高数ⅡA卷答案
0910高等数学A（二）答案
0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
高数ⅱa卷答案
广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案（A 卷）一、填空题（每空3分，共21分）1. 若)()(x g x f 是的一个原函数，则⎰=dx x g )(C x f +)( .2. =⎰x xdt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -⋅ . 3. 已知⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰dx e f e x x )(C e F x +--)(4. 设x x f sin )(=时，则='⎰dx xx f )ln （C x +)sin(ln 5. 设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f l l )( 06. 改变二次积分的积分次序，⎰⎰=100),(y dx y x f dy ⎰⎰101),(x dy y x f dx7. 方程032=-'-''y y y 的通解是x x e c e c y -+=231二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1. 解:C x x x d xdx x x +==⎰⎰ln ln )(ln ln 1ln 1 …………（6分） 2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+⎰⎰)21(ln 31)211131)2)(1(（ （或 C x x ++-=)12(ln 31） …………（6分） 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ⎰⎰⎰----+-=-=cos sin )(sin sin …（3分）= )(cos sin x x e d x e x --⎰-- ………（4分）=xdx e e x x x x x sin cos sin ⎰------e ………（5分）所以，C x x e xdx e x x ++-=--⎰)cos (sin 21sin ………（6分）4. 解: dt t dx t x t x 2333,22=-==+，则令 ……（1分）C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++⎰⎰⎰3332222321ln 323)1(231ln 332311131321）（……（6分）5. 解:2sin sin cos cos cos 2220200=-=-=⎰⎰⎰πππππππx x xdx dx x dx x （6分）6. 解:1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1010112==+=+⎰⎰-x dx x dx x x x …（6分） 三、计算下列各题（每小题5分，共15分）.1.xy e z xy sin +=，求yz x z ∂∂∂∂，. 解：xy y ye xz xy cos +=∂∂ …………（3分） cos xy z xe x xy y∂=+∂ …………（5分） 2.）2ln(y x z +=，求 22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2.解：2221y x y y z y x x z +=∂∂+=∂∂， …………（2分） 2222222(2(1），）y x y y x z y x x z +-=∂∂∂+-=∂∂ …………（5分） 3. )643ln(z y x u -+=，求du . 解：dz zy x dy z y x dx z y x du 643664346433-+-+-++-+= …（5分）四、计算重积分(每小题5分，共10分).1. ⎰⎰-+Ddxdy x y x )(22，其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的区域.解：原式=⎰⎰-+x x dy x y x dx 22220)( ………（3分） =dx x x )310(2320-⎰ ………（4分） =332 ………（5分） 2. dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中}4),({2222ππ≤+≤=y x y x D .解：原式 =220sin d r r dr πππθ⎰⎰ ………（3分）= -26π ………（5分）五、求解微分方程（8分）. 解：3)1()(12)(+=+-=x x q x x p ， ………（2分） 利用公式法，得所求微分方程的通解为：])1([12312C dx ex e y dx x dx x +⎰+⎰=+-+⎰ ………（6分） )21()1(22C x x x +++= ………（8分）六、三个正数之和为21，问三个数为何值时才使三者之积最大（10分） 解：设三个正数分别为z y x ,,，依题意得：xyz u =，满足21=++z y x 设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………（4分）因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=02100L 0z y x L xy L xz yz L z y x λλλλ 得7===z y x ………（9分）由于只有一个驻点，所以当7===z y x 时，三者之积u 最大。
高等数学二本(A)参考答案
