高等代数线性变换分解
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
《高等代数》线性变换PPT课件
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
(完整word版)第七章线性变换总结篇(高等代数).docx
第 7 章线性变换7.1 知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1. 线性变换的定义数域P 上的线性空间 V 的一个变换称为线性变换， 如果对 V中任意的元素,和数域 P 中的任意数k ，都有：，kk。
注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2. 线性变换的判别设为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：为 V 的线性变换k l k l , , V , k,l P3. 线性变换的性质设 V 是数域 P 上的线性空间，为 V 的线性变换，1 ,2 ,, s ,V 。
性质 1.0 0,;性质 2. 若 1 , 2 , , s 线性相关，那么1,2 ,,s也线性相关。
性质 3. 设线性变换为单射，如果 1 , 2 ,, s 线性无关， 那么1 ,2,,s也线性无关。
注： 设 V 是数域 P 上的线性空间，1,2 ,, m，1,2,, s 是 V 中的两个向量组，如果：1 c111c122 c1ss2c211c222c2ssmcm1 1cm22cms s记：c11c21cm11, 2 ,, m1, 2 ,c12c22 cm2, sc1sc2scms于是，若 dim Vn ， 1, 2 , ,n 是 V 的一组基， 是 V 的线性变换， 1 , 2 , , m 是V 中任意一组向量，如果：1 b111b12 2b1n n2b 21 1 b 22 2 b 2 n nmbm11bm22bmnn记：1 ,2 ,, m1 ,2 m那么：b11b21cm11, 2 ,, m1, 2 ,b12 b22 cm2, nb1nb2ncmnb11b21cm1设 Bb 12b 22c m2， 1 ,2 ,,m 是矩阵B 的列向量组，如果i , i ,, i 是12rb1n b2n cmn1 , 2,, m 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么i 1 ,i 2 i r就 是1,2m 的一个极大线性无关组，因此向量组1,2m的秩等于秩B 。
高等代数第7章线性变换[1]
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一、线性变换的乘法及其性质
设A,BL(V), 定义A与B 的乘积为V 的一个变换, "aV, 有 (AB)(a) = A(B(a))． 1. AB 也是线性变换．
证 因为"a, bV和"k, lP, 有 (AB)(ka+lb) = A(B(ka+lb)) = A(kB(a)+lB(b)) = A(kB(a))+A(lB(b)) = kA(B(a))+lA(B(b)) = k(AB)(a )+l(AB)(b)．
称矩阵
a11 a12 a1n a a a 2n 21 22 A a n1 a n 2 a nn
为线性变换A在基e1, e2, …, en下的矩阵.
采用矩阵形式记号，可写成 [ Ae1, Ae2, …, Aen]
a11 = [e1, e2, …, en ] a 21 a n 1 a12 a 22 an 2 a1n a2 n a nn
设
f (x)=amxm+am-1xm-1+…+a0
是P[x]中一多项式, A是V的线性变换,
定义
f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式
若在P[x]中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)， 则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
高代考研辅导第8章线性变换
八．线性变换1.（中国科学院2006）若α为一实数，试计算11lim nn n nαα→+∞⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
解令11n A nαα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，容易求得A 的两个特征值为1,1i i n n αα+-，相应的特征向量为1,1i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
令11i P i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111112i i P i i --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，使得11001i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，1(1)00(1)n nn i n A P P i n αα-⎛⎫+ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
注意1(1)1lim lim in in in n n i i e n ααααα→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦，(1)lim n i n i e nαα-→∞-=，所以11011120lim ini n i i e A i i e αα-→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 1sin cos 2i ii i iii i e e ie ie ie ie e e αααααααααααα----⎛⎫+-+⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭。
2.（华南理工大学2006）设()n V M F =表示数域F 上n 阶全体矩阵的向量空间。
定义：(),()T n A A A M F σ=∀∈。
（1）证明：σ是线性变换；（2）求σ的全部特征子空间；（3）证明：σ可对角化。
证明（1）,(),n A B M F k F ∀∈∀∈，有()()()()T T T A B A B A B A B σσσ+=+=+=+，()()()T T kA kA kA k A σσ===，所以σ是线性变换；（2）设λ是σ的特征值，A 为对应于λ的特征向量（某个非零矩阵），则()A A σλ=，22()()T T A A A A σλ===，于是21λ=，得1λ=±。
第七章 线性变换
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下 定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系， 那么， 这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。 定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是 上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中， 对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。
清华大学高等代数讲义-6
Lesson 4 Example 9 设
22
J =
2
1 2 2 3 1 3 1 3 3 3
,
则 J 的极小多项式是 mJ (x) = [(x − 2)2 , (x − 2), (x − 3)3 , (x − 3), (x − 3)] = (x − 2)2 (x − 3)3 . Theorem 20 A 可对角化 ⇐⇒ A 的极小多项式无重根.
