求曲边梯形面积的公式是什么
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一元函数积分学第2-5节定积分
把区间 [a, b] 分成 n个
小区间 [ xi-1 , xi ]，
y
长度为 D xi xi - xi-1;
(2) 近似替代
在每个小区间 [ xi-1 , xi ]
上任取一点 xi，
o a b x1 x2 xi-1xixi xn-1
x
以 [ xi-1, xi ]为底，f (xi ) 为高的小矩形面积为 Ai f (xi )Dxi
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx.
(a < b)
证 - f (x) f (x) f (x),
b
b
b
- a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即 b a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx .
说明：| f ( x)|在区间[a, b]上的可积性是显然的.
则对于每一个取定的 x值，定积分都有一个对应值，
所以它在 [a, b]上定义了一个函数，
记为：
故 a a2 - x2 dx a 2
0
4
a
表示半径为 a 的圆面积的四分之一(第一象限部分)
用上述方法求定积分只适用于特殊情形,
一般情形,需另谋出路 —— 牛—莱公式
四、定积分的性质 和牛顿—莱布尼茨公式
对定积分的补充规定:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b
b 时， a
f
在区间[a, b]上至少存在一个点x ，
使
f
(x)
b
1 -
a
b
a
f
(
x)dx,
5.1 定积分的定义
的一个矩形的面积。
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,
f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,
f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }
定积分
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
O
2 1 4
(2) (cos x sin x)dx;
0
4
1 (3) (2 x 2 )dx; 1 x
3
1 (4) ( x 4 )dx; 1 x
2 2
(5)
0
(cos x e x )dx.
先化简再求定积分
3.计算下列定积分：
2 x 2 (1) sin dx; 0 2
b a b a a b
性质1： a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx. 性质2： a kf ( x )dx k a f ( x )dx.
b c b a a c b b
b
b
b
可推广到多项
性质3： f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx.
a
b
x
b
f ( x)dx ． ，
a f
b
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x
a f
b
(x)dx S
a f (x)dx c
c
f (x)dx。
yf (x)
定积分的几何意义
f x 既有正值又有负值时，
151曲边梯形的面积
16
可以从数值
32
上可以看出
64
这一变化趋
128
势
256
512
0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41
1024
0.332 845 21
2048
0.333 089 23
可以是该区间内任一点的函数值
练习
求直线x 0, x 2, y 0与曲线y x2 所围成的曲边梯形的面积.
小结
一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想 2.逼近思想
作业
导学测评 （六）
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系
S
lim n
n i 1
ba n
f
xi
练习
1.
当n很大时，函数
f (x)
x2
在区间
i
Hale Waihona Puke n1,i n
上的值，可以用( C )近似代替
A.
f
(
1 n
)
B.
f
(2) n
C.
f
(
i n
)
D. f 0
2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi , xi1
上的近似值等于 f (xi )(xi xi , xi1 )
O 12 nn
y x2
y x2
k n
nx
12
n
nn
k n
nx
n
09曲边梯形面积与定积分
每个区间的长度为 x i n i 1 n 1 n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n )x ( i 1 n )
S
b
f ( x)dx
a
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
回顾小结
2.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
3.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
S
i 1
i
1 n
n
i 1
i -1 1 f( ) n n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n )x ( i 1 n )
S
b
f ( x)dx
a
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取逼近
积零为整
取逼近
精确值——定积分
回顾小结
2.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
3.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
S
i 1
i
1 n
n
i 1
i -1 1 f( ) n n
第一节 定积分的概念和性质_1
b b b
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
∫a g( x)dx − ∫a f ( x)dx ≥ 0,
是 于
∫a f ( x)dx ≤ ∫a g( x)dx.
b
b
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x)dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x)dx. (a < b)
Q − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
3 当 数 （ ） 函 f (x) 在 间 a, b]上 定 分 在 ， 区 [ 的 积 存 时
b
b
b
称 f (x)在 间 a, b]上 积 区 [ 可 .
存在定理
函 间 ， 定理1 定理1 当 数 f (x)在区 [a, b]上连续时
称 f (x)在区 [a, b]上可积 间 .
