衔接点02 公式法因式分解的拓展-2020年初高中衔接数学(新人教版)(wd无答案)
初高中数学衔接因式分解
第二讲 因式分解知识清单一、常用的运算公式1、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±2、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+3、立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4、立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+5、完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+6、三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++7完全立方公式：()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+ 二、常用的因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。
自主练习：问题1：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a能利用平方差公式计算的是问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(aa -的值问题3：立方和（差）公式设0422=+-x x ，求93+x 的值问题4：提取公因式法分解因式：（1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-问题5：公式法分解因式（1）412+-x x （2）162+-a （3）142+-x x 问题6：十字相乘法分解因式：（1）232+-x x （2）2762+-x x问题7：分组分解法分解因式：y x xy x 332+-- 例题讲解例1：化简：)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x例2：已知4,4=++=++ca bc ab c b a ，求222c b a ++的值例3、把下列各式分解因式（1）22)()23(y x y x --- （2）22338b ab a -+例4：把下列各式分解因式：（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）22)24(4+--x x巩固拓展1、⋅+=-)3121(419122a b b a （___________） 2、若 k mx x ++212是一个完全平方式，则k= 3、已知2)(,8)(22=+=-n m n m ，则=+22n m 4、不论a ，b 为何实数，84222+--+b a b a 的值（ ）A 、总是正数B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数5、若实数x ，y ，z 满足 (x-z)2-4(x-y)(y-z)=0 ，则下列式子一定成立的是（ ）A 、x+y+z=0B 、x+y-2z=0C 、y+z-2x=0D 、x+z-2y=06、化简：20172016)23()23(-⋅+7.在多项式中①x 2+7x+6；②x 2+4x+3；③x 2+6x+8；④x 2+7x+10；⑤x 2+15x+44，有相同因式的是（ ）A 、只有①②B 、只有③④C 、只有③⑤D 、①和②；③和④；③和⑤8、若多项式x 2-3x+a 可分解为(x-5)(x-b)，则a 、b 的值分别是（ ）A 、10,2B 、10,-2C 、-10,-2D 、-10,29、多项式2x 2-xy-15x 2 的一个因式是（ ）A 、2x-5yB 、x-3yC 、x+3yD 、x-5y10、把下列各式分解因式：（1）523623913x b a x ab -- （2）z y x z y x m ++---)(（3）3132-x （4）338b a -（5）3762+-x x （6）12--x x（7）913424+-x x （8）1222-+-b ab a10、已知：052422=+--+b a b a ，求ab a ab b a ++-4)(2的值 因式分解练习题一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是（）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．－a2＋b2 C．－a2－b2D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24 C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得（）A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为（）A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为（）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得（）A．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得（）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得（）A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得（）A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得（）A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1) C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1) 14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（）A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是（）A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（）A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是（）A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1) 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为（）A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数C．相等的数D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是（）A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为（）A．(a2＋b2＋ab)2B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab) C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果（）A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解为（）A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b) C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b) 24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为（）A．