第十八章勾股定理
沪科版数学八年级下册 18
能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米， 两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个 直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把 立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子， 正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。
难点：勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
人教版八年级数学下册整册教案(三)第十八章勾股定理
第十八章勾股定理18． 1 勾股定理（一）18． 1 勾股定理（二）18． 1 勾股定理（三）18． 1 勾股定理（四）18． 2 勾股定理的逆定理（一）18． 2 勾股定理的逆定理（二）18． 2 勾股定理的逆定理（三）第十八章勾股定理18． 1 勾股定理（一）一、教学设计目标1．认识勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培育在实质生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所获得的成就，激发学生的爱国热忱，促其勤劳学习。
二、要点、难点1．要点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、例题的企图剖析例 1（增补）经过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；经过拼图，发散学生的思想，锻炼学生的着手实践能力；这个古老的出色的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族骄傲感，和爱国情怀。
例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、讲堂引入当前生界上很多科学家正在试图找寻其余星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各样图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反应勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人”，那么他们必定会辨别这类语言的。
这个事实能够说明勾股定理的重要意义。
特别是在两千年前，是特别了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和 4cm 的直角△ ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得向来角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你能否发现 32+42 与 52 的关系， 52 +122 和 132 的关系，即 32+42=52， 52+12 2=13 2，那么就有勾 2+股 2=弦 2。
勾股定理
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
3：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这 样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题， 那么另一 个叫做它的逆命题。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系： a +b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个 三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程 主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一 个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股 定理逆定理） 二、经典例题精讲 题型一：勾股定理和逆定理并用—— 例题 3 如图 3， 正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上的中点，
第十八章 一．基础知识点： 1：勾股定理
勾股定理
直角三角形两直角边 a、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即： a +b ＝c ） 要点诠释：
2
2
2
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系， 是直角三角形的重 要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， C 90 ， 则 c a 2 b 2 ， b c 2 a 2 ， a c 2 b2 ） （2） 已知直角三角形的一边与另两边的关系， 求直角三角形的另 两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
5
题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上 取一点 E，将△ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.
八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用课件
18.1 第2课时 勾股定理 的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
知识(zhī shi)目标
1．理解勾股定理，会利用勾股定理解决实际问题． 2．在理解勾股定理的基础上，能将斜三角形转化为直角三角 形，会利用勾股定理求斜三角形的边长．
第三页，共十九Leabharlann 。18.1 第2课时 勾股定理 的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
目标突破
目标一 会利用勾股定理解决(jiějué)实际问题
例 1 教材例 1 针对训练 如图 18－1－2 所示，一架 2.5 米长的 梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为 0.7 米，如 果梯子的顶端下滑 0.4 米，则梯足将向外移___0_._8___米．
图 18－1－2
第四页，共十九页。
第十七页，共十九页。
18.1 第2课时 勾股定理 的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
当 BC 边上的高 AD 在△ABC 外时，如图②.
在 Rt△ACD 和 Rt△ABD 中， 由勾股定理分别求得 CD＝ AC2－AD2＝ 132－122＝5， BD＝ AB2－AD2＝ 152－122＝9， ∴BC＝BD－CD＝9－5＝4， ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝15＋4＋13＝32. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 32.
18.1 第2课时 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的应用
解：根据题意，得△AFE≌△ADE， 所以 AF＝AD＝10 cm，EF＝ED， 则 EF＋EC＝CD＝8 cm. 在 Rt△ABF 中，根据勾股定理，得 AF2＝AB2＋BF2，即 102＝82＋BF2， 所以 BF＝6 cm，所以 FC＝4 cm. 设 EC＝x cm，则 EF＝CD－EC＝(8－x)cm. 在 Rt△EFC 中，根据勾股定理，得 EC2＋FC2＝EF2，即 x2＋42＝(8－x)2， 解得 x＝3，即 EC 的长为 3 cm.
人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
新课标人教版八年级数学第十八章勾股定理知识点总结
A CB D 新课标人教版八年级数学知识点总结 第十八章 勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC =21AB ∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90° 可表示如下： ⇒CD =21AB = BD = AD D 为AB 的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB = 90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：A B ·CD=AC ·BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
第十八章 勾股定理总复习
第十八章勾股定理总复习：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DACA B D人教版八年级下册勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。
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第十八章勾股定理
18．1 勾股定理（一）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，会用勾股定理进行简单计算；
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力；
3．了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
导学过程：
一、回顾旧知、导入新课
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠
B= ；
2、Rt△ABC的三条边a、b、c之间有什么数量关系？
二、新课探究
㈠、独立思考，解决问题
据说2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家的地板上发现并证明了勾股定理，让我们一起来重温当年的科学家之路吧。
背景：（1）初步观察；（2）从面积角度观察图形。
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
㈡、师生探究，合作交流
1．探究活动一：
探究等腰直角三角形的情况
观察图1并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图
右图
c
b
a B
A
C
思考：
⑴你能发现三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？
⑵你能用直角三角形的直角边a,b,斜边c 来表示上图中正方形A,B,C 的面积吗？ ⑶你能发现等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 2．探究活动二：
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ 观察图2并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）
思考：你能发现三个正方形
A 、
B 、
C 的面积之间有什么关系？你能发现一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理： 。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）
勾股定理的证明
方法1：利用“赵爽弦图”证明
A 的面积
（单位面积）
B 的面积
（单位面积）
C 的面积
（单位面积）
左图 右图
弦股
勾
数学思想方法总结：。
方法2：
知识延伸：
已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。
（已知a、b，求c）
⑵a= 。
（已知b、c，求a）
⑶b= 。
（已知a、c，求b）
勾股定理的运用
例1、求下列直角三角形中未知边的长．
例2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？
练习：一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的长度为2.4米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子低端B 也外移0.4米吗？
三、课堂小结
四、课堂练习，反馈提高 1、判断题
⑴若a 、b 、c 是三角形的三边，则222
a b c +=. （ ）
⑵直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （ ） ⑶已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长一定为4cm. ( ) 2、 一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其面积为（ ） A
2 B
2
1
C 1
D 22
A
3、我校的长方形水泥操场长80米宽60米，如果一学生要从A 角走到C 角，至少要走（ ） A 、140米 B 、100米 C 、120米 D 、90米
4、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
5、在Rt △ABC ，∠C=90°
⑴已知a=12，b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ；
⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ；
⑸已知a=5，∠A=30°，求a ，c 。
6、如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD ，∠︒=90DBC ，12,4,3===BC AB AD ，求CD .
7、利用如下图形证明勾股定理：以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、C、D三点在一条直线上。
b
a。