北师大版九年级上册数学相似三角形整理与复习
北师大版初中数学九年级上-册第四章相似三角形(复习)(共29张PPT)精选全文
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
解 析 ∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，
∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
故选A.
考点聚焦
归类探究
回归教材
Байду номын сангаас中考预测
相似三角形及其应用
探究二 相似三角形的性质及其应用
命题角度： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
例3 如图22－4，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且 ∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 ，AF＝4 ，求AE的长．
图22－4
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
考点聚焦
归类探究
回归教材
探究四 位似 命题角度： 1. 位似图形及位似中心定义； 2. 位似图形的性质应用； 3. 利用位似变换在网格纸里作图．
例 4 在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)，F(－2，－2)，
以原点 O 为位似中心，相似比D为12，把△EFO 缩小，则点 E 的对应
点 E′的坐标是( )
A．(－2，1)
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
探究五 相似三角形与圆
命题角度： 1. 圆中的相似计算； 2. 圆中的相似证明． 例5 如图22－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB. (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．
数学北师大版九年级上册相似三角形复习
活动4：渐入佳境
2.如图，已知△ABC∽△ADE， ∠AED=40°，∠B=80°，则 ∠A的度数为（ ） A．40° B．60° C．70° D．80°
活动4：渐入佳境
3.如图， ABCD中，G是BC延长线 上一点，AG交BD于E，与DC交于点F， 则图中相似三角形共有___ 对。
B E C F D G
A
活动4：渐入佳境
4.如图，在△ABC中，AD、BE是两条中线， 则S△DOE：S△AOB=（ ） A．1：2 C．1：3 B．2：3 D．1：4
S△DOB：S△AOB = ?
活动5：勇于尝试:
如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边 上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点 E、H分别在AB、AC上，BC=40cm，AD=30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长．
D
A
G
B
F C
相似三角形的性质：
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的周长之比等于相似比，面积 之比等于相似比的平方。 3、相似三角形对应边上的高线、中线、对应 角平分线之比都等于相似比。
活动：渐入佳境
1.如图所示，△ABC∽△ACD，且AB=10cm， AC=8cm，则AD的长是（ ） A．6.4cm C．2cm B．6cm D．4cm
A
B C
相似三角形的判定：
相似三角形的判定1： 两角对应相等，两三角形相似。 相似三角形的判定2： 两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似。 相似三角形的判定3： 三边对应成比例，两三角形相似。
活动3：乘胜追击
如图，由边长为1的 25个小正方形组成的网 格上有一个△ABC，在网 格上有一个与△ABC相似 且面积最大的△DEF ，使 它的三个顶点都落在小 正方形的顶点上，你能 E 求出△DEF 的面积吗？
北师大版数学九年级上 相似三角形的性质及判定知识点总结 习题型总结(学生版)
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形 了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B E F，，恰为BEF△的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A B C，，恰为ABC△的顶点；右边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D E F，，恰为DEF△的三个顶点．因此只需证ABC DEF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
北师大版九年级数学上册第4章：相似三角形 复习
A．36° B．117° C．143°D．153°
知识梳理 2.如图，在△ABC中，AB＝9， AC＝6，D是AB边上的一点．若 △ABC∽△ACD，则AD的长
为（ C ）．
A．3 B．7 C. 4 D．12
知识梳理
3.如图，在 △ABC中，点D为AB边上的一点， 要使 △ABC∽ △AED成立，
（3）若AD＝4，AB＝6，求 AF的值．
反思升华
同学们，经过今天的学习，你收获了什么？
教师寄语
从错误中吸取教训， 从失败中取得进步，
完善完整知识网络， 我们将会成为最棒的一个！
作业：
A：完成助学126页5题，129页16,17题. B： 完成助学125页3,4题.
