八年级下册勾股定理同步练习题附答案.doc
2019-2020 年八年级下册勾股定理同步练习题附答案
1．已知直角三角形中 30°角所对的直角边长是 2 3 cm，则另一条直角边的长是（）
A. 4cm
B. 4 3 cm
C. 6cm
D. 6 3 cm
2．△ ABC中， AB＝ 15，AC＝ 13，高 AD＝ 12，则△ ABC的周长为（）A． 42 B． 32 C．42 或 32 D． 37 或 33
3．一架 25 分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7 分米 . 如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑动( )
A. 9 分米
B. 15 分米
C. 5 分米
D. 8 分米
4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路
（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草．
3m “路”
5. 在△ ABC 中，∠ C＝ 90 °，（ 1 ）已知a＝ 2.4， b＝ 3.2，则 c
＝；（ 2）已知 c＝ 17，b＝ 15，则△ ABC面积等于；4m
（ 3）已知∠ A＝ 45°， c＝18，则 a＝ . 第 4 题图
6. 一个矩形的抽斗长为 24cm，宽为 7cm, 在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．
7. 在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°， BC＝ 12cm， S 2
ABC＝ 30cm ，则 AB＝.
△
8. 等腰△ ABC 的腰长 AB＝ 10cm，底 BC为 16cm，则底边上的高为，面积为.
9. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．
10．一天，小明买了一张底面是边长为260cm 的正方形，厚 30cm 的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有242cm 高，宽 100cm．你认为小明能拿进屋吗？．
11．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m , 长 13m ，宽 2m 的楼道上铺地毯, 已知地毯每平方米 18 元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
13m5m
13．有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高 20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
14．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过
70 km / h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面
车速检测仪正前方30 m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？
小汽车小汽车
B C
A
观测点
15．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h. 彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.
120
90
勾股定理同步练习题答案
1. C
2. C
3. D
4. 10
5. 4; 60; 3
6. 25cm
7. 13cm 8 .6cm, 24cm2
9. 6, 8, 10 10. 能11. 5; 4; 3 12. 612 元13. 5s 14. BC=72km, 这辆小汽车超速了15. h=170cm。
人教版八年级下册数学 17.1 勾股定理 同步习题(含答案)
17.1 勾股定理同步习题知识点1 勾股定理1.如图,以直角三角形的三边a,b,c为边或直径,分别向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是()A.1B.2C.3D.42.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a,b,斜边长为c,则下列关于a,b,c的关系式中不正确的是()A.b2=c2-a2B.a2=c2-b2C.b2=a2-c2D.c2=a2+b23.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为()A.5B. 7C.2D.5或74.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为()A.5B.6C.8D.105.在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或106.在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是()A.4.8B.4.8或3.8C.3.8D.5知识点2 勾股定理与面积的关系7.如图,字母B所代表的正方形的面积是()A.12B.13C.144D.1948.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为()A.3B.4C. 5D.79.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.8010.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.94易错点考虑问题不全面而漏解(分类讨论思想)11.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2=9,b2=16,则c2为()A.25B.7C.7或25D.9或16提升训练考查角度1 利用勾股定理求直角三角形中的边长12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=.(1)求DC的长;(2)求AB的长.考查角度2 利用勾股定理求三角形的面积13.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.如图,作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形面积探究培优拔尖角度1 利用勾股定理解非直角三角形问题(倍长中线法)14.如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)求△ABC中BC边上的高.拔尖角度2 利用勾股定理解四边形问题(补形法)15.如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求: (1)AB的长;(2)四边形ABCD的面积.参考答案解：因为直角三角形的三边为a,b,c,所以应用勾股定理可得a2+b2=c2.第一个图形中,首先根据等边三角形的面积的求法,表示出3个等边三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第二个图形中,首先根据圆的面积的求法,表示出3个半圆形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第三个图形中,首先根据等腰直角三角形的面积的求法,表示出3个等腰直角三角形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.第四个图形中,首先根据正方形的面积的求法,表示出3个正方形的面积,然后根据a2+b2=c2,可得S1+S2=S3.2.【答案】C3.【答案】D解：当两直角边长分别为3和4时,斜边长为=5;当斜边长为4时,另一条直角边长为=.故选D.4.【答案】C5.【答案】C解：根据题意画出图形,如图①所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD+CD=8+2=10;如图②所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得BD==8,CD==2,此时BC=BD-CD=8-2=6,则BC的长为6或10.故选C.6.【答案】A解：如图,过A点作AF⊥BC于F,连接AP,因为在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,所以BF=4,所以在Rt△ABF中,AF2=AB2-BF2=9,所以AF=3,所以×8×3=×5×PD+×5×PE,即12=×5(PD+PE),解得PD+PE=4.8.7.【答案】C8.【答案】D解：利用勾股定理求出正方形的边长为10,阴影部分的面积为正方形面积与直角三角形面积之差.10.【答案】C11.错解:A诊断:容易忽略a,c为直角边长,b为斜边长这种情况,故很容易错选A.正解:C解题策略:解答此题要用分类讨论思想.此题有两种情况:a,b为直角边长,c为斜边长和a,c为直角边长,b为斜边长,利用勾股定理即可求解.12.解:(1)在Rt△BCD中,DC2=BC2-BD2=32-=,所以DC=.(2)在Rt△ACD中,AD2=AC2-CD2=42-=,所以AD=,所以AB=AD+BD=+=5.13.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2,所以152-x2=132-(14-x)2,解得x=9.在Rt△ABD中,AD===12.所以S△ABC=BC·AD=×14×12=84.14.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴BD==3.(2)如图,延长BD至E,使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA 中,∴△BDC≌△EDA(SAS),∴∠DAE=∠DCB,∴AE∥BC.∵BD⊥BC,∴BE⊥AE.∴BE为△ABC中BC边上的高,∴BE=2BD=6.15.解:(1)如图,延长AD,BC交于点E,在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.在Rt△CDE中,CD=4,∴CE=2CD=8,∴BE=BC+CE=6+8=14.设AB=x,则有AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x=,则AB=.(2)在Rt△CDE中,∠CDE=90°,∴DE===4.∴S=S△ABE-S△CDE 四边形ABCD =·AB·BE-·CD·DE=××14-×4×4=.。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-1勾股定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．5B．25C．D．5或2．△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（）A．66B．126C．54或44D．126或663．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH 的面积为25，正方形BDEC的面积为169，则正方形ACFG的面积是（）A．194B．144C．122D．1104．下面图形能够验证勾股定理的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b的比的值是（）A．B．C．D．6．如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（）A．2B．3C．4D．67．如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（）A．B．C．1D．28．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（）A．14B．13C．14D．149．如图，正方形ABCD的面积为15，Rt△BCE的斜边CE的长为8，则BE的长为（）A．17B．10C．6D．710．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条二．填空题11．把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．12．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为．13．如图，已知OA＝13，点A到射线OM的距离为5，点B是射线OM上的一个动点，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为．14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，则BD的长是．16．如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…，依此法继续作下去，得OP2022＝．三．解答题17．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．18．已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A 方向运动，在BC边上的运动速度是每秒2cm，在AC边上的运动速度是每秒1.5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，t为何值时，△ACQ的面积是△ABC面积的；（3）当点Q在边CA上运动时，t为何值时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．19．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．