.设A 和ϕ是满足洛伦兹规范的矢势和标势．(1)引入一矢量函数(,)Z x t (赫兹矢量),若令ϕ＝-Z ∇⋅，证明A ＝21Zc t∂∂． (2)若令P ρ=-∇⋅证明Z 满足方程 2202Z Z c P tμ∂∇-=-∂，写出 在真空中的推迟解．(3)证明E 和B 可通过Z 用下列公式表出， 20()E Z c P μ=∇⨯∇⨯-， 21B Z c t∂=∇⨯∂． 证明: 由题意可知：A 和ϕ满足洛伦兹规范，且ϕ＝Z ∇⋅，只需将A 、ϕ代入其规范，化简后便可得出A ＝21Zc t∂∂，当P ρ=-∇⋅时，将A 、ϕ、ρ代入它们满足的基本方程便可求证．综合（1）和（2），通过B A =∇⨯、A E tϕ∂=-∇-∂，便可得出E 和B 的表达形式．（1）矢势A 、标势ϕ满足洛伦兹规范210A tc ϕ∂∇⋅+=∂ ① 将(,)Z x t ϕ=-∇⋅代入①式，得21()0A Z tc ∂∇⋅-=∂ 可见A 与21Ztc ∂∂最多相差一个无散场0D ，可令00D =，有 21ZA tc ∂=∂ ②结论得证．（2）由A 、ϕ满足得方程可知20A t ρϕε∂∇+∇⋅=-∂ 若P ρ=-∇⋅，结合①、②两式可得到22011()()()z Z P t t c ε∂∂⎡⎤∇-∇⋅+∇⋅=-∇⋅⎢⎥∂∂⎣⎦化简，得22201()Z PZ c t ε∂∇⋅∇-∇⋅+=∂由c =220221()Z Z c P c tμ∂∇-∇⋅+=∇⋅∂ 即202201Z P Z c P c tμε∂∇⋅-=-=-∂ ③ 次方程于达朗贝尔方程形式完全相同，故推迟解''0(,)1(,)4rP x t c Z x t dv rπμ-=⎰ （3）将Z ϕ=-∇⋅，21ZA tc ∂=∂分别代入 B A =∇⨯，A E tϕ∂=-∇-∂ 可得到B A =∇⨯ =21Ztc ∂∇⨯∂ =21Z tc ∂∇⨯∂A E tϕ∂=-∇-∂ =21()()Z Z t tc ∂∂-∇-∇⋅-∂∂ =221()zZ c t∂∇∇⋅-∂ ④ 由∇算符运算公式2()()f f f ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇可将④化简为2221()E Z Z z c t ∂=∇⨯∇⨯+∇-∂ 再利用③式可得到20()E Z c P μ=∇⨯∇⨯-因此，有20()E Z c P μ=∇⨯∇⨯-21B Z tc ∂=∇⨯∂ 30.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和 磁偶极辐射都不会发生．证明: 将这两个粒子看作一个系统，运用质心坐标系，则系统的总动量为零，找出两个粒子的速度、位矢关系，根据电偶极矩、磁偶极矩的定义，只要证明，便不会产生偶极辐射．设两个粒子在质心中碰撞后的位矢为1'x 、2'x ，速度1v 、2v 分别为，质量为1m 、2m ，电荷量为1q 、2q ，质心系中系统总动量为零，即11220m v m v += ①由于1m =2m ，且相向而行，则有1v +2v =0 ②1'x =2'x系统的电偶极矩112212''('')0P q x q x q x x =+=+= 0P =所以不会产生电偶极矩辐射． 系统的磁偶极矩1'2m x Jdv =⨯⎰=11122211''22x q v x q v ⨯+⨯由于 11'//x v ，22'//x v 0m =，0m = 因此不会产生磁偶极矩辐射．31.证明荷质比相同的不同带电粒子 构成的体系不会产生偶极辐射.证明：设带电粒子体系有N 个粒子，第i 个粒子的质量为i m ，电荷电量为i e ，总质量为M ，体系电偶极矩：11NNii i i i i i i e P e x m x m ==''==∑∑ （1）在vc 的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心矢径为R ，111N Ni ii ii i Nii m x m x R Mm===''==∑∑∑即 1Ni i m x MR ='=∑ （2）将（2）代入（1）中，得iie P MR m =iie P MR m =由于系统不受外力，则质心加速度0R =，所以0P =，没有电偶极辐射。
电动力学_郭芳侠_电磁波的辐射 (1)
第五章 电磁波辐射1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是A ． 210A c t ϕ∂∇⋅-=∂ B. 210A c t ϕ∂∇⋅+=∂ C. 22210A c tϕ∂∇⋅+=∂ D. 222210A c tϕ∂∇+=∂答案：B2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生A ．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.B 4.B3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是 A ．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ．电磁场在传播时需要介质；C ．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；D ．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是 A ．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B5.严格的讲,电偶极辐射场的A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是A. 2πθ=;B. 4πθ=;C. 6πθ= D. πθ,0=答案：D7.电偶极辐射场的平均功率 A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C8.若一电流J =40ωcos x 't z e，则它激发的矢势的一般表示式为A =——————。
