太原理工大学 高等代数第七章 线性变换小结
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《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
高等代数第7章线性变换[1]
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A
a21
a22
a
2
n
an1
an2
a
nn
为线性变换A在基e1, e2, …, en下的矩阵.
采用矩阵形式记号，可写成
[ Ae1, Ae2, …, Aen]
a11 a12 a1n
= [e1, e2, …, en ]
a
2
1
a 22
a
2
nபைடு நூலகம்
a
n
1
an2
a
n
n
= [e1, e2, …, en ]A
= ai
唯一性 设有两个线性变换A与B，使
Ae1=Be1, Ae2=Be2, …, Aen=Ben，
则对V中任一向量
a=k1e1+k2e2++knen, Aa = k1Ae1+k2Ae2++knAen,
= k1a1+k2a2++knan Ba = k1Be1+k2Be2++knBen,
= k1a1+k2a2++knan
设 f (x)=amxm+am-1xm-1+…+a0
是P[x]中一多项式, A是V的线性变换, 定义
f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式
若在P[x]中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)，
则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
第七章线性变换总结篇
第 7章 线性变换7、1知识点归纳与要点解析一.线性变换的概念与判别 1、线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对V 中任意的元素,αβ与数域P 中的任意数k ,都有:()()()σαβσασβ+=+,()()k k σασα=。
注:V 的线性变换就就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2、线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换,那么:σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3、线性变换的性质设V 就是数域P 上的线性空间,σ为V 的线性变换,12s ,,,,V αααα∀∈L 。
性质1、 ()()00,σσαα==-;性质2、 若12s ,,,αααL 线性相关,那么()()()12s ,,,σασασαL 也线性相关。
性质3、 设线性变换σ为单射,如果12s ,,,αααL 线性无关,那么()()()12s ,,,σασασαL也线性无关。
注:设V 就是数域P 上的线性空间,12,,,m βββL ,12,,,s γγγL 就是V 中的两个向量组, 如果:11111221221122221122s s s sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++L L LL LL记:()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LL L M M M L于就是,若()dim V n =,12,,,n αααL 就是V 的一组基,σ就是V 的线性变换,12,,,m βββL 就是V 中任意一组向量,如果:()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++L L LLLL记:()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=L L那么:()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L M M M L设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L LM M M L,12,,,m ηηηL 就是矩阵B 的列向量组,如果12,,,r i i i ηηηL 就是12,,,m ηηηL 的一个极大线性无关组,那么()()()12,r i i i σβσβσβL 就就是()()()12,m σβσβσβL 的一个极大线性无关组,因此向量组()()()12,m σβσβσβL 的秩等于秩()B 。
高等代数考研复习[线性变换]描述
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d) A 可逆 A可逆，且
A 1(1,2, ,n )= (1,2, ,n ) A1.
(ⅴ)同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系： 设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间V的两
组基，且 (1, 2, , n ) (1,2, ,n ) X . 如果 A (1,2, ,n ) (1,2, ,n ) A,
则称 A B 是V的线性变换，并称它为 A 与 B
的乘积. 说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分 配率，数乘结合律.但是不满足交换律.
线性变换的方幂与多项式变换：
n个线性变换 A 的乘积称为 A 的n次幂，记为 A n即 A n =AA A. 规定：A 0 =E.当A 可逆时，规定
(A 1)n =A n . 一般地，A B B A , 但是
那么 A 就是V上满足条件的线性变换.
(ⅲ) 线性变换的矩阵
A 设1,2, ,n 是n维空间V的一组基， 是V
的线性变换，如果基的像可以被基线性表出，
即 A (1) a111 + a212
A
(2 ) a121 + a222
A (n ) a1n1 + a2n2
（2）如果对任意的α ∈V，A(α)=α，则称A为V的 恒等变换（也叫单位变换）. （3）A是V的线性变换的充分必要条件是：
A (k l ) kA () lA ( ),, ,V ,k,l P.