(5x－y)2B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)2 25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为（）A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为（）A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为（）A．c(a＋b)2B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是（）A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y) 30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是[ ]A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c) C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c) 三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．。
初高中数学衔接因式分解
第二讲 因式分解知识清单一、常用的运算公式1、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±2、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+3、立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4、立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+5、完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+6、三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 7完全立方公式：()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+二、常用的因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。
自主练习：问题1：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a能利用平方差公式计算的是问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(aa -的值问题3：立方和（差）公式设0422=+-x x ，求93+x 的值问题4：提取公因式法分解因式：（1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-问题5：公式法分解因式（1）412+-x x （2）162+-a （3）142+-x x 问题6：十字相乘法分解因式：（1）232+-x x （2）2762+-x x问题7：分组分解法分解因式：y x xy x 332+-- 例题讲解例1：化简：)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x例2：已知4,4=++=++ca bc ab c b a ，求222c b a ++的值例3、把下列各式分解因式（1）22)()23(y x y x --- （2）22338b ab a -+例4：把下列各式分解因式：（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）22)24(4+--x x巩固拓展1、⋅+=-)3121(419122a b b a （___________） 2、若 k mx x ++212是一个完全平方式，则k= 3、已知2)(,8)(22=+=-n m n m ，则=+22n m 4、不论a ，b 为何实数，84222+--+b a b a 的值（ ） A 、总是正数 B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数5、若实数x ，y ，z 满足 (x -z)2-4(x -y)(y -z)=0 ，则下列式子一定成立的是（ ）A 、x+y+z=0B 、x+y -2z=0C 、y+z -2x=0D 、x+z -2y=06、化简：20172016)23()23(-⋅+7.在多项式中①x 2+7x+6；②x 2+4x+3；③x 2+6x+8；④x 2+7x+10；⑤x 2+15x+44，有相同因式的是（ ）A 、只有①②B 、只有③④C 、只有③⑤D 、①和②；③和④；③和⑤8、若多项式x 2-3x+a 可分解为(x -5)(x -b)，则a 、b 的值分别是（ ）A 、10,2B 、10,-2C 、-10,-2D 、-10,29、多项式2x 2-xy -15x 2 的一个因式是（ ）A 、2x -5yB 、x -3yC 、x+3yD 、x -5y10、把下列各式分解因式：（1）523623913x b a x ab -- （2）z y x z y x m ++---)(（3）3132-x （4）338b a -（5）3762+-x x （6）12--x x（7）913424+-x x （8）1222-+-b ab a10、已知：052422=+--+b a b a ，求ab a ab b a ++-4)(2的值 因式分解练习题一、填空题：2．(a －3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m ＋2=(m ＋a)(m ＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是（）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得（）A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为（）A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为（）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得（）A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)210．把x2－7x－60分解因式，得（）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得（）A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得（）A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得（）A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1) C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1) 14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（）A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是（）A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（）A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是（）A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为（）A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数C．