第3章_柱下条形基础

第3章柱下条形基础、筏形和箱形基础§3-1概述柱下条形基础、筏形基础和箱形基础与柱下独立基础相比，具有优良的结构特征、较大的承载能力等优点，适合作为各种地质条件复杂、建设规模大、层数多、结构复杂的建筑物基础。

柱下条形基础、筏形基础和箱形基础将建筑物底部连成整体加强了建筑物整体刚度，调整和均衡传递给地基的上部结构荷载，减小荷载差异和地基不均匀造成的建筑物不均匀沉降，减小上部结构的次应力。

该类基础一般埋深较大，可提高地基的承载力，增大基础抗水平滑动的稳定性，并可利用地基补偿作用减小基底附加应力，减小建筑物的沉降量。

此外，筏形和箱形基础还可在建筑物下部构成较大的地下空间，提供安置设备和公共设施的合适场所。

但是，这类基础尤其箱形基础，技术要求及造价较高，施工中需处理大基坑、深开挖所遇到的许多问题，箱形基础的地下空间利用不灵活，因此，选用时需根据具体条件通过技术经济及应用比较确定。

如前所述的刚性及扩展基础，因建筑物较小，结构较简单，计算分析中将上部结构、基础和地基简单地分割成彼此独立的三个组成部分，分别进行设计和验算，三者之间仅满足静力平衡条件。

这种设计方法称为常规设计，由此引起的误差一般不致于影响结构安全或增加工程造价，但计算分析简单，工程界易于接受。

然而对于条形、筏形和箱形等规模较大、承受荷载多和上部结构较复杂的基础，上述简化分析，仅满足静力平衡条件而不考虑三者之间的相互作用，则常常引起较大误差。

由于基础在地基平面上一个或两个方向的尺度与其竖向截面相比较大，一般可看成是地基上的受弯构件—梁或板。

其挠曲特征、基底反力和截面内力分布都与地基、基础以及上部结构的相对刚度特征有关，故应从三者相互作用的角度出发，采用适当的方法进行设计。

应该指出，上部结构、基础和地基共同作用是一个复杂的研究课题，尽管已取得较丰硕的成果，但是由于涉及到的因素很多，尤其地基土是一种很复杂的材料，目前尚缺少一种理想的地基模型去确切模拟，因此考虑共同工作的分析结果与实测资料对比往往存在着不同程度的差异，有时误差还较大，说明理论分析方法尚有待进一步完善，许多设计人员提出，设计这些基础宜以“构造为主，计算为辅”的原则，本章在介绍柱下条形基础、筏形基础、箱形基础设计计算的同时，也介绍其结构和构造要求，供设计时采用。

§3-2弹性地基上梁的分析3.2.1弹性地基上梁的挠曲微分方程及其解答进行弹性地基上梁的分析，首先应选定地基模型，不论基于何种模型假设，也不论采用何种数学方法，都应满足以下二个基本条件：1计算前后基础底面与地基不出现脱开现象，即地基与基础之间的变形协调条件；2基础在外荷载和基底反力的作用下必须满足静力平衡。

根据这两个基本条件可以组列解答问题所需的方程式，然后结合必要的边界条件求解，但是，只有在简单的条件下才能获得其解析解，下面介绍文克勒地基上梁的解答。

1.微分方程式图3.1表示外荷作用下文克勒地基上等截面梁在位于梁主平面内的挠曲曲线及梁元素。

梁底反力为p(kPa)，梁宽为b(m)，梁底反力沿长度方向的分布为pb(kN/m)，梁和地基的竖向位移为ω，取微段梁元素dx (图3.1b)，其上作用分布荷载q和梁底反力pb及相邻截面作用的弯矩M和剪力V，根据梁元素上竖向力的静力平衡条件可得：又V=dM/dx，故上式可写成（3-1）再利用材料力学公式EI（d2ω/dx2）=-M，将该式连续对x取两次导数后，代入式（3-1）可得(3-2)（a）梁的挠曲曲线（b）梁元素图3-1文克勒地基上梁的计算图式根据文克勒假设，p=ks，并按接触条件，即梁全长的地基沉降应与梁的挠度相等，s=ω，从而可得文克勒地基上梁的挠曲微分方程式为：（3-3）式中k—基床系数（kN/m3）。