知识梳理
6.如图，在平行四边形ABCD中， 点E在边DC上，DE：EC＝3：1， 连接AE交BD于点F，则 △DEF的面积与△BAF的
面积之比为（ A ）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
知识梳理
判定 相似三角形
性质
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例. 相似三角形的对应高线的比、对应角平分 线的比、对应中线的比、周长比都等于相 似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
应用提升 相似三角形的判定与性质应用
锐角三角形 ABC，过点E用直线 去截三角形 ，使截得 的三角形与三角形 ABC 相似
连接BF交DC与点E,若AB 4，AD 6，DF 2，
则EC __3_____.(5分）
方程思想
达标检测
3. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， AC 平 分 ∠ DAB ， ∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB AD ；
北师大版九上数学4.7相似三角形的性质知识点精讲
知识点总结6.相似三角形的性质相似三角形的性质★★★相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形性质定理1★★★ 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形性质定理2★★★相似三角形的周长的比等于相似比.相似三角形性质定理3★★★相似三角形的面积的比等于相似比的平方.要点解析1.性质定理1和定理2可以概括为：相似三角形中对应线段（高、中线、角平分线）及周长的比都等于相似比. 即相似三角形对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=周长的比=相似比.在这些比例中，只要知道任何一组线段的比，就可以求出其他对应线段的比.2.相似三角形的性质3为：相似三角形的面积比=相似比的平方，要防止出现“面积比=相似比”的错误.如果其中两个三角形相似，它们之间有怎样的性质呢？相似三角形线段的关系在相似三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：高线、中线，角平分线。
这些对应线段之间有怎样的关系呢？相似三角形周长和面积的关系周长比等于相似比。
面积的比等于相似比的平方。
【例】一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块三角形和一块梯形，要使切割出的三角形与梯形面积之比为4：5，该怎么切割呢？同理，当DE平行于AC或AB时，也可以得到类似的结果，因此可以有三种切割方法。
相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理习题讲析△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是A、5cmB、10cmC、15cmD、30cm解析：C试题分析：由△ABC的三边之比为3：4：5，根据相似三角形的对应边成比例，可得与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，又由与其相似的△DEF的最短边是9cm，即可求得答案。
解：∵△ABC的三边之比为3：4：5，∴与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，∵与其相似的△DEF的最短边是9cm，∴其最长边的长是：15cm．故选：C．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=B′C′．能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．解析：试题分析：要想让分成的每个三角形分别对应相似．那么唯一的方法就是把各个三角形中的直角进行分割．把∠C分为45°，45°，那么两个三角形的两个角分别为30°，45°；45°，60°，把∠C′分为30°，60°，那么两个三角形的两个角分别为30°，45°；45°，60°，相应的两个三角形都有两角对应相等，那么相似．试题解析：如图所示：∵∠C=90°，∠A=30°，∠C′=90°，A′C′=B′C′，∴∠B=60°，∠A′=∠B′=45°，又∵∠ACE=∠BCE=45°，∠A′C′F=30°，∠B′C′F=60°，∴∠A=∠AA′C′F，∠ACE=∠A′，∴△ACE∽△C′A′F，∵∠B=∠B′C′F，∠B′=∠BCE，∴△BCE∽△C′B′F．（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？答案。
北师大版九年级上册数学[《探索相似三角形相似的条件》知识点整理及重点题型梳理](基础)
](https://img.taocdn.com/s3/m/c371c00e83c4bb4cf6ecd119.png)
新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：12AC AB =≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，12是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】（2014秋•江阴市期中）给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．【答案】①②④⑤.类型二、相似三角形的三个判定定理2、如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．【思路点拨】（1）利用等边三角形的性质以及相似三角形的判定方法两角对应相等的两三角形相似得出即可；（2）利用对顶角的性质以及相似三角形的性质进而判断得出即可．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的两个对应角相等的判定方法以及等边三角形的性质等知识，得出对应角关系是解题关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．3、（2014秋•洪江市期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【思路点拨】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．【答案与解析】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定．属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．4、网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，试说明△ABC∽△DEF．【思路点拨】利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得△ABC∽△DEF．【答案与解析】举一反三【变式】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=________，BC=_________；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【答案】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，（2）△ABC ∽△DEF ．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°， ∴∠ABC=∠DEF ．BC FE===∴△ABC ∽△DEF ．类型三、黄金分割5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形． 理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法.举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。
北师大版数学九年级上册第四单元图形的相似单元复习课件(一)“A字形、8字形”相似三角形问题
（2） 请说明其中一对三角形相似的理由.
