《曲边梯形的面积定积分》练习题.doc
数学选修2-2训练：1 曲边梯形面积与定积分 含解析.
预习导航1．函数的极值(1)已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．(2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．思考1 (1)极大值(极小值)是否就是函数在定义域内最大的值(最小的值)?(2)函数是否一定存在极值？若存在，是否是唯一的？(3)极大值是否一定比极小值大？(4)函数的极值点是否可以出现在区间的端点？提示：(1)极值是一个局部概念．由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小．(2)在一个给定的区间上，函数可能存在若干个极值，也可能不存在极值；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值．(4)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．2．求函数y＝f(x)极值的步骤第1步：求导数f′(x)；第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；第3步：考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0)不是极值．思考2 (1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？(2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．(2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了．但对可导函数来说，极值点处的导数值一定等于0.3．函数的最值函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值．点拨函数极值与最值的联系与区别：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性．(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值最多只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值．(3)极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得．有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不是在端点处取到，则一定是某个极值．4．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤第1步：求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．第2步：计算函数f(x)在区间(a，b)内使f′(x)＝0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考3如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，如何求其最值？提示：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上恰好是单调函数，那么函数的最值恰好在两个端点处取到．当f(x)在闭区间[a，b]上递增时，f(a)是最小值，f(b)是最大值；当f(x)在闭区间[a，b]上递减时，f(a)是最大值，f(b)是最小值．点拨函数f(x)在开区间上最值的求法：如果要研究函数在开区间上的最值情况，那么就要与闭区间加以区别．由于是开区间，所以函数的最值不能在端点处取得，而只能在极值点处取得，当函数在开区间上只有一个极值时，这个极值也必然是最值．如果在无穷区间(－∞，＋∞)上函数只有一个极值，那么这个极值也就是最值．此外，还要注意研究函数值的变化趋势，必要时应画出函数的大致图象，结合图象分析函数的最值．。
曲边梯形面积及定积分
b
y
yf (x)
b
上述曲边梯形面积的负值。
S [ f ( x)]dx
a b
S [ f ( x)]dx
a
b
a
b
f ( x)dx ． ，
c b
O a
b c
b x
S f (x)dx a f (x)dx a c
b
f (x
S f (x)dx a f (x)dx a c
v
2
v(t ) = - t 2 + 2
O
1
t
探究思考
思考 4：结合求曲边梯形面积的过程，你认 为汽车行驶的路程 S 由直线 t=0，t=1，v=0 2 和曲线 v=－t +2 所围成的曲边梯形的面积有 什么关系？
图中矩形面积和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 S lim S n 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积.
a c
c
b
y
yf ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
1.5.1 曲边梯形的面积
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线 y=f(x)，直线x=a、x=b及 x轴所围成的图形叫做曲边 梯形。
曲边梯形的面积与定积分033356281qubian
2 1
1 ( x 1)dx; (2). ( x 1) dx. 2 2
1
y
1
2
x
-2
1
x
解: (1)5/2;
(2)9/4.
3.定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a b
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
a
s v(t)dt。
a
b
b
(3)变力作功问题可表示为
W F ( x)dx
a
O
a
t
b
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
b b b
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u)du
感受理解
例1.计算下列定积分:
(1).
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定 0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实 际意义？
Sn=v(t1)⊿t+v(t2)⊿t+…+v(ti)⊿t+…+v(tn)⊿t ≈火箭在10s内运行的总路程.
学生活动
● 前面几个问题有什么共性？
f (x1 )x f(x 2 )x f(x n )x Sn
问题情境
1.4.1曲边梯形的面积与定积分(上课用)
2、一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.
