课题：求曲边梯形的面积
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念。
2. 学会计算曲边梯形的面积。
3. 能够应用计算公式解决实际问题。
教学重点：1. 曲边梯形的概念。
2. 计算曲边梯形面积的公式。
教学难点：1. 理解曲边梯形的面积计算过程。
2. 应用公式解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材（曲边梯形图形、计算工具）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾梯形的面积计算方法。
2. 提问：如果梯形的边变成曲线，我们如何计算它的面积呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍曲边梯形的概念。
2. 讲解曲边梯形面积的计算公式。
3. 举例说明曲边梯形面积的计算过程。
1. 学生独立完成练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评。
四、拓展应用（10分钟）1. 学生分组讨论，思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用。
2. 各组汇报讨论成果，分享实际问题解决方案。
五、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
教学评价：1. 课后作业完成情况。
2. 课堂练习的正确率。
3. 学生对实际问题解决方案的合理性。
六、案例分析（10分钟）1. 教师展示曲边梯形面积计算在实际工程、地理等领域的应用案例。
2. 学生分析案例，理解曲边梯形面积计算的重要性。
七、练习与巩固（15分钟）1. 学生完成课后练习题，巩固曲边梯形面积计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，解答学生的疑问。
八、小组讨论（15分钟）1. 学生分组讨论，思考如何优化曲边梯形面积计算方法。
2. 各组汇报讨论成果，分享优化方案。
1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
十、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用，选取一个实例进行分析。
《曲边梯形的面积》教案
曲边梯形的面积教学设计宁波滨海国际合作学校汪庆东一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-2第一章第5节的内容。
该内容不在浙江省高考范围之列，本节课作为一节数学拓展课，主要让学生学会曲边梯形的面积的求法，了解定积分的实际背景，同时让学生了解微积分及割圆术等数学历史，旨在帮助学生了解以曲代直及无限逼近这两种重要的数学思想，进一步拓展学生视野，增强学生学习数学的兴趣。
基于以上分析，教学内容应在类比和转化的方法引领下，引导学生利用分割与无限逼近的思想解决生活当中的曲边梯形的面积的求法。
重点是探究求曲边梯形面积的方法难点是把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
二、教学目标设置1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景；（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限；（3）了解割圆术、微积分创立的背景，了解相关数学史。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想；（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：（1）在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的；（2）通过相关数学史教学，让学生感受数学来源于生活并服务于生活的工具作用。
三、学情分析本节课的教学对象是高一年级学生，且本节课不作为高考考试内容，而高一学生对本节课的认知基础有限，根据分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：1. 学生学习过匀速直线运动的位移公式及其几何意义；2. 高一上学期学习了匀加速直线运动的位移公式，并初步了解其公式推导过程中的分割思想；3. 对割圆术求圆周率的方法有少部分的了解。
四、教学策略分析课堂教学以学生为中心，突出合作学习，探究学习和自主学习。
师生合作探究，通过匀速直线运动位移的几何意义匀加速直线运动的位移公式的推导变速运动位移公式的求解，通过师行合作，共同完成新知学习。
定积分概念求解2
a
c
Oa
c
bx
例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0 a x -10 2 x a 0 b x -10 2 x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
了.这就是第一换元法, 也称凑微分法.
第一换元法求定积分的步骤： 关键
第一步：把被积函数f ( x)分解成两部分
因式相乘的形式，一部分是( x)的函数, 另一部分是( x)的导数； 第二步：凑微分( x)dx d( x),并作 变量代换u ( x),把关于x的定积分
转化成关于u的定积分 f (u)du.
