排列组合二项式真题

排列组合二项式1．（2016高考新课标2理数）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 2．（2016年高考四川理数）设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 43．（2016年高考四川理数）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）724．（2016高考新课标3理数）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个5．（2016高考新课标1卷）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）346．（2016高考新课标3理数）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个7．（2016高考山东理数）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20）， [20，22．5）， [22．5,25），[25，27．5），[27．5，30）．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ）（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）1408．（2016高考新课标2理数）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n9．（2016年高考北京理数）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多10．（2016东北三省三校一模，理8）数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为（ ）A ．33341296433C C C A A B ．333412963C C C C ．33331296444C C C A D ．333312964C C C 11．（2016河北衡水中学高三一调，理5）某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ） A ．144种 B ．150种 C ．196种 D ．256种12．（2016河北唐山一模，理4）()62x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ）（A ）15 （B ）-15 （C ）60 （D ）-6013．（2016江西省赣中南五校第一次考试，理8）不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为A ．732 B ．932C ．916D ．71614．（2016年高考北京理数）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________．（用数字作答）15．（2016高考新课标1卷）5(2x 的展开式中,x 3的系数是 ．（用数字填写答案）16．（2016高考天津理数）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________．（用数字作答）17．（2016高考山东理数）若（ax 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______． 18．（2016高考江苏卷）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 19．（2016年高考四川理数）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ．20．（2016高考新课标2理数）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．21．（2016高考江苏卷）已知一组数据4．7,4．8,5．1,5．4,5．5，则该组数据的方差是________________．22．（2016高考山东理数）在[1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆22(5)9xy 相交”发生的概率为 ．23．（2016高考上海理数）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1．72,1．78,1．75,1．80,1．69,1．77则这组数据的中位数是_________（米）．24．（2016高考上海理数）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________．25．（2016高考江苏卷）（1）求3467–47C C 的值； （2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m+1）C mm +（m+2）+1C m m +（m+3）+2C m m +…+n –1C m n +（n+1）C m n =（m+1）+2+2C m n ．26．（2016高考新课标1卷）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元．在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？27．（2016高考新课标2理数）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1234≥5保费0．85a a1．25a 1．5a 1．75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5概率0．300．150．200．200．100．05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．28．（2016年高考四川理数）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0．5），[0．5,1），…，[4,4．5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．29．（2016年高考北京理数）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，，表8．25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1格中数据的平均数记为0μ ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）30．（2016高考山东理数）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： （I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX ．31．（2016高考天津理数）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．32．（2016高考新课标3理数）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0．01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑，≈2．646．参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑ 回归方程y a b =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．33．（2016年云南省第一次高中复习统一检测，理18）某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ,求事件A 的概率()P A ；（Ⅱ）设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考答案1．B 【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有24C 条路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C ⋅=条，故选B ．考点： 计数原理、组合．【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 2．A 【解析】试题分析：二项式6()x i +展开的通项616r r rr T C xi -+=，令64r -=，得2r =，则展开式中含4x 的项为2424615C x i x =-，故选A ．考点：二项展开式，复数的运算．【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题．一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +的展开式可以改为6()i x +，则其通项为66r r r C i x -，即含4x 的项为46444615C i x x -=-．3．D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共44A 种可能，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D ． 考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．．4．C【解析】试题分析：由题意，得必有10a=，81a=，则具体的排法列表如下：考点：计数原理的应用．【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．5．B【解析】试题分析：如图所示,画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率10101402P +==．故选B ． 考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度由：长度、面积、体积等． 6．D 【解析】试题分析：由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以不正确．故选D ． 考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ． 7．D 【解析】试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22．5小时为后三组，有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=（人），选D ．考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目．从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力． 8．C 【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4mnπ=．选C ． 考点： 几何概型．【名师点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． 9．C 【解析】试题分析：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球；A ：由于抽到的两个球是红球和黑球的次数是奇数还是偶数无法确定，故无法判定乙盒和丙盒中异色球的大小关系，而抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故选C ．考点：概率统计分析．【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题．如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此．列举的关键是要有序（有规律），从而确保不重不漏．另外注意对立事件概率公式的应用． 10．B【解析】将12名同学平均分成四组，共有333129644C C C A ，分别研究四个不同课题，共有33341296444C C C A A ⨯，从四组中每组选出一名组长，共有43，共计33344333129641296443C C C A C C C A ⨯⨯=种，故选B ． 11．B【解析】若有两所高校各有2名同学报考，一所高校有1名同学报考，有22353322C C A A ⋅⋅种报考方法；若有两所高校各有1名同学报考，一所高校有3名同学报考，有31352322C C A A ⋅⋅种报考方法，所以总共有2231335352332222150C C C C A A A A ⋅⋅⋅+⋅=种报考方法，故选B ． 12．C【解析】因为()62x y -展开式的通项公式为616(2)rrrr r T C xy -+=-，所以42x y 的系数为226(2)60C -=，故选C ．13．B【解析】列出相应的区域如下所示：区域M 是正方形区域，区域N 是阴影区域，()292212=-+=⎰-dx x x s 阴影，所以P ∈N 的概率为932；故选B ． 14．60． 【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式16(2)rrrr T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=，故填：60． 考点：二项式定理．【名师点睛】1．