吉林省吉林市第一中学校15—16学年高一5月月考数学(奥班)试题(附答案)

吉林一中15级高一下学期月考（5月份）数学（奥班）试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．“ab ＜0” 是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若双曲线的渐近线为y ＝±3x ，则它的离心率可能是( )A ． 3B ．2C ．3或233D ． 233或23．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝16x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝16x ，或 x 2＝8yD ．y 2＝16x ，或x 2＝－8y4．AB 为过椭圆12222=+by a x 中心的弦，F (c,0)为它的焦点，则△F AB 的最大面积为( )A ．b 2B ．abC ．bcD ．ac5． 已知双曲线222211x y a a-=-(0)a >a 的值为( )A ．12B C ．13D 6．设椭圆x 24＋y 23＝1长轴的两端点为M 、N ，点P 异于M 、N 且在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为( ) A ．－34B ．－43C ．34D ．437．命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是( )A. ()N n f N n ∉∈∀*,且()n n f >B ．()N n f N n ∉∈∀*,或()n n f >C. ()N n f N n ∉∈∃*00,且()00n n f > D ．()N n f N n ∉∈∃*00,或()00n n f >8．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 A (－2 ,23)，B (32，－5)，则( )A ．曲线C 可为椭圆也可为双曲线B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样的曲线C 不存在9．已知点F 为抛物线()2481--=x y 的焦点，E 为抛物线的顶点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4=AF ，则PE PA +的最小值为 ( )A ．6B ．242+C ． 524+D ．13210．已知平行于x 轴的直线分别交曲线12+=x e y 与12-=x y 于A ，B 两点，则AB 的最小值为( )A ．42ln 5+ B ．42ln 5- C ．42ln 3+ D ．42ln 3- 11．已知椭圆12222=+by a x (a >b >0)的左右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1C ．()0，2－1D ．()2－1，112.已知()x f y =是R 上的连续可导函数，当0≠x 时，()()0>+'xx f x f ，则函数()()xx f x g 1+=的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．0D ．0或2二、填空题（每小题5分，共20分）13．设直线b x y +-=3是曲线233x x y -=的一条切线，则实数b 的值是__________.14．已知函数()223a bx ax x x f +++=在1=x 处取得极值10，则()=2f __________.15．如图，在四面体ABCD 中，已知2=AB ,1=BC ,3=AD ,4=CD 且 AB AD ⊥，AB BC ⊥，则二面角D AB C --的余弦值为___________.16．已知有公共焦点的椭圆和双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ， 2F ，且它们在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若101=PF ，双曲线离心率的取值范围是()2,1，则椭圆的离心率的取值范围是______________.三、解答题17．（本小题满分10分）已知函数2()ln 2f x x x x =-++． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0a >，求()f x 在区间(0,]a 上的最大值；(第15小题图)18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥BECD A -中，已知底面BECD 是平行四边形，且CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面BECD ； （Ⅱ）求点E 到平面ACD 的距离．19．（本小题满分12分）已知A 、B 为抛物线()022>=p px y 上不同的两个动点（A 、B 都不与原点重合），且OB OA ⊥，AB OM ⊥于M ．（Ⅰ）当点M 经过点()1,2时，求p 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点M 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）ABECD在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，3π=∠DAB ，2=AD ,1=AM ，E 为AB 中点。

（Ⅰ）求证：AN ∥平面MEC ；（Ⅱ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角D EC P --的大小为6π？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，试说明理由.21. （本小题满分12分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B . 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若724=CD ，求直线l 的倾斜角； （Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.22． （本小题满分12分）已知函数())0(ln 22≠=k kxx x f 的图象在e x =处的切线垂直于y 轴. ADCBMNE（Ⅰ）求函数()x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数()()0ln 22>++-=a a x a x x g ，若对于()∞+∈∀,x ,x 121， 总有()()21x g x f ≥成立，求a 的取值范围．吉林一中15级高一下学期月考（5月份）数学（奥班）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1~4．BDDC 5~8 ． BADB 9~12． DADC 二、填空题（每小题5分，共20分） 13． 1； 14． 18； 15． 31-； 16． ⎪⎭⎫ ⎝⎛52,31 三、解答题17．（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）∵2()ln 2f x x x x =-++，其定义域为(0,)+∞． ∴2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x-++-+-'=-+==．∵0x >，∴当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 故函数()f x 的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1,)+∞．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1,)+∞． 当01a <≤时，()f x 在区间(0,a 上单调递增，()f x 的最大值2max ()()ln 2f x f a a a a ==-++；当1a >时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,)a 上单调递减，则()f x 在1x =处取得极大值，也即该函数在(0,]a 上的最大值，此时()f x 的最大值max ()(1)2f x f ==； ∴()f x 在区间(0,]a 上的最大值2max ln 2,01,()2, 1.a a a a f x a ⎧-++<≤=⎨>⎩18．（本小题满分12分）解析：(1)证明：取AD 中点O ，连结OC ,OA .∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴COABECD O⊥BD ，在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 而AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2. ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BECD . 又 ⊂OA 平面ABD ， 所以平面ABD ⊥平面BCD ；(3)设点E 到平面ACD 的距离为h .∵V E －ACD ＝V A －CDE ，∴13h ·S △ACD ＝13·AO ·S △CDE .在△ACD 中，CA ＝CD ＝2，AD ＝2，∴S △ACD ＝12×2×22－(22)2＝72. 而AO ＝1，32432=⨯==∆∆BCD CDE S S ，∴h ＝AO ·S △CDE S △ACD ＝7212273=. ∴点E 到平面ACD 的距离为7212. 19．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）45=p ；（Ⅱ）02522=-+x y x ()0≠x ．20．（本小题满分12分）解析：21. （本小题满分12分）解析：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y +=（Ⅱ）设直线l ：1-=my x ，则由⎩⎨⎧=+-=1243122y x my x 得，()0964322=--+my y m 。

又设 ()11,y x C ，()22,y x D ，则 436221+=+m m y y ，439221+-=⋅m y y 。

由724=CD ，即 ()()222127241⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+y y m ，得22272431⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++m m 。

解得 1±=m ，从而求直线l 的倾斜角为 45或135。

（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++ 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k =++=+因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（k =所以12||S S -22． （本小题满分12分）解析：（Ⅰ）∵ )(x f 的定义域是()()∞+,,110 ，且∴ ()()kxkx x kxx x kx x x f 222ln 21ln 2ln 21ln 2-=⋅-='．由已知()0='e f 得k=1∴()xln x x f 22=从而()x f '、()x f 随x 的变化如下表∴(f ()()e e fx f ==极小，无极大值．（Ⅱ）由题设，只须()x g 在()∞+,1上的最大值不大于()x f 的最小值即可． 由（Ⅰ）知，当1>x 时，()e x f m in =．当1≥x 时，()xx a x a x x g 2-=+-='，（1）若1≤a ，则()0≤'x g ，此时，()x g 在()∞+,1上单调递减， ∴()()e a g x g <+-=≤211 满足题设． （2）若1>a ，则()0='x g ，得a x =，当a x <<1时，()0>'x g ；当a x >时，()0<'x g ，∴ ()()()a ln a a a lna a a g x g max +=+-=212＝， 故只须()e a ln a a ≤+21． 记()()x ln x x x h +=21()1>x ，则()0211>+='x ln x h ，∴()x h 在()∞+,1上单调递增，且()()e e ln e e e h =+=21， 从而，当且仅当e a ≤时，有()e a ln a a ≤+21． 综上，e a ≤<0即为所求．。