[答案] ①证明 ， ,即 .又 , .②证明 由①知 ， .又 ， .
模型二 “8字形”及其变形
【模型说明】两个三角形有一对对顶角和一对等角，则出现“8பைடு நூலகம்形”相似，基本图形有如下两种.
“8字形”（平行）
反“8字形”（不平行）
出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动，运动的时间为 ．当以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的值．
解：由题意得 ， ， .若 ，则有 ，即 .解得 .
若 ，则有 ，即 .解得 . 当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似．
Ⅲ.“母子型”
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .
模型三 作平行线构造“A字形或8字形”及其变形
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
“A字形”（平行）
斜“A字形”（不平行）
“母子型”（由斜“A字形”变形而得）
“旋转型”（由“A字形”变形而得）
Ⅰ.“A字形”（平行）
（第1题图）
1.如图，在 中， , , ，则 的长为( )
C
A. B.8 C.10 D.16
北师大版 九年级数学 相似三角形的复习
相似三角形的复习课前测试【题目】课前测试1如图，点D、E分别是△ABC边BC、AB上的点，AD、CE相交于点G，过点E作EF∥AD 交BC于点F，且CF2=CD•CB，联结FG。
（1）求证：GF∥AB；（2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形AEFG是菱形。
【答案】（1）证明：∵CF2=CD•CB，∴=，∵EF∥AD，∴=，∴=，∴GF∥AB；（2）解：联结AF，∵GF∥AB，∴∠CFG=∠B，∵∠CAG=∠CFG，∴∠CAG=∠B，∵∠ACD=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴=，即CA2=CD•CB，∵CF2=CD•CB，∴CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CAG=∠CFG，∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形AEF是平行四边形，∴四边形AEFG是菱形．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定，平行线的判定，（1）证明：∵CF2=CD•CB，∴=，∵EF∥AD，∴=，∴=，∴GF∥AB；（2）解：联结AF，∵GF∥AB，∴∠CFG=∠B，∵∠CAG=∠CFG，∴∠CAG=∠B，∵∠ACD=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴=，即CA2=CD•CB，∵CF2=CD•CB，∴CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CAG=∠CFG，∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形AEF是平行四边形，∴四边形AEFG是菱形．总结：熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，（1）根据已知条件得到CD：CF=CF：CB，根据平行线分线段成比例定理得到CG：CE=CD：CF，等量代换得到CF：CB=CG：CE，于是得到结论；（2）联结AF，根据平行线的性质得到∠CFG=∠B，等量代换得到∠CAG=∠B，根据相似三角形的性质得到CA2=CD•CB，等量代换得到CA=CF，根据等腰三角形的性质得到∠CAF=∠CFA，于是得到结论。
【难度】4【题目】课前测试2如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形整理与复习【考点分析】①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． ②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比． ③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．一、比例线段1. 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条 线段叫做成比例线段，简称比例线段.2. 第四比例项：若d cb a =，则d 叫a 、b 、c 的第四比例项. 3. 比例中项：若cb b a =，即ac b =2，则b 叫a 、c 的比例中项.针对练习：1、下列说法中正确的是（ ）A.两条线段的比总是整数B.两条线段的比总是正数C.两条线段的比可能为0D.两条线段的比与所采用的长度单位有关 2、下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1二、比例的性质1 基本性质：ac b cbb a bc ad d c b a =⇔==⇔=2;（a 、b 、c 、d 都不为零） 2 等比性质： 如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．温馨提示：(1)此性质的证明运用了“设k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b三、黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC, 如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点, AC 与AB 的比叫做黄金比.四、相似多边形1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形。
2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相 似比。
3、相似多边形的性质（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
例1 、（1）若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________. （2）已知0753≠==zy x ，求下列各式的值：y z y x +- z y x z y x +-++35432变式练习1： （1）已知342=+x y x ，则y x（2）已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zyx +的值；②若x +y +z =6，求x 、y 、z .（2）若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ，b ，c .例2、如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB 上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．变式练习2：据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37°C ）的“黄金分割点”时，人感到最舒适.这个气温约为_______°C.例3、以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2=AD ·DM .（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？变式练习3：如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.例4、如图，将矩形ABCD 沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE 与矩形ABCD 相似，确定矩形ABCD 长与宽的比。