数学苏教选修自主练习：曲边梯形的面积定积分 含解析
自主广场我夯基 我达标1.在求由x=a,x=b(a ＜b),y=f(x)［f(x)≥0］及y=0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间［a,b ］上等间隔地插入n-1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边形的面积和等于S②n 个小曲边形的面积和小于S③n 个小曲边形的面积和大于S④n 个小曲边形的面积和与S 之间的大小关系无法确定A.1B.2C.3D.4思路解析：根据“化整为零”“积零为整”的思想，知①是正确的.答案:A2.函数f(x)=x 2在区间［ni n i ,1-］上,则( ) A.f(x)的值变化很小 B.f(x)的值变化很大C.f(x)的值不变化D.当n 很大时，f(x)的值变化很小思路解析：因为分割得越细，越接近原函数值，所以当n 很大时，f(x)的值变化很小. 答案:D3.设函数f(x)在区间［a,b ］上连续，用分点a=x 0＜x 1＜…＜x i-1＜x i ＜…＜x n =b ，把区间［a,b ］等分成n 个小区间，在每个小区间［x i-1,x i ］上任取一点ξi (i=1,2,…,n)，作和式I n =∑=n i i f 1)(ξΔx(其中Δx 为小区间的长度)那么I n的大小( ) A.与f(x)和区间［a,b ］有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B.与f(x)、区间［a,b ］和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C.与f(x)、区间［a,b ］和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D.与f(x)、区间［a,b ］、分点的个数n 、ξi 的取法都有关思路解析：根据定积分的定义可知n 越大即分点越多，与f(x)的值越接近，与ξi 的取法也有关.答案:D4.⎰10dx 等于( ) A.0 B.1 C.21 D.2 思路解析：1010|x dx =⎰,故⎰10dx =1. 答案:B5.下列等式成立的是( )A.⎰-=b a a b xdx 0 B.⎰=b a xdx 21 C.⎰⎰=-1011||2||dx x dx x D.⎰⎰=+b a ba xdx dx x )1(思路解析：根据定积分的定义可知⎰⎰=-1011||2||dx x dx x . 答案:C我综合 我发展6.计算定积分⎰-50.)63(dx x 思路分析：利用定积分的定义和性质求解.解：如下图，计算可得A 的面积为227，B 的面积为6，从而 2156227)63(50=-=-⎰dx x .7.利用定积分求n 趋近于+∞时121++++ααααnn (α＞0)的值. 思路分析：根据定积分的定义和性质求解.解：∑=+•=+++n i n ni n n 111)(21ααααα =αααα+=•+=+⎰11|1110110x dx x .。
人教B版选修(2-2)1.4.1《曲边梯形面积与定积分》word练习题4
X曲边梯形面积与定积分得分 ________一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分) 21.函数y=x cosx 的导数,,,,,,,,,,,,,,, 【A. y =2xcosx — x 1 2s inx2 .B. y =2xcosx+x snx2C. y' =x cosx — 2xsi nx 2 .D. y =xcosx — x sinx 2.下列结论中正确的是 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,, 【 A.导数为零的点一定是极值点B. 如果在X o 附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) ::: 0，那么f (X o )是极大值C. 如果在X 。
附近的左侧f '(x)，右侧f'(x) :: 0，那么f(Xo )是极小值D. 如果在x 0附近的左侧f'(x) ：：：0,右侧f'(x)・0，那么f(x 0)是极大值3兀3. 曲线y=cosx(0—X "，与坐标轴围成的面积是，，，，，”，,”2【 】5A.4B.C.3D.2234. 函数 f(x) =3x-4x , [0,1]的最大值是，”,，，，，，，，，，，，，【1A.1B.C.0D.-1[25.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处，则克服弹力所做的功为 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，【A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J6.给出以下命题: b⑴若 f (x)dx 0，则 f(x)>0 ；asin xdx 二4 ；⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以aT 为周期的函数，则.f (x)dx-a TT f(x)dx ；其中正确命题的个数为,A. 1B. 2C. 3D. 0 7.