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
(x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数，
y f (x)
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限，
O
a
bx
[a, b] —叫做积分区间。
2 dx
例4
计算
. ｅ1 1 x
解
原式
2
ｅ1
1 1
x
d(1
x)
1
ｅ
1 t
曲边梯形面积的计算
y
y=x2
Δ si
（2）在每个小区间上选取右端点的涵数值xi2 作为高，小区间的长度Δxi作用为宽，求出每 0 个小区间上对应图形 面积的近似值（即以矩 形面积代替） Δsi≈xi2Δxi=(i/n)2(1/n) ， i=1，2，…，n
Байду номын сангаасxi-1
xi
1
x
（3）把所有的近似值累加起来便得到整个曲边梯形面积的近似值
i 2 1 s si x xi ( n ) n i 1 i 1 2 i i 1 n n n 1 n3
(12 22 n 2 )
n ( n 1)( 2 n 1) 6 n3
（4）可以看到近似值会随着n的增大而逐渐趋于精确值，所以曲 边梯形的面积
i 2 s lim x xi lim ( n ) n i 1 2 i n i 1 n n 1 n
)( 2 n 1) lim n ( n 1 6 n3 n
1 3
三、方法的一般化
（1）将区间[a，b]任意划分为n个小区间： [x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn-1，xn]，Δxi=xi-xi-1， i=1，2，…，n，其中x0=a，xn=b （2）在[xi-1，xi]上任取一点ξi，以f（ ξi ）作 为高，Δxi作为宽得到第i个小区间上对应的小 曲边梯形面积Δsi的近似值，即
1 i n i
s lim f ( i ) xi
0
i 1
n
Δsi≈ f（ ξi ） Δxi ， i=1，2，…，n
y
y=f(x)
f(ξ i)
0
a
xi-1 ξ
i
xi
b
x
（3）将上述所有近似值累加起来得到整个曲边梯形的面积s的近 似值，即
(精选)曲边梯形的面积
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越
细,近似程度就会越来越好. 也即: 用化归为计算矩
形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我
们通过下面步骤来具体实施这种方法.
6
思考2：设想把该曲边梯形分作若干个小
梯形，具体如何操作？
1、分割 y
在区间0,1上间隔地插入n 1 y x2
2
2
32 3
112 3
m2
.
22
小结作业
1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲” 的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系.
2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形→用小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩 形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限.
3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用 一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯 形的面积.
在区间［0，2］上等间隔地插入n-1个
点，将区间［0，2］等分成n个小区间：
［0, 2］，［2 , 4］,［, 2n 1 ,2］
n
nn
n
n
则S＝ Si iБайду номын сангаас1
记第i个区间为 ［2i 1，2i］(i 1,2,n)，
nn
其长度为 x 2i 2i 1 2
nnn
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边
y＝x2
1x
4
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯 形 与" 直 边 图 形" 的 主 要 区
y y x2
别是,前者有一边是曲线段,
而" 直 边 图 形" 的 所 有 边 都 是
人教课标版高中数学选修2-2：《曲边梯形的面积》教案-新版
第一章导数及其应用曲边梯形的面积一、教学目标1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力.2．学习目标（1）通过求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景．（2）通过求变速直线运动的路程，了解定积分的实际背景．3．学习重点“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.4．学习难点“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务预习教材P2—P4,完成P6相应练习题2．预习自测1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[x i，x i＋1]上的近似值等于（）A．只能是左端点的函数值f(x i)B．只能是右端点的函数值f(x i＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i，x i＋1])D．以上答案均不正确答案：C答案：D3．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝（ ） A ．∑i ＝1n f (ξi )·1nB ．lim n →∞∑i ＝1nf (ξ1)·1nC ．∑i ＝1n f (ξi )·b －anD ．lim n →∞∑i ＝1nb －an ·f (ξi )答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾本节可能会用到的数学公式： （1）211(1)(21)6ni i n n n ==++∑；（2）231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑； （3）11101110lim k k k k kk k n k k k a n a n a n a a b b n b nb n b ---→∞-⋅++++=⋅++++（其中i a ，i b 为常数，0,1,,i k =）.2．问题探究问题探究一：求曲边梯形的面积 曲边梯形的概念：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()=的一段，我们把由直y f x线,(),0==≠=和曲线()x a x b a b y=所围成的图形称为曲边梯形．y f x如何求2x=所围成的平面图形面积S？=与0y xy=及1活动1：请讨论：如何分割？以下几种分割方法，哪种最合适？（1）竖向分割（2）横向分割（3）随意分割分析发现，竖向分割更容易求面积.活动2：请讨论：分割多少份合适？分析发现分割的越多，误差越小，为了便于计算，引导学生会利用n控制分割的份数，把[0,1]分割成n等份.活动3：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？ 展示部分近似代替的方案：（1） （2） （3）矩形 矩形 梯形 不足 过剩 代替分割后，转化成n 个曲边梯形，利用直边图形代替，合作交流后确定方案，即以矩形不足或矩形过剩计算较为方便.活动4：如何用n 的式子表示直边图形面积的和？ 展示学习小组部分计算结果：（1）以方案（1）计算：)211)(11(311n n S --=（2）以方案（2）计算：)211)(11(312n n S ++=（3）以方案（3）计算：)211(3123nS +=通过分割、近似代替两步以后，进行求和，根据不同的方案计算出不同的面积和，发现每一种和结果的代数式子不一样，为后面引入极限做个铺垫. 