中考压轴题系列动态几何之面动形成的函数关系问题精选版

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中考数学专题8_动态几何和函数问题(附含答案解析)

中考数学专题8 动态几何与函数问题【例1】如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E.（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积.（2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式.【解】（1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==，； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线，∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为：()()112441222AB OC OA +⋅=+⨯=..... (3分) （2）当24t <<时，阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ∆的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系)∴1122S OD OE =-⋅∵142OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- .∴()()()21122441242S t t t =-⨯-⋅-=--284S t t =-+-.【例2】已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记O E F E C F S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =．1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33kE ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△2112S k k ∴=-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-，90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．EN EM MB MF ∴=，11414312311331412k k MB k k⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 94MB ∴=．D图1222MB BF MF +=，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =． 21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．【例3】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。

中考数学复习(二次函数) 专题34 动态几何之面动形成的最值问题(压轴题)-决胜中考数学压轴题全揭秘资料

专题34 动态几何之面动形成的最值问题（压轴题）-决胜中考数学压轴题全揭秘资料一、选择题二、填空题1. 图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE 重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为▲ cm，最大值为▲ cm．三、解答题【版江泰州元工作室所有，必究】权归苏锦数学邹强转载1. 在平面直角坐标系中，已知点A （－2，0），点B （0，4），点E 在OB 上，且∠OAE =∠OB A ．（1）如图①，求点E 的坐标；（2）如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B 、BE ′．①设AA ′=m ，其中0＜m ＜2，试用含m 的式子表示22A B BE '+'，并求出使22A B BE '+'取得最小值时点E ′的坐标；②当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标（直接写出结果即可）．2. ）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现P A=FC时，求∠P AB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．过点A作AG⊥BC于点G，则AG=12BC=32，∴PG=CG﹣CP=32﹣1=12。

专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题(预测题)-中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的函数关系和图象问题是动态几何中的基本问题，包括单动点形成的函数关系和图象问题，双（多）动点形成的函数关系和图象问题，线动形成的函数关系和图象问题，面动形成的函数关系和图象问题。

本专题原创编写线动点形成的函数关系问题模拟题。

线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并对线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

在中考压轴题中，线动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

原创模拟预测题1. 如下图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC=线l 垂直于BC ，且从经过点B 的位置向右平移，直至经过点C 的位置停止，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数关系式是▲ 。

【答案】。

【考点】动线问题的函数图象，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，分类思想的应用。

【分析】如图1，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足为E ，F ，()()()221x 0x 22S 2x 22x 41x 6x 104x 62⎧≤≤⎪⎪⎪=-≤⎨⎪⎪-+-≤⎪⎩＜＜∵等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD=2，BC=6，AB=DC=∴BE=EF=FC=2。

专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题(压轴题)

《中考压轴题》专题25：动态几何之线动形成的函数关系问题一、选择题1.如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是A. B. C. D.2.如图，一根长为5米的竹竿AB斜立于墙AC的右侧，底端B与墙角C的距离为3米，当竹竿顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致图象是A. B. C. D.3.如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是4、如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．5、如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．6、如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题1.如图，抛物线29y x bx2=++与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．三、解答题1.如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．B、C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为▲，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为▲，此时AE与BF的数量关系是▲；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．B、C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…（1）图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为▲，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为▲，此时AE与BF的数量关系是▲；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.4.如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和C．（1）求抛物线的解析式．（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，72），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．5.如图，抛物线2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H （t ，0）．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．6.如图所示，已知抛物线y=﹣2x 2﹣4x 的图象E ，将其向右平移两个单位后得到图象F ．（1）求图象F 所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F 和x 轴相交于点O 、点B （点B 位于点O 的右侧），顶点为点C ，点A 位于y 轴负半轴上，且到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离的2倍，求AB 所在直线的解析式．7.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为300．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转900得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y1x5=-垂直的直线l5的函数表达式．8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移2个单位后得到的抛物线的解析式．9.通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数ky(k0)x2=≠+的图象是由反比例函数ky(k0)x=≠的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图，已知反比例函数4yx=的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2，2）和点B．（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数4yx=的图象和直线AB同时向右平移n（n＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C′和l′，已知图象C′经过点M（2，4）．①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；③直接写出不等式4ax1x1≤--的解集．10.如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．11.抛物线y=﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y 轴交于点C，其顶点为D．（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△AB C相似，求点P的坐标．12.已知：抛物线C1：y＝x2。

专题24 动态几何之双(多)动点形成的函数关系问题(压轴题)

《中考压轴题》专题24：动态几何之双（多）动点形成的函数关系问题一、选择题1.如图1，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B-A-D-C和B-C-D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平房单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是A．当t=4秒时，S=43B．AD=4C．当4≤t≤8时，S=23t D．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD的面积2.如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为A．B．C．D，3.如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是A ．AE=6cmB ．4sin EBC 5∠=C ．当0＜t ≤10时，22y t 5=D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形4.如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22y t 5=；③直线NH 的解析式为5y t 272=-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒。

中考复习压轴题之动点产生的二次函数关系方法总结与例题提升练习(有答案)

