张量分析课件-2.4 二阶张量的标准形
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张量分析
eijk有27个量，其中 个不为零。其标号中，每相 个量， 个不为零。 个量 其中6个不为零 其标号中， 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。 邻两个互换一次位置，改变一次正负号。位置变 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 换偶次，不改变它的正负号；标号位置变换奇次， 它将改变正负号。 它将改变正负号。如
AB BA [C ij ] = [C ij ]T
r r 则有(板书演示 板书演示) 因为 eiA ⋅ e jA = δ ij ，则有 板书演示
AB BA C ik C kj = δ ij
或
AB BA [C ij ][C ij ] = [ I ]
BA 根据 [C ijAB ] = [C ij ]T ，可见
r r r ei × e j = eijk ek
12:17
16
r r r r r A × B = Ai ei × B j e j = Ai B j eijk ek
eijk = −ejik r r r r A× B = −B × A
易证
r r r ei ⋅ (e j × ek ) = eijk
上式亦可作为e 的定义。 上式亦可作为 ijk的定义。
aij b j = aik bk
ϕ ,i dxi = ϕ ,k dxk
12:17
7
如果标号不是字母，而是数字， 如果标号不是字母，而是数字，则不适用求和约 定，如
σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 = σ x + σ y + σ z(求和约定 求和约定) 求和约定
不求和) 其中 σ 11 = σ x , σ 22 = σ y , σ 33 = σ z (不求和 不求和 另外 (σ x + σ y + σ z )(σ x + σ y + σ z ) 应写成 σ iiσ jj ，不 因为后者的标号重复了4次 能写作σ iiσ ii，因为后者的标号重复了 次。 两矢量的点乘积应写成 r r r r A ⋅ B = Ai ei ⋅ B j e j
张量基础知识
描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是 说，当坐标轴变换时，矢量和张量的所有分量都随之变换， 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此，分量 的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换 时分量变换的规律。
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
张量基础知识
一、坐标变换 如图所示，设有直角坐标
系OX1X2X3，其三个方向的单
张量基础知识
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
律可表示为
JE
11 12 13
21
22
23
31 32 33
张量的定义：一般来说，在物理学中，有一些量需要用9个分 量来描述，这种物理量就是二阶张量。
张量基础知识
2.2 张量的数学定义
张量基础知识
2.3 张量的运算
一、张量的加法
若 Ai,jBi(ji,j1,2,3)皆为二阶张量，则
C i j A i jB ij(i,j 1 ,2 ,3 )也为二阶张量，于是我们定义 Cij
为 Aij, Bij 之和。这就是二阶张量的加法，并表为C=A+B。
以此类推，若A,B为两个同阶张量，则A,B相应分量之和构成 新的同阶张量C，记作C=A+B。
同 样 x x1 2 ： 1 2''1 1 1 2''2 2 x x1 2'' i'jT x x1 2''
由（ ）式得
xx12i'
j1xx12''
比较 : i'jTi'j1
[ i ' j ] 为张量正基础交知识矩阵
引用指标符号：
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
张量分解学习PPT课件
.
26
CP分解
张量的低秩近似
◦ 然而在低秩近似方面，高阶张量的性质比矩阵SVD差
Kolda给出了一个例子，一个立方张量的最佳秩-1近似并不 包括在其最佳秩-2近似中，这说明张量的秩-k近似无法渐进 地得到
下面的例子说明，张量的“最佳”秩-k近似甚至不一定存在
X a1ob 1oc2a1ob2oc1a2ob 1oc1
纤维：x i j :
.
6
基本概念及记号
切片（slice）
水平切片：X i : :
侧面切片：X : j :
正面切片：X ::k ( X k )
.
7
基本概念及记号
内积和范数
◦ 设 X,Y¡I1× I2× L× IN
内积：
I1 I2
IN
X,Y
L x y i1i2LiN i1i2LiN
i11i21 iN1
R
X§A,B,C¨arobrocr r1
X
c1 b 1
c2 b2
L
cR b R
a1
a2
aR
三阶张量的CP分解
.