1.2 线性变换性质： 设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变
换，则有 (1) A (0) 0, A () A ();
变换. 说明：线性空间V上的所有线性变换对于线性
变换的加法与数乘变换构成P上的线性空间,记 为L(V).即对 A ,B L(V ) A +B L(V ), kA L(V ).
A 1(1,2, ,n )= (1,2, ,n ) A1.
(ⅴ)同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系： 设1,2, ,n 与 1, 2, , n 是线性空间V的两
组基，且 (1, 2, , n ) (1,2, ,n ) X . 如果 A (1,2, ,n ) (1,2, ,n ) A,
则称 A B 是V的线性变换，并称它为 A 与 B
的乘积. 说明：变换乘积满足结合律，乘法对加法的分 配率，数乘结合律.但是不满足交换律.
线性变换的方幂与多项式变换：
n个线性变换 A 的乘积称为 A 的n次幂，记为 A n即 A n =AA A. 规定：A 0 =E.当A 可逆时，规定
(A 1)n =A n . 一般地，A B B A , 但是
那么 A 就是V上满足条件的线性变换.
(ⅲ) 线性变换的矩阵
A 设1,2, ,n 是n维空间V的一组基， 是V
的线性变换，如果基的像可以被基线性表出，
即 A (1) a111 + a212
A
(2 ) a121 + a222
A (n ) a1n1 + a2n2
（2）如果对任意的α ∈V，A(α)=α，则称A为V的 恒等变换（也叫单位变换）. （3）A是V的线性变换的充分必要条件是：
A (k l ) kA () lA ( ),, ,V ,k,l P.
1.2 线性变换性质： 设V是数域P上的线性空间，A是V的线性变
换，则有 (1) A (0) 0, A () A ();
变换. 说明：线性空间V上的所有线性变换对于线性
变换的加法与数乘变换构成P上的线性空间,记 为L(V).即对 A ,B L(V ) A +B L(V ), kA L(V ).
高等代数 讲义 第七章
(στ ) δ
= σ (τδ )
D( f ( x )) = f ′( x )
J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
x
（2） Eσ = σ E = σ ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
( DJ ) ( f ( x ) ) = D ∫0 f ( t ) dt
x
στ ≠ τσ .
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换
σ ( X ) = AX , τ ( X ) = XB ,
∀X ∈ P n×n
则 σ ,τ 皆为 P n×n 的线性变换，且对 ∀X ∈ P n×n , 有
(στ )( X ) = σ (τ ( X )) = σ ( XB ) = A( XB ) = AXB , (τσ )( X ) = τ (σ ( X )) = τ ( AX ) = ( AX ) B = AXB .
= σ (τ (α )) + σ (τ ( β )) = (στ )(α ) + (στ )( β ), (στ )( kα ) = σ (τ ( kα )) = σ ( kτ (α )) = kσ (τ (α )) = k (στ )(α )
§7.1 线性变换的定义
２．基本性质
（1）满足结合律：
例1. 线性空间 R[ x ]中，线性变换
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
第七章 线性变换
1
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下 定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系， 那么， 这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。 定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是 上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中， 对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下 定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系， 那么， 这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。 定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是 上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中， 对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。