2.微分方程解答为了对式(3-3)求解，先考虑梁上无荷载部分，即q=0，并令，则式(3-3)可写为：(3-4) 上式为一常系数线性齐次方程，式中λ称为弹性地基梁的弹性特征，λ的量纲为[长度-1]，它的倒数1/λ称为特征长度。

显然特征长度1/λ愈大，梁相对愈刚，因此，λ值是影响挠曲线形状的一个重要因素。

式（3-4）的通解为：（3-5）根据dω/dx=V；-EI（d2ω/dx2）=M；-EI（d3ω/dx3）=V，由式（3-5）可得梁的角变位θ、弯矩M和剪力V。

式中待定的积分常数C、C2、C3和C4的数值，在挠曲曲线及其各阶导数是连续的梁段中是1不变的，可由荷载情况及边界条件确定。

3.2.2弹性地基上梁的计算1．集中荷载下的无限长梁图3-2a为一无限长梁受集中荷载P0作用，P0的作用点为座标原点O，假定梁两侧对称，其边界条件为：（1）当χ→∞时，ω=0；（2）当χ=0时，因荷载和地基反力关于原点对称，故该点挠曲线斜率为零，即dω/dx=0（3）当χ=0时，在O点处紧靠P0的右边，则作用于梁右半部截面上的剪力应等于地基总反力之半，并指向下方，即V=-EId3ω/dx3 =-P0/2由边界条件（1）得：C1=C2=0。

则对梁的右半部有（3-6）由边界条件（2）得：C3=C4=C，再根据边界条件（3），可得C=Pλ/2kb，即(3-7) 再对式（3-7）分别求导可得梁的截面转角θ=dω/dχ、弯矩M=-EI （d2ω/dx2）、剪力V=-EI（d3ω/dx3）和基底反力p=k·ω，若令K =k·b为集中基床系数，则：（3-8a）（3-8b）（3-8c）（3-8d）（3-8e）其中(3-9）A x 、Bx、Cx、和Dx均为λχ的函數，其值可由λχ计算或从有关设计手册中查取。

而对于集中力作用点左半部分，根据对称条件，应用式（3-8）时，χ取距离的绝对值，梁的挠度ω，弯矩M及基底反力p计算结果与梁的右半部分相同，即公式不变，但梁的转角θ与剪力V则取相反的符号。

根据式（3-8），可绘出ω、θ、M、V随λχ的变化情况，如图3-2a所示。

由式（3-8）可知,当x=0时，ω=P0λ/2K；当x=2π/λ时，ω= 0.00187P0λ/2K。

即梁的挠度随χ的增加迅速衰减，在x=2π/λ处的挠度仅为χ=0处挠度的0.187﹪;在x=π/λ处的挠度仅为χ=0处挠度的4.3﹪,故当集中荷载的作用点离梁的两端距离x>π/λ时，可近似按无限长梁计算，实用中将弹性地基梁分为以下三种类型：（1）无限长梁：荷载作用点与梁两端的距离都大于π/λ；（2）半无限长梁：荷载作用点与梁一端的距离小于π/λ，与另一端距离大于π/λ。

（3）有限长梁：荷载作用点与梁两端的距离都小于π/λ，梁的长度大于π/4λ。

当梁的长度小于π/4λ时，梁的挠曲很小，可以忽略，称为刚性梁。

图3-2文克尔地基上无限长梁的挠度和内力（a）集中力作用（b）集中力偶作用2．集中力偶作用下的无限长梁图3-2b为一无限长梁受一个顺时针方向的集中力偶M0作用，仍取集中力偶作用点为座标原点O，式3-5中的积分常数可由以下边界条件确定：（1）当χ→∞时，ω=0；（2）当χ=0时，ω=0；（3）当χ=0时，在O点处紧靠M0作用点的右侧，则作用于梁右半部截面上的弯矩为M0/2 ，即M=-EI（d2ω/dx2）=M0/2 。

