2020届黑龙江省齐齐哈尔高三二模数学试题(解析版)
2020届黑龙江省齐齐哈尔市高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合
要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.
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【详解】
从 7 个球里取 3 个球，共有
种可能的情况，
全是红球的情况有
，全是白球的情况有
，
将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，
所以概率为 【点睛】 本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.
，
由
知
，
又
，所以 方程为
，
由内切圆圆心到直线 距离为 ，
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即
得 ，所以 方程为
.
故选 D 项
【点睛】 本题考查内切圆的性质，直线的表示，点到直线的距离，属于中档题.
二、填空题 13．已知两个单位向量 ， 的夹角为 ，
__________．
，
.若 ，则实数
【答案】 【解析】由 ，得 的值. 【详解】
【详解】
由已知中的三视图可得：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体， 正方体的边长为 6， 切去一个三棱锥的底面是直角边长分别为 6，6 的等腰直角三角形，高为 2，
故该几何体的体积为
.
故选 D 项.
【点睛】
本题考查三视图还原几何体，切割法求几何体体积，属于简单题. 第 4 页 共 19 页
，
，
，代入
，
，得到关于 的方程，得到
而
， ， 的夹角为
【点睛】
，.
本题考查向量垂直关系的表达，向量数量积运算，属于简单题.
14．在 4 个不同的红球和 3 个不同的白球中，随机取 3 个球，则既有红球又有白球的概
2020年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|x2-5x-6＜0}，B={x|x=3k+1，k∈Z}，则 A∩B 等于（ ）
A. {2，3，4}
B. {1，2，3}
C. {2，5}
D. {1，4}
2. 已知复数 z＝
解：∵△ABC 的面积 S= cosC，且 a= ，b= ，
∴ cosC=
∴tanC= ，
∴cosC=
=，
sinC，cosC＞0，
∴c=
=
故选：A．
10.答案：A
=2．
解析：【分析】 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的单调性是 解决本题的关键．考查学生的推理能力． 利用图象确定 A，ω 和 φ 的值，求出函数的解析式，利用辅助角公式进行化简，结合三 角函数的单调性进行求解即可． 【解答】
是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于（）
A. 2i
B. ﹣2i
C. i
D. ﹣i
3. 已知双曲线 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的焦距为 4 ，且两条渐近线互相垂直，则该双
曲线的实轴长为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
4. 已知变量 满足约束条件
则目标函数
的最小值为（ ）
A. -9
5. 函数 f（x）=
解：f（-x）= =-f（x），
即函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除，A，B， 当 x＞0 时，f（x）＞0，排除 D. 故选：C．
6.答案：C
解析：解：第一次 k=m，k＞m+2 否，S=m，k=m+1， 第二次 k=m+1，k＞m+2 否，S=m+m+1=2m+1，k=m+2， 第三次 k=m+2，k＞m+2 否，S=2m+1+m+2=3m+3，k=m+3， 第四次 k=m+3，k＞m+2 是，输出 S=3m+3=30， 得 3m=27， 得 m=9， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >，综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.2．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320C ．180D ．120【答案】C 【解析】 【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果. 【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.3．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【解析】 【分析】①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4π. 【详解】①：当x 变为x -时， ()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为y -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为()32222x y x y +=，所以()222322222x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤2212x y +≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()32222x yx y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时24x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；④：由②可知2214x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部，因为圆的面积为：144S ππ=⋅=，所以四叶草的面积小于4π，故正确. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明.4．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC V 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（ ） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π【答案】A 【解析】 【分析】根据O 是CD 中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解. 【详解】解：设D 点到平面ABC 的距离为h ，因为O 是CD 中点，所以O 到平面ABC 的距离为2h ， 三棱锥D ABC -的体积11122sin602332ABC V S h h ︒==⋅⨯⨯⋅⨯⋅=V ，解得23h =⋅，作OO '⊥平面ABC ，垂足O '为ABC V 的外心，所以23CO '=，且32h OO '==，所以在Rt CO O 'V 中，22133OC CO O O ''=+=，此为球的半径， 213524433S R πππ∴==⋅=. 故选：A.【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．5．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i【答案】B 【解析】 【分析】复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D 【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 7．复数12i2i+=-（ ）．A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 8．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.9．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 【答案】C 【解析】 【分析】观察图表，判断四个选项是否正确． 【详解】由表易知A 、B 、D 项均正确，2010年中国GDP 为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP 为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误．【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础． 10．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ） A 2 B ．1C ．2D 5【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．y =±B．y = C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+， 即：223a b =，3b a =，所以双曲线的渐近线方程为：3y x =±. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程. 12．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．98【答案】C 【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．﹣i C ．1 D ．i3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．124．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A n B n ＝A n ﹣1B n ﹣1﹣B n ﹣1B n ，其中B n ﹣1B n ═…＝B 2B 3＝B 1B 2＝B 0B 1，n ∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A 0B 0＝8m ，B 0B 1＝0.5m ，则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．35mB ．45mC ．210mD ．270m5．已知直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ①若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ②若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√5157．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C ．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D ．