垂直于弦的直径全解
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用
24.1.2(1.1)垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用一．【知识要点】1.作弦心距构造黄金三角形解题,基本模型：二．【经典例题】1.如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,AB=10,CD=8,那么AE的长为( )A.2B.3C.4D.53. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．若⊙O的半径为1，CD则∠ABC的度数是________．6.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.(1)当AB=10,CD=6时,求OE的长;(2)∠OCD的平分线交☉O于点P,连接OP.求证:OP∥CD.三．【题库】【A 】1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC ＝6，则水面宽AB ＝ （ ）A.8.B.10.C.12.D.16.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30º，⊙O的半径为3cm ， 求弦CD 的长. 3如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).A.4B.3C.2D.1AB CO【B 】1.如图,☉O 的直径AB=12,CD 是☉O 的弦,CD ⊥AB,垂足为P,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( ) A.42 B.82 C.25 D.452.如图,AB 是☉O 的弦,AB 长为8,P 是☉O 上一个动点(不与A,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C,OD ⊥PB 于点D,则CD 的长为_______________.3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，AE ＝4，则AD 的长为（ ）．A ．33B ．4C ．5D ．52【C 】1.如图,MN 为☉O 的直径,A,B 是☉O 上的两点,过A 作AC ⊥MN 于点C,过B 作BD ⊥MN 于点D,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB 的最小值是______________.【D】。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径简介在数学几何中，弦是圆上的线段，而直径是连接圆的两个点的线段，且经过圆心。
垂直于弦的直径指的是与弦互相垂直的直径。
本文将介绍垂直于弦的直径的性质和相关定理。
垂直于弦的直径的性质1.垂直性质：垂直于弦的直径与弦互相垂直。
也就是说，如果一条直径与一个弦相交，并且与这个弦的交点互相垂直，那么这条直径就是垂直于该弦的直径。
2.关于圆心的性质：垂直于弦的直径通过圆心。
由弦的性质可知，连接弦的两个端点和圆心的线段形成一个三角形，而垂直于弦的直径正好是这个三角形的高。
3.长度性质：垂直于弦的直径是所有以弦为直径的圆中最长的直径。
垂直于弦的直径的定理1.定理一：垂直于弦的直径平分弦如果一条直径垂直于计圆的一条弦，那么这条直径将会平分该弦。
即弦的两个端点到直径上的交点的距离相等。
2.定理二：以垂直于弦的直径为直径的圆相切于弦以垂直于弦的直径为直径的圆和原有的圆相切于弦的两个端点。
这意味着，以垂直于弦的直径为直径的圆与原有圆恰好有一个公共的切点。
3.定理三：垂直于弦的直径经过圆心垂直于弦的直径经过圆心，也就是说，垂直于弦的直径的两个端点和圆心三个点共线。
应用举例应用一：判定两条弦是否垂直对于给定的两条弦，如果它们的交点和圆心三点共线，那么这两条弦就垂直。
应用二：平分弦当我们需要将一条弦平分为两段时，可以通过构造垂直于弦的直径来实现。
只需在弦的中点上构造垂直于弦的直径，即可将弦平分为两段。
结论垂直于弦的直径在圆的几何性质中扮演着重要的角色。
它具有许多有趣的性质和定理，对于解决几何问题有着重要的作用。
通过理解垂直于弦的直径的性质，我们能够更深入地理解圆的几何特征，提升解题的能力。
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人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》知识全解
《垂直于弦的直径》知识全解课标要求1．经历圆的轴对称性和垂径定理及其推论的探索过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．会运用垂径定理及其推论解决一些证明、计算和作图问题．知识结构内容解析1．圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．在⊙O中，将圆周绕圆心O旋转任意一个角度，都能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心O；圆可以绕圆心作任意角度的旋转变换，经过圆心O的任意一条直线，并沿次直线⊙O对折，直线两旁的部分能完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．2．垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是直径的基本图形：这个定理的条件有两项：（1）CD是⊙O的直径，AB是弦；（2）CD⊥AB，垂足为E．定理的结论有三项：（1）AE=BE；（2）AD=BD；（3）AC=BC．理解垂径定理要注意以下四点：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其实质是“过圆心”；（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立；（3）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了思考的方法和理论依据；（4）垂径定理也可以这样理解：一条直线，如果它具有两个性质：①经过圆心；②垂直于弦，那么这条直线就具有另外三个性质：①平分弦；②平分弦所对的劣弧；③平分弦所对的优弧．3．垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是垂径定理推论的基本图形：其条件有两项：（1）AB过圆心O；（2）AB平分非直径的弦CD与点M，其结论有三项：（1）AB⊥CD于点M，（2）AC=AD；（3）BC=BD．方法规律：垂径定理的内容可以概括为五二三或知二推三，一条直线如果具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称“知二推三”．