若函数f (X) x 2 mx 1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是A. 】1 (-+oc ) (3，)1 B.(一：弓 8.设 0< a <b ，且 1亠 1亠x f (X) = 1——」，则下列大小关系式成立的是9.函数f(x) =ax3 4-b 在区间(v ,0)内是减函数，贝U a,b 应满足”,”，”,【 】A. a ::: 0且 b = 0且b R10. f (x)与g(x)是R 定义在上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满 足八))))))))))))))))))))))))))))))))))【】A. f(X)二 g(x)B. f(x)-g(x)为常数函数c. f (x)二g(x) =0D. f(x) g(x)为常数函数211. (2007江苏)已知二次函数f (x) = ax bx c 的导数为f (x)， f (0) 0 ,对于任意实数x，有f(x > ),则f (1 昇 的丿 最小值0 )为丿 7 )))))))))))))))))))))))))【】53A. 3B.c. 2D.2212. (2007江西理)设函数f (x)是R 上以 5为周期的可导偶函数，则曲线 y = f(x)在 x =5处的切线的斜率为( )11A.--B. 0c.—D .555二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 10.曲线y=2x 3— 3x 2共有 _____ 个极值.16.已知函数f (x) = x3ax 2 bx c 在x = -2处取得极值，并且它的图象与直线2y= _3x ' 3在点(1, 0)处相切，则函数 f (x)的表达式为 _____________ ____ __ m.314.已知 f (x)为一次函数，且 _______________ f (x) =x +2J ° f(t)dt ，贝U f (x) =a +bI —A.f(a )< f ()<f( ab )2— a ■ bC. f ( ..ab )< f ()<f (a )a + brB. f ()<f (b)< f (. ab )2a + b[~~c. a ■ 0 且 b = 0 D . a ■ 0f (x)与g (x)满足 f (x) = g (x)，则 15.若 f (x) = ef (1 -2t) -f(1)三、解答题(共74分)17.(本小题满分10分)一物体沿直线以速度v(t) = 2t-3 (t的单位为秒,v的单位为：米/秒)的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？18.(本小题满分12分)已知曲线y = x3+ x—2在点P o处的切线11平行直线4x—y—仁0 ,且点P o在第三象限，⑴求P o的坐标；⑵若直线I _ h ,且I也过切点P o ,求直线l的方程.3 219.(本小题满分12分)已知函数f(x)二ax (a -1)x 48(^ 2)x b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间1-4,4上的单调性，并证明你的结论•120.(本小题满分14 分)已知函数f(x)=l nx (x 式0),函数g(x)=—；—+ af"(x)(x^0) f(x)⑴当x = 0时，求函数y = g(x)的表达式；⑵若a 0,函数y=g(x)在(0,=)上的最小值是2 ,求a的值;27y x 与函数y = g(x)的图象所围成图形的面积⑶在⑵的条件下，求直线3 621. (本小题满分 12 分)设 a > 0 , f(x)=x_1_ln 2x 2alnx(x .O).(I)令F(x)二xf (x)，讨论F(x)在(0,^)内的单调性并求极值； (H)求证：当 x 1 时，恒有 x .In 2x_2alnx J .22. (本小题满分14分)已知函数 f(x)=e x-kx, x R(I)若k 二e ,试确定函数f (x)的单调区间；(n)若k 0，且对于任意R , f(x) 0恒成立，试确定实数 k 的取值范围；n(川)设函数 F(x) = f(x) f(-x)，求证：F(1)F(2)|||F(n) (e n12円n N ).3、将半径为R 的球加热，若球的半径增加 R ，则球体积的平均变化率为(2 ^4 3^4A 4 兀 R 2"A R +4兀 R +_ 兀(A R )B 、 4 兀 R 2+4兀 R 边R +_ 兀33数学科学段测试(导数部分)一、选择题(12小题，共36分)1、 设曲线y = x 2A (0,- 2)2、 抛物线y=x?