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有[f （x 2）﹣f （x 1）]（x 2﹣x 1）＜0，则（ ） A ．f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3）＜f （log 20.2） B ．f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）＜f （0.3﹣1） C ．f （log 20.2）＜f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3） D ．f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．211．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ） A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．34C ．57D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 ．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15．数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，a 1＝1，S 5＝15，且a 3+λa 9+a 15＝15，则实数λ＝ ．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）．参考附表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝mlnx ，g （x ）=x−1x（x ＞0）． （Ⅰ）讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m ＝e 时．y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象公切线的条数，并说明理由． （二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|． （Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果． 解：集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}， 故选：D ．2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出． 解：因为复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）＝（a +2）+（1﹣2a ）i ； ∴a +2＝3⇒a ＝1；∴z 的虚部为：1﹣2a ＝﹣1． 故选：A ． 3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．12【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0， 所以焦点到其渐近线的距离d =2=√2． 故选：B ．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A nB n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝8m，B0B1＝0.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A．35m B．45m C．210m D．270m【分析】根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．解：根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以S=6S5=6[5×8+5×42×(−12)]=210（m）故选：C．5．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ⊥α，m ∥β，则在β内，作n ∥m ，所以n ⊥α，由于n ⊂α，则α⊥β，故正确； ②若m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，由于n ⊂β，则α⊥β；故正确． ③若n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，由于m ⊥α，则m ⊥β；故正确． ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α也可能n ⊂α内，故错误． 故选：C ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√515【分析】建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D （0，0，0），O （1，1，0），B 1（2，2，2），M （1，0，2），N （0，2，1）， ∴B 1M →=(−1，−2，0)，ON →=(−1，1，1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M →⋅ON →|B 1M →||ON →||=5×3=√1515． 故选：C ．7．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位【分析】利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可． 解：f （x ）＝2（12cos x2−√32sin x2）＝2cos （x2+π3），将函数f （x ）向左平移φ的单位，得到y ＝2cos[12（x +φ）+π3]＝2cos （12x +12φ+π3），若f （x ）是奇函数，则12φ+π3=k π+π2，即φ＝2k π+π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ=π3，即可以将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，即可，故选：A ．8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【分析】从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．解：（1）对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的8725≈3.5倍，故A对．（2）对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占130260=50%，“综合与实践”内容最少，占10260≈4%，故B对．（3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．（4）对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则（）A．f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）＜f（log20.2）B．f（log20.2）＜f（2﹣0.3）＜f（0.3﹣1）C．f（log20.2）＜f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）D．f（0.3﹣1）＜f（log20.2）＜f（2﹣0.3）【分析】根据题意，由单调性的定义分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合偶函数的性质可得f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），由指数的性质可得2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，据此分析可得答案．解：根据题意，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），又由2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，则有f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）；故选：D ．10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】根据题意，建立坐标系，求出A ，B 点的坐标，并设∠AOC ＝α，则向量OC →=（2cos α，2sin α），求出向量的数量积，结合角的范围即可求解． 解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0），B （2cos120°，2sin120°）即B （﹣1，√3）， 设∠AOC ＝α，α∈[0°，120°]； 则OC →=（2cos α，2sin α）．∴CB →•CA →=（﹣1﹣2cos α，√3−2sin α）•（2﹣2cos α，﹣2sin α） ＝（﹣1﹣2cos α）×（2﹣2cos α）+（√3−2sin α）•（﹣2sin α） ＝2﹣2cos α﹣2√3sin α＝2﹣4sin （α+30°）； ∵α∈[0°，120°]；∴α+30°∈[30°，150°]⇒sin （α+30°）∈[12，1]；∴当sin （α+30°）＝1即α＝60°时，CB →•CA →取最小值为2﹣4×1＝﹣2； 故选：B ．11．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ）A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2）， 所以：a n −a n−1=(−2)n−1， …，a 2−a 1=(−2)2，所以将上面（n ﹣1）个式子相加得到：a n −a 1=4[1−(−2)n−1]1−(−2)，整理得：a n =1−(−2)n+13．所以a 1=|1−43|=13，a 2=|1+83|=113，a 3=|1−163|=133，a 4=|1+323|=353，易知：|a n |＜|a n +1|，若不等式|a n |≤λ成立的a n 有且只有三项， 则：λ的取值范围为[133，353)．故选：A ．12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．34C ．57D ．23【分析】由题意画出图形，由|PF 2|＝2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|＝2a ﹣2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos ∠PF 1F 2．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2，利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，化简求得5a ＝7c ，则答案可求．解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34（2a ﹣2c ）=32（a ﹣c ）， 则|QF 2|＝2a −32（a ﹣c ）=a 2+32c ，在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|=a−c 2c． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得a−c 2c+94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c=0，∴5a ＝7c ，∴e =c a =57． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件{x +1≥0y −2≤02x −y −2≤0，则z ＝x +3y 的最大值是 8 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可．解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由{y =22x −y −2=0，解得A （2，2）， 由z ＝x +3y 得：y =−12x +，显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z ＝2+3×2＝8， 故答案为：8．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为0.976．【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．解：∵甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则他们都没有投中的概率为（1﹣0.8）（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.024，则至少一人命中的概率为1﹣0.024＝0976，故答案为：0.976．15．数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，a1＝1，S5＝15，且a3+λa9+a15＝15，则实数λ＝−13．【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝1，S5＝15，∴5+10d＝15，解得d＝1．∴a n＝1+n﹣1＝n，代入a3+λa9+a15＝15，∴3+9λ+15＝15，解得实数λ=−1 3．故答案为：−1 3．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为28π3．【分析】取AD的中点F，连接EF，PF，由题意可得三角形PEF为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P在底面的投影的距离，设正方形ABCD的中心为M ，过M 做MO 垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，所以PF =√3，EF ＝2，又PE ＝1，所以PF ⊥PE ，设正方形ABCD 的对角线的交点M ，过P 做底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理可得NE =PE 2EF =12，而ME ＝1，所以MN =12，PN =√PE 2−HE 2=√32，MB =12BD =2√22=√2， 过M 做底面的垂线MO ，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上， 设O 为外接球的球心，设球的半径为R ，则OP ＝OB ＝R ，过O 做OH ⊥PN 于H ，则四边形OMNH 为矩形，所以OH ＝MN =12，HN ＝OM ， （i ）若球心在四棱锥的内部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN ﹣HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32−OM ）2，①在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，②由①②可得OM =−√33，不符合，故舍去．（ii ）若球心在四棱锥的外部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN +HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32+OM ）2，③在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，④ 由③④可得R 2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 综上所述四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 故答案为：28π3．三.解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．【分析】（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，再利用余弦定理即可得出．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，可得4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，利用基本不等式的性质即可得出．解：（I）5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．由正弦定理可得：5（b2+c2）＝8bc+5a2，可得：b2+c2﹣a2=85bc，∴cos A=b 2+c2−a22bc=45，A∈(0，π2 )，∴sin A=√1−cos2A=35，则tan A=34．（II）由tan（B+C）=tanB+tanC1−tanAtanC=−tan A=−34，∴4tan B+4tan C﹣3tan B tan C+3＝0，∵tan B＞0，tan C＞0，由均值不等式可得：4tan B+4tan C＝3tan B tan C﹣3≥2√4tanB⋅4tanC，当且仅当tan B ＝tan C＝3时取等号．解得tan B tan C≥9．∴tan B tan C的最小值为9．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀 成绩不够优秀总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课6 19 25 总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）． 参考附表： P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）根据K 2的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；（Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩够不优秀的概率为25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．解：（Ⅰ）由题意知，K 2=50×(15×19−6×10)221×29×25×25≈6.650＞6.635，∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“． （Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为1525=35，成绩够不优秀的概率为1−35=25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 30⋅(25)0⋅(35)3=27125，P（ξ＝1）=C31⋅(25)1⋅(35)2=54125，P（ξ＝2）=C32⋅(25)2⋅(35)1=36125，P（ξ＝3）=C33⋅(25)3⋅(35)0=8125．∴ξ的分布列为ξ0123P2712554125361258125∵ξ～B（3，25），∴E（ξ）＝3×25=65．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC交BE与G，连接EG，由已知结合线面平行的性质可得PA∥EG，再由E为PC的中点，得G为AC的中点，则△AFG≌△BCG，得到AF＝BC=12AD＝1，即F为AD的中点，可得四边形DCBF为平行四边形，再由AD⊥DC，得BF⊥AD，可得BF⊥平面PAD，进一步得到平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）连接PF，证明PF⊥底面ABCD，又BF⊥AD，以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，t），由PC与底面ABCD所成的角为60°求解t，然后分别求出平面ABF与EBF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BE与G，连接EG，∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝EG，∴PA∥EG，又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ， 得AF ＝BC =12AD ＝1． ∴F 为AD 的中点，∵BC ∥FD ，且BC ＝FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形， ∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）解：连接PF ，∵PA ＝PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P （0，0，t ），C （﹣1，1，0），取平面ABCD 的法向量n 1→=(0，0，1)，PC →=(−1，1，−t)，B （0，1，0）， ∴sin60°＝|n 1→⋅PC→|n 1→|⋅|PC →|，即√t 2+2=√32，解得t =√6． 设平面EBF 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，由{n 2→⋅FE →=−12x +12y +√62z =0n 2→⋅FB →=y =0，令z ＝1，得n 2→=(√6，0，1)． 设二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角为θ，则|cos θ|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√77， 又θ为钝角，∴cos θ=−√77．即二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值为−√77．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ．（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设C 的坐标，可得AC 的中点B 的坐标，由B 在抛物线x 2＝2y ﹣2上可得E 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN 的中点P 的坐标，由△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形可得PD ⊥l ，所以可得k DP •k l ＝﹣1，求出直线l 的方程，及弦长|MN |及|DP |的值，代入面积公式求出面积解：（Ⅰ）设C （x ，y ），B （m ，n ），B 是AC 的中点，则{m =x 2n =y+22， 因为B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上，所以m 2＝2n ﹣2，即x 24=2⋅2+y 2−2， 所以x 2＝4y ，故曲线E 的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）由题意得D （2，0），设直线l ：y =12x +t ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将l 的方程代入x 2＝4y 得x 2﹣2x ﹣4t ＝0（*），所以x 1+x 2＝2，x 1x 2＝﹣4t ，△＝4+16t ＞0，所以M，N的中点P（1，12+t），因为k DP•k l＝﹣1，所以12+t1−2⋅12=−1，所以t=32符合△＞0，所以直线l存在，所以（*）化为x2﹣2x﹣6＝0，x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，所以：|MN|=√1+14√4+24=√35|DP|=√5，所以S△MND=12×√35×√5=52√7．21．已知函数f（x）＝mlnx，g（x）=x−1x（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m＝e时．y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）求出导函数F'（x），对m的值分情况讨论，分别利用导函数F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）先利用导数的几何意义分别求出函数f（x）＝elnx在点（a，elna）处的切线方程和函数g（x）=x−1x在点（b，1−1b）处的切线方程，判断y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程2elnb+2b−1=0在（0，+∞）上解的个数，令h（x）＝2elnx+2x−1 （x＞0），利用导数得到方程h（x）＝0在（0，1e）及（1e，+∞）上各有一个根，即y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两条公切线．解：（Ⅰ）由题意可知：F（x）＝f（x）﹣g（x）＝mlnx−x−1x，x∈（0，+∞），则F'（x）=mx−1x2=mx−1x2，1°当m≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；2°当m＞0时，由F'（x）＜0得：0＜x＜1m，由F'（x）＞0得：x＞1m，∴函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增，综上所求：当m≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；当m＞0时，函数F（x）在（0，1m）上单调递减，在（1m，+∞）上单调递增；（Ⅱ）函数f （x ）＝elnx 在点（a ，elna ）处的切线方程为y ﹣elna =e a (x −a)，即y =e a x +elna −e ，函数g （x ）=x−1x =1−1x 在点（b ，1−1b ）处的切线方程为y ﹣（1−1b ）=1b 2（x ﹣b ），即y =1b 2x −2b +1，若y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有公切线，则{e a =1b 2①elna −e =1−2b ②， 由①得a ＝eb 2代入②整理得：2elnb +2b−1=0③， 由题意只须判断关于b 的方程在（0，+∞）上解的个数，令h （x ）＝2elnx +2x −1 （x ＞0），∴h '（x ）=2e x −2x 2=2ex−2x 2， 令h '（x ）＝0，解得x =1e ，∴当x ∈(0，1e )时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；当x ∈(1e，+∞)时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，∴h （x ）≥h （1e ）＝﹣1， ∵h （1e 2）＝﹣4e +2e 2﹣1＞0，h （1）＝1＞0， ∴h （1e ）h （1e ）＜0，h （1）h （1e ）＜0，且h （x ）图象在（0，+∞）上连续不断， ∴方程h （x ）＝0在（0，1e ）及（1e ，+∞）上各有一个根，即y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有两条公切线．一、选择题22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的普通方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程；直接把直线l 的参数方程中的参数t 消去，可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d ，利用三角函数求最值可得△PMN 面积的取值范围．解：（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12， ∴3（x 2+y 2）+y 2＝12，即x 24+y 23=1，∴曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数）． 由{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数），消去参数t ，可得x +2y ﹣8＝0． ∴直线l 的普通方程为x +2y ﹣8＝0；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，S △PMN =12×2×d =d ，而d =|2cosθ+2√3sinθ−8|5=|4sin(θ+π6)−8|5． ∴4√55≤d ≤12√55． ∴△PMN 面积的取值范围为[4√55，12√55]． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m ，带入得到a ，b 等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（1）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min又∵|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5 ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]（2）令f （x ）≥0，∴m ≥|| 若m ≤0，则解集为∅，不合题意； 若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ] 又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1 ∴ab ﹣2a ﹣b ＝2∴b =2a+2a−1∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1 ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a −1+4a−1+3 ∴a +b ≥2√(a −1)(4a−1)+3＝7 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4 ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7。
2020年东北三省三校高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)
2020年东北三省三校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. A⊆BB. B⊆AC. A∪B=RD. A∩B=∅2.已知z-2=（z+2）i（i为虚数单位），则复数z=（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2iD. -2i3.过点P（0，1）的直线l与圆（x-1）2+（y-1）2=1相交于A，B两点，若|AB|=，则该直线的斜率为（）A. ±1B.C.D. ±24.将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，现采用随机模拟的方法估计p的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有1次反面朝上”的频率记为f，则p，f分别为（）111 001 011 010 000 111 111 111 101 010000 101 011 010 001 011 100 101 001 011A. ，B.C.D. ，5.已知cos（）=，则sin（2）=（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=e x-e-x+，若f（lg m）=3，则f（lg）=（）A. -4B. -3C. -2D. -17.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AB=2，则直线PB与平面PAC所成角为（）A. B. C. D.8.将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（-x）=-g（x），则φ的一个可能值为（）A. B. C. D.9.双曲线C：=1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G满足GF1⊥GF2，线段GF1与另一条渐近线的交点为H，H恰好为线段GF1的中点，则双曲线C的离心率为（）A. B. 2 C. 3 D. 410.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF=2AF，则（）A. =B. =C. =D. =11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（）A. B. C. D. 8π12.已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=，则f（f（-e））=______．14.（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是______．15.设△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，且b=6，c=4，A=2B，则a=______．16.以抛物线y2=2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连结FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|=m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=a n+n2-1，数列{b n}为等比数列，公比为q，且S5=qS2+3，a2=5b1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．