相等的数D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是（）A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为（）A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果（）A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解为（）A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b) C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b) 24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为（）A．(5x－y)2B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为（）A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为（）A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为（）A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是（）A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y) 30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是[]A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；百度文库-让每个人平等地提升自我1124．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．。
第2讲 因式分解配套练习及答案(训练篇)-2020年数学初高中衔接讲与练
第 2 讲因式分解练习（A）一．选择题：1.下列各式从左到右的变形中，是正确的因式分解的是（）( A) (a -b)2 =a 2 - 2ab +b 2(B) m2 -m =m2 (1 -1 ) m(C) a 2 - 3a - 4 =a(a - 3) - 4 (D)3x3 - 9x 2 - 3x = 3x(x 2 - 3x - 1)2.- (2a -b)(2a +b) 是下列多项式（）的分解结果（A）4a 2 -b 2（B）4a 2 +b 2（C）- 4a 2 -b2（D）- 4a 2 +b23.下列分解不正确的是（）（A）x 2 + 8x +16 = (x + 4)2 （B）- 4a 2 +12ab - 9b 2 = (2a - 3b)2（C） x2 -1x +13 36= (x -1)26（D）4a 2 b 2 + 4ab + 1 = (2ab + 1)24.下列各式中，能用平方差公式分解因此的是（）（A）－a 2 ＋b 2 （B）－a 2 －b 2 （C）a 2 ＋b 2 （D）a 3 －b 25.已知m＋n=－4，mn=5，关于x 的二次三项式x 2 －mnx－m－n 分解因式的结果是（A）(x－1) (x－4) （B）(x＋1) (x＋4)（）（C）(x＋1) (x－4) （C）(x－1) (x＋4)6. 下列由左到右的变形是正确的因式分解的是（）A．a2－b 2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1；B．（m＋3）2＝m2＋6m＋9；C．x 5y－xy 5＝xy（x 2＋y 2）（x＋y）（x－y）；D．a 4 - 2a 2 b 2 -b 4 = (a +b)2 (a -b)2二．填空题：7. 分解因式：18m 2 (a -b) - 9m(a -b) = .8. 分解因式：(2m -n)2 - (3m + 2n)2 = . .9. 分解因式：x 2 - 2x -a 2 - 2a = .10. 分解因式：x2 + xy + 2y2 + 2x + ጤy = _ .11. 分解因式：4a 2 - 5a - 6 = .12.分解因式：6x 2n-1 y m - 4x 2n+1 y 3m= .13.已知∆ABC 的三边 a 、b 、c 满足 a 2 -ac =b2 -bc ，判断∆ABC 的形状. ..14.已知x 2 +x + 1 = 0 ，求x 2007 +x 2006 + ……+x3 +x 2 +x + 1 = ..三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x)2 — 1ጤ x2 + x + 2ጤ.16. 因式分解：x + 1 x + x + ′x + h + 1′.17. 因式分解：(x + ′)ጤ+ (x + )ጤ— 82.）18. 因式分解：(x2 + xy + y22—ጤxy(x2 + y2).19. 因式分解： x2 - 2xy - 8 y2 -x -14 y - 6 .20. 因式分解：x— 9x + 8.21.因式分解：x8 +x +1.22.如果多项式x2 —a + ′x + ′a—1 能分解成两个一次因式x + h x + h 的乘积，b，c 为整数，则a 的值为多少？23.已知多项式x3 -x 2 + 2x +k 能够进行因式分解，请求出k 的值，并将此多项式因式分解.24.如果kx 2 - 2xy + 3y 2 + 3x - 5 y+ 2 能分解成两个一次因式乘积，求k 2 + 5k + 0.25 的值.因式分解测试（B）一．选择题：1.把多项式4 x2y-4x y2- x3 分解因式得结果是（）A. 4xy(x-y)-x2B. –x(x-2y)2C. x(4xy-4y2- x2)D. –x(-4xy+4y2+ x2)2.下列分解因式错误的是（）A．a 2－5a＋6＝（a－2）（a-3）B．1－4m 2＋4m＝（1－2m）2C．－4x 2 ＋y 2 ＝-(2x＋y)（2x－y）D．3ab＋1a 2b 2 ＋9＝（3＋1ab）2 4 23. 在多项式－a 2 －b 2 －2ab，2ab―a 2 ―b 2 ，a 2 －b 2 ＋2ab，(a＋b) 2 －10(a＋b)＋25 中，能用完全平方公式分解因式的有（）（A）1 个（B）2 个(C）3 个（D）4 个4.已知a、b、c 是三角形ABC 的三边长，且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，则此三角形是（）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 不能确定5.已知x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个6.实数m= 20203-2020，下列各数中不能整除m 的是（）A.2018B. 2019C. 2020D.2021二．填空题：7.因式分解：x2 -xy +xz -yz = .8. 因式分解：x 4 -y 4 + 4x 2 + 4 = .9. 因式分解：x2（x-2）-16（x-2）= .10. 