[ 数 ， 定理2 定理2 设函 f (x)在区间 a, b]上有界
y
y = f (x)
A=?
o
a b x
x = b所围 . 成
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形） 九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
o a
x1
x i −1 i x i ξ
xn−1 b
x
为底， f 以[ xi−1, xi ]为底， (ξi ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξi )∆xi
求曲边梯形的面积详解
ba n
f
i
即时小结
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
近似代替
求和
逼近
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
课堂小结
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想 方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系。
返回
深入思考
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间 分的越细，各个结果就越接近真实值。为 此，我们让n无限变大，这就是一个求极限 的过程。
两个结论
• （1）在分割时一定要等分吗？不等分影响 结果吗？
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
y x2
o
1x
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
y
A
A
∟
∟
o
B
x
o
B
x
不规则的几何图形可以分割成 若干个规则的几何图形来求解
思维导航
-----割圆术
魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
曲边梯形的面积
3.3定积分的概念与性质、计算(一)
0
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c
c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A
i 1 n
总存在， 则称函数 f(x) 在区间 a , b 上可积， 并称极限I为函数 f(x) 在区间 a , b上的定积分， 记为 f x dx ,即
b a
I f x dx lim f i xi .
b a
n
0
i 1
注意: 0 不能换成 n .
该区间上各个时刻的速度，即
si v( i )ti ( i 1, 2, , n)
③求和.
s si v ( i )t i
i 1 i 1 n n
④取极限. s lim
0
v( )t
i 1 i
n
i
max ti
1 i n
A lim f i xi ( max{xi })
c b a c
c
a b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
b c
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
c b
a c
b c
a
b
a
c
性质4 如果在区间 a , b 上，f ( x ) g( x )，则
y
y f x 0
A i
即
a
Ai f i xi ( i 1, 2, , n)
O
x0 x1 x2
…
xi 1 xi
…
xn 1
b xn x
③求和
n i 1
i
f 1 x1 f 2 x2 f ( n )xn f i xi A
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记作
即∫
∫a f (x)dx，
b a
b
ba f ( x)dx = lim ∑ f (ξi ) n→∞ n i =1
n
结
积分上限
[ a, b]
n
积分
构 分
∫a
积分 限
b
ba f ( x)dx = lim ∑ f (ξ ) i n →∞ n i =1
被 积 函 数
被 积 式
析
积 分 变 量
合作探究
注：∑ i 3 = 13 + 23 + 33 + + n3 =
i =1 n
1
1 2 n (n + 1) 2 4
小结
1、通过本节课的学习，你学到 、通过本节课的学习， 了哪些知识？ 了哪些知识？ 2、本节课用到了哪些思想方法？ 本节课用到了哪些思想方法？
作业
P50
必做题： 习题1.5 A 3,4,5 必做题： 习题 选做题： 习题1.5 B 选做题： 习题 2
O
1
x
定积分的几何意义( 定积分的几何意义 f ( x) ≥ 0 )
设阴影部分面积为S 设阴影部分面积为
∫a
b
f ( x)dx
表示由直线 x
= a,
x = b ( a ≠ b) , y = 0
和曲线 y = f ( x) 所 围成的的曲边梯形
∫
b
a
f ( x)dx = S
的面积
合 作 探 究
如何用定积分表示图中蓝色部分的面积? 如何用定积分表示图中蓝色部分的面积
Hale Waihona Puke y y=f (x)y = g ( x)
O a b x
∫
b
a
f ( x)dx ∫ g ( x)dx
a
b
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
针 对 训 练
y = 2x
y
y = sin x
0
1
x
0 1 3π
4
x
∫
1 0
2 xdx
∫
3π 4 1
sin xdx
x 3 dx 的值 利用定积分的定义， 例⒈利用定积分的定义，计算 ∫0
（1）定积分的结果是一个 数值 ） （2）定积分的值只与被积函数和积分区 ） 间有关，而与积分变量用什么字母表 间有关， 示 无关 ， 即
∫
b
a
f ( x)dx ＝
∫
b
a
f (t )dt
如何用定积分表示抛物线 直线 的面积。 的面积。
y
y=x
2
、
x=1和 x 轴所围成的曲边梯形
探 究 一
y = x2
滨海中学 李 鹏
∑ f (ξ )x = ∑
i =1 i i =1
n
n
ba f (ξi ) n
如果当n→∞时，上述和式无限接近某个常数 如果当 → 时 上述和式无限接近某个常数， 这个常数为函数f(x)在区间 b]上的定积分， 在区间[a, 上的定积分 上的定积分， 这个常数为函数 常数为函数 在区间
1、求曲边梯形面积和变速直线运动 、 路程的步骤是什么？ 路程的步骤是什么？ 2、求曲边梯形面积的公式是什么？ 、求曲边梯形面积的公式是什么？ 3、求变速直线运动路程的公式是什么？ 、求变速直线运动路程的公式是什么？ 4、它们的共同特征是什么？ 、它们的共同特征是什么？
§1.5 定 积 分
－－§1.5.3定积分的概念 定积分的概念