18.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）若AB=AC=，BC=BB1=2，在棱AC上是否存在点M，使二面角B-A1D-M的大小为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19.椭圆C：=1，点A（2，0），动直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点（M、N是异于A的两个不同的点），已知直线AM的斜率为k1，直线AN的斜率为k2，且k1，k2的乘积为λ．（Ⅰ）若k=0，求实数λ的值；（Ⅱ）若，求证：直线MN过定点．20.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货．今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252．（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率）：（1）写出四月后20天每天百合花需求量ξ的分布列；（2）若百合花进货价格与售价均不变，微店从四月十一日起，每天从云南固定空运x（235≤x≤265，x∈N）支百合花，当x为多少时，四月后20天每天百合花销售利润T（单位：元）的期望值最大？21.已知函数f（x）=x+x lnx，g（x）=ax2-2（a-1）x+a-1．（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）与y=g（x）在（1，1）处的切线重合；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）对任意x∈[1，+∞）恒成立．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：ln[（n+1）!•n!]＜（其中n∈N*）．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2=，直线l与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求|AB|．23.（Ⅰ）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，求证：a4+b4≥2；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，求a3+b3+c3+（）3的最小值，并写出取最小值时a，b，c的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x＜0，或x＞2}，且；∴A∪B=R．故选：C．容易求出集合A={x|x＜0，或x＞2}，从而可判断集合A，B的关系．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及并集的概念．2.答案：C解析：解：∵z-2=（z+2）i，∴z（1-i）=2+2i，故z=．故选：C．先将式子化为z（1-i）=2+2i，再由复数的除法运算即可得出结果．本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型．3.答案：A解析：解：由题意设直线l的方程为y=kx+1，因为圆（x-1）2+（y-1）2=1的圆心为（1，1），半径为r=1，又弦长|AB|=，所以圆心到直线的距离为d===，所以有=，解得k=±1．故选：A．先由题意，设直线的方程为y=kx+1；根据弦长和半径确定点到直线的距离，再由点到直线的距离公式即可求出结果本题主要考查直线与圆位置关系，熟记点到直线距离公式以及几何法求与弦长有关的问题，属中档题．4.答案：B解析：解：事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，则p==，“恰有1次反面朝上”的频数为7，所以f=，故选：B．事件“恰出现1次反面朝上”的概率记为p，可以根据计数原理处理．从模拟数据中数出“恰有1次反面朝上”的个数，除以20即可得到f，本题考查了古典概型的概率计算，随机模拟，属基础题．5.答案：B解析：解：∵cos（）=，则sin（2）=-cos（2α-+）=-cos（2α+）=1-2=1-2×=，故选：B．由则sin（2）=-cos（2α-+），利用二倍角公式可得结果．本题主要考查给值求值问题，熟记诱导公式与二倍角公式即可，属于基础题型．6.答案：C解析：解：根据题意，f（x）=e x-e-x+，则f（-x）=e-x-e x+，则f（x）+f（-x）=1，若f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m）=1-3=-2；故选：C．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（-x）=1，又由f（lg m）=3，则f（lg）=f（-lg m）=1-f（lg m），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及对数的运算性质，属于基础题．7.答案：A解析：解：连接AC交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA，PA AC=A，因此BD⊥平面PAC；故BO⊥平面PAC；连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，又因PA=AB=2，所以PB=2，BO=．所以sin∠BPO==，所以∠BPO=．故选：A．连接AC交BD于点O，连接OP，证明BO⊥平面PAC，进而可得到∠BPO即是直线PB 与平面PAC所成角，根据题中数据即可求出结果．本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型．先由题意写出g（x）解析式，根据g（-x）=-g（x），可知g（x）为奇函数，进而可求出φ．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x-2φ+）的图象，又g（-x）=-g（x），所以g（x）为奇函数，∴-2φ+=kπ，k∈Z，∴可取φ=，故选：A．9.答案：B解析：解：由题意得双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），由GF1⊥GF2，得，即，解得x=a，所以G（a，b），又H恰好为线段GF1的中点，所以H（，），因H在y=-x上，所以，因此c=2a，故离心率为2．故选：B．根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为F1（-c，0），F2（c，0）；不妨令G在渐近线上，则H在y=-x上，设G（x，x），根据题意求出G点坐标，再得到H的坐标，将H坐标代入直线y=-，即可得出结果．本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型．10.答案：D解析：解：设DF=2AF=2，因此BD=AF=1，又由题意可得∠ADB=120°，所以AB2=AD2+BD2-2AD•BD•cos∠ADB=32+12-6cos∠120°=13，因此AB=；延长AD交BC于M，记∠DAB=θ，∠AMB=α，则cos∠DAB===，所以sin∠DAB==；又由题意易知∠DAB=∠DBM，则α=120°-θ，在三角形DBM中，由正弦定理可得：=，即，因此BM====BC，DM===，所以AD=AM=AM，因为=，即=（），整理得=+，所以==（+）=+．故选：D．先设DF=2AF=2，根据题意可知∠ADB=120°，求出AB的长，延长AD交BC于M，求出BM，DM的长，再由平面向量基本定理即可得出结果．本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可，属于常考题型．11.答案：C解析：解：根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，且长方体的底面边长为2，高为；取AB中点为D，上底面中心为E，连接DE，EP，则DE=，EP=1，因为三角形ABC为直角三角形，所以D点为三角形ABC的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段DE上，记球心为O，设球的半径为R，则OB=OP=R，所以有OE==，OD==，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为4πR2=．故选：C．先在长方体中还原该三棱锥为P-ABC，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为R，列出方程即可求出结果．本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．12.答案：A解析：解：由，得21x2+20mx+5m2-5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，==．又O到直线AB的距离，则△AOB的面积=≤=，当且仅当m2=21-m2，即时，△AOB的面积取得最大值．此时，．故选：A．先联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得到，，结合弦长公式表示出弦长|AB|，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出m2，代入弦长的表达式，即可得出结果．本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型．13.答案：e解析：【分析】本题考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出f（-e）的值，进而又由f（f（-e））=f（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=，则f（-e）=ln e=1，则f（f（-e））=f（1）=e1=e；故答案为：e．14.答案：-16解析：解：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，故答案为：-16．由二项式定理及分类讨论思想得：因为（2x+y）4的展开式的通项公式为T r+1=24-r x4-r y r，则（x-y）（2x+y）4的展开式中x2y3的系数是1×21+（-1）×22=-16，得解本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题．15.答案：2解析：解：根据题意，在△ABC中，b=6，c=4，A=2B；由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，则有=，解可得a=2，故答案为：2．根据题意，由正弦定理可得=，即=，变形可得cos B=，又由余弦定理可得cos B==，联立可得=，解可得a的值，即可得答案．本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型．16.