同理，根据上述边界条件可得C1=C2=C3=0，C4=M Oλ2/K。

即（3-10）故（3-10a）（3-10b）（3-10c）（3-10d）（3-10e）其中系数Aχ、Bχ、Cχ、Dχ与式（3.9）相同。

对于集中力偶作用点的左半部分，根据反对称条件，用式（3-1 0）时，χ取绝对值，梁的转角θ与剪力V计算结果与梁的右半部分相同，但对梁的挠度ω、弯矩M及基底反力p则取相反的符号。

ω、θ、M、V随λχ的变化情况如图3-2b所示。

3．集中力作用下的半无限长梁如果一半无限长梁的一端受集中力P0作用（图3-3a），另一端延至无穷远，若取坐标原点在P0的作用点，则边界条件为：（a）（b）图3-3半无限长梁a）受集中力作用 b）受力偶作用（1）当x→∞时，ω=0；（2）当χ=0时，M=-EI（d2ω/dx2）=0 ；（3）当χ=0时，V=-EI（d3ω/dx3）=-P0；由此可导得C1=C2=C4=0,C3=2P0λ/K .将以上结果代回式（3.5），则梁的挠度ω、转角θ、弯矩M和剪力V为：(3-11a)(3-11b)(3-11c)(3-11d)4．力偶作用下的半无限长梁当一半无限长梁的一端受集中力偶M0作用（图3.3b），另一端延伸至无穷远时，则边界条件为:（1）当x→∞时，ω=0 ；（2）当x=0时，M=﹣EI（d2ω/dx2）=M0；（3）当x=0时，V=0。

同理可得式（3-5）中的积分常数为：C1=C2=0，C3=﹣C4=﹣2M0λ2/K。

故此时梁的挠度ω、转角θ、弯矩M和剪力V的表达式为：(3-12a)(3-12b)(3-12c)(3-12d) 5．有限长梁实际工程中，地基上的梁大多不能看成是无限长的。

对于有限长梁，荷载对梁两端的影响尚未消失，即梁端的挠曲或位移不能忽略。

对于有限长梁，确定积分常数的常用方法是“初始参数法”，这里介绍一种以上面导得的无限长梁的计算公式为基础的方法，其利用叠加原理求得满足有限长梁两端边界条件的解答，从而避开了直接确定积分常数的繁琐，其原理如下。

图3-4表示一长为L的弹性地基梁（梁Ⅰ）上作用有任意的已知荷载，其端点A、B均为自由端，设想将A、B两端向外无限延长形成无限长梁（梁Ⅱ），该无限长梁在已知荷载作用下在相应于A、B两截面产生的弯矩M a、M b和剪力V a、Vb。

由于实际上梁Ⅰ的A、B两端是自由界面，不存在任何内力，为了要按长梁Ⅱ利用无限长梁公式以叠加法计算，而能得到相应于原有限长梁的解答，就必须设法消除发生在梁Ⅱ中A、B两截面的弯矩和剪力，以满足原来梁端的边界条件。

为此，可在梁Ⅱ的A、B两点外侧分别加上一对集中荷载M A、P A和M B、P B，并要求这两对附加荷载在A、B两载面中所产生的弯矩和剪力分别等于-M a、–V a、及–Mb 、–Vb，根据该条件利用式（3.8）和（3.10）列出方程组如下：图3-4有限长梁内力、位移计算（3-13a）（3-13b）（3-13c）（3-13d）解上列方程组得：(3-14) 式中其中sh表示双曲线正弦函数.原来的梁I延伸为无限长梁II之后，其A、B两截面处的连续性是靠内力M a、V a和M b、V b来维持，而附加荷载M A、P A和M B、P B的作用则正好抵消了这两对内力。

其效果相当于把梁Ⅱ在A和B处切断而成为梁Ⅰ。

由于M A、P A和M B、P B是为了在梁Ⅱ上实现梁Ⅰ的边界条件所必需的附加荷载，所以叫做梁端边界条件力。

现将有限长梁Ⅰ上任意点x的ω、θ、M和V的计算步骤归纳如下：（1）以叠加法计算已知荷载在梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ两端的A和B 截面引起的弯矩和剪力M a、V b、M b、V b；（2）按式（3.14）计算梁端边界条件力M A、P A、、和M B、P B、；（3）再按叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ的x点处的、θ、M和V值。