答案： ⎰''-'=v Z r v d e c r t x A )(cos 4040ωπμ9.变化电磁场的场量E 和B 与势（A 、ϕ）的关系是E =—————，B=—————。
答案： tAE ∂∂--∇=φ ,A B ⨯∇=10.真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅0P 不变，当辐射频率有由ω时变为3ω，则偶极辐射总功率由原来的p 变为—————。
电动力学 (郭硕鸿+第三版)11
要想学好电动力学，必须树立严谨 的学习态度和刻苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、 习题难解等。为此，在学习时要注意掌握好概念、原 理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和 总复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要在 数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相互 “翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内 容进行推导，并明确它们的物理意义和图象。 学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣带渐 宽终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天涯 路”，站得高，看得远。
麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831～1879)
生平简介：英国物理学家，1831年6月13日生于 英国爱丁堡的一个地主家庭，8岁时，母亲去世， 在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大 学，1850年转入剑桥大学研习数学，1854年以优 异成绩毕业于该校三一学院数学系，并留校任职。 1856年到阿伯丁的马里沙耳学院任自然哲学教授。 1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。 1865年辞去教职还乡，专心治学和著述。1871年 受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责筹建该 校的第一所物理学实验室——卡文迪许实验室， 1874年建成后担任主任。1879年11月5日在剑桥 逝世，终年只有49岁。 科学成就：电磁场理论和光的电磁理论，预言了电磁波的存在 ，1873 《电磁学通论》。他建立了实验验证的严格理论，并重复卡文迪许的实验， 他还发明了麦克斯韦电桥。运用数学统计的方法导出了分子运动的麦克斯 韦速度分布律，创立了定量色度学，负责建立卡文迪许实验室 。
爱因斯坦
1879-1955
20世纪最杰 出的科学家
爱因斯坦生于德国乌尔姆一个经营电器 作坊的小业主家庭。一年后，随全家迁 居慕尼黑。1894年，他的家迁到意大利 米兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州 立中学。1896年进苏黎世工业大学师范 系学习物理学，1900年毕业。1901年取 得瑞士国籍。1902年被伯尔尼瑞士专利 局录用为技术员，从事发明专利申请的 技术鉴定工作。他利用业余时间开展科 学研究，于1905年在物理学三个不同领 域中取得了历史性成就，特别是狭义相 对论的建立和光量子论的提出，推动了 物理学理论的革命。同年，以论文《分 子大小的新测定法》，取得苏黎世大学 的博士学位。
电动力学-第五章-电磁波辐射
频率越高，辐射场强越大。
3）辐射场振幅与R成反比，即辐射场随着R的增加而衰减。这个
衰减并不是介质损耗引起的，而是球面波波阵面的扩张所致。
4）辐射场不仅与距离有关，还随sin变化。在 =00或θ = 1800方
向上，辐射场为零；在 = 900方向上，辐射场有最大值。即
天线辐射具有方向性。
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物理与电子工程学院 张福恒
物理与电子工程学院 张福恒
电动力学
第五章 电磁波的辐射
电偶极射场有以下特性：
1）辐射场是沿径向方向传播的电磁波，E×H的方向为电磁波
传播方向；电场和磁场在空间各点同相位，且电场与磁场相
互垂直；在R为半径的球面上各点，电场相位相等，磁场相位
也同样相等，因此辐射场是球面TEM波。
2）辐射场强度与频率平方成正比，即在其它条件不变条件下，
电动力学
第五章 电磁波的辐射
§2 推迟势
电磁场的势实际上是四个相似的标量方程组。因此，只要求解 其中一个方程，其它方程的解也即可得到。我们首先求标势方 程的解。标势方程的解可用下面的方法求得。
见5-2附页
A(x,t) 0 J(x,t r / υ) dV
4 V
r
10
物理与电子工程学院 张福恒
d dt
R c
dp t
dt
0 4 Rc
d2 pt
dt
eR
17
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电动力学
而，
第五章 电磁波的辐射
E ( x, t )
ic k
B( x, t )
cB(x,t) eR
主这样，我们得到电偶极辐射场计算式：
电动力学第五章
电动力学A 刘克新第五章电磁波的辐射本章主要内容§1、电磁场的矢势和标势§2、推迟势§3、谐振电荷体系的电磁场§4、磁偶极辐射和电四极辐射§5、天线辐射§6、电磁场的动量§1. 电磁场的矢势与标势¾1. 矢势与标势定义¾2. 规范变换§2. 推迟势¾1. 点电荷在原点¾2. 更普遍情形§3. 谐振电荷体系的电磁场¾1. 谐振电荷体系的矢势¾2. 谐振电荷体系矢势展开¾3. 电偶极辐射电偶极辐射在不同时刻的E线分布03232d c cπεπΩ∴辐射功率随频率增加急剧增大。