20
CP分解
CP分解的矩阵形式
◦ 因子矩阵：秩一张量中对应的向量组成的矩阵，如
A a 1 a2 LaR
◦ 利用因子矩阵，一个三阶张量的CP分解可以写成展开形式
X (1) A C e B T X (2) B C e A T X (3) C B e A T
◦ 对于高阶张量，有
X ┈ λ ;A (1 ),A (2 ),L ,A (N ) Rra ( r 1 )o a ( r 2 )o L o a ( r N ) r 1
其展开形式为
X ( n ) A ( n ) d i a g ( λ ) A ( N ) e L e A ( n 1 ) e A ( n 1 ) e L e A ( 1 )T
2019-【张量分析ppt课件】张量分析课件第一章 线性空间-PPT精品文档-文档资料
4
r2 3 a 2 b1 2 1
b2 b3 r3 a3
( 1 t ) ( 3 , 1 ) t ( 4 , 1 ) 0 t 1 , t F ： r 1 与 r 2 ：(取 sb b ) a b ( 1 t ) ( a s ) t ( b s )a t b 2 2 1 1 ( 1 t ) ( 2 1 . 65 , 2 . 3 0 ) t ( 1 1 . 65 , 2 2 . 3 )a t b ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t )a t b ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t ) ( 0 . 65 , 4 . 3 ) 当 t b 时： ( 0 . 35 t , 2 . 3 2 t ) ( 0 , 3 ) 当 t a 时： .35 b 1 。显然由（1.1-7）式可知 r 1∥r 2 ，但 由此可得 a0 ， 0 . 3 5 0 由（1.2-1）式可知 r1 和 r 2 不等价（因为 a ）。
确定的矢量 u x x y 所构成的一类矢量，称为矢量 y的等价类。V 0 中所有矢量按（1.2-1）所构成 的等价类的集合称为自由矢量集合。记为 V 0 。 应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是 一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢 量。
r1 ： ( 1 t ) ( 2 , 0 ) t ( 1 , 2 ) 0 t 1 , t F
定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：
x ( xxxx ,, ) ( ,, )(,, x x )
1 n 1 n 1 n
x y ( x y ,x y ) ( zz , n ) z 1 1 n n 1
数学张量分析PPT课件
x y z
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
第1页/共92页
矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
第6页/共92页
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度： 左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为 和ijk 。ijk 由此定义可知
第2章 二阶张量
111
222
333
N为正（非负）张量 ⇔ N > (≥)0 i
（2）N非负，存在唯一的非负对称张量M，使 M 2 = N
（3）任意非对称张量可以 构造非负张量：
1 ）X = T ⋅T T，Y = T T ⋅T为非负张量，若T可逆，则X、Y为正张量
2）X 、Y 为对称张量
3）X 、Y 为不同的张量，但有相同的主分量
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = det T [u, v, w]
正则与退化 det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量。
（1）T为正则 ⇔ (i = 1, 2, 3) u(i)性无关，则T ⋅ u(i)也线性无关。
（2）正则T是单射的：u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v （3）正则T是满射的：∀u所作的线性变换T ⋅ u = v，必存在唯一的
≠
−Ω j、Ω • j
•i
i
≠
−Ω •i）Ω ⋅ u j
=
−u ⋅ Ω
（5）行列式的值：
， ， 定义：det T
=
Ti •j
T ij
= g T•j i
=
Ti •j
g = g 2 T ij
g= G ij
( ) ( ) ( ) 、 TT ij
=T ij
T T ij = T ij 、
T 、 = T T i j
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
2.4二阶张量的标准形
l1 0 0 1 0 0 l1
T
i j
l1
0
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l 1 Σ l 0 0
1
1
l
l1 0
1 l l 1 0
T λ1 g 1 g g 1 λ1 g 2 g g 2 λ1 g 3 g
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g g3 g2 g1 T·1=l1g1 g T·2=l2g2 g
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
1
l 2 l i
2 3
1 2 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g
g3
g2 g1
T·2=l1g2 g
T·1=l1g1 g
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0 l l1 0 0 J 1 l 3 0 1
主分量为
P1 P2 P3 1 3 J1
则
P
1 3
J 1G
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N·3=N3a3 a
ei ai ai ai ai
2
a3
a2 a1 N·1=N1a1 a N·2=N2a2 a
N