···⊕
Hale Waihona Puke ⊕···在每个循环子空间上选定一个循环基，合起来就是 V 的基. σ 限制到每个循环子空间上，是一个循环变换 ρ 和一个数乘变换 λε 的和. 循环变换 ρ 在循环基下的矩阵是 0 1 . 0 .. , N = . .. 1 0
Lesson 4 而数乘变换 λε 的矩阵是 λI = λ λ .. . λ 因此，σ = ρ + λε 在循环基下的矩阵是 λ 1 λ N + λI = Definition 19 形如 .. .. . . . 1 λ .. .. . . 1 λ ,
λ
Lemma 2 当 µ = λ 时，(σ − µε) 证明思路: (σ − µε) U 是可逆变换
λ
Uλ
是可逆变换.
⇔ (σ − µε) U 是双射 λ ⇔ (σ − µε) U 是单射 λ ⇔ ker(σ − µε) U = {0}.
λ
Lemma 3 根子空间 U1 , U2 , · · · , Us 的和 U1 + U2 + · · · + Us 是直和. 证明思路： 对子空间个数 s 作数学归纳法. 只要证明对于 αi ∈ Ui ，i = 1, 2, · · · , s， α1 + α2 + · · · + αs = 0 ⇔ αi = 0, i = 1, 2, · · · , s.
高等代数7线性变换
⾼等代数7线性变换⾼等代数7 线性变换⽬录线性变换的定义线性空间V到⾃⾝的映射通常称为V的⼀个变换。
定义线性空间V的⼀个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α,β和数域P中的任意数k都有A(α+β)=A(α)+A(β)A(kα)+k A(α)线性变换A保持向量的加法和数量乘法。
恒等变换、单位变换 E(α)=α (α∈V)零变换0 0(α)=0 (α∈V)数乘变换设V是数域P上的线性空间，k是数域P上的某个数，定义V的变换：α→kα,α∈V这是⼀个线性变换，称为由数k决定的数乘变换。
简单性质1. 线性空间V的⼀个线性变换A，则A(0)=0,A(−a)=−A(a)2. 线性变换保持线性组合不变β=k1α1+k2α2+⋯+k rαr A(β)=k1A(α1)+k2A(α2)+⋯+k r A(αr)3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
线性变换的运算线性变换作为映射的特殊情形可以定义乘法运算乘法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的乘积AB为(AB)(α)=A(B(α)) (α∈V)线性变换的乘积也是线性变换。
适合结合律 (AB)C=A(BC)⼀般是不可交换的单位变换E EA=AE=A加法设A,B是线性空间V上的两个线性变换，它们的和A+B为(A+B)(α)=A(α)+B(α) (α∈V)线性变换的和还是线性变换交换律 A+B=B+A结合律 (A+B)+C=A+(B+C)零变换0 A+0=A负变换 A+(−A)=0 .负变换也是线性的。
线性变换乘法对加法具有左右分配律A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA数量乘法数域P中的数与线性变换的数量乘法为k A=KA(kl)A=k(l A)(k+l)A=k A+l Ak(A+B)=k A+k B1A=A线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上的⼀个线性空间逆变换V上的变换A称为可逆的，如果有V的变换B存在，使 AB=BA=E这时，变换A称为A的逆变换，称为A−1如果线性变换A是可逆的，那么它的逆变换A−1也是线性变换。
高等代数第七章线性变换
高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。
二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。
只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。
某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。
三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。
高等代数 第四章 线性变换
B= =
4)由2)知A = ,A =
易知A , A , 是V的一组基,且
(A , A , )=( , )
故A在基A , A , 下的矩阵为
C=
=
15.给定P 的两组基
定义线性变换A:
A = ( =1,2,3)
1)写出由基 到基 的过度矩阵;
2)写出在基 下的矩阵;
3)写出在基 下的矩阵.