（1）求AB的长；（2）若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，△BCP为等腰三角形？20．阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做可爱三角形．（1）根据可爱三角形的定义，等边三角形是可爱三角形吗？请说明理由；（2）若某三角形的三边长分别为2、、3，试判断该三角形是否为可爱三角形，请说明理由．21．如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度？22．已知：在平面直角坐标系中，两点的横向（或纵向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示．（1）如图，平面内点A坐标为（2，3），点B坐标为（﹣1，﹣1），则AB两点的横向距离BC＝，纵向距离AC＝，最后，可得AB＝；（2）平面内有点M（1，），点N（m，﹣）（m＞0），请参考（1）中方法求线段MN的长．（用含m的式子表示）23．如图，在平面直角坐标系中有△ABC，AB＝AC＝13，BC＝10，点C的坐标为（6，0），求A，B两点的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），其中a＞0，点A为BC的中点，若BC＝4，解决下列问题：（1）BC所在直线与x轴的位置关系是；（2）求出a的值，并写出点A，C的坐标；（3）在y轴上是否存在一点P，使得△P AC的面积等于5？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）图中线段BC的长为；（3）△ABC的面积为；（4）点P在y轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，则点P的坐标为．参考答案一．选择题1．解：当3和4都是直角边时，第三边长为：；当4是斜边长时，第三边长为：．故选：D．2．解：如图1，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝20，AD＝12，∴BD＝＝＝16，又∵AC＝13，∴CD＝＝＝5，∴BC＝BD+CD＝21，∴△ABC的面积＝×21×12＝126；如图2，BC＝BD﹣CD＝11，∴△ABC的面积＝×11×12＝66；综上所述，△ABC的面积为126或66，故选：D．3．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∵正方形ABIH的面积为25，正方形BDEC的面积为169，∴AB2＝25，BC2＝169，∴AC2＝BC2﹣AB2＝169﹣25＝144，∴正方形ACFG的面积＝AC2＝144，故选：B．4．解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积＝两个直角三角形的面积的和，即（b﹣）（a+）＝ab+c c，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理，∴能够验证勾股定理的有4个．故选：A．5．解：∵大正方形的面积是13，设边长为c，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面积是＝3，又∵直角三角形的面积是ab＝3，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，∴a+b＝5．∵小正方形的面积为（b﹣a）2＝1，∴b＝3，a＝2，∴．故选：B．6．解：∵AB＝6，∴该正方体的棱长为3＝，∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，所以该正方体A、B两点间的距离为3，故选：B．7．解：由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD＝2，故选：D．8．解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长＝24﹣10＝14，∴EF＝＝14．故选：D．9．解：∵正方形ABCD的面积为15，∴BC2＝15，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝7，故选：D．10．解：由勾股定理得，a＝，b＝．c＝，d＝2，∵无理数有，两个，故选：B．二．填空题11．解：6﹣4＝2，2×2＝4．故图2中小正方形ABCD的面积为4．故答案为：4．12．解：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，则四个直角三角形的面积和是25﹣1＝24，即4×ab＝24，即2ab＝24，a2+b2＝25，则（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49．故答案为：49．13．解：过A作AN⊥OM于N，则AN＝5，∴ON＝＝＝12，当△AOB为等腰三角形时，分三种情况：①当OA＝AB时，如图1所示：∵AN⊥OM，∴ON＝BN＝12，∴OB＝2ON＝2×12＝24；②OA＝OB时，如图2所示：OB＝13；③OB＝AB时，如图3所示：设OB＝AB＝x，则BN＝ON﹣OB＝12﹣x，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AN2+BN2＝AB2，即52+（12﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴OB＝；综上所述，当△AOB为等腰三角形时，线段OB的长度为24或13或，故答案为：24或13或．14．解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故答案是：13．15．解：作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝，∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝+＝，∴6CD+10CD＝48，∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，故答案为：5．16．解：∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝，∴OP2022＝．故答案为：．三．解答题17．解：（1）∵△ABE的面积为35，DE＝7，∴AB×7＝35，解得：AB＝10；（2）在△ABC中，AB2＝102＝100，AC2+BC2＝62+82＝100，则AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，∴S△ABC＝AC•BC＝×6×8＝24，答：△ACB的面积24．18．解：（1）当t＝2s时，点Q在边BC上运动，则AP＝2cm，BQ＝2t＝4（cm），∵AB＝8cm，∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ＝＝＝2（cm），∴PQ的长为2cm；（2）∵S△ACQ＝CQ•AB，S△ABC＝BC•AB，点Q在边BC上运动时，△ACQ的面积是△ABC面积的，∴CQ＝BC＝×6＝2（cm），∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2＝4（cm），∴t＝＝2，∴当点Q在边BC上运动时，t为2时，△ACQ的面积是△ABC面积的；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），当点P达到点B时，t＝＝8，当点Q达到点A时，t＝+＝，∵当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，∴0≤t≤8，∵AP＝tcm，∴BP＝（8﹣t）cm，点Q在CA上运动时，CQ＝1.5×（t﹣）＝（1.5t﹣4.5）（cm），∴AQ＝10﹣（1.5t﹣4.5）＝（﹣1.5t+14.5）（cm），∴BP+BC+CQ＝8﹣t+6+1.5t﹣4.5＝（0.5t+9.5）（cm），AP+AQ＝t+（﹣1.5t+14.5）＝（﹣0.5t+14.5）（cm），分两种情况：①＝，即＝，解得：t＝4，经检验，t＝4是原方程的解，∴t＝4；②＝，即＝，解得：t＝6，经检验，t＝6是原方程的解，∴t＝6；综上所述，当点Q在边CA上运动时，t为4或6时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，∴AB的长为13；（2）当点P在AC上时，CP＝CB＝5，t＝5（s）；当点P在AB上时，分三种情况：①当BP＝BC＝5，如图1所示：则AP＝13﹣5＝8，t＝12+8＝20（s）；②当CP＝CB＝5时，过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：则BM＝PM＝BP，∵AC•BC＝AB•CM，∴CM＝＝＝，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，∴BP＝2BM＝，∴AP＝13﹣＝，∴t＝12+＝（s）；③当PC＝PB时，如图3所示：则∠B＝∠BCP，∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，∴∠A＝∠ACP，∴AP＝PC，∴AP＝PB＝AB＝，∴t＝12+＝（s）；综上所述，当t＝5s或20s或s或s时，△BCP为等腰三角形．20．解：（1）等边三角形是可爱三角形，理由：设等边三角形的边长为a，∵a2+a2＝2a2，∴等边三角形是可爱三角形；（2）该三角形不是可爱三角形，理由：∵22＝4，（）2＝17，32＝9，∴22+（）2≠2×32，22+32≠2×（）2，（）2+32≠2×22，∴该三角形不是可爱三角形．21．解：∵点P、Q同时出发，且速度相同，∴BC＝CA，设BC＝xcm，则CA＝xcm，∵OA＝36cm∴OC＝（36﹣x）cm，∵∠AOB＝90°∴OB2+OC2＝BC2，∴122+（36﹣x）2＝x2，解得：x＝20，∴BC＝20cm．22．解：（1）BC＝2﹣（﹣1）＝3，AC＝3﹣（﹣1）＝4，由勾股定理得，AB＝，故答案为：3，4，5；（2）∵MN的横向距离为m﹣1，纵向距离为2，∴MN＝＝＝＝|m+3|，∵m＞0，∴MN＝m+3．23．解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴DC＝BD＝BC＝5，∵点C的坐标为（6，0），∴OC＝6，∴OD＝1，OB＝4，∴B（﹣4，0），在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD＝12，∴A（1，12）；答：A，B两点的坐标分别是（1，12）、（﹣4，0）．24．解：（1）平行，∵B与C的纵坐标相同，∴BC∥x轴，故答案为：平行；（2）∵BC＝4，∴3a﹣（﹣a）＝4，∴a＝1，∴B（﹣1，2），C（3，2），∵A为BC的中点，∴A（1，2）；（3）存在，设P（0，m），∵AC＝2，∴，∴m＝﹣3或7，∴P（0，﹣3）或（0，7）．25．解：（1）点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（0，2）；故答案为：（3，4），（0，2）；（2）BC＝＝；故答案为：；（3）S△ABC＝4×3﹣×2×3﹣×1×4﹣×1×3＝5.5；故答案为：5.5；（4）设P（0，m），∵△ABP的面积等于△ABC的面积，∴|m﹣2|×3＝5.5，解得：m＝或﹣，∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．故答案为：（0，）或（0，﹣）．。
第十七章勾股定理单元同步检测试题2021-2022学年人教版八年级数学下册(word版 含答案)
第十七章《勾股定理》单元检测题题号一二三总分19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是( )A.3,4,5B.6,8,10C.3，2，5D.5,12,132.为迎接元的到来，同学们制作了许多美丽图案来布置教室，准备召开元旦晚会，刘旭同学搬来架长为2.5m的木梯，梯子顶端到墙根的距离为2.4m，则梯子的底端与墙根的距离应为( )A.0.7mB.0.8mC.0.9mD.1.0m3如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A.5B.6C.8D.104.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系是( )A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a5.放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6.如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1＝5.2米，L2＝6.2米，L3＝7.8米，L4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A.L 1B.L 2C.L 3D.L 47．如图，平面直角坐标系中，△OAB 的边OB 落在x 轴上，顶点A 落在第一象限．若OA ＝AB ＝5，OB ＝8，则点A 的坐标是（ ）A ．（8，5）B ．（4，5）C ．（4，3）D ．（3，4）8．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x +y ）2＝49，用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列选项中正确的是（ ）A ．小正方形面积为4B ．x 2+y 2＝5C ．x 2﹣y 2＝7D ．xy ＝249．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．8B ．12C ．18D ．2010．