所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项．求解时，先准确写出通项r rn rn r b aC T -+=1，再把系数与字母分离出来（注意符号），根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n 的范围分析． 15．10 【解析】试题分析：5(2x 的展开式通项为555255C (2)2C r rrr rr x x---=（0r =,1,2,…,5）,令532r -=得4r =,所以3x 的系数是452C 10=． 考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数． 16．56- 【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．考点：二项式定理【名师点睛】1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解． 17．-2 【解析】试题分析：因为5102552155()r rrr r rr T C ax C a x ---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点．本题难度不大，易于得分．能较好的考查考生的基本运算能力等．18．5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 考点：古典概型概率【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题．江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法．因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件．19．32【解析】试题分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数ξ的取值为0,1,2，其中111(0),(1),(2),424P P P ξξξ======在1次试验中成功的概率为113(1)424P ξ≥=+=， 所以在2次试验中成功次数X 的概率为12313(1)448P X C ==⨯⨯=，239(2)()416P X ===，393128162EX =⨯+⨯=考点：离散型随机变量的均值【名师点睛】本题考查随机变量的均值（期望），根据期望公式，首先求出随机变量的所有可能取值12,,,n x x x ，再求得对应的概率(1,2,,)i P i n =，则均值为1ni i i x P =∑．20．1和3 【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2． 考点： 逻辑推理．【名师点睛】逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程．演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用．逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式． 21．0．1 【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0．1， 考点：方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题．认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力． 22．34【解析】试题分析：直线y=kx 与圆22(5)9xy 相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即d 3=<，解得33k 44-<<，而[1,1]k，所以所求概率P=33224=．考点：1．直线与圆的位置关系；2．几何概型．【名师点睛】本题是高考常考知识内容．本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，几何概型概率的计算问题，涉及圆心距的计算，与弦长相关的问题，往往要关注“圆的特征直角三角形”，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 23．1．76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1．69,1．72,1．75，1．77,1．78，1．80，这六个数的中位数是1．75与1．77的平均数，显然为1．76． 考点：中位数的概念．【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目．从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力． 24．112 【解析】 试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n2，所以n2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x --+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=．考点：1．二项式定理；2．二项展开式的系数．【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解．本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等． 25．（1）0（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的111m m m k k k C C C ++++= ，而且可由（1）归纳出的11(1)(m 1),(,1,,)m m k k k C C k m m n +++=+=+；单纯从命题角度看，可视为关于n 的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式11(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)m m n n m x m x n x n x +-++++++⋅⋅⋅⋅⋅+++++中含m x 项的系数，再利用错位相减求和得含m x 项的系数 ，从而达到化简求证的目的试题解析：解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m m mm m m nm m m mm m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm CCCCCCm C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+考点：组合数及其性质【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数性质不仅有课本上介绍的111m m m k k k C C C ++++=、=m k mk k C C -，更有11k k n n kC nC --=，现在又有11(1)(m 1),(,1,,)m m k k k C C k m m n +++=+=+，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用．26．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）19（Ⅲ）19n = 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定X 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=9,n=20的期望,根据19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,应选19=n ．试题解析：（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0．2,0．4,0．2,0．2,从而04.02.02.0)16(=⨯==X P ； 16.04.02.02)17(=⨯⨯==X P ；24.04.04.02.02.02)18(=⨯+⨯⨯==X P ；24.02.04.022.02.02)19(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 2.02.02.04.02.02)20(=⨯+⨯⨯==X P ； 08.02.02.02)21(=⨯⨯==X P ；04.02.02.0)22(=⨯==X P ．所以X 的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）知44.0)18(=≤X P ,68.0)19(=≤X P ,故n 的最小值为19． （Ⅲ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）．当19=n 时,08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY404004.0)500320019(=⨯⨯+⨯+．当20=n 时,04.0)500220020(08.0)50020020(88.020020⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY 4080=．可知当19=n 时所需费用的期望值小于20=n 时所需费用的期望值,故应选19=n ． 考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题． 27．（Ⅰ）0．55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）一续保人本年度的保费高于基本保费，当且仅当一年内出险次数大于3，由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列，再根据期望公式求解． 试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+=又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.11（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2aP0.30 0.15 0.200.20 0.100.050.850.300.051.23EX a a=⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望． 【名师点睛】条件概率的求法：（1）定义法：先求P （A ）和P （AB ），再由P （B|A ）＝P ABP A，求P （B|A ）；（2）基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n （A ），再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n （AB ），得P （B|A ）＝n AB n A．求离散型随机变量均值的步骤：（1）理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值；（2）求X 的每个值的概率；（3）写出X 的分布列；（4）由均值定义求出E （X ）． 28．（Ⅰ）0.30a ；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2．9． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由高×组距=频率，计算每组中的频率，因为所有频率之和为1，计算出a 的值；（Ⅱ）利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本总数=频数，计算所求人数；（Ⅲ）将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2．5≤x<3，再进行计算．试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0．5）中的频率为0．08×0．5=0．04， 同理，在[0．5,1），[1．5,2），[2,2．5），[3,3．5），[3．5,4），[4,4．5）中的频率分别为0．08，0．20，0．26，0．06，0．04，0．02．由0．04+0．08+0．5×a+0．20+0．26+0．5×a+0．06+0．04+0．02=1，解得a=0．30． （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0．06+0．04+0．02=0．12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0．12=36 000．（Ⅲ）因为前6组的频率之和为0．04+0．08+0．15+0．20+0．26+0．15=0．88>0．85， 而前5组的频率之和为0．04+0．08+0．15+0．20+0．26=0．73<0．85， 所以2．5≤x<3．由0．3×（x –2．5）=0．85–0．73， 解得x=2．9．所以，估计月用水量标准为2．9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 考点：频率分布直方图．【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力．在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．。