高中数学 3.4第2课时直线与圆锥曲线的交点 北师大版选修2-1
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.3直线与圆锥曲线的交点课件2北师大版选修2_1
(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次
方程,它有解x=-1,这时原方程组有唯一解 x 1 ,
y
1.
(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二
次方程, 判别式△＝0时,方程有两个相等的实数解.△
＝(3a+2)2 -4(a+1)2=a(5a+4)=0， 解得a0或a4.
0：有一个交点
20假设a≠0，设Δ=b2-4ac 0：无交点
归纳小结 2、数学思想 数形结合、方程与函数的思想 等价转化、分类讨论的思想
课后自测
1.过点(0,1)的直线m与抛物线y2=4x仅有一个公共
点,
那条么满足条条件的直线条m共有 (条 ) 2.直线l:y=kx+1与椭圆C: x 2 y 2 1
合作探究一 直线与圆锥曲线的公共点的坐标问题
例1:给定椭圆方程 x 2 y 2 1 ，斜率为1的直线过 54
其焦点F2(1,0)，直线与椭圆相交于A,B两点，求A 与B的坐标.
延伸探究：（1)求AB的长度，AB的中点坐标 (2)已知椭圆 x 2 y 2 1,求以点P(1,1) 为中点的弦
54
所在的直线方程.
探究二直线与圆锥曲线的公共点的个数问题
例2 假设直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax恰好 有一个公共点,试求实数a的取值集合. 解析:因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,
所以方程组 y=(a+1)x -1 y2=ax
有唯一的一组实数解.
消去y,得 [(a+1)x -1]2=ax， 变形得 (a+1)2x2-(3a+2)x+1=0. ①
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修2-1 4.3直线与圆锥曲线的交点》
直线与圆锥曲线的交点一、教材分析“直线与圆锥曲线的交点”是北师大版选修2-1第三章第四节第三课时的内容本节课是在学习了椭圆，抛物线，双曲线的概念、方程、性质及其曲线与方程、圆锥曲线的共同特征之后进行的，体现出从特殊到一般的认知过程二、学情分析学生在前面圆锥曲线的学习过程中已经领悟了解析几何中利用代数的方法解决几何问题的思想方法，两曲线的交点个数问题可以转化为对应方程组解的个数问题但是在计算能力方面、思想方法（数形结合、分类讨论、等价转化、方程与函数）能力方面欠缺三、教学目标1.知识与技能: 1）会求直线与圆锥曲线的交点坐标，会求与弦有关的简单问题（相交弦长、中点弦所在直线方程）（2）若已知直线与圆锥曲线的交点个数会求参数的取值范围2.过程与方法：通过学生课下自主学习，课堂小组讨论,学生展示、点评，师生共同探究的方法，培养学生独立获取数学知识的能力，培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想、等价转化的思想解决问题的能力3.情感、态度与价值观：通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心四、教学重、难点重点：掌握利用对应方程解决直线与圆锥曲线交点的问题的方法难点：理解解析几何中利用代数的方法解决几何问题的方法五、教学方法以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学方法通过设置问题，让学生小组讨论，学生展示点评，教师适时点拨的教学方法六、教学过程（一）展示图片，树立信心【设计意图：借助同学们刚刚远足40多里回来拍的照片，鼓励学生，树立学习数学的信心】（二）展示学习目标1.会求直线与圆锥曲线的交点坐标，会求与弦有关的简单问题（相交弦长、中点弦所在直线方程）2若已知直线与圆锥曲线的交点个数会求参数的取值范围【设计意图：明确学习目标，让学生做到心中有数】（三）预习自测1两曲线的交点两条曲线C1 :f,=0, C2:g,=0条件:若点M0,0是曲线C1与C2的一个交点结论:点M0 ,0满足方程f,=0,也满足方程g,=0,从而,曲线C1与C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来,该方程组的任意一组实数解都对应着这两条曲线的坐标2.如何判断直线与圆锥曲线的交点个数？【设计意图：检测学生课下预习的效果，为解决本节课内容做好知识储备】（四）合作探究探究一直线与圆锥曲线的公共点的坐标问题例1给定椭圆方程22154x y+=，斜率为1的直线过其焦点F21,0，直线与椭圆相交于A,B两点，求A与B的坐标延伸探究：（1求AB的长度，AB的中点坐标2已知椭圆方程22154x y+=,求以点22194y x+=与抛物线2=4仅有一个公共点,则满足条件的直线m共有条条条条:=1与椭圆C:2215x ym+=恒有公共点,则实数m的取值范围是A0，1 B[1，∞）C5,∞D[1,5)(5,)+∞3已知双曲线221x y-=及直线=-1,若双曲线与直线有交点，求的取值范围【设计意图：学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识】教学反思：本节课的教学大纲只要求学生能用坐标法解决一些直线与圆锥曲线的交点问题即可，而对直线与圆锥曲线的位置关系（相交、相切、相离）不作要求，本着大纲的要求，设计了三个类型的例题来引导学生进行交点问题的探讨三个问题可以从不同的方面进行对问题的剖析，让学生在剖析过程中领悟解析几何的思想“把几何问题代数化”，及其数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、方程与函数的思想在解析几何中的应用，进而提高学生在这个知识的应用学生在前面圆锥曲线的学习过程中，已经知道了两条曲线有交点的充要条件是由两条曲线的方程所组成的方程组有实数解也就是说学生会等价转化了，在计算能力方面欠缺从例3的探究又发现了学生还不能把数形结合的思想很好的渗透在学习中，也就是说把数学学死了，不会采用画图简单的方法解决问题所以教师要把课堂还给学生，采用学生板演、学生讲解、学生讲解的方式，进而可以规范学生的解题格式，培养发现问题、分析问题、解决问题以及语言的组织能力教学过程中借助交互式电子白板-人机互动，可以培养学生应用多媒体的能力。
北师大版选修2-1高中数学3.4.3直线与圆锥曲线的交点wo
课 题 3.4.3 直线与圆锥曲线的交点学习目标 ：1．了解直线与圆锥曲线的三种位置关系． 2．掌握求解直线与圆锥曲线有关问题的方式．3．增强数形结合思想方式的训练与应用．4.直线与圆锥曲线的交点个数等于它们的方程联立而成的方程组解的个数，是数形结合思想的应用与表现．学习重点：求解直线与圆锥曲线有关问题的方式学习难点： 圆锥曲线的弦长问题。
学习方式：以讲学稿为依托的探讨式教学方式。
学习进程 一、课前预习指导：1．曲线的交点设曲线C 1：f 1(x ，y )＝0，C 2：f 2(x ，y )＝0，P 0(x 0，y 0)是C 1与C 2的公共点⇔ ，故求曲线交点即求方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f 1x ，y ＝0f 2x ，y ＝0的实数解．2．方程组的解与曲线交点的关系方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 ；方程组没有实数解，两条曲线就 ．二、新课学习问题探讨一 直线与圆锥曲线的交点一、如何求直线与圆锥曲线的交点？例1.给定椭圆方程14522=+y x ，斜率为1的直线过其核心2F （1,0），直线与椭圆交于A,B 两点，求A 与B 的坐标。
2、如何判定直线与圆锥曲线的交点个数？例二、若直线l：y=(a+1)x-1与曲线C：axy2恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合。