答案：32解析：解：由题意可得抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x=-，所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2=p2，因为A，B两点为圆+y2=p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点，由x=0得，A（0，）；所以直线AF的斜率为k AF==-，因此直线AF的方程为y=-x+，由得C（-，p）；由得D（，），所以|FD|=+=，|CD|==p，|AD|==p，又|AD|=m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，因此|PD|•|CD|=p2≤32，当且仅当p=6时，取等号．故答案为：32．由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D 两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|=m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，是中档题．17.答案：解：（I）∵S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，∴a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，∴a n=2n+1．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．∵5b1=a2=5，解得b1=1．∵S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q=4．∴b n=4n-1．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．∴T n=3+5×4+7×42+……+（2n+1）•4n-1．4T n=3×4+5×42+7×43+……+（2n-1）•4n-1+（2n+1）•4n．∴-3T n=3+2（4+42+……+4n-1）-（2n+1）•4n=3+2×-（2n+1）•4n，∴T n=-+•4n．解析：（I）S n=a n+n2-1，S n+1=a n+1+（n+1）2-1，可得a n+1=S n+1-S n=a n+1-a n+2n+1，化简即可得出．数列{b n}为等比数列，公比为q，a2=5b1．解得b1=1．利用S5=qS2+3，=（3+5）q+3，解得q．可得b n．（II）∵a n•b n=（2n+1）•4n-1．利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1中点，连接OD，又D是棱B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD．解：（Ⅱ）由已知AB⊥AC，则AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，如图建立空间直角坐标系A-xyz，则B（），A1（0，0，2），D（，2），C（0，，0），设M（0，a，0），（0），则=（-），=（，0），=（0，a，-2），设平面BA1D的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（，1）．设平面A1DM的法向量为=（x，y，z），则，x=-2，得=（-2，2，a）．∵二面角B-A1D-M的大小为45°，∴cos45°=|cos＜＞|===，∴3a2+16-24=0，解得a=-6或a=，∵0，∴a=，∴存在点M，此时=，使二面角B-A1D-M的大小为45°．解析：（Ⅰ）先连接AB1，交A1B于点O，再由线面平行的判定定理，即可证明AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）先由题意得AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，设M（0，a，0），（0），求出两平面的法向量，根据法向量夹角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出a，进而可得出结果．本题主要考查线面平行、以及已知二面角求其它量的问题，通常需要熟记线面平行的判定定理来证明平行；另外，向量法求二面角是最实用的一种做法，属于常考题型．19.答案：（Ⅰ）解：不妨设M（-2，m），N（2，m），k1=，k2=，∴k1k2=-=，∴λ=．（Ⅱ）证明：联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，=16（4k2+1-m2）＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=-，x1x2=，∵k1k2=•==-，∴4（kx1+m）（kx2+m）+3（x1-2）（x2-2）=0，∴（4k2+3）x1x2+（4km-6）（x1+x2）+4m2+12=0，∴（4k2+3）•+（4km-6）（-）+4m2+12=0，∴2k2+m2+3km=0，∴m=-k或m=-2k，均符合＞0．若m=-2k，直线MN：y=k（x-2）过A（2，0），与已知矛盾．∴m=-k，直线MN：y=k（x-1）过定点（1，0）．解析：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，以及椭圆中直线过定点的问题，属于中档题．（Ⅰ）先由k=0，设M（-2，m），N（2，m），表示出k1，k2，进而可求出结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到k，m 的关系式，进而可得出直线所过的定点．20.答案：解：（I）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数==250．频率分布直方图补充如下：（II）（1）由（I）频率分布直方图知，ξ 235245255265P0.10.30.40.2（）①＜，∈ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x-1.8（245-x）=0.2x+49，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（0.2x+49）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=0.2x+92.7 ②245≤x＜255，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x-1.8（255-x）=0.2x+51，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（0.2x+51）+0.2×（0.2x+53）=-0.52x+225 ③255≤x≤265，x∈N，ξ=235，Y=235×2-1.6x=470-1.6x，ξ=245，Y=245×2-1.6x=490-1.6x，ξ=255，Y=255×2-1.6x=510-1.6x，ξ=265，Y=265×2-1.6x-1.8（265-x）=0.2x+53，E（Y）=0.1×（470-1.6x）+0.3×（490-1.6x）+0.4×（510-1.6x）+0.2×（0.2x+53）=-1.24x+408.6 ∴x=245时，E（Y）max=97.6（元）．故每天空运245支百合，四月后20天每天百合销售利润Y的期望值最大．解析：（I）根据题意完善频率分布直方图，平均数等于每组的中间值乘以该组频率再求和；众数为频率最大的一组的中间值；（Ⅱ）（1）由（I）中频率分组直方图可直接得到分布列；（2）分别计算235≤x＜245、245≤x＜255、以及255≤x≤265时的利润期望，比较大小即可得出结果．本题主要考查频率分布直方图，以及离散型随机分布列与期望等，结合相关知识点求解即可，属于常考中档题型．21.答案：解：（Ⅰ）证明：f′（x）=2+ln x，f′（1）=2，f（1）=1y=f（x）在（1，2）处的切线方程为y=2x-1．g′（x）=2a-2（a-1），g′（1）=2，g（1）=1y=g（x）在（1，1）处的切线方程为y=2x-1．所以切线重合．（Ⅱ）（1）令F（x）=g（x）-f（x）=ax2-2（a-1）x+a-1-x-x lnx（x≥1），则F′（x）=2a（x-1）-ln x，①当a≤0时，F′（x）≤0当且仅当x=1时，取等号，F（x）在[1，+∞）递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不成立．②当a＞0时，，（i）当0＜a＜时，时，F″（x）＜0，F′（x）递减，F′（x）＜F′（1）=0，F（x）在递减，F（x）≤F（1）=0，f（x）≤g（x）不恒成立．（ii）当a时，F″（x）≥0，F′（x）在[1，+∞）递增，F′（x）≥F′（1）=0，f（）x在[1，+∞）递增，F（x）≥F（1）=0，f（x）≤g（x）恒成立．综上实数a的取值范围为．（2）证明：由（1）知当a=时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立．得，令x=1，2，…，n得n个不等式相加得，∴，∴∴．下面只要证明，即，再由不等式得，令得，取k=1，2，3，…，n得n个不等式累加得证明成立．故原不等式成立．解析：（Ⅰ）先对函数f（x）求导，得到f′（1）=2，再由f（1）=1，根据直线的点斜式方程即可求出y=f（x）在点（1，1）处的切线方程；另外同理求出y=g（x）在（1，1）处的切线方程，即可得出结论成立；（Ⅱ）（1）先令F（x）=g（x）-f（x），对函数F（x）求导，通过讨论a≤0与、研究函数F（x）的单调性，即可得出结果；（2）先由（1）得到当时，f（x）≤g（x），∀x≥1恒成立，得，分别令x=1，2，…，n得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立．本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单调等来处理，属于较难题目．22.答案：解：（Ⅰ）易知直线l的方程为y=x+1，曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）将（t参数），代入+=1中得7t2-6-18=0，△＞0设AB所对应的参数分别为t1，t2，t1+t2=，t1t2=-，|AB|=|t1-t2|==．解析：（Ⅰ）由参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将代入+=1得到关于t的一元二次方程，由韦达定理以及|AB|=|t1-t2|即可求出结果本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式以及弦长公式等即可，属中档题．23.答案：证明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴a4+b4≥≥[]2=×4解（II）a＞0，b＞0，c＞0，∴a3+b3+c3+（）3≥3+（3）3≥2=18当且仅当a=b=c=时，原式取最小值18．解析：（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论；（Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果．本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型．。
