高中数学—14—数学归纳法、数列极限(A)-教师版

1．已知数列{}n a 满足12a =，对任意*N m p ∈、都有m p m p a a a +=⋅．则数列{}n a (*N n ∈)的通项公式=n a . 【难度】★★【答案】1*122(N )n n n a a n -=⋅=∈2．（1）已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 【难度】★★【答案】（1），n N *∈ （2），n N *∈3．已知数列{}n a 满足12a =，对任意*N m p ∈、都有m p m p a a a +=⋅．数列{}n b 满足31223+21212121n n n b b b ba =+++++++L (*N n ∈)，则数列{}n b 的前n 项和n B = . 【难度】★★ 【答案】*2442N .33n n n B n =⋅++∈，4. 已知为等比数列{}n a 前项和，，求.【难度】★★【答案】，----------------①232,111-==+n n a a a n a a a n n +==+2,1116)32(71-⨯=-n na n a n n -=2n S n nn n a 3)12(⋅-=n S Θnn n a 3)12(⋅-=∴n n n S 3)12(35333132⋅-++⋅+⋅+⋅=Λ数学归纳法、数列极限 热身练习-------------② ①—②，得∴一、数学归纳法一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1) （归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；(2) （归纳递推）假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.注意：∈ 应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法。

∈ 由k 到k +1的证明，实际问题中由k 到k +1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k 到k +1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P (k )与P (k +1)的差异及联系。

利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P (k +1)从分离出P (k )，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡。

（3）用数学归纳法证明与正整数有关的等式，常采用从一边开始并以另一边为目标进行推证的办法； 用数学归纳法证明整除性问题，常采用配凑的办法；用数学归纳法证明与正整数有关的不等式 时，常常需要运用不等式的性质以及比较法、放缩法、分析法、综合法等基本方法；用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，常常要运用几何图形的性质。

二、归纳——猜想——论证“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个n 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法．理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，14323)12(3)32(3533313+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ14323)12()3333(232+⋅--+++++=-n n n n S Λ63)22(3)12(31)31(923111-⋅-=⋅----⨯+=++-n n n n n .33)1(1+⋅-=+n n n S 知识梳理即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．三、数列的极限在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=．换句话说，即：对于数列{}n a ，如果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞=．注意：∈ 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近；∈ 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ∈ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n-；∈ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都 不能改变这个数列的极限；∈“无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”． 1、几个常见的极限：（1）∞→n lim C =C （C 为常数）； （2）∞→n limn1=0； （3）∞→n lim q n =0（|q |＜1）；（4）∞→n lim d cn b an k k ++=ca（k ∈N *，a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）； （5）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==<->=+-∞→b a ba ba ba b a b a nn nn n 不存在，，，，011lim ． 2、数列极限的四则运算法则：设数列{}{}n n b a 、，当B b A a n n n n ==∞→∞→lim lim ，时， B A b a n n n ±=±∞→)(lim ；B A b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；)0(lim ≠=∞→B BAb a n n n ； 特别地。

如果c 是常数，那么A c a c a c n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→)(lim )(lim ． 注意：(1) 公式成立的条件：公式成立的前提是{}n a 与{}n b 都存在极限；(2) 公式的实质：是四则运算与取极限这两种运算可以变换顺序；(3) 公式的推广：公式中的两项的和，差，积可以推广到有限个项，但是它们都不能推广无限个．四、无穷等比数列各项的和把公比q 满足1<q 的无穷等比数列{}n a 的前n 项和qq a S n n --=1)1(1，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S 表示，即)10(1lim 1<<-==∞→q qa S S n n ．一、数学归纳法【例1】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1) 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立.( )(2) 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3) 用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )(4) 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项.( ) (5) 用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )(6) 用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( ) 【难度】∈【类型】数学归纳法基础【答案】(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√【例2】求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *). 【难度】∈∈【类型】用数学归纳法证明恒等式【答案】证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时等式也成立.例题解析由(1)(2)可知，对所有n ∈N *等式成立.【例3】已知数列na n 131211+⋅⋅⋅+++=，又n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=321，用数学归纳法证明()n a n S n n -+=1．【难度】∈∈【类型】用数学归纳法证明恒等式【答案】证明：(1)当1=n 时，1a 1=，111==a S 满足条件．(2)假设k n =时，()N k k ∈>,1时()k a k S k k -+=1等式成立． 当1+=k n 时，Θk a k 131211+⋅⋅⋅+++==1111131211+-+++⋅⋅⋅+++k k k =111+-+k a k 则11+++=k K k a S S =()k a k k -+11++k a =()k k a k k -⎪⎭⎫⎝⎛+-++11111++k a ()1)11(1)1(111+-++=+--+=+++k a k a k a k k k k由(1)(2)可知()n a n S n n -+=1成立．故得证．【例4】已知)(x f 在)1,1(-上有定义，121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 且满足)1,1(-∈y x 、时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(． （1）证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数； （2）证明不等式*2021131111511N n n f n n f f f ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+，． 【难度】∈∈【类型】用数学归纳法证明恒等式【答案】(1)令0==y x ，则有,0)0(),0()0()0(=∴=+f f f f令x y -=，则0)0()()(==-+f x f x f ，0)()(=-+∴x f x f ，即)()(x f x f -=-， )(x f ∴在)1,1(-上为奇函数；(2)解法一：∈1=n 时，左边==-=+=++=011)21(1)31()51(1f f f 右边，∈假设k n =时有0211311115112=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+k f k k f f f ，则当1+=k n 时，左边⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=311)1(3)1(113111151122k f k k f k k f f f5515515515515512131121315512131311)1(3)1(1212222222=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+++-+=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫⎝⎛+-=k k f k k f k k f k k f k k f k k k k f k k f k f k f k f k k f k f 由1+=k n 时等式也成立，由∈∈，对一切*N n ∈等式成立．解法二：运用⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++21111312n f n f n n f 即可，运用裂项可证明得。