学后检测1过点P(0,2)作直线l，当l的斜率k为何值时直线l别离与椭圆C：x＋124＋y2＝1(1)相切；(2)相交；(3)相离．问题探讨二圆锥曲线弦长问题：1 直线和圆锥曲线相交，如何求弦长？2 解决圆锥曲线弦长问题，是不是必然要求出交点坐标．例3、直线x-2y+2=0与椭圆4422=+y x 相交于A,B 两点，求A,B 两点的距离。
学后检测2：抛物线y2＝4x 的核心为F ，准线为l ，通过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部份相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是 ( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8学后检测3：抛物线y 2＝2x 与直线2x －3y －8＝0交于M ，N 两点，线段MN 的中点坐标为__________．三、当堂检测：1．要使直线y ＝kx ＋1 (k ∈R)与核心在x 轴上的椭圆x27＋y2a＝1总有公共点，实数a 的取值范围是 ( )A ．0<a≤1B ．0<a<7C ．1≤a<7D ．1<a≤7 2．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x 只有一个公共点，如此的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．若直线y ＝a 与椭圆x23＋y24＝1恒有两个不同交点，则a 的取值范围是__________． 4．过抛物线x 2＝2py (p>0)的核心F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线别离交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。
新北师大选修2-1高中数学 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点
§4曲线与方程4．2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点[对应学生用书P63]圆锥曲线上点M (x ，y )到定点F (c,0)的距离和它到定直线x ＝a 2c 的距离比是常数e .问题1：若F (4,0)，l ：x ＝254，e ＝45，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？ 提示：x 225＋y 29＝1，椭圆．问题2：若F (5,0)，l ：x ＝165，e ＝54，则点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？提示：x 216－y 29＝1，双曲线．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . 当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆； 当e >1时，圆锥曲线是双曲线； 当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．问题1：若直线与椭圆有一个公共点，则直线与椭圆相切．正确吗？ 提示：正确．问题2：若直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？提示：3条．曲线的交点设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，曲线C 1和C 2的任意一个交点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e .2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．[对应学生用书P63][例1] 曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到直线l ：x ＝165的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P 使|PF |＝5. [思路点拨] (1)可由|MF |与d (d 为M 到l ：x ＝165的距离)比为54，列出M (x ，y )满足的关系，进而求出曲线的方程．(2)由|PF |＝5，可得P 到l 的距离为4，从而可求得P 的坐标．[精解详析] (1)设d 是点M 到定直线l 的距离，根据题意，曲线上的点M 满足|MF |d ＝54，由此得(x －5)2＋y 2⎪⎪⎪⎪165－x ＝54，即(x －5)2＋y 2＝54⎪⎪⎪⎪165－x ， 两边平方整理得x 216－y 29＝1.(2)设P (x ，y )到l 的距离为d ，由|PF |＝5，得d ＝4. 即⎪⎪⎪⎪165－x ＝4，解得x ＝365或x ＝－45. 由于|x |≥4，故x ＝－45不合题意，舍去．由x ＝365得y ＝±6514.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫365，±6145. [一点通]圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．1.抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |，∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3. 答案：A2．已知点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．解：∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线l 的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋D.当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，如图．把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(负值舍去)，即P⎝⎛⎭⎫463，2为所求的点.[例2] 若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 5＋y m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．[思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的范围．[精解详析] 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知 0<m <5.又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值范围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0<m <5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值范围是m ∈[1,5)． [一点通]解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1 解析：由题意，得4m 2＋n2 >2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A.答案：A4．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：①若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②若直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1， 即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.