曲边梯形的面积
《曲边梯形的面积》教案
曲边梯形的面积教学设计宁波滨海国际合作学校汪庆东一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-2第一章第5节的内容。
该内容不在浙江省高考范围之列，本节课作为一节数学拓展课，主要让学生学会曲边梯形的面积的求法，了解定积分的实际背景，同时让学生了解微积分及割圆术等数学历史，旨在帮助学生了解以曲代直及无限逼近这两种重要的数学思想，进一步拓展学生视野，增强学生学习数学的兴趣。
基于以上分析，教学内容应在类比和转化的方法引领下，引导学生利用分割与无限逼近的思想解决生活当中的曲边梯形的面积的求法。
重点是探究求曲边梯形面积的方法难点是把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
二、教学目标设置1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景；（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限；（3）了解割圆术、微积分创立的背景，了解相关数学史。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想；（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：（1）在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的；（2）通过相关数学史教学，让学生感受数学来源于生活并服务于生活的工具作用。
三、学情分析本节课的教学对象是高一年级学生，且本节课不作为高考考试内容，而高一学生对本节课的认知基础有限，根据分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：1. 学生学习过匀速直线运动的位移公式及其几何意义；2. 高一上学期学习了匀加速直线运动的位移公式，并初步了解其公式推导过程中的分割思想；3. 对割圆术求圆周率的方法有少部分的了解。
四、教学策略分析课堂教学以学生为中心，突出合作学习，探究学习和自主学习。
师生合作探究，通过匀速直线运动位移的几何意义匀加速直线运动的位移公式的推导变速运动位移公式的求解，通过师行合作，共同完成新知学习。
曲边梯形的面积完整版
a,b叫做积分区间,函数f x叫做被积函数, x叫
做积分变量, f x dx叫做被积式.
知识归纳
1.定积分的概念: 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作:
b
a f ( x)dx
b
n1
f (x)dx
a
f (i )
i0
xi
n
lim n i1
(b a) n
f (i )
2.定积分的几何意义:
• 在 [a, b]中任意插入 n -1个分点．
• 得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
• 区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y
f(2) f(1)
• 把曲边梯形分成 n 个窄 曲边梯形．
y = f(x) f(i)
f(i)xi
O a 1 x1 2 x2
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
(2) 以直代曲
Si
f(i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
(3) 作和
n
S S1 S2 Sn Si i1
• 于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功 为：
• [点拨] 按用定义求定积分的步骤即分割、 近似代替、求和、取极限求解．
y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(因而定积
分是一个确定的常数) y
3.定积分的作用 f (b)
f (a)
求曲边梯形的面积
0a
y f (x)
b
1.4.1曲边梯形的面积与定积分
1. 曲边三角形或梯形的面积
S= nlim f ( xi ) x
i 0 n 1
2.克服弹簧拉力的变力所做的功
W= nlim f ( xi ) x
i 0
n 1
类似地问题还很多，它们都可以归结为 求这种和式的极限，牛顿等数学家经过苦 心研究，得到了解决这类问题的一般方法。 求函数的定积分。
作和式In=
f ( )x
i 0 i
n 1
i
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，记作
b
a
f ( x)dx
其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分 的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时 称f(x)在区间[a，b]上可积。
利用积分的定义，前面提到曲边梯形 b 面积可简洁的表示为 a f ( x)dx
1 2
1 于是例1的结果可以写作 S 0 x dx 3
kb W kxdx 0 2
b 2
例2中克服弹簧拉力的变力所做的功
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上是一条 连续的曲线，它与直线y=0，x=a，x=b所 围成的曲边梯形的面积客观存在，则f(x) 在[a，b]一定是可积的。
f ( )x
i 1 i
i
．
ba S lim f ( i ) n n i 1
n
（类似方法求变力做功）
弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成 正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长 量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用
三角函数的定积分计算与曲边梯形面积应用三角函数是数学中的一种重要函数类型，它在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定积分计算方法，以及如何利用三角函数求解曲边梯形的面积。
一、三角函数的定积分计算定积分是微积分中的一个重要概念，表示曲线下的面积。
对于三角函数来说，我们可以利用其周期性和性质进行定积分的计算。
1. 正弦函数的定积分计算正弦函数的定义域是整个实数集，其周期为2π。
对于正弦函数sin(x)，其定积分可以表示为∫sin(x)dx。
利用正弦函数的性质可以得到该定积分的计算方法。
我们知道，正弦函数的一个周期(0到2π)的定积分为0，即∫[0,2π]sin(x)dx = 0。
由于正弦函数是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。
例如，要计算∫[0, 4π]sin(x)dx，可以将其分解成四个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]sin(x)dx + ∫[2π, 4π]sin(x)dx + ∫[4π, 6π]sin(x)dx + ∫[6π,8π]sin(x)dx。
