高等代数 线性变换自测题

线性变换自测题
一、填空题（每小题3分，共18分）
1．σ是22⨯F 上的线性变换，若⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=100
71
)(A σ，则=-)3(A σ ．
2．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ；τ：22R R →，)
,3(),(y x y y x +
-=τ，
则=+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ．
3．设⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=2231
A
，则向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 的特征向量．
4．若⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=10
0001
011
A 与⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--10101
01k
k B 相似，则k = ．
5．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(2
3
+--=λλλλf ，则=||A ．
6．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ． 二、判断说明题（每小题5分，共20分）
1．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ． 2．已知1
-=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特
征向量与P 有关．
3．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．
4．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则}
)(|{)(1
αησηασ==-是
V 的子空间．
三、计算题（每小题14分，共42分）
1．设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛----=a A 3
3242
111
与⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=b B 0
0020
002
相似． （1）求b a ,的值；
（2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．
2．3F 中，线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α，)1,0,1(2
-=α，)
1,1,0(3=α的矩阵
为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=12
1011
101A （1）求σ关于标准基321,,εεε的矩阵；
（2）设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标．
3．设α是3R 的线性变换,)2,,2(),,(32132321321x x x x x x x x x x x -++-+=α （1）求)Im(σ的一个基和维数； （2）求)(σKer 的一个基和维数． 四、证明题（每小题10分，共20分）
1．设τσ,是V 上的两个线性变换，证明： （1）)Im()Im(τσ=的充要条件是στστστ==,； （2）)ker()ker(τσ=的充要条件是ττσσστ==,．
2.设σ是n 维线性空间V 上的一个线性变换，且2
σσ=。

证明：
（1）σ的特征值为0，1；
（2）设,0
1
V V 分别为0，1对应的特征子空间，则01
V V V =⊕；
（3）若σ只有0特征值，则σ为零变换。