高等代数第七章 3第三节 线性变换的矩阵 太原理工大学
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定理2 是数域P上 维线性空间V的 定理2 设ε1,ε2,…,εn是数域 上n维线性空间 的一 组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5) 线性变换按公式(5)对应 组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5)对应 矩阵， 性质： 一个n× 矩阵 这个对应具有以下性质 一个 ×n矩阵，这个对应具有以下性质： 1) 线性变换的和对应于矩阵的和 线性变换的 对应于矩阵的 矩阵 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 对应于矩阵 2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 对应于矩阵 3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆的线性变换 可逆矩阵对应 线性变换与 对应， 逆变换对 4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对 应于逆矩阵 应于逆矩阵. 逆矩阵
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由于线性变换保持线性关系不变，因而 的 由于线性变换保持线性关系不变，因而ξ的像 线性变换保持线性关系不变 Aξ与基的像 1,Aε2,…,Aεn之间也必然有相同的 与基的像Aε 之间也必然有相同的 , 关系： 关系： Aξ=A (x1ε1+x2ε2+…+xnεn) =x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn (2)
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定理2说明数域 数域P上 维线性空间 维线性空间V的 定理2说明数域 上n维线性空间 的全体线性 对于线性变换的加法与 变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量 对于线性变换的加法 变换组成的集合 乘法构成 构成P上一个线性空间 线性空间， 数域P上 级 乘法构成 上一个线性空间，与数域 上n级方阵构 线性空间P 同构. 成的线性空间 成的线性空间 n×n同构
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利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量 的像. 定理3 设线性变换A在基 下的矩阵 矩阵是 定理3 设线性变换 在基 ε1,ε2,…,εn下的矩阵是 A，向量 在基 1,ε2,…,εn下的坐标是(x1,x2,…,xn)， ，向量ξ在基 在基ε 下的坐标 坐标是 ， 在基ε 下的坐标 坐标(y 则Aξ在基 1,ε2,…,εn下的坐标 1,y2,…,yn)可以按 在基 , 可以按 公式
定理2 是数域P上 维线性空间V的 定理2 设ε1,ε2,…,εn是数域 上n维线性空间 的一 组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5) 线性变换按公式(5)对应 组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5)对应 矩阵， 性质： 一个n× 矩阵 这个对应具有以下性质 一个 ×n矩阵，这个对应具有以下性质： 1) 线性变换的和对应于矩阵的和 线性变换的 对应于矩阵的 矩阵 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 对应于矩阵 2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 对应于矩阵 3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆的线性变换 可逆矩阵对应 线性变换与 对应， 逆变换对 4) 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对 应于逆矩阵 应于逆矩阵. 逆矩阵
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由于线性变换保持线性关系不变，因而 的 由于线性变换保持线性关系不变，因而ξ的像 线性变换保持线性关系不变 Aξ与基的像 1,Aε2,…,Aεn之间也必然有相同的 与基的像Aε 之间也必然有相同的 , 关系： 关系： Aξ=A (x1ε1+x2ε2+…+xnεn) =x1Aε1+x2Aε2+…+xnAεn (2)