特别提醒：以上“知二推三”中（3）“平分弦”为条件时，弦一定不能是直径，若是直径，则结论不一定成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直；“平分弦”为结论时，弦包括直径，因为垂径定理中的弦就包括直径．重点难点本节的重点是：垂径定理及其应用．教学重点的解决方法：从日常生活现象入手，循序渐进，引导学生归纳出垂径定理的有关内容，借助对垂径定理的探究来归纳出垂径定理的基本图形，学生利用由易到难的练习来加深垂径定理的理解．本节的难点是：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学难点的解决方法：从生活中的垂径定理问题入手，让学生体会生活中的垂径定理的应用，并通过垂径定理的探究，逐步掌握垂径定理及其应用，最后通过课堂练习得到巩固．教法导引本节课采用的教学方法是“主体探究式”．整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证．令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理．学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人．学法建议圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题．另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识．由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章．。
垂直于弦的直径ppt课件
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
O
A
进一步，我们还可以得到结论：
B
E
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧。
•即：如果CD过圆心，且AE=BE
则CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
7
C
O
垂径定理：
A
M
B 由
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
D
推论：
O
由 ① CD是直径 可推得
在Rt △ AOE 中
AO2 OE2 AE2
·
O
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB= cm。 9
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
D
B
O
O
O
O
A
E
B
A
E
BA
EB
D
是
不是
是
D
不是
注意：定理中的两个条件（直 径，垂直于弦）缺一不可！
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·O
A
D
B
17
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
垂径定理讲解
垂径定律1.定义垂径定理（Vertical Theorem）的通俗表达是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
用数学语言表示，如果在一个圆中，直径DC垂直于弦AB于点E，则弦AB被点E平分（即AE=EB），且弦AB所对的两段弧AD和BD（包括优弧和劣弧）也被平分2.性质垂径定理包含多个重要的性质和推论，这些性质和推论在解决与圆相关的几何问题时非常有用。
1)基本性质：平分弦：垂直于弦的直径将弦平分为两段相等的部分。
平分弧：该直径还平分弦所对的两条弧，无论是优弧还是劣弧。
推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
这个推论是垂径定理的逆命题之一，它表明如果一条直径平分了一条非直径的弦，那么这条直径必然垂直于这条弦，并且平分弦所对的两段弧推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
这个推论进一步强化了垂径定理与圆的中心性质之间的联系，指出弦的垂直平分线不仅平分弦，还经过圆心，并平分弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
这个推论是垂径定理的另一种逆命题形式，它说明如果一条直径平分了弦所对的一条弧，那么这条直径也垂直平分这条弦，并平分弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
这个推论虽然不直接由垂径定理推导出来，但它与垂径定理共同构成了圆内线段和弧之间关系的重要框架。
平行弦的性质与垂径定理相结合，为解决复杂的圆内几何问题提供了有力工具。
3.数学证明垂径定理的证明通常依赖于圆的基本性质，如半径相等、等腰三角形的性质等。
以下是一个简化的证明过程：设⊙O为给定的圆，DC为⊙O的直径，AB为⊙O内的一条弦，且DC⊥AB于点E。
连接OA和OB。
由于OA和OB都是⊙O的半径，所以OA=OB。
△OAB是一个等腰三角形，因为两边相等（OA=OB）。
由于AB⊥DC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线重合。
圆中垂直于弦的直径
圆中垂直于弦的直径圆是数学中最基本的几何图形之一，它的形状美丽而神秘，被广泛应用于各个领域。
在圆的研究中，垂直于弦的直径是一项非常重要的性质，它不仅具有理论意义，还有许多实际应用。
垂直于弦的直径是指一条经过圆心且与给定弦垂直的直径。
在圆中，任意一条弦都有且只有一条垂直于它的直径。
这一性质可以用勾股定理来证明，即在直角三角形中，斜边上的高是斜边的中线。
垂直于弦的直径在几何学中有着广泛的应用。
首先，它可以用来解决圆的切线问题。
对于任意一条切线，它与圆的交点一定是垂直于以该点为圆心的直径。
因此，如果我们已知某个点在圆上，并且想要求出该点处的切线方程，我们只需要先求出以该点为圆心的直径，然后将切线方程与该直径垂直即可。
其次，垂直于弦的直径还可以用来解决圆的弦长问题。
对于任意一条弦，如果我们已知该弦的长度和与该弦垂直的直径长度，那么我们就可以求出该圆的半径和面积。
这一应用在工程学和物理学中尤为常见，例如在设计桥梁和建筑物时，我们需要计算圆柱体的体积和表面积，而这些问题都可以通过垂直于弦的直径来求解。
此外，垂直于弦的直径还可以用来解决圆锥曲线的问题。
圆锥曲线是指在平面上以一定点（焦点）为中心，以一定直线（直母线）为准线的曲线。
其中，椭圆和双曲线的焦点和准线都在同一直线上，而圆和抛物线的焦点和准线则不在同一直线上。
如果我们想要求解圆锥曲线的焦点和准线，就需要用到垂直于弦的直径的性质。
总之，垂直于弦的直径是圆的一个重要性质，它不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理学和工程学中有着实际的意义。
在实际应用中，我们可以通过这一性质来解决各种问题，从而更好地理解和应用圆的相关知识。