因式分解：6 y2 -11y-10= .11. 因式分解：4x2-4x-y2+4y-3= .12. 如果正整数x、y 满足方程x2-y2=64，则这样的正整数对（x，y）的个数是.13. 若x2+x+m=（x-3）（x+n）对x 恒成立，则n= .14. 已知x-1 是多项式x3-3x+k 的一个因式，那么k= .三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x + ጤ)2 + 8x x2 + x + ጤ + 1′x216. 因式分解：x2 + x + 1 x2 + x ++ 2 — 1217. 因式分解： 6x2 - 5xy - 6 y 2 + 2x + 23 y- 20 .18. 因式分解： x4 +x3 - 3x2 - 4x - 4 .19.如果a, b 是整数，且x2 -x -1是ax3 +bx2 +1 的因式，求a、b 的值.20.已知：a, b, c 为三角形的三条边，且a2 + 4ac + 3c2 -3ab - 7bc + 2b2 = 0 . 求证： 2b =a +c .21.如果x2 + hxy + ay2 —′x+ ጤጤy — 2ጤ可分解为两个一次因式的积，求a 的值.22. 已知x+ x2 + x + 1 =，求x28 + 2x2+ ′x199⺁.23.正数a、b、c 满足ah + a + h = hh + h + h = ha + h + a = ，求：(a + 1)(b + 1)(c + 1)的值.24.若代数式x x + 1 x + 2 x + + p 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1 且一次项系数相同），求p 的最大值.测试A一选择题：1. D 提示:因式分解的概念是把一个多项式写成整式的乘积的形式；2.D3. B 提示：完成平方公式的运用：a2+2ab+b2=（a+b）24.A提示：平方差公式的运用：a2-b2=（a+b）（a-b）5. A 提示：十字相乘法6.C二填空题：7.9m（a-b）（2m-1）提示：提取公因式9m（a-b）；8.-（5m+n）（m+3n）提示：利用平方差公式；9.（x+a）（x-a-2）提示：利用分组分解法（两两分组）；10.（x+2y）（x+y+2）提示：利用分组分解法（前三项与后两组）11.（a-2）（4a+3）提示：利用十字相乘法；12.2x2t—1y N（x2—2y2N）提示：提取公因式2x2t—1y N；13.等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c 为非零数，所以a=b；14.0 提示：三个一分组，每组都有因式x2+x+1三简答题：15.（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）提示：（x2+x-2）（x2+x-12）=（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）16. ( x2+8x+10)(x+2)(x+6)提示：（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=(x2+8x)2+22(x2+8x)+120=(x2+8x+10)(x2+8x+12) =( x2+8x+10)(x+2)(x+6)17.2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）提示：原式=(x + ጤ + 1)ጤ+ (x + ጤ— 1)ጤ— 82令t=x+4，所以t + 1 ጤ— 1 + t — 1 ጤ— 81= t + 1 2 — 1 t + 1 2 + 1 + t — 1 2 + 9 t — 1 2 — 9=2（t2+10）（t2-4）=2（x2+8x+26）（x2+8x+12）=2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）18. （x2-xy+y2）2提示：令x+y=u，xy=v所以原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2-3v）2=（x2-xy+y2）219.（x-4y-3）（x+2y+2）提示：x2-2xy-8y2-x-14y-6=(x-4y)(x+2y)+(2x-8y)-3x-6y-6=(x-4y)(x+2y)+2(x-4y)-3(x+2y+2)=(x-4y)(x+2y+2)-3(x+2y+2)=(x-4y-3)(x+2y+2)20.（x-1）（x2+x-8）提示：令x3- 9x+ 8=0则当x=1 时，x3- 9x+ 8=1-9+8=0 则可将多项式分解为x3- 9x+ 8=(x-1)(x2 +bx+c)展开，得(x-1)( x2 +bx+c)X3 +bx2 +cx-x2- bx-c=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c= x3- 9x+ 8则可得，b-1=0, c-b=-9, -c=8解得b=1,C=-8则多项式为x3- 9x+ 8=(x- 1)(x2+x-8)21. (x2+x+1)(x2-x+1)(x4-x2+1)提示：原式=x8+2x4+1-x4,=(x4+1)2- (x2)2=(x4+x2+1)( x4-x2+1),=[( x4+2x2+1)-x2]( x4-x2+1),=(x2+x+1)(x2-x+1)( x4+x2+1).22. a=5提示：x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x2+(b+c)x=bc所以：-（a+5）=b+c，且5a-1=bc，即c=—′ —1′+h因为b、c 为整数，所以b=-4，代入得c=-6，则a=5。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
【初高一衔接】专题02 乘法公式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)
乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式公式二、完全平方公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2、计算例3、已知a、b是方程（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2（3）112；（4）24【解析】∵a、b是方程a+b=7，ab＝11.（1）；（2；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题1．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【解答】C【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，S＝S1﹣S2＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【解答】C【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．二．填空题6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．【解答】﹣1【解析】∵（a+b）2＝7，∴a2+2ab+b2＝7，∵a2+b2＝5，∴7+2ab＝5，∴ab＝﹣1．7．，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．【解答】8【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，解得x＝8．