[例3] 过点P (－1,1)的直线与椭圆x 4＋y 2＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.[思路点拨] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[精解详析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得 k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 因为点P 是AB 的中点，所以有 x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0. ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋[k (x 1－x 2)]2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303. [一点通]1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法”是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．直线y ＝kx ＋b 与曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，弦长公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．5．已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线l 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长． 解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的方程为y ＝x －2， 联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6.6．已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．解：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：点(2,4)位于抛物线y 2＝8x 上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．答案：B2．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－54，54 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫54，－54C.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，54 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)>0， 即k >54或k <－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C. 答案：C3．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，则共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．答案：B4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝⎛⎭⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2， 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 答案：B5．已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为________．解析：法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则AB 方程为y －1＝k (x －2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)＋1，x 2－y 23＝1， 得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k 2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4， y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3.显然x 1－x 2≠0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝3(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6. 答案：66．已知点M 到定点F (1,0)的距离与M 到定直线l ：x ＝3的距离的比为33，则动点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x －1)2＋y 2|x －3|＝33，∴3(x －1)2＋3y 2＝(x －3)2. ∴2x 2＋3y 2＝6. ∴所求方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝17．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，点A (8,8)，求线段AB 的中点到准线的距离．解：设AB 的中点是P ，到准线的距离是|PQ |，由题意知点F (2,0)，直线AB 的方程是：y ＝43(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝43(x －2)，消去x 得y 2＝8⎝⎛⎭⎫34y ＋2⇒y 2－6y －16＝0⇒y 1＝8，y 2＝－2. ∴|AB |＝1＋(34)2|y 1－y 2|＝252，由抛物线的定义知：|PQ |＝12|AB |＝254.8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB |的值是多少．解：(1)设P (x ，y )，由椭圆的定义知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1. 故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4. 消去y ，并整理，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1 ＝－4k 2－1k 2＋4＝0，所以k ＝±12. 当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. 所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝54×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫±4172＋4×1217＝46517.。
北师大版选修2-1高中数学3.4.2-3.4.3《圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交》ppt课件
(2)当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交 点.
