14.7量子物理之势垒和隧道效应(动画)

*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
2
1
2
2
2
%exp(ik x) + C % exp(−ik x) ψ3( = x) C 1 1 2 1
(x > a)
I
II
III
将ψ1(x)乘以exp(-iωt)，然后取函数的实部。 x 由于cos(k1x - ωt) = cos(ωt - k1x)，可知：第一项 O a 表示I区向x正方向传播的波，即入射波， % A 是入射波的复振幅，模表示入射波的振幅，幅角表示初相。 1 同理可知：第二项表示向x负方向传播的波，即反射波， %和B % 是反射波的复振幅。 %是复振幅。 B A 1 2 2 由于在III区
隧道效应也得到广泛的应用， 例如半导体器件，超导和扫 描隧道显微镜，等等。
当粒子能量小于势垒高 度时，在势垒中，反射 波很小，主要是入射波。 当粒子能量一定时，势垒 常数越大，透射波越小。 势垒常数较大时，对于一 定质量和能量的粒子来说， 势垒的宽度较大，波函数 在势垒中衰减得较厉害， 透射波较小。
dψ 2 (a ) dψ 3 (a ) = dx dx
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
%+ A % =B %+ B %, A % % % % A 1 2 1 2 1k1 − A2 k1 = B1k 2 − B2 k 2
%exp(ik a) %exp(ik a ) + B % exp(−ik a) = B C 1 2 2 2 1 1
= k2 当E > V0时，可设II区的波矢为
薛定谔方程 组可化为
2m( E − V0 ) / h
O
2 2 d ψ3 2 d 2ψ 1 ψ d 2 2 2 + k 0. + k2ψ 2 = 0, 1ψ 3 = + k1 ψ 1 = 0, 2 2 2 dx dx dx
2 2 方程的 d 2ψ 1 d ψ3 ψ d 2 2 2 2 + k2ψ 2 = 0, + k1 ψ 3 = 0 + k1 ψ 1 = 0, 2 2 通解为 2 dx dx dx %exp(ik x) + A % exp(−ik x) (x < 0) ψ1( = x) A 1 1 2 1 V V0 %exp(ik x) + B % exp(−ik x) (0 < x < a) ψ = ( x) B
2 2 − i( k − k ) sin k2 a 1 2 %= A % A 2 1 2 2k1k2 cos k2 a − i(k12 + k2 ) sin k2 a
求解结 果是
%= A % C 1 1
虚部和实 部只差一 个相位因 子，因此 两者中的 可见：其他波的复振幅由入射波的复振幅决定。 任何一个 当入射波函数取实部时，其他波函数也取实部； 都可以表 当入射波函数取虚部时，其他波函数也取虚部。 示波函数。
2 1 2 2 2
V0 II III x
I
%exp(ik x) ψ 3 ( x) = C 1 1
(x > a)
根据波函数的单值和连 ψ1(0) = ψ2(0)， 续的条件，在x = 0处有 %+ A % =B %+ B %, A % % % % 可得两个方程 A 1 2 1 2 1k1 − A2 k1 = B1k 2 − B2 k 2 在x = a处有ψ2(a) = ψ3(a)，
%k exp(ik a) % %k exp(−ik a) = B k exp(i k a ) − B C 1 2 2 2 2 2 1 1 1
2k1k2 exp(−ik1a ) 2 2k1k2 cos k2 a − i(k12 + k2 ) sin k2 a %+ (k − k ) A % 1 ( k + k ) A 2 1 1 2 1 2 %+ A %− k1 ( A %− A %)] % B = = [ A 1 2 1 2 1 2k 2 2 k2 %+ (k + k ) A % 1 ( k − k ) A 2 1 1 2 1 2 %+ A %+ k1 ( A %− A %)] % B = = [ A 2 2 1 2 1 2k 2 2 k2
当粒子能量趋于势垒高 %→ A % −ik1a , % % 2 exp(−ik1a) A C1 → A1 1 度时，k2趋于零，可得 2 2 − ik1a 2 − ik1a 势垒内的波函数为