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB5m BCAD图1于D，BE与CD相交于F，则CF的长是（）A．1 B．C．D．2二、填空题(每小题4分，共24分)11．观察下列一组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤15，m，n．根据你发现的规律可得m+n＝．12．在Rt△ABC中，AB＝n2+1，BC＝n2﹣1，AC＝2n，那么∠A+∠B＝度．13．某花园小区有一空地（如图所示的△ABC），为美化小区，居委会准备将其开发种植花草，经测量AB＝13m，BC＝10m，BC边上的中线AD＝12m，如果种植每平方米花草需要50元，那么种植这块三角形空地需要元．14．四根小木棒的长度分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根可组成个三角形，其中有个直角三角形．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC和BC为边，向外作等腰直角三角形△ACD和△BCE，则图中的阴影部分的面积是．16．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M，N分别是BD，AC 的中点，且AC＝8，BD＝10，则MN＝．17．△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D在直线AC上，AC＝2CD，则BD＝．18．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为12，直角三角形中短直角边a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为．三、解答题(共46分)19．(6分)有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC ＝24m，试求这块空白地的面积．20．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A 处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．21．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？22．(8分)甲、乙两位探险者今年到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米．如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？23．(8分)如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？24．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．（1）求PD的长度；（2）连结PC，求PC的长度．参考答案一.选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A C C C B C C B D 二.填空题:11．解：由题意得：第n组数为（2n+1），，，∴第1个数为15时，即相当于第7组数据，∴m＝＝112，n＝＝113，m+n＝112+113＝225，故答案为：225．12．解：∵（n2+1）2＝n4+2n2+1，（n2﹣1）2+（2n）2＝n4+2n2+1，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠A+∠B＝90°．13．解：∵AD是中线，AB＝13m，BC＝10m，∴BD＝BC＝5m．∵52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，∴S△ABC＝×AD×BC＝×10×12＝60（m2），∵种植每平方米花草需要50元，∴种植这块三角形空地需要：50×60＝3000（元）．故答案为：3000．14．解：∵5+8＞12，8+12＞13，5+8＝13（无法构成三角形），5+12＞13，∴可组成3个三角形，∵52＝25，82＝64，122＝144，132＝169，∴52+122＝169＝132，所以可组成1个直角三角形，故答案是：3，1．15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC和BC为边，向外作等腰直角三角形△ACD和△BCE，则图中的阴影部分的面积是8 ．【分析】由勾股定理求出BC2+AC2＝AB2＝16，由等腰直角三角形的性质和三角形面积公式即可得出结果．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，∴BC2+AC2＝AB2＝16，∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，∴图中的阴影部分的面积是BC2+AC2＝×16＝8．故答案为：8．16．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M，N分别是BD，AC 的中点，且AC＝8，BD＝10，则MN＝ 3 ．【分析】连接AM、CM．根据∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，AM＝CM，三角形AMC为等腰三角形，又N是AC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可知MN⊥AC，AN＝CN，最后由勾股定理求出MN．【解答】解：连接AM、CM．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，∴AM＝BD，CM＝BD，∴AM＝CM＝，∵N分别是AC的中点，∴MN⊥AC，AN＝CN＝AC＝，∴在Rt△CMN中，由勾股定理得，MN＝＝＝3．故答案为3．17．△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D在直线AC上，AC＝2CD，则BD＝或．【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的性质分两种情况画图即可求解．【解答】解：根据题意分①点D在线段AC上，或点D在AC延长线上，两种情况，如图：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，①点D′在线段AC上，AC＝2CD′，∴CD′＝AD′＝1，在Rt△ABD′中，根据勾股定理，得BD′＝＝＝；②当点D″在AC延长线上时，CD″＝1，∴AD″＝3在Rt△ABD″中，根据勾股定理，得BD″＝＝＝．故答案为或．18．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为12，直角三角形中短直角边a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为23 ．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方12，也就是两条直角边的平方和是12，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab＝12﹣1＝11．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，并结合勾股定理得：大正方形的面积：a2+b2＝12，四个直角三角形面积和为：S大正方形﹣S小正方形＝12﹣1＝11，∴4×ab＝11，∴2ab＝11，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝12+11＝23．故答案为23．三.解答题:19.解：解：连接AC，在Rt△ACD中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10米，（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S空白＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．答：这块空白地的面积是96米2．20．解：此车超速，理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100米，∵∠APO＝60°，∴OA＝OP＝100≈173米，∴AB＝OA﹣OB＝73米，∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，∴此车超速．21．解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：作AB⊥MN于B，如图1，∵PA＝120m，∠QPN＝30°，∴AB＝PA＝60m，而60m＜100m，∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，∵AB⊥CD，∴CB＝BD，在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，CB＝＝80m，∴CD＝2BC＝160m，∵消防车的速度5m/s，∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．22．解：∵早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，∴上午10：00时，OA＝8千米，OB＝6千米，(3分)∴AB＝82＋62＝10(千米)＜12千米，(6分)∴甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．(8分)23．解：如图，连接BD.(1分)∵∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，∴在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝52，即BD＝5m.在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，BD2＝52，∵122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°.(5分)故S四边形ABCD＝S△BAD＋S△DBC＝12·AD·AB＋12DB·BC＝12×4×3＋12×5×12＝36(m2)．(7分)∴学校需投入的资金为36×200＝7200(元)．(9分) 答：学校需要投入7200元购买草皮．(10分) 24．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；（2）作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝．。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：153．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．2，3，4C．，3，4D．1，，34．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm5．下列五组数：①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；⑤9、40、41，其中是勾股数的组数为（）A．2B．3C．4D．56．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（）A．B．C．3D．或8．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．17m B．18m C．25m D．26m9．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（）A．10海里B．20海里C．30海里D．40海里二．填空题10．勾股数为一组连续自然数的是．11．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝时，∠C＝90°．12．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．14．如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部m处．15．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．16．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为．17．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．18．如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为0.7米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得AE长为0.9米，则梯子底端点B移动的距离为米．三．解答题19．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．20．如图，点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝，求证：∠ACE＝90°．21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．22．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．（1）求证：BD⊥CB；（2）求四边形ABCD的面积；（3）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD＝S四边形ABCD，求P的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．