-6-
4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
1
2
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
3.直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离. 相交:直线与抛物线交于两个不同的点,或直线与抛物线的对称轴平行. 相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对 称轴. 相离:直线与抛物线没有公共点. (2)判别方法:把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组, 于是: ①方程组有一组解⇔直线与抛物线相交或相切(1 个公共点); ②方程组有两组解⇔直线与抛物线相交(2 个公共点); ③方程组无解⇔直线与抛物线相离.
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4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点
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2.直线与圆锥曲线的交点
在直角坐标系 xOy 中,给定两条曲线 C1,C2,它们由如下方程确定: C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0, 求曲线 C1 和 C2 的交点,即要求出这些交点的坐标. 设 M(x0,y0)是曲线 C1 和 C2 的一个交点;因为点 M 在曲线 C1 上,所以它 的坐标满足方程 f(x,y)=0,因为点 M 在曲线 C2 上,所以它的坐标也满足方程 g(x,y)=0.从而,曲线 C1 和 C2 的任意一个交点的坐标都满足方程组
思考 2 直线与二次曲线交点个数的问题如何解决?
2012届高三数学：3.4.3直线与圆锥曲线的交点 课件 (北师大选修2-1)
1 (m2 8)2 4 2
注意：什么时候等号 成立？检验m的值
变式迁移3 ❖ 已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，
一条直线l：y=kx+b(b>0)与圆O相切并与椭
圆 x2 y2 交1于不同的两点A，B.
2
❖ (Ⅰ)设b=f(k)，求f(k)的表达式；
❖
(Ⅱ)若
uuur uuur OA·OB
❖ 解法一：当直线斜率不存在时，M不可能为弦中点， ❖ 所以可设直线方程为y＝k(x－2)＋1， ❖ 代入椭圆方程，消去y整理得： ❖ (1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0， ❖ 显然1＋4k2≠0，Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0，
❖ 解法一是解这类问题的通法，但计算比较 繁琐，解法二计算比较简单，但不能保证 直线与圆锥曲线有两个交点，因此应用第 二种方法解题时，必须判定满足条件的直 线是否存在，即把求出的直线方程与已知 椭圆方程联立，判断方程组是否有解，即 判断由它们联立的方程组所得的一元二次 方程的判别式情况.
