概率统考试卷及答案(A)03.7

概率论与数理统计(A)试卷

（2003年7月7日 答题时间100分钟）

一 简答题（要求写出简要步骤或理由、每题5分、共40分） 1． 设70.)A (P =，30.)B A (P =-，问)AB (P 为多少？

2．有甲、乙、丙三个口袋，甲袋装有1只红球两只白球；乙袋装有2只红球2只白球、丙

袋装有2只红球4只白球。任取一个口袋，并从中任取一个球，问取到红球的概率有多大？ 3．有10件产品，其中有1件次品，9件正品，每次从中任取一件，取后放回，直到取到次品为止，X 表示抽取次数，问X 的分布律是什么？ 4．设X 的分布函数为x arctan B A )x (F +=，+∞<<∞-x ，问A ，B 各为多少？ 5．一个口袋中装有三个球，它们上面分别标有数字1，2，2。从这口袋中任取一个球，不放

回去，再从口袋中任取一个球。以X ，Y 分别表示第一次，第二次抽取的球上的数字。问X 和Y 的联合分布律是什么？ 6．设X 服从),(ππ-上的均匀分布，且X sin Y =，X cos Z =，问Y 与Z 的相关系数

YZ ρ为多少？

7．设总体),(N ~X 2

σμ，n X X X ,,,21 为样本，为样本均值，问])X X

([E n

i i

∑=-1

2

的值为多少？

8．设X 服从),0(θ上的均匀分布，其密度函数为 ⎪⎩⎪

⎨⎧<<=其它

01

)(θ

θ

x x f

n X X X ,,,21 为样本，问{}n

X X X ,,,max ˆ21 =θ是否为θ的无偏估计量？ 二（16分）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

⎩

⎨

⎧>>=+-其它

，00

,0,

2),()2(y x e y x f y x

（1） 求分布函数),(y x F ；

（2） 求边缘分布函数)(x F X ，)(y F Y ； （3） 求边缘密度函数)(x f X ，)(y f Y ； （4） 求)(Y X P ≤。

三（12分）某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式。记使用寿命为X （单位：年），规定：

1≤X ，一台付款1000元； 31≤X ，一台付款3000元。

设寿命X 服从正态分布),2(2

σN ，求该商店销售一台收费Y 的数学期望。

四 (12分) 某计算机网络有120个终端，任意一时刻有10%的终端同时使用，若各个终端使用与否是相互独立的。试用中心极限定理计算，在任意一时刻有多于20个终端同时使用的概率。

五（10分）设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为

⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0

01)(_x x e

x f x

θθ 其中0>θ为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下： 1150，1190，1310，1380，1420

求电池的平均寿命θ的最大似然估计值。

六（10分） 在某次外语四级考试中，设全体考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得样本均值566.x =分，样本标准差15=s 分。问在水平050.=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 附表：z 05.0=1.65 z 025.0=1.96 z 01.0=2.33 t 025.0(35)=2.0301

t 05.0(36)=1.6883 t 025.0(36)=2.0281

Φ(0,025)=0.50 Φ(2.44)=0.9927 Φ(0.05)=0.51

2χ025.0(8)=17.53 9.16)9(05.02=χ 5.15)8(5o .o 2=χ

概率统计试卷(A)标准答案及平分标准

（2003年7月7日 答题时间100分钟）

一 简答题（要求写出简要步骤或理由、每题5分、共40分） 1．设70.)A (P =，30.)B A (P =-，问)AB (P 为多少？

答 3070.)AB (P .)AB (P )A (P )AB A (P )B A (P =-=-=-=- 3分

403070...)AB (P =-=，60.)AB (P = 2分

2．有甲、乙、丙三个口袋，甲袋装有1只红球两只白球；乙袋装有2只红球2只白球、丙袋装有2只红球4只白球。任取一个口袋，并从中任取一个球，问取到红球的概率有多大？ 答 321A ,A ,A 分别表示取到甲、乙、丙口袋中的球，B 表示任取一球为红球，则由全概

率公式得 2分 )A (P )A B (P )A (P )A B (P )A (P )A B (P )B (P 332211++= 18

7

62423131=++=

)( 3分 3．有10件产品，其中有1件次品，9件正品，每次从中任取一件，取后放回，直到取到次

品为止，X 表示抽取次数，问X 的分布律是什么？ 答 i A 表示第i 次取次品， ,,i 21= 2分 )()(

)A A A (P )k X (P k k k 10

1

109111--=== ， ,,k 21= 3分 4．设X 的分布函数为x arctan B A )x (F +=，+∞<<∞-x ，问A ，B 各为多少？ 答 1=+∞)(F ，0=-∞)(F 2分

12=+π

B

A ，02

=-

+)(B A π

， 2分

从而21/A =，2/B π= 1分

5．一个口袋中装有三个球，它们上面分别标有数字1，2，2。从这口袋中任取一个球，不放