8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解析】连接EC ，∵正方形ACDE 和正方形CBFG ， ∴∠ACE ＝∠ABG ＝45°， ∴EC ∥BG ，∴△BCG 和△BEG 是同底（BG ）等高的三角形， 即S △BCG ＝S △BEG ， ∴当BC ＝n 时，Sn ＝2，∴S2020﹣S 2019＝20202﹣20192＝2020+2019）（2020﹣2019）＝9． 如果，那么a+2b ﹣3c ＝ ．【解答】0【解析】原等式可变形为：a ﹣2+b+1+ ﹣5（a ﹣2）+（b+1）+ +5＝0（a ﹣2+4+（b+1+1+＝0（﹣2）2+（﹣1）2+ ＝0；即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，∴＝2＝1，＝1，∴a ﹣2＝4，b+1＝1，c ﹣1＝1， 解得：a ＝6，b ＝0，c ＝2； ∴a+2b ﹣3c ＝6+0﹣3×2＝0．10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b ）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．三．解答题11．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：（1）x+y（1﹣x）；（2）x2+y2．【解答】（1）﹣11；（2）26【解析】（1）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴原式＝x+y﹣xy＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣6）2﹣2×5＝26．12．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝时该代数式的值．【解答】1【解析】∵A＝2x+3，B＝x﹣2，∴A2﹣AB﹣2B2＝（2x+3）2﹣（2x+3）（x﹣2）﹣2（x﹣2）2＝4x2+12x+9﹣（2x2﹣4x+3x﹣6）﹣2（x2﹣4x+4）＝4x2+12x+9﹣2x2+4x﹣3x+6﹣2x2+8x﹣8＝21x+7，当x＝时，原式＝21+7＝1．13．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．【解答】﹣2【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2）÷y＝（﹣4xy+3y2）÷y＝﹣4x+3y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，﹣4x+3y＝4﹣6＝﹣2．14. 已知，求的值.【解析】15. （1）若，，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，∵a、b、c为三角形的三边长，∴，∴，即，，，，，，即三角形为等边三角形.17．前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：图①：；图②：．（2）请利用上面的乘法公式计算：①1002﹣99×101；②（60）2．【解答】（1）①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，②（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1，②【解析】（1）由图①可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；由图②可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1002﹣99×101＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）＝1002﹣（1002﹣1）＝1002﹣1002+1＝1；②（60）2＝（60+2＝3600+2+＝3602．18．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，19．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【解答】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；（2）﹣4036【解析】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：，把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．20．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影＝．方法2：S阴影＝．（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为．（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）＝6，则mn的值为．②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．【解答】（1）4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①40，②x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）①由（2）得，4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝142﹣62＝（14+6）（14﹣6）＝20×8＝160，∴mn＝160÷4＝40，②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．21．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．【解答】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分面积为：（用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求（x﹣y）2的值；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解答】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝26﹣9＝16，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则EC∥BG，如图所示：∴S△BEG＝S△CBG2，∴S2020﹣S2019＝20202﹣20192，＝2020+2019）（2020﹣2019），＝2019.5，。
2024–2025学年初升高数学衔接及预备知识(全国)衔接点04 一元二次方程(解析版)
衔接点04一元二次方程1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。
