2013年高考数学总复习 3-1导数的概念及运算课件 新人教B版
3 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x0－3x0. 2 ∵f ′(x0)＝3(x0－1)， 2 ∴切线方程为 y－y0＝3(x0－1)(x－x0)．
2．两个函数的四则运算的导数 (f± g)′＝f ′± g′； (fg)′＝f ′g＋fg′，特别(cf)′＝cf ′(c 为常数)； f ′g－fg′ f (g)′＝ (g≠0)． g2 3．复合函数的导数 y′x＝y′u·x′(其中 u 是 x 的函数) u
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混， x)′＝axlna， 如(a 而不是(ax)′ ＝xa
3．运用复合函数的求导法则 y′x＝y′u· x，应注 u′ 意以下几个问题 (1)分清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复 合而成，适当选定中间变量； (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求 导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，求导后要 ． 把中间变量转换成自变量的函数． ．．．．．．．．．．．．．．．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0 ＋ Δt 这 段 时 间 内 ， 物 体 运 动 的 平 均 速 度 是 v0 ＝ ft0＋Δt－ft0 Δs ＝___. Δt Δt
(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 Δs ft0＋Δt－ft0 ＝ 趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 Δt Δt 时刻的瞬时速度．
[例 1]
求函数
π y＝sin2x＋3 的导数．
π 解析：第一步，将函数看作 y＝sinu 与 u＝2x＋ 的 3 复合函数． 第二步，将 y 对 u 求导，将 u 对 x 求导，再相乘， π 并把 u 用 2x＋ 替换． 3
π ∵(sinu)′＝cosu，2x＋3 ′＝2， π ∴y′＝2cos2x＋3 .
Δy 一般地，函数 y＝f(x)的导数 f ′(x)=lim Δx→0 Δx fx＋Δx－fx ＝lim . Δx→0 Δx 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则 称 f(x)在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f ′(x)构 成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 f(x)的导函 dy 数，简称为导数，f ′(x)也记作 . dx
●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性， 求函数的极值与最值． (3)已知函数的单调性或极值等讨论字母参数． (4)导数的实际应用与综合应用． (5)(理)定积分与微积分基本定理的应用．
●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义，熟记求导公 式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，并能运 用上述公式与法则进行求导计算. 导数的几何意义是重 点必考内容，要熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的 切线问题．
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时， 函数值相应地改变量 Δy＝f(x0 Δy ＋Δx)－f(x0)．如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率 ＝ Δx fx0＋Δx－fx0 趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 Δx f(x)在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化 率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝ x0 处可导．
2．熟练掌握导数的应用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函数的极 值与最值、已知函数的单调性或极值求字母参数的值或 取值范围. 特别要注意能用导数的方法解决一些函数性 质的综合性问题. 3．(理)掌握定积分的概念、性质，掌握微积分基本 定理，会用定积分解决一些平面曲线围成的平面图形的 面积和变速运动的路程及变力作功等几何与物理问题．
●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道 瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2．导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y 1 ＝ ，y＝ x的导数． x (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数， (理)能求简单的复合函 数(仅限于形如 f(ax＋b))的导数． (3)会使用导数公式表．
二、导数公式 1．常用的导数公式 C′＝0(C 为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0 且 m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx；
(ex)′＝ex， 1 (a )′＝a lna；(lnx)′＝x；
x x
1 (logax)′＝ . xlna 1 1 特别 f(x)＝x时，f ′(x)＝－ 2， x f(x)＝ x时，f ′(x)＝ 1 2 x .
x－1
u u′ ′≠ .还要特别注意(uv)′≠u′v′， v . v′
2． 深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、 “导数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变 量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言 的．函数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区 间(a，b)内的每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导 数 f ′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成 了一个新的函数，就是函数 f(x)的导函数 f ′(x)． (3)函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x)在点 x＝x0 处的函数值，即 f ′(x0)＝f ′(x)|x＝x0.Fra bibliotek答案：2A
f1－f1－2x 设 f(x)为可导函数， 且满足lim ＝－1， 2x x→0 则过曲线 y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( A．2 B．－1 C．1 D．－2 )
f1－f1－2x f1－2x－f1 解析： → lim ＝lim ＝－1， 2x x 0 x→0 －2x 即 y′|x＝1＝－1， 则 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选 B. 答案：B
4．生活中的优化问题举例． 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优 化问题，体会导数在解决实际问题中的作用． 5．(理)定积分与微积分基本定理 (1)通过实例(如求曲边梯形的面积、 变力做功等)， 从 问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会 定积分的基本思想，初步了解定积分的概念． (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度 与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义．
2 将 y0＝x0代入上式整理得：x0＝1 或 x0＝5，
∴切点坐标为(1,1)，(5,25)， ∴所求直线方程为 2x－y－1＝0 和 10x－y－25＝0.