变式练习4：在长 8cm ，宽 4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（图中阴影部分）与矩形相似，那么留下的矩形的面积为（ ）cm 2。
A 32B 8C 24 D12课堂练习（一）选择题1.已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是( )A.a∶d=c∶bB.a∶b=c∶dC.d∶a=b∶cD.a∶c=d∶b2.下列说法中正确的是：所有的（）都相似。
A、菱形B、矩形C、正方形D、梯形3.一条线段的黄金分割点有（）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 无数个4.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=215-AB C.BM=215-AB D.AM≈0.618AB 5.下列各组图形中相似的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④6.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（）A．2DE=3MN， B．3DE=2MN，C. 3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F7.已知a cb d=,则下列式子中正确的是（）A.a∶b=c2∶d2B.a∶d=c∶bC.a∶b=（a+c）∶（b+d）D.a∶b=（a－d）∶（b－d）8.如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )A.2∶1B.4∶1C.2∶1D.1∶2（二）填空题9. 如果53=-b b a ,那么ba=________. 10. 若5：2=（3-x ）：x ，则x=___________11. 在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________.（三）解答题12. 已知线段AB=10cm ，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.13. 在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50 m ，同时高为 1.5 m 的测杆的影长为2.5 m ，那么古塔的高是多少?14. 已知实数a ,b ,c 满足c b a b a c a c b +=+=+,求acb +的值. 自我巩固1.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ）A 、2，5，10，25B 、4，7，4，7C 、2，12，12，4 D 、2，5，25，252.若875cb a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（ ） A.14 B.42 C.7 D.314 3.五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是( ) A.5∶4B.4∶5C.5∶25D.25∶54.若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则AC=（ ）A 、15-B 、53-C 、215- D 、15-或53-5.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有_______.图形的相似（二）知识点总结1.相似三角形(1)相似三角形的定义：对应角，对应边的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形叫做相似比.(2)相似三角形的性质：相似三角形的对应角，对应边 .2.三角形相似的条件(1) ，两三角形相似.(2) ，两三角形相似.(3) ，两三角形相似.3.相似三角形的性质(1)相似三角形的，与都等于相似比.(2)相似三角形周长之比等于，相似三角形面积之比等于 .例1、如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.(1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由.(2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.变式练习1：如图，已知BD、CE都是△ABC的高。
NM QP ED CBA（1）求证：AD ·AC ＝AE ·AB（2）试猜想∠ADE 与∠ABC 有何关系？并说明你的猜想。
例2、如图△ABC 是一块锐角三角形材料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要求把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？变式练习2：在△ABC 中，AD 是高，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别在AB 、AC 上，QM 在边BC 上.若BC=8cm ，AD=6cm ，且PN=2PQ ，求矩形PQMN 的周长.例3、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，AE 是△ABC 的外角平分线，BF_ E_ A_ C_ B_ D是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．课堂检测（一）选择题1.下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等2.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：⑴∠B＋∠DAC＝90°；⑵∠B＝∠DAC；⑶CDAD =ACAB；⑷BCBDAB•=2其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A、1B、2C、3D、4第2题图3.在△ABC与△CBA'''中，有下列条件：①CBBCBAAB''=''；⑵CAACCBBC''=''③∠A＝∠A'；④∠C＝∠C'。
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△CBA'''的共有（）组。
A、1B、2C、3D、44.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）A.∠B=∠CB.∠ADC=∠AEBC.BE=CD，AB=ACD.AD∶AC=AE∶AB5.下列说法中正确的是( )A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等6.如图所示，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，并且AD∶BD=2，那么SΔADE∶S四边形DBCE=（）A.32B.43C.54D.947.△ABC和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC和△A′B′C′不相似的是（）A.∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°B.AB=1 AC=1.5 BC=2 A′B′=4 A′C′=2 B′C′=3C.∠A=∠B′AB=2 AC=2.4 A′B′=3.6 B′C′=3D.AB=3 AC=5 BC=7 A′B′=3A′C′=5B′C′=78.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④第4题图第6题图A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④（二）填空题9.如图，在RT ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=_________。