立体几何排列组合二项式定理知识点(20166593511336)
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
高中数学之九《排列、组合、二项式定理》
C
m n
C nm n
为了使这个公式在 m
n
时成立，规定
C
0 n
1。
定理 2
Cm n1
C nm
C m1 n
二 二项式定理
（七）二项式定理
一般地，
ab
n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
C
r n
a
nr
b
r
C
n n
b
n
nN
。这个公
式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 a bn 的二项展开式，其中的系数
数，中间两项的二项式系数相等并且最大。
C
r n
r 0，1，n
叫做二项式系数。式中的
C
r n
a
nr
b
r
叫做二项展开式的通项，用
Tr 1
表示，
即通项为展开式的第 r 1项： Tr1 Cnr a nr b r 。
（八）二项式系数的性质 1.在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。 2.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇
从 n 个不同元素中取 m m n个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取 m
个元素的排列数，用符号 Pnm 表示。
这个公式叫做排列数公式 Pnm nn 1n 2n m 1，这里 m，n N ，并且
m n。
排列公式中，当 m n 时，有 Pnn nn 1n 23 2 1。这个公式指出， n 个不
（四）组合
一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m m n个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素
排列组合二项式定理
排列组合二项式定理知识要点【考点梳理】一、考试内容1.分类计数原理与分步计数原理。
2.排列、排列数公式。
3.组合、组合数公式。
4.组合数的两个性质。
5.二项式定理，二项式展开的性质。
二、考试要求1.掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。
三、考点简析1.排列、组合、二项式知识相互关系表2.两个基本原理（1）分类计数原理中的分类。
（2）分步计数原理中的分步。
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3.排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n -=n ·(n-1)…(n-m+1) （3）全排列列：n n A =n!（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=7204.组合（1）组合的定义，排列与组合的区别（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n （3）组合数的性质①C n m =C n n-m②r n r n r n C C C 11+-=+ ③rC n r =n ·C n-1r-1④C n0+C n1+…+C n n=2n⑤C n0-C n1+…+(-1)n C n n=0即C n0+C n2+C n4+…=C n1+C n3+…=2n-15.二项式定理（1）二项式展开公式(a+b)n=C n0a n+C n1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是T k+1=C n k a n-k b k6.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和。
（2）证明一些简单的组合恒等式。
排列组合与二项式定理知识点
排列组合与二项式定理知识点第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m nA 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A11--=m n m n nA A 规定10==n nnC C2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21kn n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n . 三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m mm nmn-=+--==Λ⑶两个公式：①;mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mnC ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++Λλ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ΛΛΛ②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用mn m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C Λ.vi. 构造二项式. 如：nnn n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明：这里构造二项式nnnx x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边n n C 2=四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m mA 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2nA 2211A An ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A An n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n mn mn A A1+---⋅（插空法），当n– m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有nnA 种，)(n m m π个元素的全排列有m mA 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn nA A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）m mnn A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CC C P =） 注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmm m n mn mn A A A/1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如：124321=+++x x x x的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中ia 等于1+ix ，有Aaa a A x x x x nn =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A或11111----⋅+m n m mn A A A（一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
排列组合、二项式定理知识点