在点M (— 2 B 、45°A 30° •x -2在点M 处切线斜率为3,则点M 的坐标为B 、( 1,1、4C 0) C 、(0, 0)D 的切线的倾斜角是 ()、(1,1) (、60° D 、90° 3“R )2C4. R 2R D 、4. R 24、 函数y=x 3— 3x 在［—1, 2］上的最小值为 （）A 2B 、一 2C 、0D — 45、 设函数f x 的导函数为f x ，且f x = x 22x f 1 ,则f 0等于（）A 0B 、_4C 、_2D 、26已知曲线y 」x 3在点P （2,8），则过P 点的切线方程为（）3 3 A 、3x -12y _16 二 0 B 、12x-3y -16=0 C 、 3x-12y 16 = 0 D 12x_3y16=07、 已知f （x ） = x 3+ ax 2+ （a + 6）x + 1有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A 、— 1<a<2B 、— 3<a<6C 、a<— 1 或 a>2D 、a<— 3 或 a>68、 设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如下图所示，贝U 导函数 y=f0） 可能为 （）值范围是1 1A 、kB 0 ：：： k _ —3 310、 函数y=xlnx 的单调递减区间是A 、（ e 4，+x ）B 、（ — X ，e 4） 11、 方程x 3— 6x 2+9x — 10=0的实根个数是A . 3B . 2C . 112、对于R 上可导的任意函数f （x ），且f '（1） = 0若满足（x — 1） f（ x ）>0,则 必有（）A f (0) + f (2) ：(1)B 、f (0) + f ⑵ -2f (1)C 、f (0) + f (2) >2f (1) D、f (0) + f (2) -2f (1)二、填空题（4小题，共16分）13、【文】已知函数y=x 3-3x ，则它的单调递增区间是 _________________13、【理】 计算定积分： 2（x sinx ）dx = _________________14、 已知函数y =lnsinx 和y 二a 2x 的导函数分别是 ___________ 、 ____________ < 15、 【文】一质点在直线上从时刻t=0秒以速度v （t ）二t 2-4t • 3 （米/秒）运动,则该质点在时刻t=3秒时运动的路程为 ___________________ 。
人教B版选修22高中数学141《曲边梯形面积与定积分》同步练习2
曲边梯形面积与定积分一、选择题1.给出如下命题：①错误！超链接引用无效。
(错误！超链接引用无效。
为常数且错误!超链接引用无效。
)；②错误！超链接引用无效.；③曲线错误！超链接引用无效。
,错误！超链接引用无效。
错误!超链接引用无效.，与直线错误!超链接引用无效.围成的两个封闭区域的面积之和为错误！超链接引用无效。
其中真命题的错误!超链接引用无效.个数为（）Ａ.错误！超链接引用无效。
Ｂ。
错误！超链接引用无效。
Ｃ。
错误!超链接引用无效。
Ｄ.错误!超链接引用无效.答案:Ｂ2.错误!超链接引用无效。
等于()Ａ。
错误！超链接引用无效。
Ｂ.错误！超链接引用无效。
Ｃ.错误！超链接引用无效。
Ｄ。
错误！超链接引用无效。
答案：Ｃ3。
若某产品一天内的产量是时间错误！超链接引用无效。
的函数，若已知产量的变化率为错误!超链接引用无效。
，那么从第3小时到第6小时期间内的产量为（）Ａ.错误！超链接引用无效。
Ｂ。
错误！超链接引用无效.Ｃ.错误！超链接引用无效。
Ｄ.错误！超链接引用无效。
答案：Ｄ4.错误！超链接引用无效。
,则错误！超链接引用无效。
的最大值是(）Ａ.错误!超链接引用无效。
Ｂ.错误！超链接引用无效。
Ｃ.错误！超链接引用无效.Ｄ。
错误！超链接引用无效。
答案：Ｂ二错误!超链接引用无效.、填空题错误！超链接引用无效。
5.若错误!超链接引用无效。
是一次函数,且错误！超链接引用无效。
,错误！超链接引用无效.,那么错误！超链接引用无效。
的值是。
答案:错误！超链接引用无效.6。
物体按照规律错误！超链接引用无效。
错误！超链接引用无效。
做直线运动,设介质的阻力与速度成正比,且速度等错误！超链接引用无效.于错误！超链接引用无效。
时,阻力为错误！超链接引用无效.,则物体从错误!超链接引用无效。
到错误!超链接引用无效。
阻力所做的功等于.答案:错误！超链接引用无效。
三、解答题7。
在曲线错误!超链接引用无效。
上某一点错误！超链接引用无效.处作一切线使之与曲线以及错误！超链接引用无效。
定积分
n
b
n
n
0 i 1
a f ( x )dx a g( x )dx.
此性质可以推广到有限项代数和的情况
b
b
（3）（定积分的可加性） 若 f ( x ) 在 [a, c],[c, b] 上都可积
则有
b a
f ( x )dx
c a
f ( x )dx f ( x )dx
e
1 i lim ln f n n n i 1
n
e
i1 lim ln f n n n i 1
n
f ( x)
在 [0,1] 上连续，且取正值，
所以 ln f ( x ) 在 [0,1]上有意义且取可积，
i 1 i 对 [0,1] 进 行 分 割x i , 则 x i , 取 i n n n
0
2 e
0
x
dx 2xdx, e dx 0 xdx.
x
2
于是
0
2
性质5的推论：
（1）如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x ) ，
则 a f ( x )dx
b
a g( x )dx .
b
(a b)
则
b c
c
c
b
c
a b c, f ( x )dx
c
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
a f ( x )dx c f ( x )dx.