[例 2] 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2－3x 在 x＝± 处取 1 得极值，若过点 A(0,16)作曲线 y＝f(x)的切线，求切线方 程．
∵点 A(0,16)在切线上， ∴16－(x3－3x0)＝3(x2－1)(0－x0)， 0 0 化简得 x3＝－8，解得 x0＝－2. 0 ∴切点为 M(－2，－2)，切线方程为 9x－y＋16＝0.
点评：在求切线方程时很容易将 A(0,16)理解为曲线 y＝f(x)上的一点，得出如下错解： ∵f ′(x)＝3ax2＋2bx－3，k＝f ′(0)＝－3， ∴切线方程为 y－16＝－3x，即 3x＋y－16＝0.
导数的概念
[例 1] ________.
fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx 解析：原式＝lim Δx→0 Δx fa＋Δx－fa fa－Δx－fa ＝lim ＋－lim0 Δx→0 Δx→ Δx －Δx ＝A＋A＝2A.
fa＋Δx－fa－Δx 若 f ′(a)＝A，则lim ＝ Δx→0 Δx
1．对函数求导时，一要熟记基本导数公式，特别是 积、商、对数的导数公式要记准，二要遵循先化简后求 导的原则． 2．利用导数求曲线的切线方程 求过某点的曲线的切线时，要先判断该点是否在曲 线上，然后依据不同情况有针对性的解答．
(1)当点 P(x0，y0)在曲线 C 上时，过点 P 的 C 的切线 斜率 k＝f ′(x0)，切线方程为 y－y0＝f ′(x0)· (x－x0)． (2)当点 P(x0，y0)不在曲线 C 上时，常常是先设出切 点， 求出 f(x)的导数利用切点在曲线上和切线过点 P 来求 解． 3．复合函数求导法 复合函数求导时，可依据“从外到内层层剥皮”的 方法．
导数的几何意义
[例 2] 4 (2010· 辽宁文，12)已知点 P 在曲线 y＝ x 上， e ＋1
角 α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 α 的取值范围是 ( ) π A．[0， ) 4 π 3π C．( ， ] 2 4 π π B．[ ， ) 4 2 3π D．[ ，π) 4
3．导数在研究函数中的应用 (1)结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调 性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求 不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函 数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项 式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质 中的一般性和有效性．
第 三 节
导数的概念及运算
重点难点 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用 难点：复合函数的导数及积商的导数公式
高考数学一轮复习 3-1 导数的概念及其运算 理
的导数的乘积．
诊断自测
1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同． ×
()
√
(2) 曲 线 的 切 线 不 一 定 与 曲 线 只 有 一 个×公 共
点． ( )
×
(3)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.
()
(4)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．
ΔΔyx＝Δlixm→0
[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
规律方法 定义法求函数的导数的三个步骤 一差：求函数的改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)． 二比：求平均变化率ΔΔxy＝fx＋ΔΔxx－fx. 三极限：取极限，得导数 y′＝f′(x)＝Δlixm→0ΔΔxy.
【训练 1】 函数 y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔΔyx＝ ________；该函数在 x＝1 处的导数是________． 答案 1－xx＋1 Δx 0
考点一 利用定义求函数的导数
【例1】 利用导数的定义求函数f(x)＝x3的导 数解．Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3－x3
＝x3＋3x·(Δx)2＋3x2·Δx＋(Δx)3－x3
＝Δx[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]，
∴ΔΔxy＝3x2＋3x·Δx＋(Δx)2，
∴f′(x)＝ lim Δx→0
考点二 导数的计算 【例2】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝ex·cos x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin 2xcos 2x；(4)y＝ln 1＋x2.