排列组合、二项式定理知识点排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．的排列.．．元素．．重复从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种）二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m nA 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A11--=m n m n nA A 规定10==n nnC C2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21kn n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n . 三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m mm nmn-=+--==⑶两个公式：①;mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mnC ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素. 区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-）ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用mn m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .vi. 构造二项式. 如：nnn n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式nnnx x x 2)1()1()1(+=++其中nx 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边n n C 2=四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m mm n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m mA 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2nA 2211A An ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A An n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n mn mn A A1+---⋅（插空法），当n– m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有nnA 种，)(n m m 个元素的全排列有m mA 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn nA A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）m mnnA A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k kn nn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CC C P =） 注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm m m n mn mn A A A/1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题. 例如：124321=+++x x x x的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中ia 等于1+ix ，有Aa a a A x x xx n n =-+-+-⇒=+++1...11 (2132)1，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n nA C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m mn A A A（一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
(完整版)排列组合二项式定理知识总结,推荐文档
n n +1n nn排列组合、二项式定理总结复习1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m nm=n ! nm !(n - m )!性质 C m = Cn -mCm = C m + C m -1排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个CC（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。
分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理：5 4A2 A2 =2405 42．特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下5 4 4的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个，其中 0 在5 3百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数4 2C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =4325 3 4 2Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法292928 113 二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
高中数学-排列组合二项式定理知识点
排列组合二项式定理知识点2、排列、组合3、二项式定理内容典型题定义①二项式定理：(a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n＝∑=nrrnCa n－rb r（n∈N＋）②二项式展开式第r＋1项通项公式：Tr－1＝C r n a n－r b r其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数.8.二项式8)1(-x的展开式中的第5项是( )A. 70x4B. 70x2C. 56x3D. －5623x9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( )A.264B.－264C.66D.－176010.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( )A. 56B. －56C. 28D. 22411.(x2＋)5展开式中的10x是( )A.第2项B.第3项C.第4项D.第5项12.二项式x－1x6的展开式中常数项是( )A. 1B. 6C. 15D. 2013.设(3－x)n＝nnxaxaxaa+⋅⋅⋅+++221,已知naaaa+⋅⋅⋅+++21＝64,则n＝.14.设二项式(3x＋5)10＝188991010axaxaxaxa++⋅⋅⋅+++,则18910aaaaa+-⋅⋅⋅-+-＝.15.二项式2x－1x6的展开式中二项式系数最大的项是.性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大.③二项式系数的和为n2，即nC＋1nC＋…＋rnC＋…＋nnC＝n2④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即nC＋2nC＋…＝1nC＋3nC＋…＝12-n。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
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立体几何排列组合二项式定理知识点
1.多面体
:.()()定义由若干个多边形组成的封闭体叫做多面体 定义:由两个平行全等的多边形,不在这两个面上的棱都平行. 直棱柱底面平行全等,侧面为矩形,侧棱平行相等垂直底面 分类正棱柱底面平行全等正多边形,侧面为矩形,侧棱平行相等垂直底面棱柱四棱柱(平行六面体,直四棱柱,长方体,正四棱柱,正方体) 多面体()()S c l l h V S h ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪=⨯=⎧⎪⎨=⨯⎪⎩⎩侧底面周长底面积 直棱柱的侧面积计算 棱柱的体积 定义:由一个面为多边形,不在这个面上的棱有一个公共点. 正棱锥底面正多边形,侧面全等等腰三角形,侧棱相等交一点分类三棱锥(正三棱锥,正四面体) 棱锥''1213S c h h V S
h ⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎧
=⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪=⨯⎪⎪⎪⎩⎩
⎪⎪⎩侧底面周长底面积 正棱锥的侧面积(为斜高)计算 棱柱的体积 1.祖暅原理(夫叠棊成立积,缘幂势既同,则积不容异), 2.斜二测画法. 2旋转体
2:(),.(),(),().:(,):2,22,ABCD AB AB CD AD CD S rl S r rl V S h πππ⎧⎪⎪⎪⎨⎪==+=⨯⎪⎪⎩∆侧全底
定义矩形及内部绕旋转一周所得的旋转体直线轴线段母线,侧面线段和的旋转面底面圆柱性质无数条母线平行轴垂直底面 计算体积 定义:Rt ABC(及内部)绕直角边AB 旋转一周,所得的旋转圆锥常 见旋转体201
,,3:(),.:0----:----rl r rl V S h O AB OA πππ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪==+=⨯⎪⎩
侧全底体.直线AB(轴),斜边AC(母线,侧面),直角边BC 的旋转面(底面).性质:(无数条母线交于顶点,与轴和底面成等角) 计算:S S 体积
定义半圆及内部绕直径旋转一周所得的旋转体经度经线半圆面与经线半圆面的二面角大小经度纬度与赤道圆面的线面角大小纬球
1123:(,,44,:3(,)O OO S R V R R AOB ππθθ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪
⎧⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪==⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⨯∠=⎩⎪⎪⎩⎩
表度性质平面截球截面为圆 体积
计算 球面距离弧度
3、（一）空间向量的坐标
（1）位置向量的坐标：设点P 的坐标为（x , y , z ）, ,,i j k
分别为x , y , z 轴正方向上的单位向量，则OP xi y j zk =++ ，（x , y , z ）称OP 的坐标，记作(,,)OP x y z =。
（
2
）
向
量
的
坐
标
：
设
点
11112222(,,),(,,),
P x y z P x y z 则
12212121()()()PP x x i y y j z z k =-+-+- ，212121(,,)x x y y z z ---称12PP 的坐标，记作12212121
(,,)PP x x y y z z =--- 。
（3）非零向量111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与平行的充要条件是存在非零实数λ，使得
b a λ=成立。
（4）线段AB 的定比为λ的分点坐标公式：设111222(,,)(,,)A x y z B x y z ,,P 是直线AB 上的点
，
(1AP PB R λλλ=∈≠-
且）
，则点P 的坐标
222
111x y z λλλλλλ
++++++111x y z （x,y,z ）=(
,,)。
（5）空间向量的模的计算公式：设(,,)a x y z =
，则a = 。
（二）、空间向量的数量积
（1）向量数量积：非零向量,a b
的夹角(0)θθπ≤≤，则cos a b a b θ=。
（2）向量数量积的坐标表示：若111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与，则1
21
2a b x x y y z z
=
+
+ 。
（3）两个非零向量,a b 夹角θ
的余弦cos a b
a b
θ==。
（4）两个非零向量11122(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与垂直的充要条件是：1212120x x y y z z ++=。
（5）两个非零向量111222(,,)(,,)a x y z b x y z ==
与平行的充要条件是：a b a b =±。
（
三
）、空间两点
11112222(,,),(,,),
P x y z P x y z 的距离公式：
12PP =
（四）、平面的法向量
（1）定义：对于非零空间向量n ，若它所在的直线与平面α垂直，则向量n
叫做平面α的
一个法向量。
（2）求法：设,,A B C 是平面α上的不共线三点，且111222(,,),(,,)AB x y z AC x y z ==
，平面α的法向量是(,,)n a b c = ，则,,a b c 满足1112220
ax by cz ax by cz ++=⎧⎨++=⎩。
若0a ≠，令1a =，
解得,b c 。
若0b ≠或0c ≠，可同样处理。
（五）、空间点到平面的距离：设A 是平面α上任意一点，n
是平面α的法向量，向量AM
与n
的夹角为θ，则点M 与平面α的距离n AM d n
=
4.三视图
（1）.正投影：当投影线与投影平面所成角为900
时所得的投影叫正投影
（2）.三视图：将空间直角坐标系的xoy 平面，xoz 平面和yoz 平面作为投影平面，
其中xoy 平面接受由上向下的正投影，所得到的投影叫做图形的俯视图， yoz 平面接受由左向右的正投影，所得到的投影叫做图形的左视图 xoz 平面接受由前向后的正投影，所得到的投影叫做图形的主视图。
（3）.三视图的结构
将一个几何体的三个视图展示在同一个平面上，使俯视图在主视图的下方，左视图在主视图的右方，把整个构图叫这个几何体的三视图。
5、两个计数原理
(1)乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⋅⋅⋅= 21种不同的方法.
(2)加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法. 6、 排列
（1）定义：一般地，从n 个不同元素中取出m )(n m ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 当n m =时，称为n 个元素的全排列.
（2.1）从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数的计算公式是：
)!
(!
)1()2()1(m n n m n n n n P m n -=
+-⋅⋅-⋅-⋅= )*(n m N m n ≤∈且、
（2.2）n 个不同元素的全排列数是：
!12)2()1(n n n n P n n =⋅⋅⋅-⋅-⋅= （规定1!0=）
7、组合
（1）定义：一般地，从n 个不同元素中取出m )(n m ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
（2）从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数的计算公式是：
)!(!!
12)2()1()1()2()1(m n m n m m m m n n n n P P C m m
m n m
n
-=
⋅⋅⋅-⋅-⋅+-⋅⋅-⋅-⋅== )*(n m N m n ≤∈且、（规定10
=n C ）
8、组合数的两个性质:
（1）性质1 m n n
m n C C -= （2）性质2 m n m n m n C C C 11+-=+
9（1）二项式定理
n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(*)(N n ∈.
其中，右边的多项式叫做n
b a )(+的二项展开式，其中的系数),,1,0(n r C r n =叫做二项式系数，二项展开式的通项r r n r n r b a C T -+=1为展开式的第1+r 项.
（2）二项式系数的性质
(i)n
b a )(+的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. (ii)在n
b a )(+的二项展开式中，所有二项式系数的和等于n
2，即
n n n n n n C C C C 2210=++++
各奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，它们都等于1
2
-n ，即
11253124202--=+++++=+++++n r n n n n r n n n n C C C C C C C C ),,1,0(n r = （iii ）在n b a )(+的展开式中，若k n 2=，则最大的二项式系数是k n C ；若12+=k n ，则最大的二项式系数是k n C 和1+k n C ，且k n C =1+k n C .。