动点产生的函数关系讲方法一、动点产生的函数关系主要分为以下两类1.几何图形中的函数关系；解题的关键是通过几何计算（勾股定理、锐角三角函数、相似）找到函数关系，或通过形状、位置的特殊性找到方程关系2.利用坐标系求出函数关系；这类问题主要是借助函数与几何的综合，得出新的函数关系，这类问题中较易出现符号错误，主要体现在长度与坐标之间转换时的符号问题.二、找函数关系时需要注意以下几个方面1.分析出有几个动点；2.动点的轨迹要明确；3.多动点时，还需明确是否步调一致，是否同时开始或同时停止；4.设元后，需在图上标出动点走过或剩下的路程，再根据实际问题列等量关系；5.求出的函数关系，要注意自变量的取值范围.学思路铺垫（山东菏泽改）如图，正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 、M 分别是线段BD 、AD 上的动点，连接AE 并延长，交边BC 于F ，过M 作MN⊥AF，垂足为H ，延长MN 交边AB 于点N.若点M 从点D 出发，以1cm/s 的速度沿DA 向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BD 向点D 运动，运动时间为t s.设BF=y cm ，求y 关于t 的函数解析式62t ， 2t. ②∵AD∥BC，∴△ADE∽△FBE，压轴题(2019• 天津二模)将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10.（1）如图①，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使点O落在AB边上的D 点，求E点的坐标.（2）如图②，在OA、OC边上选取适当的点E、F，将△EOF沿EF折叠，使O点落在AB边上D’点，过D’作D’G∥OA交EF于T点，交OC于G点，设T的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围.（3）在（2）的条件下，若OG=23，求D’TF的面积（直接写结果）答案提能力1.如图，已知△ABC为等腰直角三角，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，且CD=2，点E是线段BD上任意一点，以CE为边向左侧作正方形CEFG，EF交BC 于点M，连接BG交EF于点N（1）证明:△CAE≌△CBG（2）设DE=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值（3）当DE=22-2时，求∠BFE的度数2.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC= ,, 点E为线段BD 上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于点F，连接CE.设BE=x, y=（1）求BD的长（2）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围3.（沈阳中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8），点C的坐标为（-25，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间t秒（t>0），△OMN的面积为S.（1）填空:AB的长是_______,BC的长是_______（2）当t=3时，求S的值.（3）当3<t<6时，设点N的纵坐标为y，求y与x的函数关系式（4）若S= ，求此时t的值4、如图，在矩形ABCD中，AB=9AD=12、点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A-D-C-B-A运动一周到点A停止、当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，过点P作直线PQ⊥AP、与矩形的边的另一交点为Q、设点P的运动时间为t（秒）（1）连接PC，当t=2时，△PCQ的面积为_________（2）设QC的长为y，求y与t之间的函数关系式5、（江苏镇江中考）如图，在菱形ABCD中，AB=65，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角Q（Q=∠BCD），得到对应线段CF（1）求证:BE=DF（2）当t=______秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________（3）如图2，连接BD、EF、，BD交EC、EF于点P、Q。

中考数学压轴题专题十动态几何问题

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

专题25 动态几何之线动形成的函数关系问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)