一、填空题（每一小题2分，共10分）1．设()1(1)sin ,11,1x x f x x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，则a 1- ．2．设()0f x '存在，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 3()0f x ' ．3．函数x xe y =的n 阶导数()=n y x e n x )(+ ．4．x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ξ=__ 1-e ____ _． 5．反常积分2122dx x x +∞-∞++⎰=_____π_________．二、求下列极限(每一小题5分，共20分）6．x x x x 3)1212(lim -+∞→ 7．xx x 11lim 20-+→解：6．原式xx x 3)1221(lim -+=∞→ 2分 .)1221(lim 3126212e x x xx x =-+=-⋅-∞→ 5分 7．原式.011lim )11(lim 20220=++=++=→→x xx x x x x 5分8．222111lim ()12n n n n n n →∞++++++ 9．2050cos lim xx x t dtx →-⎰ 解：8．令)12111(222nn n n n x n ++++++= ，则有 n n n n n n x n +=+>12，又.11222n n n n n x n +=+< 2分 且.11lim 1lim22=+=+∞→∞→n n n nn n所以由夹逼准则得222111lim ()12n n n n n n→∞++++++.1= 5分 9．利用洛必达法则，有2050cos lim xx x t dtx →-⎰4205cos 1lim xx x -=→ 3分 .10140cos 4lim 20sin 2lim 20320===→→x x x x x x x x 5分三、求下列函数的导数或微分(每一小题5分，共20分）10．设(x y e x =，求.dy解：10．dx x x e dy x ])1([2'++= 2分.)111(22dx x x x x e x +++++= 5分11．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，求.0=x dx dy解：方程两边对x 求导得.cos 32322x dx dy x y x yx dx dyx ++=++3分所以有.1)cos 3)((23522-+++-=y x x x y x y x x dx dy 且.10==x y从而.110)0cos 0)(10(00=-++-==x dx dy 5分 12．已知2ln(1)tan x t y t arc t⎧=+⎨=-⎩，求dx dy ，22d y dx .解：.21211122t t t t dx dy =++-= 3分 22d y dx .411221)(22t t t t dt dx dx dy dt d +=+== 5分 13. 求函数(1)x y x =+的导数y '.解：(1)x y x =+.)1ln(+=x x e 2分].1)1[ln()1(]1)1[ln()1ln(++++=+++='+x xx x x x x e y x x x 5分四、求下列积分(每一小题5分，共20分）14. dx xx e x ⎰++)2cos 32(解：原式dx xdx x dx e x ⎰⎰⎰++=2cos 32 2分.2sin 2ln 32C xx e x +++= 5分15. ⎰-232)1(x dx解：法(1) 原式)1()1(21)1(1)1(1223221223222x d x xdx x dx x x x ----=-+-=⎰⎰⎰212212)1(1)1(1x d x dx x -+-=⎰⎰ 3分 .1)1(11)1(122122212C x x dx x x x dx x +-=---+-=⎰⎰ 5分 法(2) 令).2,2(,sin ππ-∈=t t x 则.cos tdt dx = 2分原式.1tan sec cos cos 223C xx C t tdt t tdt +-=+===⎰⎰5分 16. arctan x xdx ⎰解：原式⎰=2arctan 21xdx 3分 .arctan arctan 211arctan 212222C x x x x dx x x x x ++-=+-=⎰ 5分 17.21e ⎰解：令.ln 1t x =+ 则dt dx x=1，且当1=x 时，1=t ；2e x =时，.3=t 3分所以有原式).13(223131-===⎰t tdt5分五、综合题(每一小题6分，共24分）18．设0>x ，证明: ()x x x x <+<-1ln 22． 证明: 法(1) 由于函数()x x f +=1ln )(在),1(∞+-内3阶可导，于是由泰勒公式得()21221)1(2!2)(!1)0()01ln(1ln ξξ+-=''+'++=+x x x f x f x ，其中).,0(1x ∈ξ 2分 ()3232322)1(32!3)(!2)0(!1)0()01ln(1ln ξξ++-='''+''+'++=+x x x x f x f x f x ，其中 ).,0(2x ∈ξ由于当0>x 时，有0)1(2212>+ξx ，.0)1(3323>+ξx 所以 ()x x x x <+<-1ln 22． 5分法(2) 令()().1ln )(,21ln )(2t t t g t t t t f +-=+-+=则)(),(t g t f 在),0(∞+内可导，且.01111)(,01111)(2>+=+-='>+=+-+='ttt t g t t t t t f 3分即)(),(t g t f 在),0(∞+内严格递增，又)(),(t g t f 在0=t 处连续，所以)(),(t g t f 在),0[∞+内严格递增，从而当0>x 时有).0()(),0()(g x g f x f >> 即().1ln 22x x x x <+<- 5分19．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，证明：在()1,0内，有且仅有一个数0x ，使()00f x x =． 证明：令.)()(x x f x g -= 先证)(x g 在()1,0内，有一个零点。
1314高等数学A(二)试题答案 济南大学
五、综合题（每小题10分，共20分）
2. 设平面区域D是由曲线 和直线 y 0, x 1
所围成的闭区域， 其中 ( 1) n1 x n , n n 1
的和函数.计算二重积分
是幂级数
1 x 1
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(1) n1 x n 解: y(0) 0, y ( x) , n n 1 n 1 n n 1 n 1 ( 1) x ( 1) nx y( x) ( ) n n 1 n n 1 1 n 1 ( x) 1+x n 1 x 1 x d x ln(1 x). x (1,1]. y( x) y(0) y( x) d x 0 1 x 0
(B) 必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
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全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