黑龙江省2020届高中毕业班数学第二次质量检测试卷(I)卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。） (共12题；共60分)
1. （5分） (2018·成都模拟) 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
B . 6
C . 8
D . 12
10. （5分） 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为 （ ）
A .
B .
C .
D .
11. （5分） 抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”．已知P（A）=P（B）= ，则“出现1点或2点”的概率为（ ）
A .
B .
C .
A . 15°
B . 75°
C . 30°或60°
D . 15°或75°
8. （5分） (2018高二下·晋江期末) 设 ，则 是 的（ ）
A . 充要条件
B . 充分不必要条件
C . 必要不充分条件
D . 既不充分也不必要条件
9. （5分） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A . 3
（1） 求 的值；
（2） 求 在点 处的切线方程．
22. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 在极坐标系中，点 坐标是 ，曲线 的方程为 ；以极点为坐标原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 的直线 经过点 ．
（1） 写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2） 求证直线 和曲线 相交于两点 、 ，并求 的值．
三、 解答题（本大题共6小题，共70分） (共7题；共80分)
17. （12分） (2020·泉州模拟) 记 为数列 的前n项和.已知 ， .
2020年黑龙江省高考数学(文科)模拟试卷(2) 含详细答案解析
1+??
2．（ 5 分）已知 i 为虚数单位， a， b∈R，复数 2-?? - i ＝ a+bi ，则 a﹣ bi＝（
）
12 A ． - ??
55
12 B ． + ??
55
21 C． - ??
55
21 D． + ??
55
3．（ 5 分）生态环境部环境规划院研究表明，京津冀区域
PM 2.5 主要来自工业和民用污染，
100
户居民进行调查，发现每户的用气量都在
150 立方米到 450 立方米之间，得到如图所示
的频率分布直方图．在这些用户中，用气量在区间
[300 ， 350）的户数为（
）
A ．5
B ．15
C． 20
D． 25
→→
→
→
→→ →
→
→→
4．（ 5 分）已知平面向量 ??，??满足 |??| = 2， |??| = 1 ，且 (2??- ??) ?(??+ 2??) = 9 ，则向量 ??，??
取回，则取回的钱的总数为（
）
17
A ．a（ 1+ r）
B．
?? [（
1+r）
17﹣（
1+
r）
]
??
C． a（ 1+ r） 18
D．
?? [（
1+r） 18﹣（
1+r）
]
??
12．（ 5 分）设函数 f（ x）＝ alnx+bx2（ a＞ 0，b＞ 0），若函数 f（ x）的图象在 x＝ 1 处的切线
2020 年黑龙江省高考数学（文科）模拟试卷（ 2）
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．76【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A 坐标为()3,3x x ，代入抛物线得到坐标为()6,23b b ，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为33y x =，设点A 坐标为()3,3x x ，代入抛物线得到x=2b,故点A 的坐标为()6,23b b ，代入双曲线得到22221371.366b b e a a =⇒=+= 故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).2．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．3．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确；结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D 项错误． 综上，故选D ．4．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3【答案】A【解析】【分析】 根据交集的结果可得3是集合B 的元素，代入方程后可求m 的值，从而可求B .【详解】依题意可知3是集合B 的元素，即23230m -⨯+=，解得3m =-，由2230x x --=，解得1,3x =-.【点睛】本题考查集合的交，注意根据交集的结果确定集合中含有的元素，本题属于基础题.5．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）A ．58B ．57C ．56D ．55【答案】B【解析】【分析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是57.故选：B.【点睛】本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．1600【答案】B【解析】【分析】 由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =，所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=，所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.7．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A 6B ．10C 5D 15 【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===u u u r u u u r u u u r ．设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =r ， 则130,20,n AC x y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩v v 取1x =， 得(1,3,0)n =r ．设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ， 则11236sin 484||BC n BC n θ⋅-===⋅⋅u u u r r u u u r r ， 2610cos 14θ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴直线1BC 与平面11ACC A 15 故选：D【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( )A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=， 则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A.【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.9．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ）A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B【解析】【分析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果.【详解】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122C C A 将选中2名男生平均分为两组：112122C C A 则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C = 所以所求的概率为42189= 故选：B【点睛】 本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以m m A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.10．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【答案】B【解析】【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果.【详解】 ()1,4X N Q :，所以，()()020.3P X P X <=>=.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.11．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )A．23B．163C．6 D．与点O的位置有关【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面11ADD A上，高为2，所以四棱锥的体积为184233⨯⨯=，所以该几何体的体积为816 833 -=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.12．如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE14SB =.，异面直线SC与OE所成角的正切值为（）A．222B．5C．1316D．113【答案】D【解析】【分析】可过点S作SF∥OE，交AB于点F，并连接CF，从而可得出∠CSF（或补角）为异面直线SC与OE所成的角，根据条件即可求出3210SC SF CF===，，这样即可得出tan∠CSF的值.【详解】如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF（或补角）即为异面直线SC与OE所成的角，∵14SE SB=，∴13SE BE=，又OB＝3，∴113OF OB==，SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴32SC=；SO⊥OF，SO＝3，OF＝1，∴10SF=；OC⊥OF，OC＝3，OF＝1，∴10CF=，∴等腰△SCF中，2232(10)()112332tan CSF∠-==.故选：D.【点睛】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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数学试题
一、单选题
1．设全集 ，集合 ， .则集合 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先算出集合 ，再与集合B求交集即可.