一、选择题1．（2016浙江省温州市）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4，BC =2．P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE =1，连结CE ．P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是（）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小【答案】C ．【分析】设PD =x ，AB 边上的高为h ，想办法求出AD 、h ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解析】在RT△ABC 中，∵∠ACB =90°，AC =4，BC =2，∴AB =22AC BC +=2242+=25，设PD =x ，AB 边上的高为h ，h =AC BC AB ⋅=45，∵PD ∥BC ，∴PD AD BC AC =，∴AD =2x ，AP =5x ，∴S 1+S 2=12•2x •x +145(2515)2x --⋅=22524x x -+-=225(1)3x -+-，∴当0＜x ＜1时，S 1+S 2的值随x 的增大而减小，当1≤x ≤2时，S 1+S 2的值随x 的增大而增大．故选C ．考点：动点问题的函数图象．2．（2016湖北省荆门市）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P 从点A 出发，在正方形的边上沿A →B →C 的方向运动到点C 停止，设点P 的运动路程为x （cm ），在下列图象中，能表示△ADP 的面积y （cm 2）关于x （cm ）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解析】当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=12×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=12×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选A．考点：动点问题的函数图象．3．（2016湖北省鄂州市）如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A﹣B﹣M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s．设P点的运动时间为t（s），点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S（cm2），则描述面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象可以是（）A．B．C．D．【答案】A．【分析】分两种情况：①当0≤t＜4时，作O M⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90°，AD=AB=BC=4cm，A M=B M=O M=12AB=2cm，由三角形的面积得出S=12AP•O M=t（cm2）；②当t≥4时，S=△OA M的面积+梯形O M BP的面积=t（cm2）；得出面积S（cm2）与时间t（s）的关系的图象是过原点的线段，即可得出结论．考点：动点问题的函数图象．4．（2016甘肃省白银市）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】过A点作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=12BC=2，当0≤x≤2时，如图1，∵∠B=45°，∴PD=BD=x，∴y=12•x•x=212x；当2＜x≤4时，如图2，∵∠C=45°，∴PD=CD=4﹣x，∴y=12•（4﹣x）•x=2122x x-+，故选A．考点：动点问题的函数图象；分类讨论．5．（2016青海省）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时，△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象．考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．6．（2016青海省西宁市）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=34，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2B．12cm2C．9cm2D．3cm2【答案】C．【分析】先根据已知求边长BC，再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设△PBQ的面积为S，利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可．【解析】∵tan∠C=34，AB=6cm，∴6ABBC BC=34，∴BC=8，由题意得：A P=t，BP=6﹣t，BQ=2t，设△PBQ的面积为S，则S=12×BP×BQ=12×2t×（6﹣t），S=26t t-+=2(3)9t--+，P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，∴当t=3时，S有最大值为9，即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；故选C．考点：解直角三角形；二次函数的最值；最值问题；动点型．7．（2016青海省西宁市）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C． D．【答案】A．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解析】作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，∵∠AOB=∠ADC，∠OAB=∠DAC，AB=AC，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A 到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选A．考点：动点问题的函数图象．8．（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数；3．分类讨论；4．压轴题．9．（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA 运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】C．考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数．10．（2015邵阳）如图，在等腰△ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C 点，直线l与△ABC的边相交于E、F两点．设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y 与t的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【答案】B．考点：1．动点问题的函数图象；2．数形结合．11．（2014年甘肃兰州4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（）A． B． C． D．【答案】D．【考点】1．动点问题的函数图象；2．正方形的性质；3．二次函数的性质和图象；4．分类思想的应用．【分析】根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象：①当0≤t≤4时，S=12×t×t=12t2，即S=12t2，该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；②当4＜t ≤8时，S =16﹣12×（t ﹣4）×（t ﹣4），即S =﹣12t 2+4t +8，该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．故A 错误．故选D ． 12．（2014年内蒙古赤峰3分）如图，一根长为5米的竹竿AB 斜立于墙AC 的右侧，底端B 与墙角C 的距离为3米，当竹竿顶端A 下滑x 米时，底端B 便随着向右滑行y 米，反映y 与x 变化关系的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【考点】1．动线问题的函数问题；2．勾股定理；3．排他法的应用．【分析】应用排他法解题：∵AB =5，BC =3，∴由勾股定理，得AC =4∴如答图，11A C 4x,CB 3y =-=+ .∵2221111A B A C CB =+，∴()()22254x 3y =-++ .∴y 与x 的变化关系不是一次函数的关系，选项B ，C 错误．故选A ．二、填空题三、解答题13．（2016黑龙江省龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 在x 轴的正半轴上．