值。
y
B
C
A
o
x
分析： 设A(x1 , y1 ), B(x2 , y 2 ),
y2xm
则由 x2 y2 1 2 8
A
2
2
8x 4mx m 8 0
yB C
ox
Δ 0 4 m 4且m 0
m
m2 8
x1 x2 2 , x1x2 8
所以SAOB
1 2
d
AB
1 (m4 16m2 ) 16
这样的直线共有（ B ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
y y
0
x
(教师用书)高中数学 3.4.(2+3)圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点课件 北师大版选修2-1
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.掌握圆锥曲线的共同特征．(重点) 2.了解直线与圆锥曲线的三种位置 关系．(重点) 3.掌握求解直线与圆锥曲线有关问 题的方法．(难点)
圆锥曲线的共同特征
【问题导思】 1．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个
2 2 x － c ＋ y 式子：a2－cx＝a x－c2＋y2，将其变形为： ＝ a2 －x c
2 3 即k＝± 3 时，方程(*)有两个相同的实
数解，即直线与双曲线有两重合的公共点；
2 4－3k ＜0， ③ 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即k＜－ 或k＞ 时，方程(*)无实 3 3
数解，即直线与双曲线无公共点． 2 3 2 3 综上所述，当－ 3 ＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜ 3 时，直线与双曲线有两个公共点； 2 3 当k＝± 1或k＝± 时，直线与双曲线有且只有一个公共 3 点； 2 3 2 3 当k＜－ 3 或k＞ 3 时，直线与双曲线没有公共点．
(2)当1－k2≠0，即k≠± 1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
2 4－3k ＞0， ① 2 1 － k ≠0，
2 3 2 3 即－ ＜k＜ ，且k≠± 1时，方程 3 3
(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点；
4－3k2＝0， ② 2 1 － k ≠0，
4.2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲 (1)通过实例了解圆锥曲线的共同特征． (2)了解直线与圆锥曲线的三种位置关系． (3)会求直线与圆锥曲线的交点坐标．
2．过程与方法 在研究直线与圆锥曲线的关系的过程中，进一步体会解 析几何的基本思想． 3．情感、态度与价值观 通过圆锥曲线共同特征的探究，体会从特殊到一般的认 知规律．
高中北师大版数学选修2-1学案 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点 含答案
离比点到准线的距离；(ⅱ)必须是点到焦点的距离与点到对应准线的距
离比，求双曲线的方程一般采用定义法和待定系数法．
3．点与椭圆的位置关系：
x2 已知点 P(x0，y0)，椭圆 C： ＋
a2
y2 ＝1(a>b>0)，则点 P 与椭圆 C 的 b2
位置关系有：
Earlybird
晨鸟教育
x20 y20
x20 y20
晨鸟教育
4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点
知识点 圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点
[填一填] 1．圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比
为定值 e.当 0<e<1 时，圆锥曲线是椭圆；当 e>1 时，圆锥曲线是双曲 线；当 e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．
5
5
5
36
6
由 x＝ 得 y＝± 14.
5
5
36
( ∴ 点 P 的坐标为
5
6 14
.
) ， ± 5
规律方法 圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它
到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特
征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的
转化，从而使运算得以简化．
[答一答] 直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥 曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
Earlybird
晨鸟教育
提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的．但 直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切．
因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况， 若直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时， 都属直线与双曲线、直线与抛物线相交，而非相切．
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P(m，n)的直线与椭圆x92＋y42＝1 的交点个数为(
)
A．2 个
B．至多一个
C．1 个
D．0 个
[答案] A [解析] 由题意得 m24＋n2>2，∴m2＋n2<4.
∴－2<m<2，－2<n<2.
∴点(m，n)在椭圆x92＋y42＝1 内，故过点 P(m，n)的直线与椭
圆x92＋y42＝1 有 2 个交点．
2．直线与抛物线的位置关系． 设直线 l：y＝kx＋b，抛物线 y2＝2px(p>0)，直线与抛物线交 点的个数等价于方程组y＝y2＝kx2＋pxb 解的个数，也等价于方程 ky2－ 2py＋2bp＝0 的解的个数． ①若 k≠0， 当 Δ>0 时，直线和抛物线相交，有两个公共点； 当 Δ＝0 时，直线和抛物线相切，有一个公共点； 当 Δ<0 时，直线和抛物线相离，无公共点．
行，有两组不同的实数解(Δ>0)时，直线与椭圆相交；有两组相同
的实数解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切；无实数解(Δ<0)时，直线与
椭圆相离．
②直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为 k，直线与椭圆两交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则 |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k12 |y1 － y2| ， 一 般 地 ， |x1 － x2| ＝ x1＋x22－4x1x2用根与系数关系求解． ③中点弦问题常用“点差法”求解，即 P(x0，y0)是弦 AB 的 中点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，将 A、B 坐标代入椭圆方程，并两式 相减结合 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，及yx22－ －yx11＝k 求解．
的范围是( )
A．－5＜m＜5
B．m＜－ 5或 m＞ 5
C．m＜ 5
D．－ 5＜m＜ 5
[答案] D [解析] 将 y＝x＋m 代入x42＋y2＝1，有 5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
Δ＝64m2－80(m2－1)＞0，得 m2＜5，
∴－ 5＜m＜ 5.