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去年高数A( 二)考点总结 • 全微分,复合函数求导,隐函数求导, • 连续,可导和全微分的关系,函数的极值 • 二重积分的几何意义,直角坐标系下的二重积分, 球坐标系下的三重积分,第二类曲面积分,格林 公式,曲线积分与路径无关的充要条件 • 交错级数的莱布尼兹判别法,条件收敛和绝对收 敛,求幂级数的收敛半径以及和函数.收敛定理 去年高数B( 二)考点 • 函数展成幂级数,极坐标系下的二重积分.
大学高等数学A-2试卷答案
《高等数学》考试试卷A-2参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题3分, 共15分)1．B 2．C 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题3分，共15分)1．12dx dy + 2．533．2(,)x f a b ' 4．230+-=y z 5．18π三、计算题(每题7分；共56分)1．解： 设平面方程为 0+++=Ax By Cz D根据题意有000+++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩A B C D B C D A B C （4分）所以有0=D ；::2:1:1=-A B C所求平面方程为 20--=x y z （3分）2．解：21212()2()4,z z u z v u v x y x y x x u x v x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅=++-= （3分） ()21212()2()4.z z u z v u v x y x y y y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅-=+--= （4分）3解：D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域也就是{}22(,)11,21=-≤≤≤≤+D x y x x y x （3分）(){}22221111120212240(2)(2)223221415++-+=+==+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x D x y dxdyD dx x y dy dx ydyx x dx （4分）4．解：计算三重积分:zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+及平面1z =所围成的闭区域． 解： {}(,,)(,),01z x y z x y D z Ω=∈≤≤,其中z D ：222x y z +≤ (+2分)故10z D zdxdydz zdz dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12022 3z dz ππ==⎰ (+5分) 5．解： 设2222(,),(,)y x P x y Q x y x y x y ==-++，因为()()22:111L x y -+-=， 所以220x y +≠，而且有()22222Q x y P x y x y ∂-∂==∂∂+， .(3分) 故由格林公式得22 L ydx xdy I x y -=+⎰0xy D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=-= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ .(4分) 6．解：计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，∑是抛物面22y x z +=被平面1=z 所截下的有限部分的下侧。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
高等数学试卷2及答案
１高等数学（A2）试卷（二）答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分）1. B,2. D,3. B,4. C,5. D,6. B,7. D,8. B.二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分）1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得03332='--'x x z xy yz z z (1分)解得 xyz yzz x -='2(3分) 方程两边对x 求导,得 xyz xzz y -='2(5分) 所以, )(2xdy ydx xyz zdz +-= (7分) 2． 求⎰⎰-=Ddxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成.解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ⎰⎰-=1022x dy y x dx I (2分)令t x y cos =, 则有⎰⎰=102022sin πtdt dx x I (6分)12π=(7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间.解: xx x f --=11ln )(5 (2分)由∑∞=-≤<--=+11)11()1()1ln(i nn t nt t , 可得 (4分) ∑∞=<≤--=-155)11()1ln(i nx n x x (5分) ∑∞=<≤--=-1)11()1ln(i nx nx x (6分) 所以, ∑∑∞=∞=<≤--=151)11()(i ni n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1cos 1222-=-+'x xy x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=⎰=--x e x dxx xμ得 (2分)x y x dxdcos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1sin 2-+=x cx y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为11sin 2--=x x y (7分) 三、计算题(本题8分)用高斯公式计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧.解: 由高斯公式可得２⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ++=++=zdxdydzydxdydz xdxdydz dxdydzz y x I 222)222( (2分)又因,⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==bcabc a xdx dz dy xdxdydz 0222 (4分) 同理有, ⎰⎰⎰Ω=c ab ydxdydz 22,⎰⎰⎰Ω=22abc ydxdydz (6分) 所以, )(c b a abc I ++= (7分)四、计算题(本题8分)确定b 并求出曲线32121,,:t z t y t x =-==Γ的切线, 使之与平面4:=++∏z by x 垂直.解: 设Γ上点)121,,(302000t t t M -处的切线与平面∏垂直 Γ在0M 处的切向量为, )41,2,1(200t t -=τ (2分)与平面∏的法向量, )1,,1(b n =平行, 即14121120tb t =-=, 解之得 (4分) )1,4,1(),32,4,2(,4,200=±-±=±=τM b t (6分)得切线方程, )4(1324412-=-=-+=-b z y x)4(1324412=+=+=+b z y x (8分)五、证明题(本题8分)证明曲线积分⎰+-=Cdy x dx x xy I 22cos )sin 2(在xoy 面上与路径无关,并计算积分值, 其中C 为椭圆12222=+by a x 的右半平面)0(≥x 部分, 从),0(b A -到),0(b B .证明: 因为22sin 2)sin 2(x x x xy yy P -=-∂∂=∂∂22sin 2)(cos x x x xx Q -=∂∂=∂∂ 所以曲线积分I 在xoy 面上与路径无关 (4分)又因)cos (cos sin 2222x y d dy x dx x xy =+- (6分)所以b x y x y d I b b C2|cos )cos (),0(),0(22===-⎰(8分)六、计算题(本题8分)若)(22y x f z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yzx z , 求z , 其中)(r f 有连续的二阶导数.解: 记22y x r +=, 则有3222222)()(,)(r x r r f r x r f x z r x r f x z -'+''=∂∂'=∂∂ 3222222)()(,)(ry r r f r y r f x z r y r f y z -'+''=∂∂'=∂∂ 代入方程得 0)(1)(='+''r f rr f (4分) 解之得 rcr f =')( (6分) 0ln )(c r c r f z +== (8分)３七、应用题(本题8分)要建造一个上部为半球型下部为圆柱型的不锈钢储水罐, 要求容积为A , 问球体和圆柱半径r 与圆柱高h 为何时, 可以使用料最省?解: 当所求储水罐的表面积最小时, 可以使用料最省, 用),(h r S 表示储水罐的表面积, 则有)0,0(23),(2>>+=h r rh r h r S ππ (2分) 由要求容积为A , 得h r ,的约束关系A h r r =+2332ππ, 解之得)32(132r A r h ππ-=(4分)代入),(h r S 得 rAr r h r S r 238))(,()(2+==πϕ令 02316)(2=-='r A r r πϕ, 解得驻点310)83(πAr = (6分) 又因0)(0>''r ϕ, 故)(r ϕ在0r 处取得极小值. 由于只有唯一极小值点,所以即为所求最小值点, 此时有002r h = (8分) 故r ,h 分别取00,h r 时, 可以使用料最省.。
高等数学A(二)2009-2010(A)解答
《 高等数学A （二）》（A 卷）(答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、(C)2、(A).3、( A )4、 D5、（A ）二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32,31,31 2、dy dx 2- 3、π4、25、062=-+y x三、解答下列各题(本大题共7小题，总计60分)1、(本小题8分)22222222])1()1[()1(2)1()1(1)1()1(1-+----+-=-+--=y x x y x u y x x u ••••xx x 解： 4分 22)1()1(1-+--=y x y u y 222222])1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy7分u u xx yy +=0。
（8分） 2、(本小题8分)解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=06306322y y z x x z yx ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2xyyy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 06)2,2(,036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。
44= 8分3、(本小题12分)（1）解：,)12(12-+=n n n n u原级数收敛∴<=+==-∞→∞→,141)12(lim 12lim n n n n n n n n u ρ 。
……6分 或nn n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-41221012，所以原级数收敛。
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高数ⅡA卷答案 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
广东海洋大学2014—2015学年第二学期
《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案（A 卷）
一、填空题（每空3分，共21分） 1. 若)()(x g x f 是的一个原函数，则⎰=dx x g )(C x f +)( .