2．解：b2﹣c2＝a2则b2＝a2+c2△ABC是直角三角形；a：b：c＝3：4：5，设a＝3x，b＝4x，c＝5x，a2+b2＝c2，△ABC是直角三角形；∠C＝∠A﹣∠B，则∠B＝∠A+∠C，∠B＝90°，△ABC是直角三角形；∠A：∠B：∠C＝9：12：15，设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，则9x+12x+15x＝180°，解得，x＝5°，则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，△ABC不是直角三角形；故选：D．3．解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、（）2+32＝42，能构成直角三角形，故符合题意；D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．4．解：这根木棒最长＝＝5（cm），故选：B．5．解：①42+52≠62，故不是勾股数；②0.6、0.8、1不都是正整数，故不是勾股数；③72+42≠252，故不是勾股数；④82+152＝172，故是勾股数；⑤92+402＝412，故是勾股数；其中勾股数有2组，故选：A．6．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．7．解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC＝＝＝．故选：A．8．解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度＝＝12，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度至少是12+5＝17（米）．故选：A．9．解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，∴BC＝＝＝30（海里）．故选：C．二．填空题10．解：设中间的数是x，那么前面的一个就x﹣1，后面的一个就是x+1，根据题意（x﹣1）2+x2＝（x+1）2，解得：x＝0（舍去）或x＝4；4﹣1＝3，4+1＝5；故答案为：3、4、5．11．解：∵∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，∴（k﹣1）2+32＝k2，解得：k＝5，故答案为：5．12．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，∵122+162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行，故答案为：北偏东50°．13．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．14．解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．15．解：连接AC，由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，BC2＝22+12＝5，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，故答案为：45．16．解：∵52+122＝132，∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，∴此三角形的面积为×5×12＝30．17．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；在52＝12+13中，12＝，13＝；…则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．18．解：在直角△ABC中，已知AB＝2.5米，BC＝0.7米，∴AC＝＝＝2.4米，在直角△CDE中，已知DE＝AB＝2.5米，AE＝0.9米，∴CE＝AC﹣AE＝1.5米，∴CD＝＝＝2米，∴BD＝2米﹣0.7米＝1.3米故答案为：1.3．三．解答题19．解：连接AC，如图，，在Rt△ABC中，AB＝24 m，BC＝7 m，∴AC＝＝25 m，在△ADC中，CD＝15 m，AD＝20 m．AC＝25 m，∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．（2）由（1）知△ADC为直角三角形，∠D＝90°，∴S△ADC＝＝150 m²，∵S△ABC＝m²，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234 m²．20．证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，∴AC＝＝＝．在Rt△EDC中，∠D＝90°，CD＝6，DE＝4，∴CE＝＝＝2，∵AC2＝13，CE2＝52，AE2＝65，∴AE2＝AC2+CE2，∴△ACE是直角三角形，AE是斜边，∴∠ACE＝90°．21．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．22．（1）证明：连接BD．∵AD＝4m，AB＝3m，∠BAD＝90°，∴BD＝5m．又∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝CD2．∴BD⊥CB；（2）四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积＝×3×4+×12×5＝6+30＝36（m2）．故这块土地的面积是36m2；（3）∵S△PBD＝S四边形ABCD，∴•PD•AB＝×36，∴•PD×3＝9，∴PD＝6，∵D（0，4），点P在y轴上，∴P的坐标为（0，﹣2）或（0，10）．。
17.1.1 勾股定理 人教版数学八年级下册分层作业(含答案)
人教版初中数学八年级下册17.1.1 勾股定理同步练习夯实基础篇一、单选题：1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（）A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2﹣a2＝b2【答案】C【分析】利用勾股定理即可得到结果．【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，则根据勾股定理得：．故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】D【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可．【详解】解：如图示，∴在中，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键．3．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（）A．16B．25C．144D．1【答案】B【分析】根据勾股定理可进行求解【详解】解：如图所示：根据勾股定理得出：，，阴影部分面积是，故选：B．【点睛】此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于的平方．4．直角三角形两边长为3，4，则第三边长为（）A．5B．C．5或D．不能确定【答案】C【分析】分两种情况，3，4为直角边时和4为斜边时，利用勾股定理求解即可．【详解】解：当3，4为直角边时，第三边的长为，当4为斜边时，第三边的长为，则第三边的长为或，故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方，注意分类讨论．5．如图，在中，，，垂足为D ．若，，则的长为（ ）A ．2.4B ．2.5C ．4.8D ．5【答案】A【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，即．故选A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．6．等腰三角形的腰长为5，底边上的中线长为4，它的面积为（ ）A ．24B ．20C ．15D ．12【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质可知上的中线，同时也是边上的高线，根据勾股定理求出的长即可求得．【详解】解：如图所示，∵等腰三角形中，，是上的中线，，同时也是上的高线，，，，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出底边上的中线是上的高线．7．在中，，，，则的长为（ ）A．3B．3或C．3或D．【答案】A【分析】在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可；【详解】解：在中，，，，由勾股定理得：，∴的长为3；故选：A【点睛】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．二、填空题：8．在中，，，，则____．【答案】4【分析】直接根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，，．故答案为：4．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．一直角三角形的两直角边长满足，则该直角三角形的斜边长为________．【答案】【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，得出的值，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵，∴，解得：，∴该直角三角形的斜边长为，故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，勾股定理，得出的值是解题的关键．10．在中，，．则的面积为______．【答案】60【分析】画出图形，过点作于，利用等腰三角形的三线合一性质得到，再利用勾股定理求得即可求解．【详解】解：如图，过点作于，则，∵，，∴，∴在中，，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质解答的关键．11．如图，在中，．以、为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为______．【答案】3【分析】根据正方形的面积求得，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵以、为边的正方形的面积分别为、，，，∴，，在中，，由勾股定理得：，故答案为：3．【点睛】本题考查勾股定理、正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解答的关键．12．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．【答案】25或16##16或25【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．【详解】解：，，解得：，，，，解得，，①当a，b为直角边，该直角三角形的斜边长的平方为，②4也可能为斜边，该直角三角形的斜边长的平方为16，故答案为：25或16．【点睛】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．13．如图，为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，若，，则的长为________．【答案】【分析】连接，根据已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质，求得的长度，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图，连接．∵为中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于，∴，∴在和中，，∴，∴，又∵，∴．在中，，∴故答案为:．【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定（）以及全等三角形的性质，勾股定理，连接是解决本题的关键．14．如图，Rt中，，现将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则_____．【答案】##2.5【分析】设，将沿进行翻折，使点A刚好落在上，则．则直角中根据勾股定理，即可得到一个关于的方程，即可求得．【详解】解：设，则在Rt中，．则．在Rt中：．即：．解得：【点睛】此题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．三、解答题：15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.在Rt△ACD中，CD＝1，由勾股定理得16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，CD⊥AB，垂足为D，CD＝8.求AC的长．解∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.在Rt△BCD中，设AC＝AB＝x，则AD＝x－6.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，即x2＝(x－6)2＋82，解得x＝，即AC的长为.17．、、是的三边，且有．若是直角三角形，求的值．【答案】或【分析】先根据完全平方公式把原式变形为，可得，，再分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵∴∴∴∴，，解得：，，当，为直角边时，；当为斜边时，；综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，勾股定理，熟练掌握完全平方公式的应用，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．