4．若直线 mx＋ny＝4 和⊙O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点
课堂典例讲练
曲线的交点
已知抛物线的方程为y2＝4x，直 线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝ 4x有且只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？
[解析] 由 y2＝8x，得 P＝4，焦点(2,0)则直线方程为 y＝2(x
－2)，设 A(x1，y1)B(x2，y2)．由yy＝ 2＝28xx－2 有 x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.
3．直线 y＝x＋m 与椭圆x42＋y2＝1 有两个不同的交点，则 m
求曲线 C1 和 C2 的交点，即要求出这些交点的坐标． 设 M(x0，y0)是曲线 C1 和 C2 的一个交点．因为点 M 在曲线 C1 上，所以它的坐标满足方程 f(x，y)＝0；因为点 M 在曲线 C2 上， 所以它的坐标也满足方程 g(x，y)＝0.从而，曲线 C1 和 C2 的任意 一个交点的坐标都满足方程组fgxx，，yy＝＝00 .
反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线
某一个交点的坐标． 由 此 可 知 ：方_程__组__有__几__组__实__数__解__，__这__两__条__曲__线__就__有__几__个____
_交__点__．__若__方__程__组__无__实__数__解__，__则__这__两__条__曲__线__没__有__交__点________． 说明：两条曲线有交点的充要条件是
(2)联立方程组yf＝x，kxy＋＝l 0 ，消去 y(或 x)得到形如 ax2＋bx＋c ＝0(或 ay2＋by＋c＝0)的方程，其判别式为 Δ＝b2－4ac，其中 a≠0， 则
①当 Δ＞0 时，方程有两个不等的实数解，直线与圆锥曲线有 两个交点；
②当 Δ＝0 时，方程有两个不等的实数解，直线与圆锥曲线有 两个交点；
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
圆锥曲线与方程 第三章
3.4 曲线与方程 第2课时 直线与圆锥曲线的交点
第三章
1 课前自主预习 2 知识要点解读 3 预习效果检测
4 课堂典例讲练 5 易混易错辨析
6
课时作业
课前自主预习
在直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 C1、C2，它们由如下方 程确定：C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0.
③当 Δ＜0 时，方程无实数解，直线与圆锥曲线没有交点．
预习效果检测
1．直线 y＝x＋3 与椭圆x42＋y32＝1 的位置关系是(
)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
[答案] C
2．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率
为2，则弦AB的长为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
[答案] C
②若k＝0，则直线y＝b与抛物线y2＝2px(p>0)相交，有一 个公共点．
特别地，当直线l的斜率不存在时，设为x＝m，则当m>0 时，l与抛物线相交，有两个公共点；当m＝0时，与抛物线相 切，有一个公共点；当m<0时，与抛物线相离，无公共点．
3．直线与圆锥曲线交点个数的判定 对于直线 l：y＝kx＋l，圆锥曲线 C：f(x，y)＝0，它们的交点 个数通常有以下两种判定方法： (1)解方程组yf＝x，kxy＋＝l 0 ，求得实数解的组数就是直线与圆锥 曲线的交点个数．
_由__两__条__曲__线__的__方__程__所__组__成__的__方__程__组__有__实__数__解_____．
Байду номын сангаас
知识要点解读
1．直线与椭圆相交的问题． ①研究直线与椭圆的位置关系，一般通过对直线方程与椭圆
方
程
所
组
成
的
方
程
组
Ax＋By＋C＝0 b2x2＋a2y2＝a2b2
的解的个数的讨论来进
5．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x －3没有交点，那么实数a的取值范围是________________
[答案] －∞，－143 [解析] 过 A、B 两点的直线：x＋y＝a 与抛物线 y＝x2－2x－ 3 联立得：x2－x－a－3＝0. 因为直线与抛物线没有交点，故方程无解． 即 Δ＝1＋4(a＋3)＜0，解之得：a＜－143.