∠OAB =90°且OA =AB ，OB ，OC 的长分别是一元二次方程211300x x -+=的两个根（OB ＞OC ）．（1）求点A 和点B 的坐标．（2）点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O ，B 重合），过点P 的直线l 与y 轴平行，直线l 交边OA或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ．设点P 的横坐标为t ，线段QR 的长度为m ．已知t =4时，直线l 恰好过点C ．当0＜t ＜3时，求m 关于t 的函数关系式．（3）当m=3.5时，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）A （3，3）， B （6，0）；（2）m=74t （0＜t ＜3）；（3）P （2，0）或（235，0）．（3）利用待定系数法求出直线AB 的解析式为y =﹣x +6，直线BC 的解析式为392y x =-，然后分类讨论：当0＜t ＜3时，利用74t =3.5可求出t 得到P 点坐标；当3≤t ＜4时，则Q （t ，﹣t +6），R （t ，34-t ），于是得到﹣t +6﹣（34-t ）=3.5，解得t =10，不满足t 的范围舍去；当4≤t ＜6时，则Q （t ，﹣t +6），R （t ，392t -），所以﹣t +6﹣（392t -）=3.5，然后解方程求出t 得到P 点坐标．【解析】（1）∵方程211300x x -+=的解为1x =5，2x =6，∴OB =6，OC =5，∴B 点坐标为（6，0），作A M⊥x 轴于M ，如图，∵∠OAB =90°且OA =AB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，∴O M=B M=A M=12OB =3，∴A 点坐标为（3，3）；（2）作CN ⊥x 轴于N ，如图，∵t =4时，直线l 恰好过点C ，∴ON =4，在Rt△OCN 中，CN =22OC ON -=2254-=3，∴C 点坐标为（4，﹣3），设直线OC 的解析式为y =kx ，把C （4，﹣3）代入得4k =﹣3，解得k =34-，∴直线OC 的解析式为34y x =-，设直线OA 的解析式为y =ax ，把A （3，3）代入得3a =3，解得a =1，∴直线OA 的解析式为y =x ，∵P （t ，0）（0＜t ＜3），∴Q （t ，t ），R （t ，34-t ），∴QR =t ﹣（34-t ）=74t ，即m=74t （0＜t ＜3）；（3）设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A （3，3），B （6，0）代入得：3360p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得：16p q =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为y =﹣x +6，同理可得直线BC 的解析式为392y x =-；当0＜t ＜3时，m=74t ，若m=3.5，则74t =3.5，解得t =2，此时P 点坐标为（2，0）；当3≤t ＜4时，Q （t ，﹣t +6），R （t ，34-t ），∴m=﹣t +6﹣（34-t ）=14-t +6，若m=3.5，则14-t +6=3.5，解得t =10（不合题意舍去）；当4≤t ＜6时，Q （t ，﹣t +6），R （t ，392t -），∴m=﹣t +6﹣（392t -）=52-t +15，若m=3.5，则52-t +15=3.5，解得t =235，此时P 点坐标为（235，0），综上所述，满足条件的P 点坐标为（2，0）或（235，0）．考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；压轴题．14．（2016山东省青岛市）已知：如图，在矩形ABCD 中，Ab =6cm ，BC =8cm ，对角线AC ，BD 交于点0．点P 从点A 出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF ∥AC ，交BD 于点F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜6），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？（2）设五边形OECQF 的面积为S （cm 2），试确定S 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t为258或5；（2）2131232S t t=-++；（3）t=92；（4）t=2.88．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作P M⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=258，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）作EH⊥AC于H，Q M⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出Q M，FQ，根据图形的面积即可得到结论；（3）根据题意列方程得到t的值，于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解析】（1）∵在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，∴AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作P M⊥AO，∴A M=12AO=52，∵∠P MA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△AP M∽△ADC，∴AP AMAC AD=，∴AP=t=258，②当AP=AO=t=5，∴当t为258或5时，△AOP是等腰三角形；（2）作EH⊥AC于H，Q M⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，在△APO与△CEO中，∵∠PA O=∠ECO，AO=OC，∠AOP=∠COE，∴△AOP≌△COE，∴CE=AP=t，∵△CEH∽△ABC，∴EH CEAB AC=，∴EH=35t，∵DN=AD CDAC⋅=245，∵Q M∥DN，∴△CQ M∽△CDN，∴QM CQDN CD=，即62465QM t-=，∴Q M=2445t-，∴DG=2424455t--=45t，∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，∴FQ DGOC DN=，∴FQ=56t，∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF =13152445(5)25265tt t-⨯⨯++⋅=2131232t t-++，∴S与t的函数关系式为2131232S t t=-++；（3）存在，∵S△ACD=12×6×8=24，∴S五边形OECQF：S△ACD=（2131232t t-++）：24=9：16，解得t=92，t=0，（不合题意，舍去），∴t=92时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16；（4）如图3，过D作DM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∵∠POD=∠COD，∴DM=DN=245，∴ON=O M=22OD DN-=75，∵OP•DM=3PD，∴OP=558t-，∴P M=18558t-，∵222PD PM DM=+，∴22218524(8)()()585t t-=-+，解得：t≈15（不合题意，舍去），t≈2.88，∴当t=2.88时，OD平分∠COP．考点：四边形综合题；动点型；分类讨论；存在型；压轴题．15．（2016内蒙古赤峰市）（12分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）【答案】（1）证明见解析；（2）t3（3）2269tyt=+．【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可；（2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可．考点：相似形综合题；动点型．16．（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求m 的取值范围；（3）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【答案】（1）224y x x =-++，M （1，5）；（2）2＜m ＜4；（3）P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．