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定理2说明数域 数域P上 维线性空间 维线性空间V的 定理2说明数域 上n维线性空间 的全体线性 对于线性变换的加法与 变换组成的集合L(V)对于线性变换的加法与数量 对于线性变换的加法 变换组成的集合 乘法构成 构成P上一个线性空间 线性空间， 数域P上 级 乘法构成 上一个线性空间，与数域 上n级方阵构 线性空间P 同构. 成的线性空间 成的线性空间 n×n同构
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利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量 的像. 定理3 设线性变换A在基 下的矩阵 矩阵是 定理3 设线性变换 在基 ε1,ε2,…,εn下的矩阵是 A，向量 在基 1,ε2,…,εn下的坐标是(x1,x2,…,xn)， ，向量ξ在基 在基ε 下的坐标 坐标是 ， 在基ε 下的坐标 坐标(y 则Aξ在基 1,ε2,…,εn下的坐标 1,y2,…,yn)可以按 在基 , 可以按 公式
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(5) 线性空间 的线性变换 的象与核是V的子空间 线性空间V的线性变换A的 的子空间. 若dim(V)=n，则Im(A)由V的一组基的象生成，而 ， 由 的一组基的象生成， A的秩+A的零度 ， 的 的零度=n， {0}. 且A是双射 ＝> A是单射 ＝> Ker(A)={0} 是双射<＝ 是单射<＝ {0}
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(2) A在某组基下的矩阵为对角形 ＝> V可以分解 在某组基 矩阵为 可以分解 在某组 下的矩阵 对角形<＝ 可以 一子空间的 在某组基 矩阵为 为A一子空间的直和；A在某组基下的矩阵为对角 一子空间 直和； 在某组 下的矩阵 在任一基 矩阵的 ＝ 的最小多项式(即 在任一 形<＝> A的最小多项式 即A在任一基下矩阵的最 小多项式)是 上互素的一次因式的乘积. 小多项式 是P上互素的一次因式的乘积 (3) 设A为n阶矩阵，则A必与一个 必与一个Jordan标准形矩 为 阶矩阵， 必与一个 标准形矩 阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下 不计若当块的排列次序的意义下， 阵相似，且在不计若当块的排列次序的意义下，这 标准形是 个Jordan标准形是唯一的；而矩阵 与对角矩阵相 标准形 唯一的 而矩阵A与对角矩阵相 无重根. 似<＝>的最小多项式无重根 于是，当A的特征多 ＝ 的最小多项式无重根 于是， 的 项式无重根 无重根时 必与一个对角矩阵相似. 项式无重根时， A必与一个对角矩阵相似 必与一个对角矩阵相似 本章的重点 线性变换的矩阵表示以及 重点： 以及它们对角化 本章的重点：线性变换的矩阵表示以及它们对角化 的条件和方法. 的条件和方法
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(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的；反 同一线性变换关于不同基 矩阵是相似的； 线性变换关于不同基的 若两个矩阵相似，则它们可看作是同一 矩阵相似 可看作是同一线性变 之，若两个矩阵相似，则它们可看作是同一线性变 关于两个基 矩阵. 两个基的 换关于两个基的矩阵 (4) 若在线性空间 的一个基 α1,α2,L,αn下, 线性变换 若在线性空间 的一个基 线性空间V的一个 L A对应的矩阵为A, 向量 的坐标为(x1,x2,L,xn)，则 对应的矩阵为 向量α的坐标为 对应 ， A的秩=秩(A)，A(α)的坐标 的 秩 ， 的坐标.
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本章的难点：不变子空间的概念和线性变换与矩阵 本章的难点：不变子空间的概念和 难点 的一一对应关系. 的一一对应关系 本章的主要内容及其内存联系可用下图表示 本章的主要内容及其内存联系可用下图表示: 主要内容及其内存联系可用下图表示
线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵
特征值与特征向量
四、对角化问题 基本概念:不变子空间 不变子空间， 标准形. 1. 基本概念 不变子空间，Jordan标准形 标准形 2. 基本结论 基本结论: 是数域P上 维向量空间V的一个线性变换， 的一个线性变换 设A是数域 上n维向量空间 的一个线性变换，则 是数域 (1) A的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵 ＝> 可以在某一组基下为对角形矩阵 的矩阵可以在某一组基下为对角形矩阵<＝ A有n个线性无关的特征向量 有 个线性无关的特征向量. <＝> V可以分解为n个一维不变子空间的直和 ＝ 可以分解为 个一维不变子空间的直和. 可以分解 A的所有不同的特征子空间的维数之和等于 的所有不同的特征子空间的维数之和等于 等于n. 必在某个基 因而， 有 个不同特征值时 必在某个 因而，当A有n个不同特征值时， A必在某个基下 的矩阵是对角形式 矩阵是对角形式.