18．已知：如图，在中，，点是中点，于点，求证：．【答案】见解析【分析】在、、中，运用三次勾股定理，然后利用等量代换即可证明结论．【详解】证明：在中，，在中，，∴，又∵是中点，∴，∴，即：．【点睛】题目主要考查勾股定理的重复运用，熟练掌握勾股定理且准确应用等量代换是解题关键．能力提升篇一、单选题：1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC 交AC于点E，则AE的长为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长．【详解】解：，，，，，设，则，根据勾股定理，可得，解得或（舍去），，，，，，，设，则，根据勾股定理，得，或（舍去），，，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．【详解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴梯形的面积是，故③正确；∵，∴，故④正确；整理得：，∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；正确的结论个数是5个，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）A．①②B．②④C．①②③D．①③【答案】C【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．【详解】解：由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，∴，∴．∵x＞y，由②可得x-y=2由③得2xy+4＝49∴结论①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．二、填空题：4．如图，点在边长为5的正方形内，满足，若，则图中阴影部分的面积为______．【答案】19【分析】根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在中，，，，由勾股定理得：，∴正方形的面积是，∵的面积是，∴阴影部分的面积是，故答案为：19．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．5．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接，如图所示：∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，∴，∵，，，∴，设，则，在中，，即，解得：，∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．6．如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为______．【答案】10【分析】根据阴影部分面积等于以为直径的半圆面积之和加上的面积减去以为直径的半圆面积进行求解即可．【详解】解；∵直角三角形的周长为24，∴，,∴，∵阴影部分的面积为24，∴，∴∴∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，熟知相关知识是解题的关键．三、解答题：7．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)，证明见解析(2)(3)24【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．（1）解：①，根据勾股定理可知：，；（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；（3）解：由（2）知．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．。
八年级数学(下)《勾股定理习题》练习题含答案
图1E八年级数学（下）《勾股定理习题》练习题1已知：如图1，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，AD=BE,AC∥DF,BC∥EF.求证:AC=DF.2已知：如图2，BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别是E 、F,O 是BD 的中点. 求证:BE=DF.3已知：如图3， AB=DE,BC=EF,AF=CD. 求证:AB∥DE, BC∥EF.4已知：如图4， AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE.求证:. ∠B=∠D.5已知：如图5， AD=AE,点D 、E 在BC 上，BD=CE,∠ADE=∠AED.求证: ⊿ABE≌⊿ACD图56已知：如图6，已知AC、BD相交于点O，AB∥CD, OA=OC.求证: AB=CD7已知：如图7，已知AC∥DF，BC=EF，∠C=∠F.求证: ⊿ABC≌⊿DEF.8已知：如图8，已知AC=AE，AB=AD.求证: OB=OD.9在直线L上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4= .S4 S3S2S1图1L 32 1C 图7F之间的关系，并分别用含n 的代数式表示a 、b 、c ：a= ，b= ，c= ； （2）猜想以a 、b 、c 为边的三角形是否 为直角三角形，并验证你的猜想.11分析：这是一道结论开放题，据题意经过分析，符合要求的点C 有多个，如图2所示，1C ，2C ，3C ，4C ，5C ，6C 都是符合要求的点.参考答案1思路分析：要证明AC=DF，则需要证明⊿ABC≌⊿DEF.在⊿ABC和⊿DEF中，由AC∥DF可得∠CAB=∠FDE, 由BC∥EF可得∠CBA=∠FED,现已证两三角形的两组对应角相等，所以考虑夹边，用ASA，证明⊿ABC≌⊿DEF．由已知AD=BE可得：AD+DB=BE+DB,即AB=DE，命题得证．2思路分析：要证明BE=DF，则需要证明⊿BOE≌⊿DOF.在⊿BOE和⊿DOF中，由BE⊥AC,DF⊥AC可得∠BEO=∠DFO=90°,∠BOE=∠DOF,现已证两三角形的两组对应角相等，所以考虑其中一组对应角的对边，用AAS，证明⊿BOE≌⊿DOF．由已知O是BD的中点可得：OB=OD，条件已具备，命题得证．3思路分析：要证明AB∥DE, BC∥EF，则需要证明∠A=∠D,∠BCA=∠EFD,由此只需要证明⊿ABC≌⊿DEF.在⊿ABC和⊿DEF中，已知AB=DE,BC=EF,即两三角形的两组对应边相等，因此，只需证明边AC=DF，用SSS证明⊿ABC≌⊿DEF．由已知AF=CD，根据等式性质得：AF+CF=CD+CF,即AC=DF，命题得证．4思路分析：要证明∠B=∠D，只需要证明⊿ABC≌⊿ADE.在⊿ABC和⊿ADE中，已知AB=AD, AC=AE,即两三角形的两组对应边相等，因此，只需证明两条已知边的夹角相等，用SAS证明⊿ABC≌⊿ADE．由已知∠BAD=∠CAE，根据等式性质得：∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，命题得证．5思路分析：要证明⊿ABE≌⊿ACD，在⊿ABE和⊿ACD中，已知AD =AE, ∠ADE=∠AED即相邻的一角一边对应相等，因此，只需证明∠ADE与∠AED的另一邻边相等即可，用SAS证明⊿ABE≌⊿ACD．由已知BD=CE可得：BD+DE=CE+DE,即BE=CD，命题得证．6思路分析：要证明AB=CD，则需要证明⊿ABO≌⊿CDO.在⊿ABO和⊿CDO中，已知OA =OC, ∠AOB=∠COD即相邻的一角一边对应相等，因此，只需证明OA与OC的另一邻角相等即可，用ASA证明⊿ABO≌⊿CDO．由已知AB∥CD可得：∠A=∠C，命题得证．7思路分析：要证明⊿ABC≌⊿DEF,在⊿ABC和⊿DEF中，已知BC =E F, ∠C=∠F,即相邻的一角一边对应相等，因此，只需证明已知边的对角相等（∠A=∠EDF）即可，从而用AAS证明⊿ABC≌⊿DEF．由已知AC∥DF可得：∠A=∠EDF，命题得证．8思路分析：要证明OB=OD，则需要证明⊿BOE≌⊿DOC，已知一边和它的对角相等，即由AC=AE，AB=AD可得BE=DC，对顶角∠BOE=∠DOC，从而只要证明另一组角相等（∠B=∠D）即可．要证明∠B=∠D，只需要证明⊿ABC≌⊿ADE，因为题中已知AC=AE，AB=AD，∠A是公共角，所以⊿BOE≌⊿DOC，∠B=∠D得证，从而命题得证．9分析: 经过观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为: S1+S2=1;S 2+S3=2; S3+S4=3;这样数形结合可把问题解决.解: S1代表的面积为S1的正方形边长的平方, S2代表的面积为S2的正方形边长的平图4EDCBA图3ED图2图2方,所以S 1+S 2=斜放置的正方形面积为1;同理S 3+S 4=斜放置的正方形面积为3,故S 1+S 2+S 3+S 4=1+3=4. 10分析：解：（1）12-n ；2n ；12+n（2）猜想以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形. 验证：由于124122)1(24224222++=++-=+-n n n n n n n为边、、，所以，以，即）（）所以（c b a c b a n n n n n n 222222222422121,12)1(=++=+-++=+的三角形是直角三角形.11如图2所示，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，以线段AB （A ，B 为格点）为一条直角边任1C 意画一个Rt△ABC，且点C 为格点，并求出以BC 为边的正方形的面积.解：画出的Rt△ABC 如图2中所示，41624222+=+=BC =20，所以以BC 为边的正方形面积为20.。
八年级数学下册《勾股定理》练习题与答案(人教版)
八年级数学下册《勾股定理》练习题与答案(人教版)一、选择题1.由线段a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形的是( )A.＝7，b ＝24，c ＝25；B.a ＝13，b ＝14，c ＝15；C.a ＝54，b ＝1，c ＝34； D.a ＝41，b ＝4，c ＝5；2.根据图形(图1，图2)的面积关系，下列说法正确的是( )A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.如果BC ＝3，AC ＝5，那么AB ＝( )A.34B.4C.4或34D.以上都不对5.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A. 5 ＋1B.5﹣1C.﹣ 5 ＋1D.﹣5﹣16.如图，在4×4的方格中，△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7.△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )A.∠A：∠B：∠C＝l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2， 3C.三边长为a，b，c的值为11，2，4D.a2＝(c＋b)(c﹣b)8.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺9.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米10.如图一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A.13cmB.10cmC.14cmD.无法确定11.如图，已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的角平分线上的一个定点，点M、N分别在射线OA、OB上，且∠MPN与∠AOB互补.设OP＝a，则四边形PMON的面积为( )A.34a2 B.14a2 C.38a2 D.18a212.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．14.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为.15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD ＝4，则AE的长是_____.16.如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A处时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，此时测得∠ARL＝30°，n(s)后，火箭到达点B处，此时测得∠BRL＝45°，则火箭在这n(s)中上升的高度是 km.17.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.18.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则S n＝ .三、解答题19.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.20.如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积.21.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)22.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．(1)求△ADC的面积．(2)求BC的长．23.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．24.