解 (1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 1导数的概念意义及运算课件
解：（1）切线方程可化为 .当时，.又 ，于是解得 故 .
（2）证明：设 为曲线上任一点，由，知曲线在点处的切线方程为 ，即 .令，得 ，从而得切线与直线的交点坐标为， .令，得 ，
从而得切线与直线的交点坐标为 .所以点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为 .故曲线上任一点处的切线与直线， 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
变式1（1） 若函数，则 的值为__.
解：.令，得，所以 ，则.故填 .
（2）设函数，且，则 ( )
A.0 B. C.3 D.
解：因为 ,所以 ,所以，解得 .故选B.
√
（3）设函数在内可导，且，则 ___.
2
解：（方法一）令，则，所以，即 .所以，所以 .（方法二）等式两边同时求导，得.令，得 .故填2.
复合函数
常用结论
1.导数的两条性质 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. （2）可导函数的导数为，若为增函数,则 的图象是下凹的；反之，若为减函数,则 的图象是上凸的.
2.几类重要的切线方程 （1）是曲线的切线，是曲线的切线， ,是曲线 的切线，如图1.
命题角度3 根据切线情况求参数
例4 （2022年新课标Ⅰ卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是___________________.
解：因为，所以 .设切点为,则,切线斜率 .切线方程为 .因为切线过原点，所以 ,整理得 .
因为切线有两条，所以 .解得或 .另解：由切线斜率,与 联立，可得 .所以的取值范围是 .故填 .
变式3（1） 若函数与 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 ________.
3.1导数的概念及运算课件高三数学一轮复习
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率 先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解， 故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
2013年高考数学总复习-3-1-导数的概念及运算-新人教B版
2013年高考数学总复习-3-1-导数的概念及运算-新人教B版Dsin x 1＋cos x，x ∈(0，π)，当y ′＝2时，x 等于( ) A.π3 B.2π3C.π4D.π6[答案] B[解析] y ′＝cos x ·1＋cos x －sin x ·－sin x 1＋cos x2 ＝11＋cos x＝2，∴cos x ＝－12， ∵x ∈(0，π)，∴x ＝2π3. 5．(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B .19C.13D.23[答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x －3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19. 6．(文)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >BC ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f a ＋1－f a a ＋1－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .(理)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3(k ∈Z)． 故A 正确．7．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析]由条件知f′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f(x)＝3x3＋2x2－1在区间(m,0)上总有f′(x)≤0成立，则m 的取值范围为________．[答案][－49，0)[解析]∵f′(x)＝9x2＋4x≤0在(m,0)上恒成立，且f′(x)＝0的两根为x1＝0，x2＝－49，∴－4≤m<0.9(理)设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x 的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y ＝f(x)在原点处的切线方程为________．[答案]y＝－3x[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又f′(－x)＝f′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)对任意x∈R都成立，所以a＝0，f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.9．(2011·济南模拟)设曲线y＝x n＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n＝lg x n，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．[答案]－2[解析]点(1,1)在曲线y＝x n＋1(n∈N*)上，点(1,1)为切点，y ′＝(n ＋1)x n ，故切线的斜率为k ＝n ＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得切点的横坐标为x n ＝n n ＋1，故a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2.10．(文)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )，又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4；又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12； 又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎨⎧ y ′|x ＝2＝0f 2＝0即⎩⎨⎧12a ＋4b ＋12＝08a ＋4b ＋20＝0解得a ＝2，b ＝－9所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.(理)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．[解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx .又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎨⎧ f ′1＝0f 1＝12，即⎩⎨⎧2a ＋b ＝0a ＝12，可得a ＝12，b ＝－ 1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝x ＋1x －1x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋f (x )↘极小值↗所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞).11.(文)(2011·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2B ．2e 2C ．e 2 D.e22[答案] D[解析] y ′|x ＝2＝e 2，∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝1， ∴所求面积S ＝e 22.(理)(2011·湖南文，7)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－ 12 B.12C ．－ 22 D.22[答案] B[解析] ∵y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin xsin x ＋cos x2＝1sin x ＋cos x2，∴y ′|x ＝π4＝12. 12．(文)(2011·江西理，4)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0) [答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－x －2x>0， 即⎩⎨⎧x >0x 2－x －2>0，解得x >2，故选C.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1} [答案] D[解析] 令φ(x )＝f (x )－x 2－12，则φ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴φ(x )在R 上是减函数，φ(1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}，选D.13．