0(2sin )d dP P d ππθθ=Ω∫42012p cμπω=220,12p c p μπ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠在电场的高次项中，仍有径向分量，但磁场只有横向分量，因此电偶极辐射是TM 波。
近似为TEM 波。
振荡电偶极子产生纯电偶极辐射。
近场区为电偶极子和电流元的似稳场（见上图）。
讨论：§4. 磁偶极和电四极辐射¾1. 磁偶极辐射的矢势¾2. 磁偶极辐射的电磁场和功率¾3. 电四极辐射的矢势¾4. 电四极辐射电磁场和辐射功率¾5. 辐射场的多极展开小结设一电流圈半径为a,电流振幅为I 0，角频率为ω,则系统的磁偶极矩振幅m=I 0πa 2, 辐射功率 磁偶极辐射功率比电偶极辐射功率小量级。
磁偶极辐射的电场分量正好与电偶极辐射场相反, 即偏振方向正好交换位置。
2)(λa42()0312m m Pc μωπ=0iaI p Qa ω==相应电偶极子振幅42()012E p Pcμωπ=22()()22m E m P a P c p λ⎛⎞=∝⎜⎟⎝⎠辐射功率之比：如右图所示的振荡电四极子，其电磁场和辐射功率如下：26D ql kk′= 22(2)D ql kk ii jj =−− 32(02sin cos 4i kr t i q B e e c r ωφωμθθπ−= ）32(0sin cos 4i kr t r i q E cB e e e c rωθωμθθπ−=×= ）624*2202321Re()sin cos 232rq l S E H e c rμωθθπ=×= 624222023sin cos 32r q l dP S e r d c μωθθπ=⋅=Ω62403sin 60q dPP d d d cμωθθφπ==Ω∫(2) 由于计算辐射场的势和场的运算都是线性的，因此可以把单独计算的各类辐射的结果简单相加得出最后的结果。
电动力学 郭硕鸿 第三版
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f g g f g f f g f g f g f g f g g f g f
7
3. 学生必修课程
物理学专业所有学生都 必须修读 《电动力学》。
8
4. 本课程主要内容
静电场、静磁场
（1）麦克斯韦方程 及其应用 平面电磁波的传播 电磁波的辐射 带电粒子和电磁 场相互作用
9
（2）狭义相对论
4. 本课程特点
(1) 数学运算形式相对较复杂， 尤其是矢量运算多，同时运用数 学物理方程
dz
dy
dz
y fy(x,y+dy,z)
fy(x,y,z)
x
f z x , y , z dz dy f y x , y , z dz
f z f y y z dydz
(rot f ) x
f dl yz dydz
V
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（4）矢量场的旋度
(rot f ) n lim
f dl S
S 0
围绕S的闭合曲线的法线方向
22
z
积分环路投影到yz平面
f dl f z x , y , z dy f y x , y dy , z dz
dy
fz(x,y,z+dz) fz(x,y,z)
f x x
f y y
f z z
dV
div f lim
f dS
V f x f y f z x y z
电动力学课件：5-1电磁辐射
即保证了
A
A ik A
只有横向分量，即
0
A
A横
，从而得到
B
E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
iA横
( A 0)
通过例子可看到：
库仑规范的优点是：它的标势 描述库 仑作
用，可直接由电荷分布 求出，它的矢势 A 只有
横向分量，恰好足够描述辐射电磁波的两种独立
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程
2 A
1 c2
2A t 2
0 J
2
1 c2
2
t 2
0
例：
试求单色平面电磁波的势
解:
单色平面电磁波在没有电荷，电流分布的自 由空间中传播，因而势方程（达朗贝尔方程在 Lorentz规范条件下）变为波动方程：
2
其解的形式为：
2
A
1 c2
1 c2
2
2
2A
t 2
与静电场引入电势、静磁场引入标势相 似，为了便于求解普适的场方程，在变化
情况下仍然可以引入势的概念。但是，由
于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、 标势与静场情况有很大的不同。
§5.1 电磁场的矢势和标势
一．用势描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论 电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。
（1）矢势的引 入
2
1 c2
2
t 2
0
证明：
A
1
A
1
1
2
( A
1
c2 t
) (2
1
2 ) 0
c2 t
c2 t 2
c 2 t c 2 t 2
电动力学_郭芳侠_电磁波的传播