【分析】（1）将点A 、点C 的坐标代入函数解析式，即可求出b 、c 的值，通过配方法得到点M 的坐标；（2）点M 是沿着对称轴直线x =1向下平移的，可先求出直线AC 的解析式，将x =1代入求出点M 在向下平移时与AC 、AB 相交时y 的值，即可得到m 的取值范围；（3）由题意分析可得∠M CP =90°，则若△P CM 与△BCD 相似，则要进行分类讨论，分成△P CM∽△BDC 或△P CM∽△CDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．【解析】（1）把点A （3，1），点C （0，4）代入二次函数2y x bx c =-++，得：23314b c c ⎧-++=⎨=⎩ 解得：24b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为224y x x =-++，配方得2(1)5y x =--+，∴点M 的坐标为（1，5）；（2）设直线AC 解析式为y =kx +b ，把点A （3，1），C （0，4）代入得：314k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =﹣x +4，如图所示，对称轴直线x =1与△ABC 两边分别交于点E 、点F ．把x =1代入直线AC 解析式y =﹣x +4解得y =3，则点E 坐标为（1，3），点F 坐标为（1，1），∴1＜5﹣m ＜3，解得2＜m ＜4；（3）连接M C ，作M G ⊥y 轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为（0，5）．∵M G =1，GC =5﹣4=1，∴M C 22MG CG +2211+2y =5代入y =﹣x +4解得x =﹣1，则点N 坐标为（﹣1，5），∵NG =GC ，G M=GC ，∴∠NCG =∠G CM=45°，∴∠N CM=90°，由此可知，若点P 在AC 上，则∠M CP =90°，则点D 与点C 必为相似三角形对应点．①若有△P CM∽△BDC ，则有MC CD CP BD =，∵BD =1，CD =3，∴CP =MC BD CD ⋅=213=23，∵CD =DA =3，∴∠DCA =45°，若点P 在y 轴右侧，作PH⊥y 轴，∵∠PCH =45°，CP =23，∴PH=22313，把x =13代入y =﹣x +4，解得y =113，∴P 1（13，113）；同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把x =13-代入y =﹣x +4，解得y =133，∴P 2（13-，133）； ②若有△P CM∽△CDB ，则有MC BD CP CD =，∴CP =231=32PH=322=3；若点P 在y 轴右侧，把x =3代入y =﹣x +4，解得y =1；若点P 在y 轴左侧，把x =﹣3代入y =﹣x +4，解得y =7∴P 3（3，1）；P 4（﹣3，7），∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．考点：二次函数综合题；二次函数图象及其性质；分类讨论；动点型；平移的性质；二次函数图象与几何变换；压轴题．17．（2016湖北省襄阳市）如图，已知点A 的坐标为（﹣2，0），直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点C ，连接AC ，顶点为D 的抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线的对称轴DE 交线段BC 于点E ，P 是第一象限内抛物线上一点，过点P 作x 轴的垂线，交线段BC 于点F ，若四边形DEFP 为平行四边形，求点P 的坐标；（3）设点M 是线段BC 上的一动点，过点M 作M N ∥AB ，交AC 于点N ，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向点A 运动，运动时间为t （秒），当t （秒）为何值时，存在△Q M N 为等腰直角三角形？【答案】（1）B （4，0），C （0，3），233384y x x =-++，D （1，278）；（2）P （3，158）；（3）t =83或143或72．【分析】（1）分别令y =0和x =0代入334y x =-+即可求出B 和C 的坐标，然后设抛物线的交点式为y =a （x +2）（x ﹣4），最后把C 的坐标代入抛物线解析式即可求出a 的值和顶点D 的坐标；（2）若四边形DEFP 为平行四边形时，则DP ∥BC ，设直线DP 的解析式为y =m x +n ，则m=34-，求出直线DP 的解析式后，联立抛物线解析式和直线DP 的解析式即可求出P 的坐标；【解析】（1）令x =0代入334y x =-+ ∴y =3，∴C （0，3），令y =0代入334y x =-+，∴x =4，∴B （4，0），设抛物线的解析式为：y =a （x +2）（x ﹣4），把C （0，3）代入y =a （x +2）（x ﹣4），∴a =38-，∴抛物线的解析式为：y =38-（x +2）（x ﹣4），即233384y x x =-++，∴顶点D 的坐标为（1，278）；（2）当DP ∥BC 时，此时四边形DEFP 是平行四边形，设直线DP 的解析式为y =m x +n ，∵直线BC 的解析式为：334y x =-+，∴m=34-，∴34y x n =-+，把D （1，278）代入34y x n =-+，∴n =338，∴直线DP 的解析式为33348y x =-+，∴联立：23338433348y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：x =3或x =1（舍去），∴把x =3代入33348y x =-+，y =158，∴P 的坐标为（3，158）；②如图2，当∠Q NM=90°时，∵QB =t ，∴点Q 的坐标为（4﹣t ，0）∴令x =4﹣t 代入332y x =+，∴y =9﹣32t ，∴N （4﹣t ，9﹣32t ），∵M N ∥x 轴，∴点M 的纵坐标为9﹣32t ，∴令y =9﹣32t 代入334y x =-+，∴x =2t ﹣8，∴M（2t ﹣8，9﹣32t ），∴M N =（2t ﹣8）﹣（4﹣t ）=3t ﹣12，∵NQ ∥OC ，∴△AQN ∽△AOC ，∴NQ AQ OC OA =，∴NQ =9﹣32t ，当NQ =M N 时，∴9﹣32t =3t ﹣12，t =143，∴此时QB =143，符合题意； ③如图3，当∠NQ M=90°，过点Q 作QE ⊥M N 于点E ，过点M 作M F ⊥x 轴于点F ，设QE =a ，令y =a 代入334y x =-+，∴x =4﹣43a ，∴M（4﹣43a ，a ），令y =a 代入332y x =+，∴x =23a ﹣2，∴N （23a ﹣2，0），∴M N =（4﹣43a ）﹣（23a ﹣2）=6﹣2a ，当M N =2QE 时，∴6﹣2a =2a ，∴a =32，∴M F =QE =32，∵M F ∥OC ，∴△B M F ∽△BCO ，∴MF BF OC OB =，∴BF =2，∴QB =QF +BF =32+2=72，∴t =72，此情况符合题意．综上所述，当△Q M N 为等腰直角三角形时，此时t =83或143或72．考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；压轴题．18．（2016甘肃省天水市）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且B （1，0），C （0，3），将△BOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，C 点恰好与A 重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P 为线段AB 上的任一动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连结CP ，求△PCE 面积S 的最大值；（3）设抛物线的顶点为M ，Q 为它的图象上的任一动点，若△O M Q 为以O M 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标．【答案】（1）223y x x =--+；（2）S △PCE 的最大值为32；（3）Q （91378-+，813732），或（91378-，5913732-）．【分析】（1）先求出点A 坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出S △PCE =S △PBC ﹣S △PBE ，即可求出最大面积；（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q 坐标．【解析】（1）∵B （1，0），C （0，3），∴OB =1，OC =3．∵△BOC 绕点O 按逆时针方向旋转90°，C 点恰好与A 重合，∴OA =OC =3，∴A （﹣3，0），∵点A ，B ，C 在抛物线上，∴93009a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，∴123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为223y x x =--+；（2）设点P （x ，0），则PB =1﹣x ，∴S △PBE =23(1)8x -，∴S △PCE =S △PBC ﹣S △PBE =12PB ×OC ﹣23(1)8x -=213(1)3(1)28x x -⨯--=233(1)82x --+，当x =1时，S △PCE 的最大值为32．