(文)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a)在第三象限，故选C. (理)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A.14．(文)(2011·山东省济南市调研)已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是2x－3y＋1＝0，则f(1)＋f′(1)＝________.[答案]5 3[解析]由题意知点M在f(x)的图象上，也在直线2x－3y＋1＝0上，∴2×1－3f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1，又f′(1)＝23，∴f(1)＋f′(1)＝53.(理)(2011·朝阳区统考)若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0)[解析]由题意，可知f′(x)＝3ax2＋1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋1x＝0⇒a＝－13x3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)．15．(文)(2010·北京市延庆县模考)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )．(1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值；(3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ，求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎨⎧f 1＝0f ′1＝－1，即⎩⎨⎧1－a ＋b ＋ab ＝03－2a ＋b ＋ab ＝－1，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，因为a<b，所以a＝1，b＝2.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2x，f′(x)＝3x2－6x＋2，令f′(x)＝3x2－6x＋2＝0，解得x1＝1－3 3，x2＝1＋3 3.在区间[0,3]上，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x 0(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2,3) 3 f′(x)＋0－0＋f(x)0递增239递减－239递增 6所以f(x)max＝6；f(x)min＝－23.(3)证明：f′(x)＝3x2－2(a＋b)x＋ab，依据题意知s，t为二次方程f′(x)＝0的两根．∵f′(0)＝ab>0，f′(a)＝a2－ab＝a(a－b)<0，f′(b)＝b2－ab＝b(b－a)>0，∴f′(x)＝0在区间(0，a)与(a，b)内分别有一个根．∵s<t，∴0<s<a<t<b.(理)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝1 2x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a>0.设两曲线y ＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x>0)．[解析](1)设y＝f(x)与y＝g(x)(x>0)的公共点为(x0，y0)，∴x0>0.∵f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2 x，由题意f(x0)＝g(x0)，且f′(x0)＝g′(x0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a 2x 0，由x 0＋2a ＝3a 2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)． 则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a . 令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)， 则h ′(a )＝2a (1－3ln a )．由h ′(a )>0得，0<a <e 13 ，由h ′(a )<0得，a >e 13 .故h (a )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数，∴h (a )在a ＝e 13时取最大值h (e 13)＝32e 23 .即b 的最大值为32e 2 3.(2)设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋2ax－3a2ln x－b(x>0)，则F′(x)＝x＋2a－3a2x＝x－a x＋3ax(x>0)．故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，＋∞)为增函数，于是函数F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x>0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x>0时，f(x)≥g(x)．1．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(1)＝()A．－1 B．－2C．1 D．2[答案] B[解析]f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2，故选B.2．(2011·茂名一模)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x ＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4 B．－1 4C．2 D．－1 2[答案] A[解析]∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2，由条件知，g′(1)＝2，∴f′(1)＝4，故选A.3．(2010·360题库网高考)曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2[答案] A[解析]∵y′＝x′x＋2－x x＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．(2011·湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.13 B ．－13C.53 D ．－53[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∵a ≠0， ∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1.由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13. 5．(2011·广东省佛山市测试)设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )[答案] C[解析] 因为f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′，所以[f (x )g (x )]′<0，所以函数y ＝f (x )g (x )在给定区间上是减函数，故选C.6．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.7．(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()A．α>β>γB．β>α>γC．γ>α>βD．β>γ>α[答案] C[解析]由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝1x＋1，故知1<x＋1<2，∴0<x<1，即0<β<1，由φ(x)＝φ′(x)得，x3－1＝3x2，∴x2(x－3)＝1，∴x>3，故γ>3，∴γ>α>β.[点评]对于ln(x＋1)＝1x＋1，假如0<x＋1<1，则ln(x＋1)<0，1x＋1>1矛盾；假如x＋1≥2，则1x＋1≤12，即ln(x＋1)≤12，∴x＋1≤e，∴x≤e－1与x≥1矛盾．8．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝() A．26B．29C．212 D．215[答案] C[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速与导数3.1.3导数的几何意义课件新人教B版选修
第十页，共21页。
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数(hánshù)y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
f(x0 -x)-f(x0)
;
x
Δ→0
(0 +ℎ)-(0-ℎ)
(2)
.
