【考点调查】2017年高三高考一轮总复习：8.2《两条直线的位置关系、距离公式》ppt精品课件课件
第二节
两条直线的位置关系、距离公式
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 考 纲 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。 导 学 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直 线间的距离。
a 1 2 由－2· ＝－1解得a＝ 。 3 1－ a
2 方法二：由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0解得a＝ 。 3
►名师点拨
两条直线平行与垂直的解题策略
(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要 考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条 件。 (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出 结论。
考点二 直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程。
两条直线的交点问题
【例2】 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于
3x＋2y－1＝0， 解析：方法一：先解方程组 5x＋2y＋1＝0，
得l1、l2的交点坐标为(－1,2)， 3 5 再由l3的斜率 求出l的斜率为－ ， 5 3 5 则直线l的方程为y－2＝－ (x＋1)， 3 即5x＋3y－1＝0。
通关特训1 A．－10 C．0
已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为 ) B．－2 D．8
4－ m ＝－2。 m＋ 2
l2，直线x＋ny＋1＝0为l3。若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(
解析：∵l1∥l2，∴kAB＝ 解得m＝－8。
1 又∵l2⊥l3，∴－ ×(－2)＝－1， n 解得n＝－2，∴m＋n＝－10。 答案：A
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1。 答案：B
4．若l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的 值为( A．3 ) B．5 C．－5 D．－8
x－y＝0， 解析：由 得l1与l2的交点坐标为(1,1)。 2x－3y＋1＝0
所以m＋3＋5＝0，m＝－8。 答案：D
2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在。若两条直 线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑； |C1－C2| (2)运用两平行直线间的距离公式d＝ 的前提是将两方程中的x，y的系数 A2＋B2 化为对应相等。
k1· k2＝－1 ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线□ 垂直 。 4 ______ __________
与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0。
2．两直线相交 (1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方
A1x＋B1y＋C1＝0， 程组 的解一一对应。 A2x＋B2y＋C2＝0
课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥
k1＝k2 1 __________ 2 平行 l2⇔□ 。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2□ ____。
与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)。 (2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔ 3 □
考点一 (1)试判断l1与l2是否平行；
解析：(1)方法一：当a＝1时， l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为
两条直线的平行与垂直
【例1】 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0。
－k－5 －5k－15 则 ＋ ＝－2，解得k＝－3。 k＋ 4 5 k－ 3 因此直线l的方程为y－2＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋1＝0。
考点三
距离公式的应用
【例3】 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内 求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2。
a 1 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1－ a
a 1 －2＝1－a， l1∥l2⇔ 解得a＝－1， －3≠－a＋1， 综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行。 方法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1) －1×6≠0，
a＝27， 7 a＝1， 由①②联立可得 或 b＝－4 b＝－8。 7
27 8 ∴所求点P的坐标为(1，－4)或 7 ，－7。
►名师点拨 一般式。
距离公式应用的解题策略
(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为 (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为 动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便。
5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是 4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0 。 ____________________________
|m＋5| 解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝ 2 ，得m＝10或－20。 4 ＋ 32
课堂学案
考点通关
考点例析 通关特训
1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0。(n≠C) 1种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对 称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解 决。
通关特训3 距离等于
(1)点P到点A′(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的 ) C．3个 D． 4 个
2 ，这样的点P共有( 2 B．2个
A．1个
解析：(1)设点P(x，y)，由题意知 x－12＋y2＝|x＋1|，且 2 |x－y| ＝ ， 2 2
y2＝4x， y2＝4x， 所以 即 ① | x － y | ＝ 1 ， x－y＝1， y2＝4x， 或 ② x－y＝－1， x＝3－2 2， x＝3＋2 2， 解①得 或 y＝2－2 2 y＝2＋2 2，
已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的 3x＋y＋1＝0 线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为______________ 。
解析：方法一：设直线l与l1的பைடு நூலகம்点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交
4x0＋y0＋3＝0， 点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足 3－2－x0－54－y0－5＝0， 4x0＋y0＋3＝0， x0＝－2， 即 解得 3x0－5y0＋31＝0， y0＝5，
解析：设点P的坐标为(a，b)。 ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)。 －3＋1 而AB的斜率kAB＝ ＝－1， 4－ 2 ∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0。 ∵点P(a，b)在线段AB的垂直平分线上， ∴a－b－5＝0。① 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， ∴ |4a＋3b－2| ＝2，即4a＋3b－2＝± 10。② 5
5 唯一解 (2)相交⇔方程组有□ ______，交点坐标就是方程组的解。
无解 6 ________ (3)平行⇔方程组□ 。
7 无数个解 (4)重合⇔方程组有□ __________。
3．三种距离公式 (1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为