2. =⎰x x
dt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -⋅ . 3. 已知⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰
dx e f e
x x
)(C e F x +--)(
4. 设x x f sin )(=时，则='⎰dx x x f )ln （
C x +)sin(ln 5. 设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f l
l )( 0 6. 改变二次积分的积分次序，⎰⎰=
1
00),(y dx y x f dy ⎰⎰
10
1),(x
dy y x f dx
7.
方程032=-'-''y y y 的通解是x
x e c e c y -+=231
二、计算下列积分（每小题6分，共36分）
1. 解:C x x x d x dx x x +==⎰⎰ln ln )(ln ln 1ln 1 …………（6分）
2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+⎰⎰)2
1
(ln 31)211131)2)(1(（ （或 C x x ++-=)1
2
(ln
3
1 ） …………（6分） 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ⎰⎰⎰----+-=-=cos sin )(sin sin …（3
分）
= )(cos sin x x
e d x e
x --⎰-- ………（4分）
=xdx e e x x x
x x sin cos sin ⎰------e ………（5分）
所以，C x x e xdx e x x
++-=--⎰)cos (sin 2
1sin ………（6分） 4. 解: dt t dx t x t x 233
3,22=-==+，则令 ……（1
分）
C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++⎰⎰⎰3
3322
22321ln 323)1(2
31ln 332
311131321）（……（6分）
5. 解:2sin sin cos cos cos 2
2
20
20
=-=-=⎰⎰⎰
ππ
π
ππ
π
π
x x xdx dx x dx x （6
分） 6. 解:1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1
01
11
2
==+=+⎰⎰
-x dx x dx x x x …（6
分）
三、计算下列各题（每小题5分，共15分）.
1.xy e z xy sin +=，求y
z x z ∂∂∂∂，.
解：
xy y ye x
z
xy cos +=∂∂ …………（3分） cos xy z
xe x xy y
∂=+∂ …………（5分） 2.）2
ln(y
x z +=，求 22x
z
∂∂和y x z ∂∂∂2.
解：2
221y x y
y z y x x z +=∂∂+=∂∂， …………（2分） 2222222(2(1）
，）y x y y x z y x x z +-=∂∂∂+-=∂∂ …………（5分）
3. )643ln(z y x u
-+=，求du .
解：dz z
y x dy z y x dx z y x du 6436
64346433-+-+-++-+=
…（5分）
四、计算重积分(每小题5分，共10分). 1. ⎰⎰-+D
dxdy x y x )(2
2，其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的
区域.
解：原式=⎰⎰-+x
x dy x y x dx 22220)( ………（3分） =dx x x )3
10(
23
2
0-⎰ ………（4分） =3
32
………（5分）
2. dxdy y x D
⎰⎰+22sin ，其中}4),({2
222ππ≤+≤=y x y x D .
解：原式 =220sin d r r dr π
π
πθ⎰⎰ ………（3分） = -26π ………（5分） 五、求解微分方程（8分）.
3)1(1
2+=+-x x y dx dy 解：
3)1()(1
2
)(+=+-=x x q x x p ， ………（2分） 利用公式法，得所求微分方程的通解为：
])1([1
231
2C dx e
x e
y dx x dx x +⎰
+⎰
=+-
+⎰ ………（6分）
)2
1()1(2
2
C x x x +++= ………（8分）
六、三个正数之和为21，问三个数为何值时才使三者之积最大（10分）
解：设三个正数分别为z y x ,,，依题意得：xyz u =，满足21=++z y x 设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………（4分）
因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-++==+==+==+=0
2100
L 0z y x L xy L xz yz L z y x λ
λλλ 得7===z y x ………（9分）
由于只有一个驻点，所以当7===z y x 时，三者之积u 最大。
…（10分）。