1、一元二次方程根的判别式一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（c b a 、、均为常数）的判别式ac b 42-=∆.（1）0>∆时，20ax bx c ++=（0≠a ）有两个不相等的实数根；（2）0=∆时，20ax bx c ++=（0≠a ）有两个相等的实数根；（3）0<∆时，20ax bx c ++=（0≠a ）没有实数根.注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数0≠a (3)证明ac b 42-=∆恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式.2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）对点特训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数典型例题例题1．（2024·安徽·三模）关于x 的一元二次方程222420x mx m -+=的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，据此求解即可．【详解】解：由题意得，()2244220m m ∆=--⨯⋅=，∴原方程有两个相等的实数根，故选：B．例题2．（2024·四川泸州·一模）关于x 的一元二次方程240x mx --=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．判断出判别式的值，可得结论．【详解】解：对于一元二次方程240x mx --=，()2241(4)160m m ∆=--⨯⨯-=+>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．精练1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a ，b ，c 为常数，0ac <，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，24b ac ∆=-，∵0ac <，∴40ac ->，∴240b ac ∆=->，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程()()22226250x x x x ++++=不相等的实数根的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，将22x x +作为一个整体，解方程，再根据根的判别式，进行判断，即可得出结果．【详解】解：∵()()22226250x x x x ++++=，∴()()2221250x x x x ++++=，∴2210x x ++=或2250x x ++=，当2210x x ++=时，440∆=-=，方程由两个相等的实数根；当2250x x ++=时，445160∆=-⨯=-<，方程没有实数根；故选A．对点特训二：根据根的个数求参数典型例题例题1．（2024·北京大兴·一模）若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）对点特训三：解一元二次方程角度1：直接开平方法（2）根据立方根得定义求出2x+的值，然后再求x的值即可．【详解】（1）解：2x-=，1691000整理得：2169100x=角度2：配方法角度3：因式分解法典型例题角度4：利用求根公式求解角度5：换元法求解故原方程的解为：13x =-，22x =．精练1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程42280x x +-=时，可设2y x =，则原方程可化为2280y y +-=，先解出y ，将y 的值再代入2y x =中解x 的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将2x 看作一个整体，得()222280x x +-=，解出2x 的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：(1)若()()22222232237x y x y +-++=，则22x y +的值为___________；(2)解方程：()22234120y y y y --+=．【答案】(1)2(2)1y =-或4y =或0y =或3y =【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整．（1）根据题意，设22+=x y k ，然后解关于k 的一元二次方程，再根据220≥+x y 取值即可；（2）设23y y t -=，然后解关于t 的一元二次方程，然后再来求关于y 的一元二次方程．【详解】（1）解：设22+=x y k ，原方程为：()()222223237x y x y ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，即()()23237k k -+=，2497k -=，24k =，2k ∴=或2k =-，220≥+x y ，2k ∴=，∴222x y +=，故答案为：2；（2）解：设23y y t -=，原方程为：()()2223430y y y y ---=，即240t t -=，()40t t -=，0t ∴=或4t =，当0=t 时，230y y -=，()30y y -=，对点特训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数对点特训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值26912m m m =++-269m m =-+()23m =-，∵()230m -≥，∴240b ac -≥，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）解：∵123x x m +=+，123x x m ⋅=，12127x x x x +-=，∴337m m +-=，解得2m =-，故m 的值为2-．精练（1）由题意知()()26410k ∆=---≥，计算求解即可；（2）由题意知，126x x +=，121x x k ⋅=-，由221212324x x x x ++=，可得()2121224x x x x ++=，即26124k +-=，计算求解即可．【详解】（1）解：∵2610x x k -+-=，∴()()26410k ∆=---≥，解得，10k ≤；（2）解：由题意知，126x x +=，121x x k ⋅=-，∵221212324x x x x ++=，∴()2121224x x x x ++=，∴26124k +-=，解得，11k =-，∴k 的值为11-．对点特训六：根的判别式和韦达定理综合应用典型例题例题1．（2024·天津和平·一模）已知1x ，2x 是一元二次方程220x x c ++=（c 是常数）的两个不相等的实数根．(1)求c 的取值范围；(2)若8c =-，求一元二次方程的根；(3)若123x x =-，则c 的值为______．【答案】(1)1c <(2)12x =，24x =-(3)3-【分析】（1）根据题意，由一元二次方程根的判别式，解不等式即可得到答案；（2）将8c =-代入原方程得到2280x x +-=，因式分解法解一元二次方程即可得到答案；（3）根据题意，由一元二次方程根与系数的关系直接求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵220x x c ++=有两个不相等的实数根，∴224240b ac c ∆=-=->，∴1c <；（2）解：∵8c =-，∴2280x x +-=，因式分解得()()240x x -+=，∴20x -=或40x +=，解得12x =，24x =-；（3）解： 1x ，2x 是一元二次方程220x x c ++=（c 是常数）的两个不相等的实数根，∴123x x c ==-，故答案为：3-．【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的判别式、解不等式、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程性质与解法是解决问题的关键．