%(1 + ik x) + B %(1 − ik x) = B %+ B % + (B %− B %)ik x ψ 2 ( x) → B 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 − i2k1a % i2k1 x % % % % % % 2[1 + ik1 ( x − a )] →A = A2 + A1 − ( A2 − A1 )ik1 x → A1 + A1 1 2 − ik1a 2 − ik1a 2 − ik1a 当粒子能量等于势垒高度时， 当粒子能量小于势垒高度 时，k2是复数，势垒中的 势垒中仍然有波函数存在。 波函数按指数规律变化。
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
如图所示，一质量为m的粒子，能量为E， V ( x) = 0 ( x < 0, x > a) 在力场中沿x轴方向运动。力场势能分布为 V0 (0 < x < a ) 这种势能分布称为一维势垒。一粒子从势垒左 边向右运动，求粒子的波函数，演示波的传播。 [解析]由于势能V0与时间无关，因此是一个定态问题。 V 粒子在三个区域的薛定谔方程组为
在某时刻，波函数 的实部与虚部重叠。
说明：波函数的虚部和实 部都能描述粒子的状态。
当粒子能量大于势垒高 度时，粒子虽然能够越 过势垒，还会发生反射。
当粒子能量一定时，势垒 常数越大，波长就越短。
在势垒左边界，入射波 和反射波都不连续，但 叠加的波是连续的。在 势垒右边界，叠加的波 与透射波是连续的。
当粒子能量等于势垒高度 时，势垒中的入射波和反 射波合并为一个波函数， 波函数随距离线性变化。
当粒子能量小于势垒高度 时，粒子虽然会发生反射， 还能够穿过势垒产生透射， 如同势垒中有一条隧道， 这种现象称为隧道效应。 隧道效应已经被大量 实验所证实，例如冷 电子发射(电子在强电 场作用下从金属表面 逸出)，α粒子从原子 核中释放，等等。
设一无量纲的常数 k0 = a 2mV0 / h 常数由粒子质量、势阱高度和 宽度决定，不妨称为势垒常数。
可见：不论是右行波是 左行波，波函数的实部 和虚部的幅度是相同的。
势垒常数将影响波长。 入射波的振幅取实数，初始 时各区域的波函数的实部和 虚部(对应颜色的点虚线) 。
随着时间的推移，入射波的 波函数向右移，反射波的波 函数向左移，合成波函数向 右移，其幅度不断发生改变。
3
ψ2(x)中的两个分量是势垒II区中右行波和左行波， 没有反射波， % = 0. C 所以 2 Ψ (x)中第一个分量是势垒III区中右行波。
*{范例14.7} 势垒和隧道效#43; A % exp(−ik x) (x < 0) = ψ1( x) A 1 1 2 1 %exp(ik x) + B % exp(−ik x) (0 < x < a) ψ = ( x) B
h d ψ3 h d ψ2 h d ψ1 − = Eψ 3 − + = V ψ E ψ , − = Eψ 1 , 0 2 2 2 2 2 I 2 m dx 2 m dx 2m dx
2 2
2 2
2 2
V0 III x a
II
(x < 0)
(0 < x < a)
(x > a)
设I区和III区的波矢为 k1 = 2mE / h
O a dψ 1 (0) dψ 2 (0) = dx dx
再得两 个方程 B %k exp(ik a) % %k exp(−ik a) = k exp(i k a ) − B C 1 2 2 2 2 2 1 1 1 手工求解方程组比较麻烦，用MATLAB比较容易求解。
%exp(ik a) %exp(ik a ) + B % exp(−ik a) = B C 1 2 2 2 1 1
*{范例14.7} 势垒和隧道效应(动画)
2 2 − i( k − k 1 2 )sin k 2 a %= A % A , 2 1 2 2 2k1k2 cos k2 a − i(k1 + k2 )sin k2 a
2k1k2 exp(−ik1a) 2k1k2 cos k2 a − i(k12 + k22 ) sin k2 a %+ (k − k ) A % 1 ( k + k ) A 2 1 1 2 1 2 %+ A %− k1 ( A %− A %)] % B = = [ A 1 2 1 2 1 2k 2 2 k2 %+ (k + k ) A % 1 (k2 − k1 ) A k1 % % 1 2 1 2 % % % B= = [ A2 + A1 + ( A2 − A1 )] 2 2k 2 2 k2 %= A % C 1 1