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°.(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM和△BON全等：(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2.25.如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB ＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．参考答案1.B.2.B3.B.4.A.5.B6.B.7.C.8.C9.B.10.B.11.A.12.A13.答案为：24.14.答案为：(1，3).15.答案为：2 3.16.答案为：(203﹣20).17.答案为：61.18.答案为：38(34)n-1.19.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；20.解：连接AC.∵∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2∴AC ＝ 5在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD2∴△ACD 是直角三角形∴S 四边形ABCD ＝12AB •BC ＋12AC •CD ＝12×1×2＋12×5×2＝1＋ 5.故四边形ABCD 的面积为1＋ 5.21.解：∵∠BDC ＝45°，∠ABC ＝90°∴△BDC 为等腰直角三角形∴BD ＝BC∵∠A ＝30°∴BC ＝12AC 在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC2 即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC 2 解得BC ＝BD ＝2＋23．22.解：(1)∵AB ＝13，BD ＝8∴AD ＝AB ﹣BD ＝5∴AC ＝13，CD ＝12∴AD 2＋CD 2＝AC 2∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形∴△ADC 的面积＝12×AD ×CD ＝12×5×12＝30；(2)在Rt △BDC 中，∠BDC ＝180°﹣90°＝90°由勾股定理得：BC ＝413，即BC 的长是413．23.解：操作一：(1)14 (2)35º操作二：∵AC ＝9cm ，BC ＝12cm∴AB ＝15(cm)根据折叠性质可得AC ＝AE ＝9cm∴BE ＝AB ﹣AE ＝6cm设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2解得x＝4.5∴CD＝4.5cm．24. (1)证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB＋∠AON＝∠MON＋∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴AM＝BN；(2)证明：连接AM∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB-∠AON＝∠MON-∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN∴∠MAN＝90°∴AM2＋AN2＝MN2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴BN2＋AN2＝2ON2.25.解：(1)AC＋CE＝（8－x）2＋25＋x2＋81.(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C设BC＝x，则AE的长即为x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.在Rt△AEF中，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12∴AE＝13即x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值为13.。
【人教版】八年级数学下第十七章《勾股定理》课时作业同步练习(含答案)
微课堂第十七章 勾股定理 17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2.2．4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．解：图形的总面积可以表示为 c 2＋2×12ab ＝c 2＋ab ，也可以表示为a 2＋b 2＋2×12ab ＝a 2＋b 2＋ab ，∴c 2＋ab ＝a 2＋b 2＋ab. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C )A ．a 2＋b 2＝c 2B ．b 2＋c 2＝a 2C ．a 2＋c 2＝b 2D ．c 2－a 2＝b 24．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 的长为(C )A ．4B . 5C .13D ．55．已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C )A ．4 cmB ．4 3 cmC ．6 cmD ．6 3 cm 6．(2016·阿坝)直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6． 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(1)a ＝7，b ＝24，求c ； (2)a ＝4，c ＝7，求b.解：(1)∵∠C ＝90°，∴△ABC 是直角三角形．∴a 2＋b 2＝c 2. ∴72＋242＝c 2.∴c2＝49＋576＝625.∴c＝25.(2)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．∴a2＋b2＝c2.∴42＋b2＝72.∴b2＝72－42＝49－16＝33.∴b＝33.8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数；(2)若AC＝2，求AD的长．解：(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.02中档题9．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(C) A．5 B．6 C．8 D．10第9题图第10题图10．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(C) A．48 B．60 C．76 D．8011．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.21第11题图第14题图12．(2016·东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C) A．10 B．8C．6或10 D．8或1013．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或119．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3．15．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是76.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15.(1)求AB 的长；(2)求CD 的长．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝15，AC ＝20， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝202＋152＝25.(2)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴AC ·BC ＝AB ·CD .∴20×15＝25CD .∴CD ＝12.17．(2016·益阳)在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作AD ⊥BC 于点D ， 设BD ＝x ，用含x的代数式表示CD.→根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”，建立方程模型求出x.→利用勾股定理求出AD 的长，再计算三角形面积.解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84.03综合题18．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2 017个等腰直角三角形的斜边长是(2)2017．习题解析第2课时 勾股定理的应用01 基础题知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处，旗杆折断之前的高度是(D )A ．5 mB ．12 mC ．13 mD ．18 m第1题图 第2题图2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．3．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE ，他们进行了如下操作：①测得BD 的长度为15米；(注：BD ⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.6米． 求风筝的高度CE.解：在Rt △CDB 中，由勾股定理，得CD ＝CB 2－BD 2＝252－152＝20(米)．∴CE ＝CD ＋DE ＝20＋1.6＝21.6(米)． 答：风筝的高度CE 为21.6米．4．如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h 后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为C ，1.5 h 后甲船所在位置为A ，乙船所在位置为B ，则 AC 与正北方向的夹角为45°，BC 与正北方向的夹角为45°， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵AC ＝16×32＝24(海里)，AB ＝30海里．由勾股定理，得 BC 2＝AB 2－AC 2＝302－242＝324.解得BC ＝18. ∴18÷32＝12(海里/小时)．答：乙船每小时航行12海里．知识点2勾股定理与方程的应用5．印度数学家什迦逻(1141～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．解：如图，由题意可知AC＝0.5，AB＝2，OB＝OC.设OA＝x，则OB＝OA＋AC＝x＋0.5.在Rt△OAB中，OA2＋AB2＝OB2，∴x2＋22＝(x＋0.5)2.解得x＝3.75.∴水深3.75尺．6．如图，在一棵树(AD)的10 m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m(C)的池塘，而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：B为猴子的初始位置，则AB＝10 m，C为池塘，则AC＝20 m.设BD＝x m，则树高AD＝(10＋x)m.由题意知BD＋CD＝AB＋AC，∴x＋CD＝20＋10.∴CD＝(30－x)m.在Rt△ACD中，∠A＝90°，由勾股定理得AC2＋AD2＝CD2，∴202＋(10＋x)2＝(30－x)2.∴x＝5.∴AD＝10＋5＝15(m)．故这棵树有15 m高．知识点3两次勾股定理的应用7．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米第7题图第8题图8．如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B 距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．02中档题9．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草(D)A．4 B．6 C．7 D．8第9题图第10题图10．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D) A．4米B．8米C．9米D．7米11．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到点D，则橡皮筋被拉长了2cm.第11题图第12题图习题解析12．将一根24 cm的筷子，置于底面直径为15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7≤h≤16．13．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220 cm.在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE＝DF2＋EF2＝1202＋902＝150.h＝220－150＝70(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70 cm.14．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？解：在Rt △APO 中，∠APO ＝60°，则∠PAO ＝30°. ∴AP ＝2OP ＝200 m ，AO ＝AP 2－OP 2＝2002－1002＝1003(m )．在Rt △BOP 中，∠BPO ＝45°，则BO ＝OP ＝100 m .