(完整版)曲边梯形的面积

曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越
细,近似程度就会越来越好. 也即: 用化归为计算矩
形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我
们通过下面步骤来具体实施这种方法.
思考2：设想把该曲边梯形分作若干个小
梯形，具体如何操作？
1、分割 y
在区间0,1上间隔地插入n 1 y x2
个点, 将它等分成n个小区间:
y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
4、取极
图1.5 5
限 可以看到, n ,即x 0,
Sn
S,即S
lim
n
Sn
S
lim
n
Sn
lim 1 (1 1)(2 1 )
n6
n
n
1 3
思考6：上述用极限逼近思想求曲边梯形 面积的过程有哪几个基本步骤?
分割→近似代替→求和→取极限.
思考7：若按如图所示作小矩形，那么这
能用直边形(比如矩形)逼近曲边梯形的方法,求图
1.5 2 中阴影部分面积呢?
y
如图1.5 3,把区间0,1分成
y x2
许多小区间,进而把曲边梯形
拆分为一些小曲边梯形.对每
一个小曲边梯形" 以直代曲" 即用矩形的面积近似 代 替 小 曲边梯形的面积,得到每个小
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
梯形，他们的面积分别记作：ΔS1,ΔS2,…，ΔSn
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.
(2)近似代替
当n很大，即Δx很小时，在区间［2i 1，2i］
nn
上，
用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部范围
内“以直代取”，则有ΔSi≈ΔS
n
1
)
(
2
在区间［0，2］上等间隔地插入n-1个
点，将区间［0，2］等分成n个小区间：
［0, 2］，［2 , 4］,［, 2n 1 ,2］
n
nn
n
n
则S＝ Si i1
记第i个区间为 ［2i 1，2i］(i 1,2,n)，
nn
其长度为 x 2i 2i 1 2
nnn
分别过上述n-1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边
y＝x2 1x
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯 形 与" 直 边 图 形" 的 主 要 区
y y x2
别是,前者有一边是曲线段,
而" 直 边 图 形" 的 所 有 边 都 是
S
直线段. 在过去的学习中,我们曾经
o
1x
图1.5 2
用多边形逼近圆的方法,利用多边形面积求出圆
的面积.这种" 以直代曲"的思想启发我们,是否也
地代替小曲边梯形的曲
边图1.5 4.这样,在区
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
y
y x2
间
i
1, n
i n
上,用小矩形
的面积 ΔSi' 近似地代替 ΔSi,即在局部小范围内 "以直代曲",则有ΔSi
ΔSi'
f
i
1Δx n
o
i1 i nn
1x
图1.5 4
i
12
1
i
1,2,
,n.
n n
些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯
形的面积吗？
y
y＝x2
S
lim
n
Sn
1 3
O
1x
思考8：若分别以区间
0,
1 n
],[n1
,
2 n
],[n2
,
3 n
],
[n n 1,1]
内任意一点对应的函数值为高作矩形，
那么这些小矩形的面积之和的极限等于
曲边梯形的面积吗？
相等
y y＝x2
p42练习
O
1x
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积. 解：(1)分割
i n
1
)2］
2 n
8 n
[i
1 n
(i
1)2 n2
)]
例1、求y=2x-x2，y=0,0≤x≤2围成的图形的面积.
(3)求和
Sn
n i1
n
Si ＝
i1
8 n
[i 1 n
(i
n
1)
2
2
所围成的，称之为曲边梯形，如何计算
这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的
课题.
y y＝f(x)
Oa
bx
探究：曲边梯形面积的算法
思考1：由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形是什么？它与我 们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？
y
直线x＝0，x＝1，y＝0 和曲线y＝x2所围成的是 曲边梯形.平面多边形的 每条边都是直线段，上 O 图中有一边是曲线段.
n2 n(n 1)(2n 1)
y y＝x2
Sn
(n 1)n(2n 61) 6n 3
O
1x
(n 1)(2n 1) 1（1- 1 ）(2- 1 )
6n 2
6n
n
S
Sn
1 6
1
1 n
2
1 n
.
思考5：如何利用各小矩形的面积之和求 曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？
y y x2
y y x2
y y x2
Δx很小时,在区间i
1, n
i n
o
i1 i
nn
1x
上,可以认为函数f x x2
图1.5 3
y
的值变化很小,近似等于一
个常数,不妨认为它近似地
y x2
等于左端点i 1处的函数
n
值f i 1.从图形上看,就是
o
i1 i nn
1x
n
图1.5 4
用平行于x轴的直线段近似
y y x2
曲边梯形的面积
问题提出
1.任何一个平面图形都有面积，其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积，可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线，则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.
3.如图所示的平面图形，是由直线
x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)
思考3：上述n个矩形，从左到右各矩形 的高分别为多少？宽为多少？
第i个区间为
i
1, n
i n
i
1, 2,, n,
y
y＝x2
区间长度为 x i i 1 1 .
nn n
第i个矩形高为 h i
(i
1)2 n
O
1x
即第i个矩形的高为 hi (i n 1)2 ，
每个矩形的宽为
1 n
.
思考4：计算，这n个小矩形的面积之和
0,
1 n
,
1 n
,
2 n
,
,
n
1 n
,1
,
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
分别过上述n 1个点作x轴的垂线，把曲边梯形分成
n个小曲边梯形
它们的面积分别为 n S1, S2 , S3, Sn
则所求面积为 S= Si i 1
y y x2
2近似代替 记fx x2.
如图1.5 3 ,当n很大 ,即
Sn等于多少？
3、求和
Sn
n
Si'
i 1
n i 1
f
i
1 n
x
y y＝x2
n i 1
i 12 n
1 n
O
1x
0
1 n
1 n
2
1 n
n 12 n
1 n
1 n3
12
22
n
12
思考4：计算，这n个小矩形的面积之和
Sn等于多少？
Sn
1 n3
(02
12
22
32
42
n2)
又12 22