x2－x12＋y2－y12 。 8 ______________________ |AB|＝□
通关特训2
因此直线l的方程为 即3x＋y＋1＝0。
y－ 2 x－－1 ＝ ， 5－2 －2－－1
方法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0。
kx－y＋k＋2＝0， －k－5 由 得 x＝ 。 k ＋ 4 4 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 ， kx－y＋k＋2＝0， －5k－15 由 得 x＝ 。 5 k－ 3 3x－5y－5＝0，
)
|0＋2×－1－3| 解析：d＝ ＝ 5。 5 答案：B
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( A．(－a－1，－b－1) C．(－a，－b) B．(－b－1，－a－1) D．(－b，－a)
)
y′－b×－1＝－1， x′－a 解析：设对称点为(x′，y′)，则 x′＋a＋y′＋b＋1＝0 2 2
aa－1－1×2＝0， ∴l1∥l2⇔ 2 aa －1－1×6≠0， a2－a－2＝0， ⇔ 2 解得a＝－1， a a － 1 ≠ 6 ，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行。
(2)l1⊥l2时，求a的值。
解析：(2)方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠0时， a 1 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1－ a
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为
|Ax0＋By0＋C| 2 2 A ＋ B 9 ______________________________ 。 d＝□
(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝
高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件
【变式训练】 1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大 时，a＝( )
A.1B.－41Biblioteka 1 C.4D. 5
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时， 点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－ m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2 ＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
2.三个距离公式 (1)两点间的距离公式 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离： |P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2. (2)点到直线的距离公式 点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)两条平行直线间的距离公式 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的 距离：
|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得
k＝－13.所以直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三 对称问题
－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m
＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直 线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第2节 两条直线的位置关系
过点(1, ),和 A,B 等距离的直线与 AB 平行,或过 AB 的中点 M,
所以所求直线的方程为 y- = (x-1)或 x=1,即 21x-28y-13=0 或 x=1.
考点三
对称问题
角度一
轴对称
[例3] 已知点A(0,2),直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-2y+2=0.点A关于
则a=
2
,b=
-2
.
解析:将P(2,1)分别代入直线l1:x+ay-4=0与l2:bx-y+5=0的方程可
得a=2,b=-2.
5.两条平行线4x+3y-1=0与8x+6y+3=0之间的距离是
.
解 析 : 直 线 4x+3y-1=0 可 化 为 8x+6y-2=0, 直 线 8x+6y-2=0 与 直 线
B.
√
C.
D.
解析:由题意3(a-1)+1×(-a)=0,解得 a= .故选B.
3.已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为
解析:由点到直线的距离公式得
|+-|
+
,则a=
±
=,解得 a=± .
.
4.若直线l 1 :x+ay-4=0与直线l 2 :bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),
斜率等于零.
(3)直线的一般式中有关结论记忆时要利用直线Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A),并结合
高三一轮总复习理科数学新课标第8章-第2节
作 业
能
菜单
高三一轮总复习数学·新课标（理科）
自
高
主 落
规律方法 2
1.(1)求两直线的交点坐标，转化为求两直线
考 体
实
验
· 方程组成的方程组的解．
·
固
明
基 础
(2)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
考 情
的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ
· 明
基
考
础 l2(
)
情
(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等
于－1( )
典
例
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相
探
究 交( )
·
课 时
提 知 能
(4)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为|kx10＋ ＋kb2|(
)
作 业
菜单
高三一轮总复习数学·新课标（理科）
自 △OAB 为直角三角形，则必有( )
高
主
考
落 实
A．b＝a3
体 验
·
·
固 基 础
B．b＝a3＋1a
明 考 情
C．(b－a3)b－a3－a1＝0
典
例 探 究 ·
D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0
课 时
提 知
【思路点拨】
(1)由两直线平行或重合的条件，求出 a
作 业
能
值进行检验．(2)依据直角三角形的垂直条件，确定 a，b 间的
知
业
能
菜单
1．两条直线平行与垂直的判定
高考数学文一轮复习专题第二两条直线位置关系
第
二
节
双基研习·面对高考
两
条 直
考点探究·挑战高考
线
的
位
置
考向瞭望·把脉高考
关
系
双基研习·面对高考
基础梳理 1．平行 (1)若两条直线的斜率k1、k2均存在，在y轴上的 截 距 分 别 为 b1 、 b2 ， 则 l1 ∥ l2 的 充 要 条 件 是 _k_1_＝__k_2_且__b_1≠__b_2___. (2)若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0，则l1∥l2的充要条件为A1B2－A2B1 ＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课前热身
1．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝ 0平行，则a＝______. 答案：－6 2．(2011年镇江质检)原点到直线x＋2y－5＝0 的距离为________． 答案： 5
3．两条直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：3x＋y＋2 ＝0的交点为________．
答案：(－190，43) 4．已知直线ax＋4y－2＝0和2x－5y＋b＝0垂 直，交于点A(1，m)，则a＝________，b＝ ________，m＝________. 答案：10 －12 －2
【名师点评】 在对称问题中，点关于 直线的对称是最基本也是最重要的对称 ，处理这种问题关键是抓住垂直与平分 两个几何条件，转化为代数关系列方程 求解；也可以先求出过点A与l垂直的直 线方程，再求中点坐标．
变式训练2 已知直线l1：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2) ，求：
(1)点A关于直线l1的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l1的对称 直线l2的方程．
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第2节 两条直线的位置关系
D. 2+1
a=-1+ 2或 a=-1- 2.