由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。
2. 余弦函数的定积分计算与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期性函数，其周期为2π。
对于余弦函数cos(x)，其定积分可以表示为∫cos(x)dx。
同样地，余弦函数一个周期(0到2π)内的定积分为0，即∫[0,2π]cos(x)dx = 0。
由于余弦函数也是周期性函数，所以在每个周期内的定积分都是相等的。
例如，要计算∫[0, 6π]cos(x)dx，可以将其分解成三个周期内的定积分的和：∫[0, 2π]cos(x)dx + ∫[2π, 4π]cos(x)dx + ∫[4π, 6π]cos(x)dx。
由于每个周期内的定积分都为0，所以该定积分的结果为0。
二、曲边梯形的面积应用曲边梯形是一个由曲线和直线围成的四边形，其中有一条边为曲线边，其余三条边为直线边。
对于曲边梯形的面积计算，我们可以利用三角函数进行求解。
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积
摘要：
一、抛物线弧段曲边梯形面积的背景知识
二、计算抛物线弧段曲边梯形面积的方法
1.分解抛物线弧段为无数小线段
2.计算每个小线段的面积
3.求和得到总面积
三、结论与拓展
正文：
在数学中，抛物线弧段常常作为曲边梯形的曲边。
那么，如何计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积呢？下面，我们将详细介绍计算方法。
首先，我们需要了解一些背景知识。
抛物线是一种二次函数，它的图像是一个向上开口的曲线。
抛物线弧段则是抛物线的一部分，通常用来表示曲边梯形的曲边。
要计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积，可以采用以下方法：
1.将抛物线弧段分解为无数小线段。
这样可以近似地表示曲边梯形的面积。
2.计算每个小线段的面积。
每个小线段可以看作是一个小矩形，其面积可以通过计算矩形的长和宽相乘得到。
这里的长是线段在横轴上的投影长度，宽则是线段与横轴的交点到曲边梯形底边的距离。
3.将所有小线段的面积求和，得到曲边梯形的总面积。
求和的过程中，可
以使用积分的方法，将所有小线段的面积累加起来。
通过以上步骤，就可以得到以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积。
需要注意的是，随着小线段数量的增加，计算结果会越来越接近真实的面积。
总之，计算以抛物线弧段为曲边的曲边梯形面积，需要将其分解为无数小线段，计算每个小线段的面积，并求和。
课件2：1.4.1曲边梯形的面积
3
[点拨] 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边
多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的
思想方法．
练 2
一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 t 的速度 v(t)
6
＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动的路程．
小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个
小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋
向于无穷大就得到s的精确值.
专题一求曲边梯形的面积
例1
求由直线＝，＝和＝及曲线＝3所围成的曲边梯形的面积．
[分析]
将曲边梯形分割成许多个小曲边梯形，用小矩形的面积近
似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的近似值，
=1
3
1
∙
④取极限：当分点数目越多，即Δ越小时，和式的值就越接近曲
边梯形的面积S，因此 → ∞，即△→0时，和式的极限就是所
求的曲边梯形的面积．
+−
因为
= +−
=
=
= − + − + − +
1.4.1曲边梯形的面积与
用第
一
章
：
导
数
及
其
应
自主学习
• 1.连续函数
连续不断
• 如果函数＝()在某个区间I上的图象是一条①________的曲
线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
• 2.曲边梯形的面积
曲边梯形的面积(说课)
探 究 二 求 和
… … 面 积 和 Sn
三、教学过程设计
2
探究学习，具体操作——自主探究，近似求和
精心设计表格
1.降低计算难度
2.提高课堂效率
3.培养计算能力
三、教学过程设计
2
探究学习，具体操作——自主探究，近似求和
计算三种方案的面积近似值
1.分组合作，相互交流
2.经历过程，体验异同
三、教学过程设计
y
y
S i y x 2
O
1 4
1 2
3 4
1
x
O
1 2 n n
i 1 i n n
n n
x
以直代曲
减小误差
细化分割
顺应学生思维，设置递进问题，
类比概括思想，具体实施分割。
三、教学过程设计
2
探究学习，具体操作
引导递进，类比分割 自主探究，近似求和 动画演示，极限逼近 概括步骤，形成方法
2
探究学习，具体操作——概括步骤，形成方法
分割
转化
四 步 曲
近似代替
以直代曲
化不规则为规则
求和
化近似为精确
取极限
转化
无限逼近
三、教学过程设计
3
应用推广，深化认识
本环节将求曲边梯形面积 的“四步曲”推广应用到汽车 行驶路程这一物理问题上，介 绍定积分的物理背景，突出物 理问题中的数学本质。而具体 的计算过程留作课后作业。
f (i )
探究四:如果用每个小区间任意一点 的函数值作近似代替，会有怎样的结 果？
1. 直观感知面积与选取的点无关 2. 直观体会“左右夹逼”的方法
xi1 i xi
三、教学过程设计
《曲边梯形的面积》优秀课件
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
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y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替
小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
2．曲边梯形的面积
求曲边梯形的面积即
求 y f (x) 下的面积 f (x) 0
若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替 在不很窄时怎么办？
f (i )
S第i个矩形
S第i个矩形
1 n
f (i )
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i
n i n
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
1 n
f (1)
1 n
f (2 ) ...