A =
故A在基 下的矩阵为
2)因
A = +
A(k )= + +
A = + ( )+
故A在 下的矩阵为
3)因
A( )=( )( )+( ) +( )
A = ( )+( ) +
A = ( )+( ) +
故A基 下的矩阵为
10.设A是线性空间V上的线性变换,如果A 0,但A =0,求证
,A , A ( >0)线性无关.
A
A(A )= + A + A + A
…………………………………………………
A（A ）= + A + A + A
故A在这组基下的矩阵为
12．设V是数域P上的维线性空间，证明：V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.
证因为在某组确定的基下,线性变换与n级方阵的对应是双射,而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE,从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K.
Ca=(-y,x,z),C a=(-x,-y,z)
C a=(y,-x,z),C a=(x,y,z)
所以
A =B =C =E
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则h(A) = f(A)+g(A), p(A) = f(A)g(A)。特别地, f(A)g(A)=g(A)f(A)，
线性变换 (1) (2) (3) (4)
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量； 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量； 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ； 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
线性变换
Байду номын сангаас
§2 线性变换的运算
四、线性变换的多项式
线性变换的幂 设 A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，
因此对任意取定的正整数n，n个A 的乘积AA…A是一个确定的
线性变换，记为: An。
-n -1 n 0
若A是可逆的，定义A = (A ) 。对任意的A∈L(V)，定义A =E。
根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。 (1) A( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 , x2 x3 , x3 x1 ) (2) A( x1 , x2 , x3 ) (1, x1 x2 x3 ,1) (3) A( x1 , x2 , x3 ) (0, x1 x2 x3 , 0)
2 ) (4) A( x1, x2 , x3 ) ( x12 , x2 x3 , x3
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A (0) 0, A ( ) A ( )
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。 注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。 例3 设 1 , 2 ,, r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线 性变换。证明：
线性变换
第七章
线性变换
线性变换
§1 线性变换的定义
§1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
定义1 设V与W是数域P上的线性空间，A 是V到W的一个映射， 如果下列两个条件满足，则称 A 是V到W的一个线性映射： (1) , V , A( ) A( ) A( ) (2) V , k P, A(k ) kA( ) 特别：当W = V时，A 称为线性空间V的一个线性变换。
A m n A m A n ,
(A m )n A mn ,
m, n N
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB ) ≠ A B 。
n
n n
线性变换 定义5 设
§2 线性变换的运算
f ( x) an xn an1xn1 a1x a0 P[ x]
(3)
A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB ) 例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的 线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
线性变换的加法满足以下运算规律： (1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
( kA ) k A , V
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。 线性变换的数量乘法满足以下运算规律： (1) (kl)A = k(lA) (2) (k+l)A = kA + lA (3) k(A + B) = kA + kB (4) 1A = A 结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和
A L(1 , 2 ,, r ) L(A1 , A 2 ,, A r )
线性变换
§2 线性变换的运算
§2 线性变换的运算
一、线性变换的加法和数量乘法
定义1 设A，B∈L(V)，对A 与B 的和 A + B 定义为：
( A B) A B , V
结论1 对∀A，B ∈L(V)，有 A +B ∈L(V)。
定义4 设 A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得 AB = BA = E，则称 A 是可逆的，且B 是 A 的逆变换，记为：B = A-1。 结论5 若A∈L(V)，且 A 是可逆的，则A-1唯一，且 A-1∈L(V)。 简单性质： (1) ( A-1)-1 = A (2) ( AB)-1 = B-1A-1 例2 设1 , 2 ,, n 是线性空间V的一组基，A 是V的一个线性 变换，证明：A 可逆当且仅当 A1 , A 2 ,, A n 线性无关。 例3 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空 间，且 V V1 V2 , 证明：A 可逆当且仅当 V AV1 AV2 .
数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。
线性变换
§2 线性变换的运算
二、线性变换乘法
定义3 设 A, B∈L(V)，对A 与 B 的乘积 AB 定义为：
( AB) A(B ), V
结论4 对∀A, B ∈L(V)，有 AB ∈L(V)。 线性变换的乘法满足以下运算规律： (1) A ( B + C ) = AB + AC (2) ( B + C )A = BA + CA 注意：线性变换的 乘积不满足交换律。
则对∀A∈L(V) ， f (A) anA n an1A n1 a1A a0E 称为线性变换 A 的多项式。
结论6 设f(x), g(x)∈P[x], A ∈L(V), 若h(x)=f(x)+g(x), p(x)=f(x)g(x)
即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。