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2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不 保持零向量 线性变换把负向量变为象的负向量、 变为象的负向量 变；线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相 变为线性相关的向量组 关的向量组变为线性相关的向量组. 关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性 线性变换的 变换的逆变换仍为线性变换. 变换的逆变换仍为线性变换 仍为线性变换 (3) 线性变换的基本运算规律 略). 线性变换的基本运算规律(略 (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的 作成一个线性空间. 加法与数量乘法作成一个线性空间 加法与数量乘法作成一个线性空间
对角矩阵
线性变换的值域与核
最小多项式
Jordan标准形 标准形
不变子空间
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等价 m×n矩阵 × 矩阵
相似
合同
对象
n阶方阵 阶方阵
n阶实对称矩阵 阶实对称矩阵
矩 阵 的 三 大 关 系
来源
A可经初等行变换得 可经初等行变换得 到B
一个线性变换在不同基 下的矩阵
二次型经非退化线性变换后， 二次型经非退化线性变换后， 新旧矩阵之间的关系
y1 x1 y2 x2 M = A M y x n n
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三、特征值与特征向量 1.基本概念 线性变换 或矩阵 的特征值与特征向量 基本概念:线性变换 或矩阵)的特征值与特征向量 基本概念 线性变换(或矩阵 的特征值与特征向量; 特征多项式与最小多项式；特征子空间. 特征多项式与最小多项式；特征子空间 2.基本结论 基本结论: 基本结论 (1) 线性变换与相应矩阵的特征值、特征向量及特 线性变换与相应矩阵 特征值、特征向量及 矩阵的 征子空间的关系(略 征子空间的关系(略) (2) 属于不同特征值的特征向量是线性无关的. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 线性无关的 (3) 相似矩阵有相同的特征多项式，反之不然 相似矩阵有相同 特征多项式，反之不然. 有相同的 (4) Hamilton-Caylay定理：设线性变换 在某个基 定理： 线性变换A在某个 在某个基 定理 下的矩阵 矩阵为 ， 下的矩阵为A， f(λ)=|λE-A|, 则f(A)=0, f(A)=0. 返回 上页 下页
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本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示， 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示， 中心问题是研究线性变换的矩阵表示 在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互 在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互 线性变换 转换 一、线性变换及其运算 1. 基本概念：线性变换，可逆线性变换与逆变换； 基本概念：线性变换，可逆线性变换与逆变换； 线性变换的值域与核， 零度；线性变换的和与 线性变换的值域与核，秩与零度；线性变换的和与 乘积和数量乘法， 多项式. 差，乘积和数量乘法，幂和多项式
0 0 m × n
有n个线性无关的特征向 个线性无关的特征向 量时相似于对角形矩阵
E p
− Er − p
0
性质
秩相同
有相同的特征多项式， 有相同的特征多项式， 有相同的特征值
有相同的秩与正惯性指数
等价 类个 数
r+1, r=min(m, n)
无限多个
1 ( n + 1)( n + 2) 2
刻划
存在P, Q可逆， 存在 可逆， 可逆 使得B 使得 = 可逆 B = P-1 A P
存在P可逆，使得 存在 可逆， 可逆 B = PT A P
共同 点 最简 形式
都满足反身性、对称性和传递性， 都满足反身性、对称性和传递性，都保持矩阵的秩不变
Er 0
线性变换(小结) 线性变换(小结)
线性变换是线性代数的中心内容之一， 线性变换是线性代数的中心内容之一，它对 是线性代数的中心内容之一 线性空间的整体结构以及向量之间的 于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在 于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在 联系起着重要作用 线性变换的概念是解析几何 的概念是解析几何 联系起着重要作用. 线性变换的概念是 起着重要作用 中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的 中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的 坐标变换 中的某些变换替换 抽象和推广，它的理论和方法， 特别是与之相适 抽象和推广，它的理论和方法，(特别是与之相适 理论和方法 矩阵理论和方法)在 应的矩阵理论和方法 解析几何、微分方程等许 应的矩阵理论和方法 在解析几何、微分方程等许 多其它应用学科，都有极为广泛的应用 多其它应用学科，都有极为广泛的应用.
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二、线性变换与矩阵 1. 基本概念：线性变换在基下的矩阵；相似矩阵 基本概念：线性变换在基下的矩阵；相似矩阵. 2. 基本结论 (1) 若α1,α2,L,αn是线性空间 的一个基， 任意 线性空间V的一个 的一个基 β1,β2,L, βn∈V，则存在唯一的线性变换 ，使得 唯一的线性变换A， L ，则存在唯一的线性变换 A(αi)=βi，(i=1,2,L,s). L (2) 在取定 维线性空间 的一个基之后，将V的每 在取定n维线性空间V的一个 之后， 的一个基 的每 线性变换与它在这个基下的矩阵相对应 与它在这个基下的矩阵相对应， 一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应，则这个 对应使得线性变换的和、乘积、 对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分 别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积； 别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变 换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵. 换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