活动5：请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ (1)几何画板演示，21,S S 随变量n 变大，它们的变化趋势. （2）取极限：（1）当+∞→n 时，31)211)(11(311→--=n n S（2）当+∞→n 时，31)211)(11(312→++=n n S结论：以上三种方案得到的面积都是用n 表示的表达式，而曲边梯形的面积应该是一个常数，如何确定这个常数，已经知道分割的份数越多，误差就越小，利用前面导数的概念，可以确定当n 趋近于无穷大时，21,S S 趋近于一个常数，这个常数就是该图形面积的值，体现了无限逼近的思想方法，极限的含义. 活动6：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2)(x x f =在区间],1[nin i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？1111lim ()lim ()3nni i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑例1：求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积 【知识点：曲边梯形面积】 解:令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2（n －1）n ，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和，取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑ni ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑n i ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n （n ＋1）(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n 2)．(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83， 即所求曲边梯形的面积为83. 点拨：求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和S n ，S n 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）问题探究二、如何求汽车行驶的路程？活动一：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h )这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值． 解：1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n-∆=-=.把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑图 1 图2（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n-处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n n n n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111115lim lim lim 112323nn n n n i i S S v nn n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑点拨：本题所用数学思想为化归，即用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．活动二：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 汽车行驶的路程在数值上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a t b ≤≤内所作的位移s . 3．课堂总结 【知识梳理】求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值；④取极限：求lim n n S S →+∞=（S 即为曲边梯形的面积）. 【重难点突破】1.求曲边梯形面积 “近似代替”中，取任意一点1ξ代替求出的最终的曲边梯形面积均是同一个常数.2.求曲边梯形面积与求变速直线运动的物体的路程的本质是一样的，都采用分割、近似代替、求和、取极限的步骤求解. 4．随堂检测1．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积是_______． 答案：见解析解析：【知识点：曲边梯形的面积；】图 1图2将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为2(1)2[,]i in n-. 第i 个小区间的面积2(1)2i i S f n n-⎛⎫∆=⋅ ⎪⎝⎭，所以2223321112(1)4(1)(1)(21)4(1)(21)2288(1)63nn nn i i i i i n n n n n S f i n n n nn n n ===------⎛⎫=⋅==-=⋅=⎪⎝⎭∑∑∑故24(1)(21)4118limlim lim[(1)(2)]333n n n n n n S S n n n→∞→∞→∞--===--= ∴所求曲边梯形面积为83.2．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km /h )为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h )这段时间行驶的路程为多少？ 答案：这段时间行驶的路程为133km . 解析：【知识点：变速直线运动的路程；】222311)[12(1)]n n n++-++++-（三）课后作业 基础型 自主突破 1．函数2()f x x =在区间1[,]i in n-上（ ）A ．()f x 的值变化很小B ．()f x 的值变化很大C ．()f x 的值不变化D ．当n 很大时，()f x 的值变化很小 答案：D解析：【知识点：定积分；】2．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n 答案：B解析：【知识点：定积分；】在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2，所以第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )． 3.若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：【知识点：定积分；】将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a (i －1)n ，ai n (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2· a n近似代替相应的小曲边梯形的面积，则∑n i ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·an ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n 近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲边梯形的面积．依题意得lim n →∞ a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9， ∴a 33＝9，解得a ＝3．4．