（3）∵二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△O M Q 为等腰三角形，O M 为底，∴M Q =OQ ，∴222(1)(234)x x x ++--+-=222(23)x x x +--+，∴281870x x +-=，∴x =9137-±，∴y =8137+或y =59137-，∴Q （9137-+，8137+），或（9137--，5913732-）．考点：二次函数综合题；动点型；旋转的性质；最值问题；二次函数的最值；综合题．19．（2016福建省漳州市）（满分12分）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M 作M N //y 轴交直线BC 于点N ，求线段M N 的最大值；（3）在（2）的条件下，当M N 取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使△PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243y x x =-+；（2）94；（3）（2，12）、（2142）、（2，142-）、（2317-）或（2，317+．【分析】（1）由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M 的坐标以及直线BC 的解析式，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，结合点M 的坐标即可得出点N 的坐标，由此即可得出线段M N 的长度关于m 的函数关系式，再结合点M 在x 轴下方可找出m 的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P 的坐标为（2，n ），结合（2）的结论可求出点N 的坐标，结合点N 、B 的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN 、PB 、BN 的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n 值，从而得出点P 的坐标．【解析】（1）将点B （3，0）、C （0，3）代入抛物线c bx x y ++=2中，得0933b c c =++⎧⎨=⎩：，解得：43b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）设点M 的坐标为（m ，243m m -+），设直线BC 的解析式为y =kx +3，把点点B （3，0）代入y =kx +3中，得：0=3k +3，解得：k =﹣1，∴直线BC 的解析式为y =﹣x +3．∵M N ∥y 轴，∴点N 的坐标为（m ，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为243y x x =-+=2(2)1x --，∴抛物线的对称轴为x =2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m ＜3．∵线段M N =﹣m+3﹣（243m m -+）=23m m -+=239()24m --+，∴当m=32时，线段M N 取最大值，最大值为94；（3）假设存在．设点P 的坐标为（2，n ）．当m=32时，点N 的坐标为（32，32），∴PB =22(23)(0)n -+-=21n +，PN =2233(2)()22n -+-，BN =2233(3)(0)22-+-=322． △PBN 为等腰三角形分三种情况：综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使△PBN 是等腰三角形，点的坐标为（2，12）、（2，142）、（2，14-）、（2，317-）或（2，317+）．考点：二次函数综合题；分类讨论；动点型；最值问题；二次函数的最值；存在型；压轴题．20．（2016黑龙江省哈尔滨市）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线22y ax ax c =++经过A （﹣4，0），B （0，4）两点，与x 轴交于另一点C ，直线y =x +5与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP ，过点E 作EP 的垂线l ，在l 上截取线段EF ，使EF =EP ，且点F 在第一象限，过点F 作F M ⊥x 轴于点M ，设点P 的横坐标为t ，线段F M 的长度为d ，求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点E 作EH ⊥ED 交M F 的延长线于点H ，连接DH ，点G 为DH 的中点，当直线PG 经过AC 的中点Q 时，求点F 的坐标．【答案】（1）2142y x x =--+；（2）d ==5+t ；（3）F （46-，56-）．【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE =EF 和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB ′，则d =F M=OE ﹣EB ′代入列式可得结论，但要注意PA′=﹣t ；（3）如图2，根据直线EH 的解析式表示出点F 的坐标和H 的坐标，发现点P 和点H 的纵坐标相等，则PH 与x 轴平行，根据平行线截线段成比例定理可得G 也是PQ 的中点，由此表示出点G 的坐标并列式，求出t 的值并取舍，计算出点F 的坐标．【解析】（1）把A （﹣4，0），B （0，4）代入22y ax ax c =++得：16804a a c c -+=⎧⎨=⎩，解得：124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线解析式为2142y x x =--+；（2）如图1，分别过P 、F 向y 轴作垂线，垂足分别为A ′、B ′，过P 作PN ⊥x 轴，垂足为N ，由直线DE 的解析式为：y =x +5，则E （0，5），∴OE =5，∵∠PEO +∠OEF =90°，∠PEO +∠E PA′=90°，∴∠E PA′=∠OEF ，∵PE =EF ，∠EA ′P =∠EB ′F =90°，∴△PEA ′≌△EFB ′，∴PA′=EB ′=﹣t ，则d =F M=OB ′=OE ﹣EB ′=5﹣（﹣t ）=5+t ；（3）如图2，由直线DE 的解析式为：y =x +5，∵EH ⊥ED ，∴直线EH 的解析式为：y =﹣x +5，∴FB ′=A ′E =5﹣（2142t t --+）=2112t t ++，∴F （2112t t ++，5+t ），∴点H 的横坐标为：2112t t ++，y =21152t t ---+=2142t t --+，∴H （2112t t ++，2142t t --+），∵G 是DH 的中点，∴G （215122t t -+++，21422t t --+），∴G （211242t t +-，211242t t --+），∴PH ∥x 轴，∵DG =GH ，∴PG =GQ ，∴21112242t t t -+=+-，t =6±，∵P 在第二象限，∴t ＜0，∴t =6-，∴F （46-，56-）．考点：二次函数综合题；动点型；压轴题．21．（2015广东深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x ＋b （b ≥0）的位置随b 的不同取值而变化．（1）已知⊙M 的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b = 时，直线l ：y =－2x ＋b （b ≥0）经过圆心M ：当b = 时，直线l ：y =－2x ＋b （b ≥0）与O M 相切：（2）若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A （2，0）、B （6，0）、C （6，2）．设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，【答案】解：（1）10；1025±．（2）由A （2，0）、B （6，0）、C （6，2），根据矩形的性质，得D （2，2）．如图，当直线l 经过A （2，0）时，b =4；当直线l 经过D （2，2）时，b =6；当直线l 经过B （6，0）时，b =12；当直线l 经过C （6，2）时，b =14．当0≤b ≤4时，直线l 扫过矩形ABCD 的面积S 为0．当4＜b ≤6时，直线l 扫过矩形ABCD 的面积S 为△EFA 的面积（如图1），在 y =－2x ＋b 中，令x =2，得y =－4＋b ，则E （2，－4＋b ），令y =0，即－2x ＋b =0，解得x =1b 2，则F （1b 2，0）． ∴AF =1b 22-，AE =－4＋b ．∴S =()21111AF AE b 24b b 2b+42224⎛⎫⋅⋅=⋅-⋅= ⎪⎝⎭－＋－．当6＜b ≤12时，直线l 扫过矩形ABCD 的面积S 为直角梯形DHGA 的面积（如图2），在 y =－2x ＋b 中，令y =0，得x =1b 2，则G （1b 2，0），令y =2，即－2x ＋b =2，解得x =1b 12-，则H （1b 12-，2）．