b
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
a 1 dx a
b a
b
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《曲边梯形的面积定积分》练习题
一、选择题
1p 2 p 3 p ....... n p
0) 表示成定积分（
1．将和式的极限lim n P 1 ( p ）n
1 1 1 p 1 1 p 1 x p
A ．dx
B ．x dx C．( ) dx D．( ) dx
0 x 0 0 x 0 n 2．下列等于 1 的积分是（）
1 xdx 1 1
A ．
B ．( x 1)dx C．1dx
0 0 0
3．曲线y cos x, x
3
] 与坐标周围成的面积（）
[ 0,
2
5
D． 1
1
dx
0 2
A ．4
B ． 2 C．
2 1
e x )dx =（
4．(e x ）
A ．e 1
B ． 2e
2 e
C．
e
5．若 f (x) 是 [ a, a ] 上的连续偶函数，则a
f ( x)dx （
a
D． 3
D．e
）
1
e
f (x)dx B ． 0 C． 2 0
A ． f ( x)dx
a a
1
tan x x 2 sin x)dx =（
6．( x3 ）
1
A ．0
1
( x3 tan x B.. 2
C．2 0 tan x x2 sin x) dx 1 | x3 tan x ( x3 D.. 2
1 0
6 6
a
D．0 f ( x)dx
x2 sin x)dx
x2 sin x | dx
7、已知 f(x)为偶函数且f(x)dx＝ 8，则f(x)dx 等于 ( )
0 6
A ．0
B ． 4 C． 8 D． 16
b
8．设连续函数 f(x)>0, 则当 a<b 时，定积分 f ( x)dx 的符号（）
a
A ．一定是正的
B ．一定是负的
C．当 0<a<b 时为正，当 a<b<0 时为负 D．以上结论都不正确
9．求由y e x , x 2, y 1 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）
A ．［ 0， e2］
B ．［0， 2］C．［ 1， 2］D．［ 0，1］
10．由直线y x, yx 1
），及ｘ轴所围成平面图形的面积为（
1 1
A．C．0
1
2
1 y y dy B.
2 x 1 x dx
1 y y dy 1 x 1 dx
D. x
11．若 f (x) 与 g( x) 是 [ a, b] 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b 所围图形的面积（）
A ．b
f (x)
g ( x) dx B．
b
g (x))dx a
( f (x)
a
C．b
f (x))dx
b
g ( x))dx ( g( x) D．( f ( x)
a a
12. 如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线y x2和曲线 y x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形 AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）
A ．1
B．
2 1
D ．
3 3 3
C．
4
4
二、填空题
1、给出下列定积分：
2 sin xdx ②0 2 2
3 dx
①sin xdx ③ xdx ④x
2
3 1
其中为负值的有
2、给出下列命题：
①若b
f ( x) dx ＞0，b＞a，则f(x)＞0；a
②若 f(x) ＞ 0， b＞ a，则b
f (x)dx ＞0；a
③若b
f ( x) dx =0，b＞a，则f(x)=0；a
④若 f(x)=0 ， b＞ a，则b
f ( x)dx =0；a
⑤若b
| f (x) | dx =0，b＞a，则f(x)=0。
a
其中所有正确命题的序号为
3、设f ( x) h( x) 0 a x b, 且h( x)dx A ，g (x)dx B ，给出下列结论：
b c
g( x) 0, b x c. a b
c
f (x)dx A B c
B 。
① A ＞ 0；②B ＞ 0；③
a ；④| f ( x) | dx A
a
其中所有正确的结论有。
2 2x |dx =__
4、计算定积分：
| 3 ________
1
5、曲线 y x 2 , x 0, y 1 ，所围成的图形的面积可用定积分表示为
．
6、由 y
cos x 及 x 轴围成的介于 0 与 2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为
x － 1，x ≤ 0，
1
f (x)dx
7、设 f ( x ) ＝
, 则 -1
2
x ＋ 6，x >0.
ax 2
1
≤ 1 ，则 x 0 的值为
8、设函数 f (x)
c(a 0) ，若 f ( x)dx f (x 0 ) ， 0 ≤ x 0
1 x 2
dx =
9、计算
1 0
10、计算
2
4
x 2 dx =
2
三、计算与解答题 1、计算下列定积分的值
1
1
(1)
( x 1)dx
；
2
3
2 (3) cos xdx ；
3 2
)dx ；
（ 5）
(4x x
1
（7）
2
( x sin x)dx ；
(2)
4 (x 3)dx ；
1
(4) 2
x 3
dx 。
2
2
5
dx ；
（6） (x 1)
1
（ 8） 2 cos 2 xdx ；
2
2、利用定积分表示图中四个图形的面积：
y
y
y
y
y=(x-1) 2
- 1
2
y = x
2
Y=2
y = x
–
O
2
x
a
b x
a x –1
2
x
1
(1)
(2)
(3) (4)
3．求由曲线y x 1 与 x 1, x 3, y 0 所围的图形的面积.
2 2x, 0 x 1,
4．计算0 f ( x)dx ，其中 , f (x)
5,
1 x 2.
1
x)dx 的值。
5、计算：定积分( 1 ( x 1)2
6、求曲线y x3x22x 与 x 轴所围成的图形的面积。