∴AB ＝AO －BO ＝1003－100≈73(m )． ∴从A 到B 小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m /s )＝87.48 km /h >80 km /h . ∴此车超过每小时80千米的限制速度．03 综合题15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以1 cm /s 的速度移动，设运动的时间为t s .(1)求BC 边的长；(2)当△ABP 为直角三角形时，求t 的值．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16. ∴BC ＝4 cm .(2)由题意，知BP ＝t cm ，①当∠APB 为直角时，如图1，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ， ∴t ＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2. 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2. 解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数1．在数轴上作出表示5的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2 网格中的无理数2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B 都是格点，则线段AB 的长度为(A )A ．5B ．6C ．7D ．25知识点3 等腰三角形中的勾股定理3．在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的边上的高与面积.解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ， ∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)．∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 4．(2017·南充)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1，)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3) 5．(2017·成都)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．第5题图 第6题图6．(2017·乐山)点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离355．7．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，DB ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.03 综合题8．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …求：(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n ＝(n －1)2＋1＝n ，S n＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10，∴OA 10＝10. (3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.【例1】 直角三角形纸片的两直角边AC ＝8，BC ＝6，现将△ABC 如图折叠，折痕为DE ，使点A 与点B 重合，则BE 的长为254．1．(2017·黔西南)如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是94cm .第1题图 第2题图2．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】 (教材P39T12变式与应用)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的AA ′剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．【解答】 如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根裾勾股定理得：AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225.∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路径是15 cm.3．如图是一个高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm 的圆柱体．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA ＝3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1＝2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是16π2＋25cm.(结果用带π和根号的式子表示)第3题图 第4题图4．如图，在一个长为2 m ，宽为1 m 的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD 平行且棱长大于AD ，木块从正面看是边长为0.2 m 的正方形，一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是2.60m (精确到0.01 m )．5．如图，长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm .(1)点A 1到点C 2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ， ∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm )． ∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm )． (2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm )． 如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm )． 如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm )．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是5 2 cm .17.2 勾股定理的逆定理01 基础题知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C )A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b2．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；(2)等腰三角形的两个底角相等．解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题．知识点2 勾股定理的逆定理3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B) A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8 D ．2，3，4 4．下列各组数是勾股数的是(A )A ．3，4，5B ．1.5，2，2.5C ．32，42，52D .13，14，155．在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝15，BC ＝17，则该三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．三角形的边长之比为：①1.5∶2∶2.5；②4∶7.5∶8.5；③1∶3∶2；④3.5∶4.5∶5.5.其中可以构成直角三角形的有(C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形或钝角三角形8．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a ＝3，b ＝22，c ＝5； (2)a ＝5，b ＝7，c ＝9； (3)a ＝2，b ＝3，c ＝7； (4)a ＝5，b ＝26，c ＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠C是直角．(4)是，∠A是直角．9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是不是直角三角形？为什么？解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.(2)△ABC不是直角三角形．理由：∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．02中档题10．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10B．11C．12D．13c－10＝0，那么下列说法中不正确的是(C) 11．已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足(a－6)2＋b－8＋||A．这个三角形是直角三角形B．这个三角形的最长边长是10C．这个三角形的面积是48D．这个三角形的最长边上的高是4.812．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°13．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°14．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．15．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5 cm.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，即AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°.求：(1)∠BAD的度数；(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．解：(1)连接AC.∵AB＝BC＝1，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝AB2＋BC2＝ 2.又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2＋DA2＝CD2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°. (2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.03 综合题17．在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a ，b ，c b ，c ，则a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1；(2)猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 解：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝(n 2＋1)2＝c 2， ∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．章末复习(二)勾股定理01基础题知识点1勾股定理1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A. 6 B．6 2C．6 3 D. 12第1题图第2题图2．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝2．4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用5．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 m B．13 mC．16 m D．17 m第5题图第6题图6．已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B 两地的距离是5km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向．7．(2016·烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题与逆定理8．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形02中档题10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋1第10题图第11题图11．(2016·漳州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD 长为正整数，则点D的个数共有(C)A．5个B．4个C．3个D．2个12．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°第12题图第13题图13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD14．