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 作变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________． 答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程；】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ，v (ξi )＝v (1＋i －1n )＝3(1＋i －1n )＋2＝3n (i －1)＋5.∴s n ＝∑ni ＝1[3n (i －1)＋5]·1n ＝{3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32(1－1n )＋5.∴s ＝li m n →∞s n ＝32＋5＝6.5. 5．求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S . 答案：43解析：【知识点：求曲边梯形的面积；】(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n (i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2.(4)取极限：S ＝li m n →∞∑i ＝1n1n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2＝1＋li m n →∞∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝1＋li m n →∞ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝1＋13＝43.6．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v (t )＝2t (单位：m /s )，求该物体在出发后从t ＝1 s 到t ＝5 s 这4 s 内所经过的位移． 答案：24m.解析：【知识点：变速直线运动的路程；】(1)分割：把时间段[1,5]分成n 等份，分点依次是：1，1＋4n ，1＋8n ，…，1＋n －1n ·4,5，每个小区间的长度Δx ＝4n .(2)近似代替：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4i n ·4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ·4n，其中i ＝1,2，…，n . (3)求和：所求的位移s ≈s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝4n ∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8i n ＝8＋32n 2·n (n ＋1)2＝8＋16·n ＋1n ＝8＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n . (4)取极限：当分割无限变细，即4n 趋向于0(亦即n 趋向于＋∞)时，s n 趋向于所求位移s ，从而有s ＝li m n →＋∞s n ＝li m n →＋∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝8＋16＝24， 即所求物体经过的位移是24m . 能力型 师生共研7．lim n →∞∑i ＝1n[(15i n )·(5n )]的含义可以是（ ） A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x 围成的图形的面积答案：C解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in ，因此∑i ＝1n[(15i n )·(5n )]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．8．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________． 答案：43解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝(i n )2＋2·i n ＝i 2n 2＋2in .作和∑i ＝1n[(i 2n 2＋2i n )1n ]＝∑i ＝1n (i 2n 3＋2i n 2)＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋222(1)(1)(21)126n n n n n n n n ++++⋅=+8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ (43＋32n ＋16n 2)＝43. 9．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式I n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么I n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 、ξi 的取法都有关 答案：D解析：【知识点：定积分】10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积. 答案：83解析：【知识点：曲边梯形的面积；数学思想：以不变代变】 令f (x )＝x 2.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和，取ξi ＝2i n (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑n i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑ni ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝43(2＋3n ＋1n 2)．(3)取极限S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ 43(2＋3n ＋1n 2)＝83，即所求曲边梯形的面积为83. 探究型 多维突破11．设力F 作用在质点m 上使m 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F ＝x 2＋1且力的方向和x 轴正向相同，求F 对质点m 所作的功．. 答案：342.解析：【知识点：定积分；】将区间[1,10]n 等分，则各小区间的长度为9n ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋9n (i －1)，1＋9n i 上取ξi ＝1＋9n i .∴F i ＝ξ2i ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋1，∴W i ＝F i ·9n ＝9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n(i ＝1,2，…，n )． ∴W ＝li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9n i 2＋9n ＝li m n →∞∑i ＝1n 9n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋18n i ＋81n 2i 2 ＝li m n →∞∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＋162n 2i ＋729n 3i 2＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18＋162n 2·n (n ＋1)2＋729n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝18＋81＋243＝342. 