2ℎ
h→0
(1) lim
分析:利用函数y=f(x)在点x0处可导的条件,可将给定的极限式变形成导数定
f'(x)构成一个新的函数,我们(wǒ men)把这个函数称为函数y=f(x)的导函数.记
为f'(x)(或yx'数,求导数指的就是求
导函数.
Δ
名师点拨函数 f(x)在 x0 处可导,是指当 Δx 趋近于 0 时, 趋近于
Δ
Δ
某个常数(极限存在),如果 不趋近于某个常数(极限不存在),就说函
等于(
m
→0
2 设函数 f(x)可导,则 lim
A.2f'(x0)
1
C. f'(x0)
2
)
B.f'(x0)
D.f'(m)
(0 +)-(0 )+(0)-(0 -)
m→0
(0 +)-(0 )
(0 )-(0 -)
= lim
+ lim
=f'(x0)+f'(x0)=2f'(x0).
y-1=2(x-1)或y-5=10(x-25),
即y=2x-1或y=10x-245.
第十七页，共21页。
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别,在点P处的切线,点P必
ppt模板-3-1导数的概念及运算(高三数学)
Δy lim 即 f ′ ( x0) ＝ Δ x→0 Δx ＝
.
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导
数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开
区(a，b)间内的导函数.记作f′(x)或y′.
x
练习： 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)f′(x)与 f′(x0)(x0 为常数)表示的意义相同． (2)在曲线 y＝f(x)上某点处的切线与曲线 y＝f(x)过某点的切 线意义是相同的． (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (5)若 f(x)＝a3＋2ax－x2，则 f′(x)＝3a2＋2x.
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
(2)[f(x)· g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
fx (3) ′＝ gx
f′xgx－fxg′x [gx]2 (g(x)≠0).
5.复合函数的导数 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的导数间的关系为 ux′ ，即y对x的导数等于 y对u 的导数与 u对x 的导数的乘积. y ′＝yu′·
（4）过点 A(1, 2)、B(2,10)、C (0, 2) 分别存在几条直线与曲 线 y f ( x) 相切（只写出结论）
导数几何意义的应用方向 (1)已知切点 A(x0，f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值：k ＝f′(x0)； (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k； (3)已知过某点 M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时，常 f（x1）－f（x0） 需设出切点 A(x0，f(x0))，利用 k＝ 求解． x1－x0
第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第三章§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f(ax＋b))的导数.落实主干知识探究核心题型内容索引课时精练L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x＝x0处的导数记作 或 .0'|x x y f ′(x 0)(2)函数y ＝f (x )的导函数2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的，相应的切线方程为 .y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)斜率3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝___f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝______f (x )＝cos xf ′(x )＝_______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝_______0αx α－1cos x －sin x a x ln ae xf(x)＝e x f′(x)＝____ f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x)[cf (x )]′＝ .cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x y′u·u′x＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x ).( )××××教材改编题∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2.1.函数f (x )＝e x ＋ 在x ＝1处的切线方程为______________.y ＝(e －1)x ＋22.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝______. f′(x)＝1＋ln x＋2ax，3.若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝____________.T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是√√(x2e x)′＝(x2＋2x)e x，故B错误；教师备选1.函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于√y′＝2cos 2x＋2sin 2x2.(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，则f(2 021)－f(0)等于√A.e2 021cos 2 021B.e2 021sin 2 021C. D.e因为f′(x)＝e x sin x＋e x cos x，所以f(x)＝e x sin x＋k(k为常数)，所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于√A.1B.2C.3D.4当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.e2 (2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋ax e－x，若f′(2)＝1，则a＝___.∴f′(2)＝2＋a e－2－2a e－2＝2－a e－2＝1，则a＝e2.命题点1 求切线方程题型二导数的几何意义例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝ 在点(－1，－3)处的切线方程为_____________.5x －y ＋2＝0所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，x－y－1＝0则直线l的方程为_____________.∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，∴设切点为(x0，y0).又f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于√A.4B.3C.2D.1∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝a ln x＋b相切于点P(1,2)，将P(1,2)代入y＝kx＋1，可得k＋1＝2，解得k＝1，解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，∴f(1)＝ln 1＋b＝2，解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝a e x(a>0)的切线，恰有2条，(1，＋∞)则实数a的取值范围是__________.由y ′＝a e x ，若切点为(x0， )，则切线方程的斜率k ＝ ＝ >0，∴切线方程为y ＝ (x －x 0＋1)，又P (1，e)在切线上，∴ (2－x 0)＝e ，0'|x x y 0e x a 0e x 0e x a 0e x a 0e x a 令φ(x )＝e x (2－x )，∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(1)＝e，又x→－∞时，φ(x)→0；x→＋∞时，φ(x)→－∞，解得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞).1.