【详解】
因为 或 .所以 ，又因为 .
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【详解】
∵直线 是曲线 的一条对称轴.
，又 .
.
∴平移后曲线 为 .
曲线 的一个对称中心为 .
.
，注意到
故 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
【答案】A
【解析】过 作 与准线垂直，垂足为 ，利用抛物线的定义可得 ，要使 最大，则 应最大，此时 与抛物线 相切，再用判别式或导数计算即可.
【详解】
过 作 与准线垂直，垂足为 ， ，
则当 取得最大值时， 最大，此时 与抛物线 相切，
易知此时直线 的斜率存在，设切线方程为 ，
则 .则 ，
则直线 的方程为 .
【详解】
因为 在 上是奇函数.所以 ，解得 ，所以当 时，
，且 时， 单调递增，所以
在 上单调递增，因为 ，
故有 ，解得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.
8．如图，在 中，点 为线段 上靠近点 的三等分点，点 为线段 上靠近点 的三等分点，则 （）
二、填空题
13．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________.
【答案】20
【解析】由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.
【详解】
由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆
故选：C.
【点睛】
本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.
6．已知 中内角 所对应的边依次为 ，若 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由余弦定理可得 ，结合 可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得 ，由 ，解得 ，
2．设复数 满足 为虚数单位)，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易得 ，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知， ，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
3．用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于 的概率为（）
故答案为：80.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.
15．已知 ，则 ________. (填“>”或“=”或“<”).
【答案】
【解析】注意到 ，故只需比较 与1的大小即可.
【详解】
由已知， ，故有 .又由 ，
故有 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．已知点 为双曲线 的右焦点， 两点在双曲线上，且 关于原点对称，若 ，设 ，且 ，则该双曲线 的焦距的取值范围是________.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ，由于 .所以四边形 为矩形，故 ，由双曲线定义 可得 ，再求 的值域即可.
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确； .
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
5．已知 为锐角，且 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，再利用 计算即可.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
所以 .
【详解】
先作出函数 在 上的部分图象，再作出 关于原点对称的图象，
如图所示，当 时，对称后的图象不可能与 在 的图象有3个交点；
当 时，要使函数 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
12．已知函数 满足当 时， ，且当 时， ；当 时， 且 ).若函数 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先作出函数 在 上的部分图象，再作出 关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
乙公司旅游总收入在 中的有2人，故 的可能取值为1，2，3，易知：
， ;
.
所以 的分布列为：
1
2
3
P
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
19．已知数列 ， 满足 .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）分别求数列 ， 的前 项和 ， .
10．半径为2的球 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱柱上下底面的中心分别为 ，底面边长与高分别为 ，利用 ，可得 ，进一步得到侧面积 ，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为 ，底面边长与高分别为 ，则 ，
柱组合而成，其体积为 .
故答案为：20 .
【点睛】
本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题.
14． 的展开式中 的系数为________.
【答案】80.
【解析】只需找到 展开式中的 项的系数即可.
【详解】
展开式的通项为 ，令 ，
则 ，故 的展开式中 的系数为80.
所以， .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
7．设 为定义在 上的奇函数，当 时， ( 为常数)，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，所以 ，由 为定义在 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知 在 上单调递增，注意到 ，再利用函数单调性即可解决.
（2）易得总收入在 中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数 的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.
【详解】
（1）由直方图知， ，解得 ，
由频数分布表中知： ，解得 .
所以，甲公司的导游优秀率为： ，
乙公司的导游优秀率为： ，
由于 ，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在 中的有 人，
∵ 平面 .
.
平面 ；
（2）如图，取 中点 ，连 ，以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系：
，
点 ，
设平面 的法向量为 ，
，
有 ，令 ，
得
又 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以
故直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
在 中， ，化为 ，
，
，
当且仅当 时取等号，此时 .
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
11．已知焦点为 的抛物线 的准线与 轴交于点 ，点 在抛物线 上，则当 取得最大值时，直线 的方程为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
18．2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为 ，结合独立事件发生的概率计算即可.
【详解】
∵每次生成一个实数小于1的概率为 .∴这3个实数都小于1的概率为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.
4．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）
【答案】（1） （2） ；
【解析】（1） ， ，可得 为公比为2的等比数列， 可得 为公差为1的等差数列，再算出 ， 的通项公式，解方程组即可；