故F 对质点所作的功为342. 自助餐1.求曲边梯形面积的四步曲中的第二步是( ) A ．分割B ．近似代替C ．求和D ．取极限 答案：B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】2.在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]D ．以上答案均正确 答案：C解析：【知识点：定积分】 3.和式∑10i ＝1 (x i －3)等于( ) A ．(x 1－3)＋(x 10－3) B ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－3 C ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－30 D ．(x 1－3)(x 2－3)(x 3－3)·…·(x 10－3) 答案：C解析：【知识点：和式的概念】∑10i ＝1(x i －3)＝(x 1－3)＋(x 2－3)＋(x 3－3)＋…＋(x 10－3)＝(x 1＋x 2＋…＋x 10)－30.4.对于由函数y ＝x 3和直线x ＝1，y ＝0围成的曲边梯形，把区间[0,1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi 取值均为小区间的左端点)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130 答案：A解析：【知识点：求曲边梯形的面积】 S ＝0×13＋(13)3×13＋(23)3×13＝19.5.一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为（ ） A ．13 B ．12 C ．1 D ．32 答案：B解析：【知识点：变速直线运动的路程】 6.在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( ) A ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(i n )2·2n B ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(2i n )2·2n C ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋i 2·1n D ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(i n )2·n 答案:B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋(2i n )2·2n . 7．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为________． 答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n .8．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km /h )，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是_____________________． 答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋2.9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 答案：55解析：【知识点：变速直线运动的路程】把区间[0,10]10等分，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10.求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________. 答案：1.02解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2，于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 11．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则 Δt ＝1n ，v (ξi )＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5. ∴s n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n (i －1)＋5·1n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n ·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋5.∴s ＝li mn →∞s n ＝32＋5＝6.5. 12．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝12x 2所围成的图形的面积． 答案：16解析：【知识点：求曲边梯形的面积】解：(1)分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，1]．每个小区间的长度为Δx ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替：在区间[i －1n ，i n ]上，用i －1n 处的函数值12(i －1n )2作为高，以小区间的长度Δx ＝1n 作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12(i －1n )2·1n .(3)求和：曲边梯形的面积为S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n12(i －1n )2·1n ＝12n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝12n 3·(n －1)n (2n ＋1)6＝112(1－1n )(2＋1n )．(4)取极限：S ＝li mn →∞S n ＝112×1×2＝16.∴所围图形的面积为16.。
曲边梯形的面积市公开课金奖市赛课一等奖课件
续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成图
形叫做曲边梯形。
y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
第4页
思考： y
y = f(x)
A1
Oa
b
x
用一个矩形面积A1近似代替曲边梯形面积A，
得 A A1.
第5页
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形面积 近似代替曲边梯形面积A， 得 A A1+ A2
第6页
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形面积 近似代替曲边梯形面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
第7页
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形面积代替
小曲边梯形面积， 于是曲边梯形面积A近似为
A A1+ A2 + + An
数，在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次
为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，…，n－1，记 λ为这些小区间长度最大者，当λ趋近于0时，
所有小区间长度都趋近于0，在每个小区间
内各取一点，
i [xi1, xi ]
a,b内可积分，则f(x) g(x)也在此区间内
可积分，且 b a
f(x)
g
(
x)
dx