1 n
f (n )
n i1
1 n
f (i )
lim S曲边梯形
y
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。
y f (x)
y
x
Oa b
y f (x)
—— 以直代曲
Oa
bx
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这 样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些 小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
12 22 L i2 L n2
n3 n3
n3
n3
1 22 32 L n2
n3
4、取极限
S曲边梯形 S黄色部分
1 22 32 L n2
n3
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
1 22 32 L n2
lim
n
1 n(n
n3
1)(2n
1)
lim 6
n
n3
1 n(n 1)(2n 1)
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
lim 6 n
n3
lim(1 1 1 ) n 3 2n 6n2
1
1
1
lim lim lim
n 3 n 2n n 6n2
1 3
1
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
3
在区间[i 1, i ]上的左端点和 nn
右端点的函数值来计算有和区别
从小于曲边梯形的面积 从大于曲边梯形的面积
来无限逼近
来无限逼近
n
f
() n
0
S第2个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
f (i-1) n
S第3个黄色矩形
1 n
f
(2) n
4 n3
…
S第n个黄色矩形
1 n
f
( n-1) n
(n-1)2 n3
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i nn
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
lim 6
n
n3
lim(
n
1 3
1 2n
1 6n2
)
lim
n
1 3
lim
n
1 2n
lim
n
1 6n2
1 3
1
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
3
思考
阅读课本42页 探究，思考
f (i-1) n
y f (x)
第i个 小曲边 梯形
i-1 i nn
y f (x)
第i个小 直边
“梯形”
i-1 i nn
2、近似代替
1、分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分”
分割梯形 分割x轴 分割定义域
“等分”
[0, 1];[1 , 2];[ 2 , 3];......[; n 1,1]
n nn nn
n
区间长度： 1 n
2、近似代替
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i-1) n
(i
1) 2 n3
10
S第1个黄色矩形
割 把这些矩形面积相加
y
作为整个曲边形面积S
的近似值。 有理由相信，分点
越来越密时，即分割 越来越细时，矩形面 积和的极限即为曲边 形的面积。
o
x
y
因此, 我们有理由相
信, 这个曲边三角形
的面积为:
y x2
S
lim
n
Sn
O 12 nn
k n
nx
n
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限
用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲 边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近 曲边梯形的面积.
S黄色部分
n
n
lim f (i )x x0 i1
lim
n
n1 i1 n
f (i )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i为区间[
i
n
1
,
i n
]上任意一点
为了便于计算,一般用左(右)端点
练习
y x2
求曲边梯形的面积； 其中曲边为函数 y=x2
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分 （2）求面积的和 （3）取极限n
曲边梯形的面积
说教学设想
这些图形的面积 该怎样计算？
一. 求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的
图形叫做曲边梯形。 ①、只有一边是曲线
y
②、其他三边是特殊直线
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P
放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线， 也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围 内以直代曲）．
f(i) n
S第i个黄色矩形
1 n
f
(i) n
i2 n3
S第1个黄色矩形
1 n
f
(1) n
1 n3
S第2个黄色矩形
1 n
f
(2) n
4 n3
y f (x)
i-1 i nn
…
1 n1
S第n个黄色矩形
n
f
() n
n
3、求和
S黄色部分 S第1个黄色矩形 S第2个黄色矩形 ... S第n个黄色矩形
02
12
22
L
i 12
L
n 12
n3 n3 n3
n3
n3
1 22 32 L n 12
n3
4、取极限
S曲边梯形 S黄色部分
1 22 32 L n 12
n3
S曲边梯形
lim
n
S黄色部分
lim
n
1
22
32
L n3
n 12
lim
n
1 6
n
1
n
1 1
n3
2
n
1
1
1 (n 1)[(n 1) 1][2(n 1) 1]