第四章电磁波的传播1.电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t∂∂∇-=∇-=∂∂,只有在下列那种情况下成立A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 2.电磁波在金属中的穿透深度A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C3.能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A4.绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为A ．4π B.π C.0 D. 2π答案：C5.下列那种波不能在矩形波导中存在A ． 10TE B. 11TM C. m n TEM D. 01TE 答案：C6.平面电磁波E 、B、k 三个矢量的方向关系是A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B⨯沿矢量k 方向 C.B E ⨯的方向垂直于k D. k E⨯的方向沿矢量B 的方向答案：A7.矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A8．亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波 C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波 D. 介质中的一般电磁波 答案：C9.矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A10.色散现象是指介质的———————是频率的函数. 答案：,εμ11.平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为—————。
答案：S wv =12.平面电磁波在导体中传播时,其振幅为—————。
电动力学_郭芳侠_电磁波的传播 (1)
第四章 电磁波的传播1. 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
解：真空中的波动方程：22210E E c t →∂∇-=∂，22210B B c t →∂∇-=∂。
表明：①在0=ρ，0=→J 的自由空间，电场与磁场相互激发形成电磁波, 电磁波可以脱离场源而存在。
②真空中一切电磁波都以光速c 传播。
③适用于任何频率的电磁波,无色散.均匀介质中定态波动方程：222222221010E E v tB B v t∂∇-⋅=∂∂∇-⋅=∂，其中()v ω=。
当电磁场在介质内传播时，其ε与μ一般随ω变化，存在色散,在单色波情况下才有此波动方程。
亥姆霍兹方程：(220,0E k E k E i B Eωω⎧∇+==⎪⎪∇⋅=⎨⎪⎪=-∇⨯⎩表示以一定频率按正弦规律变化的单色电磁波的基本方程，其每个解都代表一种可能存在的波模。
2. 什么是定态电磁波、平面电磁波、平面单色波？分别写出它们的电场表示式。
从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
解：（1）定态电磁波：以一定频率作正弦振荡的波称为定态电磁波，即单色简谐波。
(,)()i t E x t E x e ω-=（2）平面电磁波：等相位面与波传播方向垂直且沿波矢量→K 传播的电磁波。
0()ik r E x E e ⋅=（3）平面单色波：以一定频率作正弦振荡的平面波称为平面单色波。
()0(,)i k r t E x t E e ω⋅-=3. 在0ω≠的定态电磁波情形麦氏方程组的形式如何？为什么说它不是独立的，怎样证明？不是独立的，是否等于说有的方程是多余的呢？试解释之。
解：定态电磁波情形麦氏方程组的形式为：00E i B B i E E B ωωμε⎧∇⨯=⎪∇⨯=-⎪⎨∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩......（1） (2)……（3）……（4） 对（1）和（2）取散度可得（3）(4)两式，所以它不独立。
复习课件-电动力学第五章 电磁波的辐射
t)
1]dV r
0
4
1 J (x,t)
dV
r
t const
J
( x, t ) r
dV
J (x,t) dS 0 Sr
1
c2
t
1
40c2
V
1 r
( x, t)
t
t t
dV
0 4
1 (x,t) dV
V r t
A
1
0
c2 t 4
1 [ J (x,t) (x,t)]dV 0
10
第五章第二节
推迟势
11
§5.2 推迟势
本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。
一. 标势和矢势的达朗伯方程的解
标势方程中
(x,
t)
为已知。若
(x,
t)
较
复杂，直接得到一般解比较困难。本节先
从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到
解。
12
1. 点电荷在空间激发的标势
设点电荷处于原点，(x,t) Q(t) (x)，考虑对称性
c2 t 2
c2 t c2 t 2
2
1 c2
2
t 2
0
7
三．达朗贝尔方程
1． 真空中的 达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
(
A
1 c2
)
t
0 J
2 ( A)
t
0
证明：将 B
斯韦方程： 并利用：
(
A
B
A)
0，(0EA)Et2 A0J得,At到达代 E朗入 的压力
24
B A
在变化电磁场情况，
《电动力学》讲义第05章电磁波的辐射
=
0
,
∇2ϕ −
1 c2
∂2ϕ ∂t2
=
0
∇
·
A+
1 c2
∂ϕ ∂t
=
0
A = A0 exp [i (k · x − ωt)] , ϕ = ϕ0 exp [i (k · x − ωt)]
ϕ0
=
c2 ω
k
· A0
=
cek
·
A0
B = ∇ × A = ik × A
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
=
−ik (cek
3 电偶极辐射
10
3.1 定域振荡源的辐射场 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 辐射场的划分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
⇒
E
+
∂A ∂t
=
−∇ϕ
一般而言： 【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义； 时变电磁场中，磁场和电场是相互耦合的整体：矢势和标势缺一不可！