已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为A.(1,3)B.(－1,3)C.(1,3)或(－1,3)D.(1，－3)√教师备选设切点P(x0，y0)，f′(x)＝3x2－1，又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3.∴切点P为(1,3)或(－1,3).2.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y＝ln x＋x2＋(1－a)x上的任一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[4，＋∞)√C.(－∞，2]D.(－∞，4]故a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2].(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”.跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝e x－2n相切，则√设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n 切于点(x0， )，因为y ′＝e x －2n ，所以 ＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ，02e x n -02e x n -(2)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，[2，＋∞)则实数a的取值范围是__________.直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴a≥4－2＝2.∴a的取值范围是[2，＋∞).例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于A.0B.－1C.3D.－1或3√题型三两曲线的公切线由f(x)＝x ln x求导得f′(x)＝1＋ln x，则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y ＝x－1，因为直线l与g(x)的图象也相切，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，所以a＝－1或a＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝e x存在公共切线，则a的取值范围为__________.由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，与曲线C 2切于点(x 2， )，2e x 222121e e ,x x ax x x -=-则2ax 1＝可得2x 2＝x 1＋2，1121e 2x x +∴a ＝ ，12e 2x x+记f (x )＝ ，122e (2)4x x x +-则f ′(x )＝ ，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a的取值范围为___________.由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝ 有两个不同的解.1121e 2x x +12e 2x x +∵函数f (x )＝ 在(0,2)上单调递减，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，1.若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于A.1B.2C.3D.3或－1教师备选√解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.。
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2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、 “导数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变 量．
(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言 的．函数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区 间(a，b)内的每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导 数 f ′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成 了一个新的函数，就是函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
二、导数公式 1．常用的导数公式 C′＝0(C 为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0 且 m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx；
(ex)′＝ex， (ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x； (logax)′＝xl1na. 特别 f(x)＝1x时，f ′(x)＝－x12， f(x)＝ x时，f ′(x)＝21x .
第三节
导数的概念及运算
重点难点 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用 难点：复合函数的导数及积商的导数公式
知识归纳 一、导数及有关概念 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，x0、x1 是定义域内不同 的两点，记 Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，则当 Δx≠0 时，商fx0＋ΔΔxx－fx0＝_ΔΔ_yx_. 称作函数 y＝f(x)从 x0 到 x1 的平均变化率．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0 ＋ Δt 这 段 时 间 内 ， 物 体 运 动 的 平 均 速 度 是 v0 ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_.
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),3-1导数及导数的运算
＝
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→0
.
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②几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝ f(x)上点 在(x0，f(x0)) 处的
切线的斜率
(瞬
时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)． 相应地， 切线方程为．
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2．(2011· 江西文，4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为 ( ) A．1 C．e B. 2 1 D. e
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[答案] A
[解析] 本题主要考查导数的意义． y′＝e ′＝ex，所以 k＝e0＝1.
b －2<0 ⇒ 4c－b2 >0 4
⇒b>0，又 f ′(x)＝2x＋b，故选 C.
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sinθ 3 3cosθ 2 ( 理 ) 设 函 数 f(x) ＝ x ＋ x ＋ tanθ ， 其 中 θ ∈ 3 2
5π 0， ，则导数 12
f′(1)的取值范围为(
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导数的概念
fx0－k－fx0 [例 1] (1)若 f ′(x0)＝2，则lim 的值为 2k k→ 0 ________； fa＋Δx－fa－Δx (2)若 f ′(x0)＝A，则lim ＝________. Δx Δx→0
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ex
f(x)＝logax