∵a>0,∴a=-1+ 2.
(3)直线3x-4y-4=0与直线6x-8y-3=0之间的距离为( C )
1
A.
5
2解析 直线 3x-4y-4=0 即 6x-8y-8=0,显然与另一条直线平行,
则所求距离为
|-8-(-3)|
62 +82
=
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为
(x,2b-y).
(4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为
(k+y,x-k).
2.三种直线系方程
3.直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
)
题组二 回源教材
4.(人教A版选择性必修第一册2.3.4节练习第1题改编)已知两条平行直线l1:
2 5
2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离是__________.
5
解析 利用两平行线间的距离公式得 l1 与 l2 之间的距离 d=
条直线的斜率为0时,l1⊥l2
l1⊥l2⇔__________
k1k2=-1
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,
1
1
1
则 l1 与 l2 重合⇔ = =
2
2
2
l1∥l2⇔__________,且
A1B2-A2B1=0 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0)
高考数学一轮总复习课件：两直线的位置关系
例1 (1)(2021·江西八校联考)已知直线l1：kx＋y＋3＝0， l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为__－__1____．
【思路】 根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后 代入两直线方程进行验证是否满足l1∥l2，即可得出实数k的值．
【解析】 ∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1 ∥l2，
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
＝0.若2．l1∥(课l2本，习则题a的改值编为)已_－_知_12_直__线__l，1：若axl1＋⊥yl＋2，5则＝a0的，值l2：为x－2y＋7 _____2___．
3．直线y＝kx－k－2恒过定点__(_1，__－__2)_．
解析 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1，y＝－2时恒成立， ∴直线恒过定点(1，－2)．
【解析】 要使点P到直线x－y－4＝0有最小距离， 只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线的切点， 即点P为曲线上斜率为1的切线的切点，设P(x0，y0)，x0>0， y＝x2－lnx，y′|x＝x0＝2x0－x10＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)， 点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－12－4|＝2 2， 所以曲线y＝x2－lnx上任一点到直线x－y－4＝0的距离的最小 值为2 2.
【思路】 结合图形，根据点到直线的距离公式求解．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐 标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条 件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－k22k＋－11|＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.
高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第八章第2课两条直线的位置关系
k 的值等于
1 2
4. 已知点 P1(1 ， 1) 、 P 2 (5 ， 4) 到直线 l 的距离都等于 2．直线 l 的方程
为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x-3=0. 5. 已知 A（ 7， 8）， B（ 10,4 ） ,C （ 2,-4 ） , 求 ABC的面积 .
4. 已知 0
，且点 (1, cos ) 到直线 xsin 2
y cos 1 的距离等于 1 ，则 等于
4
6
5. 设 a、 b、c 分别是△ ABC中∠ A、∠ B、∠ C 所对边的边长，则直线 sin A· x+ay+c=0 与 bx－ sin B·y+sin C=0 的位置关系是垂直
6. 已知点 P1( x1 , y1) 、 P2 x2 , y2 ，分别是直线 l 上和直线 l 外一点， 若直线 l 的方程是 f x, y 0 ，
解方程组
得 A（ 3k 2 , － 4k 1 ）
y kx 3 1
k1 k1
解方程组
x y 6 0 得 B（ 3k 7 ，－ 9k 1 ）
y kx 3 1
k1
k1
由|AB|=5 得
2
3k 2 3k 7
+
k1 k1
2
4k 1 9k 1 =25， k1 k1
解之，得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。
综上可知，所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
m
4
m
2 ，等
号在 m
1时成立， S 有最小值 1 . 4
点拨 : 解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题
.