∴DH =1b 32-，AG =1b 22-．AD =2∴S =()()11DH+AG AD b 52b 522⋅⋅=⋅-⋅=-．∴P （21b,b 55）．由P M=2，勾股定理得，2221b +b 455⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-4 -2，化简得24b 20b+80=0-．解得b=1025±（2）求出直线l 经过点A 、B 、C 、D 四点时b 的值，从而分0≤b ≤4，4＜b ≤6，6＜b ≤12，12＜b ≤14，b ＞14五种情况分别讨论即可．22．（2015湖北黄石）已知抛物线C 1的函数解析式为2y ax bx 3a(b 0)=+-<，若抛物线C 1经过点(0,3)-，方程2ax bx 3a 0+-=的两根为1x ，2x ，且12x x 4-=．（1）求抛物线C 1的顶点坐标．（2）已知实数x 0>，请证明：1x x +≥2，并说明x 为何值时才会有1x 2x+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C 2，设1A(m,y )， 2B(n,y )是C 2上的两个不同点，且满足： 00AOB 9∠=，m 0>，n 0<.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式．（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则P ，Q 222121(x x )(y y )-+-（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x2．∴Ａ（m，m2），B（n，n2）．由BOD △ ∽OAC △得 BD ODOC AC =，即22n n m m -=．∴mn 1=-． ∴1111S mn(m n)=m+2122m 2⎛⎫=--≥⋅= ⎪⎝⎭． ∴ＳΔAOB 的最小值为１，此时m ＝１，Ａ（１，１）． ∴直线OA 的一次函数解析式为ｙ＝x ．23．（2015山东省济南市）已知：如图①，在Rt△ACB 中，∠C =90°，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．【答案】（1）当t=107时，PQ∥BC．（2）y=-35t2+3t．（3）不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）5059cm．（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP 的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作P M⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PN CM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示（2）过点P作PH⊥AC于H．∵△A PH∽△ABC，∴PH APBC AB=，∴535PH t-=，∴PH=3-35t，∴y=12×AQ×PH=12×2t×（3-35t）=-35t2+3t．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ，∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ=12S△ABC，即-35t2+3t =3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．（4）过点P作P M⊥AC于M，PN⊥BC于N，若四边形PQP′C是菱形，那么PQ=PC．∵P M⊥AC于M，∴Q M=CM．∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ，∴PN BP AC AB =，∴45PN t =，∴PN =45t ，∴Q M=CM=45t ，∴考点：1．相似形综合题；2．动点型；3．存在型．24．（2014年湖南怀化10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB =OB =8，∠ABO =90°，∠yOC =45°，射线OC 以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC 经过点B 时停止运动，设平行移动x 秒后，射线OC 扫过Rt△ABO 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x =3秒时，射线OC 平行移动到O ′C ′，与OA 相交于G ，如图2，求经过G ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P 在（2）中的抛物线上，试问点P 在运动过程中，是否存在三角形POB 的面积S =8的情况？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵AB =OB ，∠ABO =90°，∴△ABO 是等腰直角三角形．∴∠AOB =45°．∵∠yOC =45°，∴∠AOC =（90°﹣45°）+45°=90°． ∴AO ⊥CO ．∵C ′O ′是CO 平移得到，∴AO ⊥C ′O ′． ∴△OO ′G 是等腰直角三角形．∵射线OC 的速度是每秒2个单位长度，∴OO ′=2x ．∴y =()2212x 2x 2⋅=.（2）当x =3秒时，OO ′=2×3=6，∵12×6=3，∴点G 的坐标为（3，3）．设抛物线解析式为y =ax 2+bx ，则9a 3b 364a 8b 0+=⎧⎨+=⎩，解得1a 58b 5⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴抛物线的解析式为218y x x 55=-+.（3）存在．设点P 到x 轴的距离为h ，则S △POB =12×8h =8，解得h =2，当点P 在x 轴上方时，218x x 55-+=2，整理得，x 2﹣8x +10=0，解得x 1=4x 2此时，点P 的坐标为（42）或（2）．当点P 在x 轴下方时，218x x 55-+=﹣2，整理得，x 2﹣8x ﹣10=0，解得x 1=4，x 2此时，点P 的坐标为（42）或（，﹣2）．综上所述，点P 的坐标为（42）或（2）或（42）或（，﹣2）时，△POB 的面积S =8．【考点】1．二次函数综合题；2．线动平移和单动点问题；3．由实际问题列函数关系式；4．等腰直角三角形的判定和性质；5．待定系数法的应用；6．曲线上点的坐标与方程的关系；7．分类思想和方程思想的应用．【分析】（1）判断出△ABO 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB =45°，然后求出AO ⊥CO ，再根据平移的性质可得AO ⊥C ′O ′，从而判断出△OO ′G 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解．（2）求出OO ′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G 的坐标，然后设抛物线解析式为y =ax 2+bx ，再把点B 、G 的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答．（3）设点P 到x 轴的距离为h ，利用三角形的面积公式求出h ，再分点P 在x 轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．25．（2014年江西南昌12分）如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A 、B 重合），点F 在BC 边上（不与点B 、C 重合）．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去…（1）图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ▲ ，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为 ▲ ，此时AE 与BF 的数量关系是 ▲ ；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．【答案】解：（1）等边三角形．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =CD =BC =AB ，∠A =∠B =∠C =90°．∵ED =FD ，∴△ADE ≌△CDF （HL ）． ∴AE =CF ，BE =BF ．∴△BEF 是等腰直角三角形．设BE 的长为x ，则EF =2x ，AE =4x -，∵在Ｒt△AED 中，222AE AD DE +=，DE =EF ，∴()()2224 x 42x -+=，解得12x 443,x 443=-+=-- （不合题意，舍去）．∴EF =()2x 24438642=-+=-.（2）①四边形EFGH 为正方形；AE =BF ．②∵AE =x ，∴BE =4x -.∵在Ｒt△BED 中，222EF BF BE =+，AE =BF ，∴()222222y EF 4x x 168x x x 2x 8x 16==-+=-++=-+.。