a
T
i j
l1
0
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l 1 Σ l 0 0
1
1
l
l1 0
1 l l 1 0
T λ1 g 1 g g 1 λ1 g 2 g g 2 λ1 g 3 g
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g g3 g2 g1 T·1=l1g1 g T·2=l2g2 g
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为
一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
1
l 2 l i
2 3
1 2 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T·3=l3g3 g
g3
g2 g1
T·2=l1g2 g
T·1=l1g1 g
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l
经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0 l l1 0 0 J 1 l 3 0 1
主分量为
P1 P2 P3 1 3 J1
则
P
1 3
J 1G
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N·3=N3a3 a
ei ai ai ai ai
2
a3
a2 a1 N·1=N1a1 a N·2=N2a2 a
N
a
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T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l1g2 g2 g1 T· g1=l1g1
（2）特征矩阵具有2次的初等因子l-l12以及l-l3)： l 经过初等变换，可以化为
J 2 l1 Σ l 0
即
T
i j
T 11 T 12 0 2 2 T 1 T 2 0 3 3 T 3 T T 2 3 1
进一步，依据特征方程根的性质，选择g1，g2，将T 化为某 种形式的标准形（不一定是对角标准形）。
2.4.2.1
特征方程无重根的情况
（1）特征方程具有3个不等的实根——l1,l2亦为实根。 3个不等的实根分别对应3个线性无关的特征矢量g1，
l l ij T i j
的初等因子决定。当矩阵 l的初等因子都是简单的 （即一次的）式时， l经过初等变换可以化为对交标 准形；当矩阵 l的初等因子不全是简单的（即有高于 一次的初等因子）时， l化为几个约当块按对角排 列构成的标准形。 无论哪一种情况，当特征方程有重根时，特征方向 都不唯一。
T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 0 l1
（3）具有3次的初等因子(l－l1)3
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 0 1 l l1
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g2 λ1 g3 g 3
张量分析 及连续介质力学
2.4 二阶张量的标准形
例：已知一点的应力（应变）状态， 求主应力（或主应变）。 求二阶张量的标准形问题：相当于在矩阵代数学中，通 过初等变换将一个矩阵化为标准形与求特征值的问题。
2.4.1
实对称二阶张量的标准形
总可以化为对角型标准形且主方向互相正交。 2.4.1.1 基本概念
2. 特征方程具有三重根（l1l2l3）
（1）具有3个全为1次的初等因子（l－l1）
l l1 Σ l 0 0 0 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l1
0
0 0 l1
（2）具有初等因子(l－l1)2， (l－l1)
l l1 Σ l 0 0 1 l l1 0 l l1 0 0
T λ1 g1 g1 g1 λ1 g2 g 2 λ1 g3 g 3
由于T 的分量、从而其不变量是实数，故特征方程是一个 实系数方程，它必定有一个实根，记作l3。设l3对应的特 征矢量为g3，则
T g3 l3 g3
任选与g3 线性无关的矢量g1，g2，与g3 构成一组基矢量，则
1 2 2 T T 11 g1 g1 T 12 g1 g 2 T 2 g g T g g 1 2 2 2 1 3 2 3 3 T3 g g T g g T g g 1 3 2 3 3 3
T
i j
l 0
l
0
0 0 l3
g'1
T· g'3=l3g'3 T· g'2 g'3 g'2 g'1
lg'2
T· g'1
g'2
l1g'1
2.4.2.2
特征方程有重根的情况
由于实系数方程的复根必须成对出现，所以对于T 的特征方程有重根的情况，无论有二重根或三重根，它 们都应是实根。此时，T 一般可化为约当（Jordan）标 准形，这由T 的特征矩阵
2
初等因子全简单
2 3 2 T 2 3 2 l1 l3 2 1 2 T 2 0,
T 12 0,
22为任意
22T 12 1,
3
初等因子非全简单
T
1 2
0,
2 2
1 T
1 2
1 2 为任意，所以 g2不唯一。
Nij l ij ii jj Ni j
2.4.2
非对称二阶张量的标准形
不一定能化为对角型标准形且主方向不正交。
设a，l 分别为T 的特征矢量和特征值，则
即 特征方程
l
T a la
i j
Tij a j 0
3 T 1 2 T 2 T 3
l l J l J l J 0
T
i j
l1 0 0
1
l1
0
0 1 l1
l 0
i j i i
及
N
i j
l 0
i j j i
ii 或ij 有非零解得条件是
l det l ij Ni j 0
解得l 的三个根，便可求出对应的 ii 或ij 及相应的坐标 i x i的方向，即 N i 取驻值的方向。由此可得
N a la
i j j
i
l det l
i j
l
Ni j a j 0
i j
Ni j 0
l l3 J1N l2 J 2N l J 3N
特征方程的解：特征根
齐次方程组的非零解矢量：特征矢量
2.4.1.3
实对称二阶张量的特征根必为实根
2.4.1.6
主分量是当坐标变换时N 的混合分量对交元素之驻值 条件极值问题
max .or min. st.