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书
第二节 两直线的位置关系、距离公式考试要求：1．能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理)．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离(数学运算)．一、教材概念·结论·性质重现1．两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2．l1∥l2k1＝k2l1⊥l2k1·k2＝－1特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．(2)利用方程判断l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，l1∥l2＝≠l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0l1与l2重合＝＝特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．(3)两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．(1)与直线Ax＋2．三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝．(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝．应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．( × )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．( × )(4)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离为0．( × ) 2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10B 解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．故选B．3．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0A 解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y ＝x＋b，由题意知直线l过线段AB的中点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．故选A．4．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为____ ____．C 解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．5．已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2之间的距离为___ _____． 解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y －3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性1．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A 解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．故选A．2．若直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则a2＋b2的最小值为( )A． B．3C．5 D．C 解析：因为直线2x＋(2a－5)y＋2＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以2b＋2(2a－5)＝0，化简得b＝5－2a，所以a2＋b2＝a2＋(5－2a)2＝5a2－20a＋25＝5(a－2)2＋5≥5，当且仅当a＝2时取“＝”，所以a2＋b2的最小值为5．3．已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：(2m＋3)x＋my－1＝0，m∈R，若l1⊥l2，则m＝________．0或－2 解析：若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，即l1⊥l2⇔m＝0或m＝－2．1．当方程的系数含有字母时，应考虑斜率不存在的特殊情况，否则容易漏解．2．利用平行、垂直等条件求出参数值后，应将求出的参数值回代，验证是否符合题意．如当两直线平行时，利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合，应该代入验证是否舍去其中一个值．考点2 两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A．4 B．C． D．B 解析：由直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以直线分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋＝0．它们之间的距离是＝．故选B．(2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )A．－24 B．24 C．6 D．±6 A 解析：直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，可设交点坐标为(a,0)，则即故选A．本例1(1)中，条件“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相平行”改为“直线3x＋2y－3＝0与直线6x＋my＋7＝0互相垂直”，求两直线的交点坐标．解：因为两直线垂直，则18＋2m＝0，则m＝－9．由解得所以交点坐标为．1．求过两直线交点的直线方程的方法1．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为( )A．(1,2) B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)C 解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C．2．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点Q，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 解析：由得即直线l过点Q(1,2)．因为|PQ|＝＝>2，所以满足条件的直线l有2条．故选C．考点3 对称问题——应用性考向1 点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0．考向2 点关于直线的对称点已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． 解析：设A′(x，y)，由已知得解得故A′．则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．考向3 直线关于直线的对称已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0B 解析：由得交点(1,0)，取l1上的点(0，－2)，其关于直线l的对称点为(－1，－1)，故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．1．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0B 解析：易知A(－1,1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x －2y＋5＝0．故选B．2．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图象关于直线y＝x对称，则a＋b＝( )A． B．－C．2 D．－2C 解析：直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，则所以a＋b＝2．故选C．。
高三数学总复习《两条直线的位置关系、交点坐标与距离公式》
3两 条 平 行 直 线 的 距 离 .
l1:AxByC10与 l2:AxByC20的 距 离 d|C1C2|
A2B2
注意:应用此公式要把两平行直线化为一般形式且使 x,y的系数分别相等.
考点训练
1.(2009·上海)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x2y+3=0平行,则k的值是( )
第四十七讲 两条直线的位置关 系、交点坐标与距离公式
走进高考第一关 考点关 回归教材 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行 两条不重合直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(b1≠b2),若l1∥l2,则 k1=k2,反之;若k1=k2,则l1∥l2,如果l1,l2的斜率都不存在,那么它 们的倾斜角都是90°,从而它们互相平行.
说明:判断两条直线平行时,要注意,两条直线的斜率,当两条直 线都与x轴垂直时,平行,当两条直线不与x轴垂直时,只要它们 的斜率相等,截距不等就平行.
(2)两条直线垂直
设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2 若l1⊥l2,则k1k2=-1;反之,若k15k2=-1,则l1⊥l2. 特别地,对于直线l1:x=a,l2:y=b,l1⊥l2.
变式2:过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为.
答案:2x+y+1=0
解 析 :直 线 x2y30的 斜 率 为 k1,则 所 求 直 线 的 2
斜 率 为 2,
故 所 求 直 线 方 程 为 y32x2,即 2xy10.
题型二 两条直线的交点 例3求过两直线3x+y-1=0与x+2y-7=0的交点,并且与第一条 直线垂直的直线方程.
高考数学(文)一轮复习 8-2两直线的位置关系
线
AB
的斜率等于－1，且线段 k
AB
的中点在直线
l
上．(
√
)
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板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学（文）
二、小题快练 1．[课本改编]过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直 线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析 设直线方程为 x－2y＋c＝0，又经过点(1,0)，故 c＝－1，所求方程为 x－2y－1＝0.
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板块三
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高考一轮总复习 ·数学（文）
(2)如果 l1、l2 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线 的斜率为 0 时，l1 与 l2 的关系为_垂__直__．_
3．两条直线相交 交点：直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2 ＝ 0 的公共点的坐标与方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解一一 对应．
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高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练 2】 (1)P 点在直线 3x＋y－5＝0 上，且点 P
到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则 P 点坐标为( )
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)
解析 设 P(x,5－3x)，则 d＝|x－125＋＋3－x－121|＝ 2，化简
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高考一轮总复习 ·数学（文）
特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