例题2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当x n =时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式2x ，当0x =时，代数式等于0；当1x =时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则0A =．(1)代数式22x x -的不变值是________，A =_______．(2)已知代数式2x bx b -+，①若0A =，求b 的值；②若12A ≤≤，b 为整数，求所有整数b 的和．【答案】(1)0，3；3(2)①1；②4（是常数）是“一、单选题1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）C．()22001160x +=D．()22001160x -=【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该商品平均每次降价的百分率为x ，第一次降价后的价格是200(1)x -，第二次后的价格是2200(1)x -，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意得：()22001160x -=，故选：D．7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）若关于x 的一元二次方程()22410k x x --+=有实数根，则实数k 的值可能是（）A．10B．8C．5D．2【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于k 的不等式是解答此题的关键．若一元二次方程没有实数根，则根的判别式240b ac ∆=-≥，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22410k x x --+=有实数根，∴0∆≥且20k -≠，即()244(2)0k ∆=---≥且2k ≠，6k ∴≤，且2k ≠故选：D．8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式245x x -+的最小值为多少吗？解：因为()222224544142121x x x x x x x -+=-++=-++=-+，又因为()220x -≥，所以()2211x -+≥，所以245x x -+的最小值为1．请用上述方法，解决代数式266x x ++的最小值为（）A．3B．3-C．6D．6-【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可．【详解】解：依题意，()222266663369333x x x x x x x ++=+++-=++-=+-，∵()230x +≥，∴()2333x +-≥-，∴所以266x x ++的最小值为3-，故选：B．二、填空题9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x 的方程()23120x k x --+=的一个根是1，则另。
2024--2025学年初升高数学衔接课+++第二讲-因式分解
的两个实数根是x1、x2 ，则二次三项式ax2 bx c(a 0)
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【典例例题】 题型一：十字相乘法
例1分解因式 x2 2x 8 x__4__x__2 ．
例2分解因式mx2 6mx 5m m__(x___1_)_(_x___5_)_．
练习1.分解因式 x2 xy 6 y2 _x__2_y___x___3_y__．
x 12 x2 2x 1
(2)原式
3a
b2
9
2
36b2
3ab2 9 6bb2 9 6b
3a b 32 b 32
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之积，即ax2 bx c a1x c1a2x c2 .
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
a （2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里
返
面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
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知识点3：提取公因式法与分组分解法
1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到 括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法 叫做提公因式法。
，则 p、q同号(若c 0 ，则 p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q
的符号；
（2）若x2 bx c 中的b,c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解
的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止.
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知识点2：首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax2 bx c ( a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax a2 2ab bx b2 因式分解；
初高中教材衔接之因式分解与二次函数
11.若
分别是一元二次方程
的两根，求值：
（1）
.
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专题四 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
由配方法可化为
，
因为
，所以
，所以方程是否有解就取决于
与 0的大小关系了。因此
我们把
叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用“△ 来表
示。当△＞０时，方程有两个不等的实数根；当△＝０时，方程有两个相等的实数根；当△ ＜０时，方程没有实数根。而且无论是判别式还是方程的根的值都是由一元二次方程
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1．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） 2．解下列关于 的方程 （1）
（6） （2）
1．方程
的根是（ ）
A．5
B．-5
C．5或-5
D．5或 0
2．多项式 A．3或 7
的值等于 11，则 的值为（ ）
B．-3或 7
C．3或-7
（2） 由思考我们可以得到下列公式 立方差公式
立方和公式 逆过来我们又得到了一组公式
例1． 化简：
1
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分析：根据和的立方公式把
展开，化简即可
解：
例 2．当
时，求
的值。
解：
=
例 3．化简
解：法一：
法二：
利用完全平方公式展开得到
例 4．已知 解：∵ ∴
二、配方法：用配方法解方程 ；然后将二次项系数化为 1：
项系数的一半的平方：