N ii ii ij N i j
ii ii 1
引入拉格朗日乘子l ,求无条件极值问题
max .or min.
N l ij ij 1
i i j i i j i i
取极值得必要条件是 d=0，即
N
i j
l ij iidij ij dii 0
N
N
i j
i j
l ij iidij ij dii 0
由 dij , dii 的任意性得
可令
g1 g2 g1 g 2 i g1 g2
g3 g3
, g 在 g1 2 , g 3 构成的坐标系中，T 可以化为实数形式的标
准形
3 2 3 g T lg1 g g l g g l g g 2 1 2 3 3
l l1 0 0 J1 l3 0
1 l l1 0
l l3 0 0
式中Jn(li)称为对应于特征根li的n阶约当块。T 可以化为约 当标准形
T λ1 g1 g1 λ1 g2 g 2 g1g 2 λ3 g3 g 3
定义 对于一个实对称二阶张量
N Ni j gi g j
（gi 是初始坐标系的基矢量），必定存在一组正交标准化基 e1，e2，e3，在这组基中，N 化为对角标准形
N N1e1e1 N 2e2e2 N3e3e3
其对应的矩阵是对角形的，即
N1 N 0 0
0 N2 0
0 0 N3
1 P1 P2 P3 J1 3
则
1 P J1G 3
2.4.1.5
实对称二阶张量所对应的线性变换
N· a3=N3a3
ei
ai ai
ai ai2
a1
a3
a2 N· a2=N2a2
N· a1=N1a1
N
a
1
N1
2
a1 a1
a
2
N2
2
a2 a2
a
3
N3
2
a3 a3
i g2 2 gi
g1 g1
g3 g3
在 g1 , g 2 , g3 为基矢量的坐标系内
2 3 T λ1 g1 g1 T 12 g1 λ1 g2 T 3 g g λ g g 2 3 3 3
T
i j
l1 0 0
（2）特征方程具有一个实根与一对共轭复根——l1,l2为 一对共轭复根。设
l1 l i
则仍有
l2 l i
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
T
i j
l1 0 0
0
l2
0
0 0 l3
式中，与l1,l2 对应的特征矢量g1，g2涉及复数。为了将T 表示成某种实数形式的标准形（不一定是对角标准形），
g2，g3，它们可构成一组基矢量（反证法）。在此坐标 系中，T 可化为对角标准形
T λ1 g1 g1 λ2 g2 g 2 λ3 g3 g 3
l1 0 0 0 0 0 l3
T· g3=l3g3 g3 T· g2=l2g2 g2 g1
T
i j
l2
0
T· g1=l1g1
反证法（略） 2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性
（1）若l1＞l2＞l3,则a1，a2，a3 唯一且互相正交。 （2）若l1=l2≠l3,则a3及任意的a1，a2 a3 为主方向。在 a3的平面内，任取互相垂直的a1，a2 为其中的二个主方向。 （3）若l1=l2=l3,则在空间任一组正交标准化基中N 都化为 对角标准形，称这种张量为球形张量，记作P。球形张量的 主分量为