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中考压轴题系列动态几何之面动形成的函数关系问题Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】《中考压轴题全揭秘》第二辑原创模拟预测题专题26：动态几何之面动形成的函数关系问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

本专题原创编写面动形成的函数关系问题模拟题。

面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究在中考压轴题中，面动形成的函数关系问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

原创模拟预测题1. 如图，点G 、E 、A 、B 在一条直线上，等腰直角△EFG 从如图所示是位置出发，沿直线AB 以1单位/秒向右匀速运动，当点G 与B 重合时停止运动。

已知AD=1，AB=2，设△EFG 与矩形ABCD 重合部分的面积为S 平方单位，运动时间为t 秒，则S 与t 的函数关系是。

【答案】()()()221t t 0t 121S 1<t 2219t 3t 2<t 322⎧-+≤≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩。

【考点】面动问题的函数图象，矩形和等腰直角三角形性质，数形结合思想和分类思想的应用。

【分析】分三种情况讨论：如图1，当点G 在点A 左侧，点E 在点A 右侧时，此时0≤t ≤1，AE= t ，GA PA 1t ==-∴()()2111S PA FE AE 1t 1t t t 222=⋅+⋅=⋅-+⋅=-+。

如图2，当点G ，E 在点A ，B 之间时，此时1t ≤2， ∴111S GE AE 11222=⋅⋅=⋅⋅=。

原创模拟预测题2. 如图，已知直线121+-=x y 交坐标轴于B A ，两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点C D ，A ，的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点D C ,的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；【答案】（1）)3,1(),2,3(D C ；（2）1617652++-=x x y ；（3）当01t <≤时，211555224FB G t S FB GB t t '''=⨯=⨯=△ 当12t <≤时，''1'')''2A B HG S A G B H A B =+⨯梯形（5)25255(21⨯+-=t t 4525-=t ；当23t <≤时，22'''3555)2GA B C H t S -=-五边形（）（=425215452-+-t t ．【解析】抛物线过点),1,0()3,1(),2,3(，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.239,3,1c b a c b a c 解得5,617,61.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴1617652++-=x x y ；（3）①当点A 运动到点F 时，,1=t当01t <≤时，如图1，∵'OFA GFB ∠=∠，∴21524FB G S FB GB t '''=⨯==△； ②当点C 运动到x 轴上时，2=t ，当12t <≤时，如图2，Hx图③当点D 运动到x轴上时，3=t ，当23t <≤时，如图3，∵11212AOF S =⨯⨯=△，1OA =，AOF GD H '△∽△2GD H AOF S GD S OA ''⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△， 22GD HS '⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭△，考点：二次函数的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．原创模拟预测题3. 如图，长是2宽是1的矩形和边长是1的正三角形，矩形的一长边与正三角形的一边在同一水平线上，三角形沿该水平'线自左向右匀速穿过矩形。

设穿过的时间为t ，矩形与三角形重合部分的面积为S ，那么S 关于t 的函数大致图象应为【】A ．B ．C ．D ．【答案】A 。

【考点】动面问题的函数图象，矩形和等边三角形的性质。

故选A 。

原创模拟预测题4. 如图，平面之间坐标系中，Rt△ABC 的∠ACB=90o，∠CAB=30o，直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为（t ，0），直角边AC=23，经过O ，C 两点做抛物线()1y ax x t =-（a 为常数，a ＞0），该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx （k 为常数，k ＞0）（1）填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A ，k= ；（2）随着三角板的滑动，当a=1时：①请你验证：抛物线()1y ax x t =-的顶点在函数2y x =-的图象上； ②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值。

【答案】（1）（t ，23）；23k =（k ＞0）。

（2）①当a=时1，()21y x x t x tx =-=-，其顶点坐标为2t t 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，。

对于2y x =-，当x=t 2时，22t t y 24⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

∴点2t t 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线21y x 4=-上。

∴当a=14时，抛物线()1y ax x t =-的顶点在函数21y x 4=-的图象上。

②如图，过点E 作EK⊥x 轴于点K ， ∵直角边AC=23，∴另一直角边CB=2。

∵AC⊥x 轴，∴AC∥EK。

∵点E 是线段AB 的中点，∴K 为BC 的中点。

∴EK 是△ACB 的中位线。

∴EK=12AC=3，CK=12CB=1。

∴E（t+1，3）。

∵点E 在抛物线()1y x x t =-上，∴()()t 1t 1t 3++-=，解得t 31=-。

∴当三角板滑至点E 为AB 的中点时，t 31=-。

【考点】面动平移问题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，三角形中位线定理，含30度直角三角形的性质。

原创模拟预测题5. 如图（1），Rt△ABC 和Rt△EFD 中，AC 与DE 重合，AB=EF=1，∠BAC=∠DEF=90o，∠ ACB=∠EDF=30o，固定△ABC，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止。

现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2)（1）问：始终与△AGC 相似的三角形是 ▲ ；（2）设CG=x ，BG=y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）问：当x 为何值时，△HGA 是等腰三角形。

【答案】（1）△HGA。

（2）∵∠BAC =90o，∠ ACB =30o，AB =1，∴BG CG BC +=，即y x 2+=。

∴y 2x =-。

又∵BC=2，∴0x 2<<。

∴y 关于x 的函数关系式为()y 2x 0x 2<<=-。

（3）由（1）知，△AGC∽△HGA，若△HGA 是等腰三角形，则AGC 也是等腰三角形。

所以分两种情况：①当CG=AG 时，AG 是Rt △ABC 斜边上的中线，此时，x=CG=12BC=1。

②当CG= CA 时3∴当x=1或x 3是等腰三角形。

【考点】面动旋转问题，含30度角直角三角形的性质，三角形内角和外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。

（3）考虑CG=AG和CG= CA两种情况分别求解即可。

原创模拟预测题6.如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B （A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．（1）求点B，C的坐标；（2）判断△CDB的形状并说明理由；（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t 的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2。

过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。

在Rt△OBC中，由勾股定理得：2222BC OB OC3332=+=+；在Rt△CND中，由勾股定理得：2222=+=+CD CN DN112在Rt△BMD中，由勾股定理得：2222=++BD BM DN2425∵BC2+CD2=BD2，∴根据勾股定理的逆定理，得△CDB为直角三角形。

∵B （3，0），D （1，4），∴3m n 0m n 4+=⎧⎨+=⎩，解得：m 2n 6=-⎧⎨=⎩。

∴直线BD 的解析式为y=﹣2x+6。

连接CQ 并延长，射线CQ 交BD 于点G ，则G （32，3）。

在△COB 向右平移的过程中： ①当0＜t≤32时，如答图2所示：设PQ 与BC 交于点K ，可得QK=CQ=t ，PB=PK=3﹣t ．②当32＜t＜3时，如答图3所示，设PQ分别与BC、BD交于点K、点J，∵CQ=t，∴KQ=t，PK=PB=3﹣t。

直线BD解析式为y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t。

∴J（t，6﹣2t）。

∴S=S△PBJ﹣S△PBK=12PB?PJ﹣12PB?PK=12（3﹣t）（6﹣2t）﹣12（3﹣t）2=12t2﹣3t+92。

综上所述，S与t的函数关系式为：S=2233t3t0<t22S193t3t<t<3222⎧⎛⎫-+≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+⎪⎪⎝⎭⎩。