b
f (x)dx
a
b
求曲边梯形的面积ppt课件
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
思维导航
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
精选ppt
3
情境创设
金门大桥 （美国）
概念形成
曲边梯形的定义：由直线 x a ,x b (a b )y , 0
和曲线 y f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
案例探究
如何求由直线 x0,x1,y0与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
y x2
o
1x
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y
如( i )2 nn
f (i1) (i1)2
n
n
f ( i ) ( i )2 nn
O i1 i
1x
nn
方案. 方案.. 方案… 方案….
深入思考
怎样使各个结果更接近真实值？
深入思考 • 通过动画演示我们可以看出，n越大，
区间分的越细，各个结果就越接近真 实值。为此，我们让n无限变大，这 就是一个求极限的过程。
课堂小结
求一个具体曲边梯形的面积 “以直代曲”和“无限逼近”思想 方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限
• 有位成功人士曾说过：“做事业的 过程就是在求解一条曲线长度的过 程。每一件实实在在的小事就是组 成事业曲线的直线段。”想想我们 的学习过程、追求理想的过程又何 尝不是这样？希望大家能用微积分 的思想去学习、去做事！
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课题：求曲边梯形的面积
授课班级：高二（12）班 主讲老师：曹祖志 授课时间：2012年5月23日（星期三第6节） 地点：史地室
一．教学目标
1．知识与技能：了解求简单曲边梯形（x 轴上方）的面积的一般求法（即“分割以直
代曲
作和
逼近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念，初步理解定积分的
几何意义，能利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积．
2．过程与方法：在解决问题（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证．
3．情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念．能够让90%的学生会用“以直代曲”方法求简单曲边梯形的面积。
二．教学重点 “以直代曲”求曲边梯形的面积步骤。
三．教学难点 分割方法及极限思想。
四．教学过程 １．情境创设
已知“嫦娥一号”升空做直线运动，设经过t s 后的运动速度为)(t v （单位：m/s ），若()v t 的图象分别如图（1）（2）（3）中曲线所示，试求a t b ≤≤内物体运动的总路程．
由物理学知识可知，S 即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积．因此，问题即转化为如何求曲边梯形的面积，如果说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该如何求呢？
２．操作探究
为了便于研究问题，我们不妨将问题简化，求直线0,1,0x x y ===和曲线2y x =所围成的图形（曲边三角形）的面积S ．
活动① 方案提出
通过计算机演示，启发学生将曲边梯形细分为若干小曲边梯形，并能提出以矩形面积近似替代曲边梯形面积，初步形成“分割⇒以直代曲⇒作和⇒逼近”的问题解决方案，在具体“以直代曲”过程中能通过小组讨论的形式提出多种方案．
活动② 方案落实
以左端点对应的函数值为矩形的边长为例（本过程教师讲授为主）． 1．分割
把区间[]0,1等分成n 个小区间（思考：为什么要等分区间？分多少段？）：
10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，…，1,n n n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 每个区间的长度为11
i i x n n n
-∆=
-=. 过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作1S ∆，
2S ∆，…，i S ∆，…，n S ∆．即12...n S S S S =∆+∆++∆．
2．以直代曲
对区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的小曲边梯形，以区间左端点1i n -对应的函数值2
11()i i f n n --⎛⎫= ⎪⎝⎭
为一边的长，以1
x n
∆=
为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积， 即2
111()i i i S f x n n n
--⎛⎫∆≈∆=⋅ ⎪⎝⎭．
3．作和
因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形的面积之和
n S 就是所求曲边三角形面积S 的近似值，其中
2
2222
31111[012...(1)n
n i i S n n n n =-⎛⎫=⋅=++++- ⎪⎝⎭∑]．
4、逼近
当分割无限变细，即0x ∆→（亦即n →+∞）时，n S S →.
S 的求法包括：
方法1、计算机计算（一个大致结果）． 方法2、体积构造法:
2
111n
n i i S n n =-⎛⎫=⋅
⎪⎝
⎭∑.
将单位正方体每条棱n 等分，得到n 个长方体，其体积之和即为n S ；当n →+∞时，该几何体无限逼近四棱锥A ABCD '-，又13A ABCD V '-=
，从而13
S =． 方法3、公式法:
由222
1
12...(1)(21)6
n n n n +++=
++（公式推导见教材第二章推理与证明P 72）有
222233111111[012...(1)](1)(21)(1)(2)66n S n n n n n n n n
=
++++-=⋅--=--， 当n →+∞时，32161=⋅⋅→n S ，从而1
3
S =．
活动③ 实践检验
学生借助于公式法检验另一方案（以右端点的函数值为近似矩形的边长），通过真实的验证过程感受最后总结探究中的曲边梯形面积与具体的“以直代曲”方案无关，从而感受极限思想．
活动④过程回顾
“分割⇒以直代曲⇒作和⇒逼近”四个过程可用如下图（1）至图（4）描述：
活动⑤总结探究
学生通过讨论可得到以上常见的三种方案，即分别以矩形ABCD 、矩形ABEF 、梯形ABDE （方案3如果学生提不出，可不予考虑）来近似代替相应曲边梯形的面积．
以下用计算机演示检验当n →+∞时，其和式均无限趋近于同一结果．其实具体方案中虽
然面积会有差异，即ABCD ABED ABEF S S S <<，但当n →+∞时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形的面积（一方面让学生操作电脑感受，同时借助简单的公式推导强化认识）．从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点i x 所对应的函数值()i f x 作为小矩形一边的长，和式()()()12...n n S f x x f x x f x x =∆+∆++∆近似表示曲边梯形面积．
三．初步应用
1．计算直线0,1,0===y x x 和曲线3x y = 围成的阴影图形的面积．
2．火箭发射后t s 的速度为)(t v (单位:m/s),假定100≤≤t ,对函数)(t v 按上式所作的和具有
(1) (2) (3) (4)
怎样的实际意义？
四．小结
延伸拓展：定积分的计算每次均采用“分割⇒以直代曲⇒作和⇒逼近”的操作是不现实的，为此以后将介绍微积分基本定理．请同学预习下一节课的内容，并完成课本练习。