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．15．有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC .∵∠ADC ＝90°，∴△ADC 是直角三角形．∴AD 2＋CD 2＝AC 2，即82＋62＝AC 2，解得AC ＝10.又∵AC 2＋CB 2＝102＋242＝262＝AB 2，∴△ACB 是直角三角形，∠ACB ＝90°∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ACB －S Rt △ACD＝12×10×24－12×6×8 ＝96(m 2)．故这块空白地的面积为96 m 2.16．小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD ＝2，求AC 的长．解：∵BD ＝CD ＝2，∴BC ＝22＋22＝2 2.∴设AB ＝x ，则AC ＝2x.∴x 2＋(22)2＝(2x)2.∴x 2＋8＝4x 2.∴x 2＝83. ∴x ＝263. ∴AC ＝2AB ＝436.03 综合题17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 是△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝1，CD ＝PC ＝2，CD ⊥CP ，求∠BPC 的度数．解：连接BD.∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，∴△CPD为等腰直角三角形．∴∠CPD＝45°.∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，∴∠ACP＝∠BCD.∵CA＝CB，∴△CAP≌△CBD(SAS)．∴DB＝P A＝3.在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8. 又∵PB＝1，DB2＝9，∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.∴∠DPB＝90°.∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.。
八年级数学下册勾股定理习题(附答案)(含答案)
C勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm（B ）8 cm （C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题） （第16题） （第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.EABCDBDE ABCD第18题图7cm三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步练习题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学下册《17.2勾股定理的逆定理》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列几组数据中，不能作为直角三角形的三条边的是（）A．1，2，B．3，4，5C．1，，D．4，12，13 2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝5，AC＝，则下列说法正确的是（）A．△ABC是锐角三角形B．△ABC是直角三角形且∠C＝90°C．△ABC是钝角三角形D．△ABC是直角三角形且∠B＝90°3．如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定4．下列各组数中，是勾股数的是（）A．7，8，9B．6，8，10C．5，12，14D．3，4，65．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠A＝45°6．如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（）A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m7．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）A．B．C．D．8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△P AB，则∠P AB+∠PBA的度数是（）A．30°B．45°C．50°D．60°二．填空题9．一个三角形的三边长为8cm、17cm、15cm，则其面积为cm2．10．如图，已知∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝．11．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm，则能放进木箱中的直木棒最长为cm．12．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑤组勾股数为．13．如图，露在水面上的鱼线BC长为6m，钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，若BB'的长为2m，则钓鱼竿AC的长为m．14．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．15．如图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ABC（∠ABC＝90°），于是在草坪内走出了一条不该有的“捷径路AC”．已知AB＝8米，BC＝6米，他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．16．图是屋架设计图的一部分，点E、F分别为斜梁AB、AC的中点，D为横梁BC的中点，EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，若AB＝AC＝6m，∠BAC＝120°，则EM+AD+FN 等于m，四边形AEDC的周长为m．三．解答题17．如图是一块地的平面图，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，求这块地的面积．18．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的＝空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，CD＝13m（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？19．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．20．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为4：3，出发1小时后，客船比货船多走了5海里．货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B 处，客船到达C处，若此时两船相距50海里．（1）求两船的速度分别是多少？（2）求客船航行的方向．21．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺）将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索OB的长度．22．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？23．如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以16海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．（1）如图1，若反走私艇A和走私艇C的距离是10海里，A、B两艇的距离是6海里；反走私艇B测得距离C艇8海里，若走私艇C的速度不变，则再过多少小时它会进入我国领海？（2）如图2，若反走私艇A和走私艇C的距离是12海里，A、B两艇的距离是8海里，反走私艇B测得距离C艇10海里，发现走私艇C时，反走私艇B便立即沿领海线MN 对走私艇C进行拦截．若要使拦截成功，假设走私艇C的速度不变，那么反走私艇B的速度至少应为多少海里/时？（结果中若有根号，则保留根号）．参考答案一．选择题1．解：A、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；B、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；D、42+122≠132，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选：D．2．解：在△ABC中，AB＝3，BC＝5，AC＝，∴AC2＝34，AB2+BC2＝9+25＝34，∴AC2＝AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，故选：D．3．解：设原直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2＝c2，∵三条边长同时扩大10倍为10a，10b，10c，∴（10a）2+（10b）2＝100a2+100b2＝100（a2+b2）＝100c2，∴（10c）2＝100c2，∴（10a）2+（10b）2＝（10c）2，∴如果将直角三角形的三条边长同时扩大10倍，那么得到的三角形是直角三角形，故选：C．4．解：A、72+82≠92，故不是勾股数，故选项不符合题意；B、62+82＝102，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；C、52+122≠142，故不是勾股数，故选项不符合题意；D、32+42≠62，故不是勾股数，故选项不符合题意．故选：B．5．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．6．解：设BO＝xm，依题意得：AC＝0.5m，BD＝0.5m，AO＝2m．在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝22+x2，在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，∴22+x2＝（2﹣0.5）2+（x+0.5）2，解得：x＝1.5，∴AB＝＝2.5（m），即梯子的长度AB为2.5m，故选：A．7．解：选项A如图：A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；选项B如图：B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；选项C如图：C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；选项D如图：D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A．8．解：延长AP到点C，连接BC，如右图所示，由图可得，∠CPB＝∠P AB+∠PBA，PC＝＝，BC＝＝，PB＝＝，∴BC2+PC2＝PB2，CP＝CB，∴△BCP是等腰直角三角形，∴∠CPB＝45°，∴∠P AB+∠PBA＝45°，故选：B．二．填空题9．解：∵82+152＝172，∴此三角形是直角三角形，∴此直角三角形的面积为：×8×15＝60（cm2）．故答案为：60．10．解：∵∠BAC＝90°，BC＝，AB＝1，∴AC＝＝，∵AD＝CD＝1，12+12＝（）2，AD2+CD2＝AC2，∴∠D＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°．故答案为：45°．11．解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，∴CB＝5cm，∵AC＝12cm，∴AB＝＝13（cm），∴空木箱能放的最大长度为13cm，故答案为：13．12．解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，故可得第⑤组勾股数是14，48，50．故答案为：14，48，50．13．解：设AB′＝xm，∵AC′＝AC，∴AB′2+B′C′2＝AB2+BC2，∴x2+82＝（x+2）2+62．解得x＝6，∴AB＝8m，∴AC＝＝＝10（m），故答案为：10．14．解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是（x+0.5）米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：（x+0.5）2＝x2+22，解之得：x＝3.75，∴湖水的深度为3.75尺．故答案为：3.75．15．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8米，BC＝6米，∴AC＝＝＝10（米），∴BC+AB﹣AC＝6+8﹣10＝4（米），∴他们踩坏了10米的草坪，只为少走4米的路，故答案为：10，4．16．解：∵AB＝AC＝6m，∠BAC＝120°，D为横梁BC的中点，∴∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠DAC＝60°，∵点E、F分别为斜梁AB、AC的中点，EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，∴AE＝AD＝AB＝3m，FN＝EM＝BE＝AB＝1.5m，∴△AED是等边三角形，∴EM+AD+FN＝3+1.5+1.5＝6（m），∵AD＝3m，AC＝6m，∴DC＝＝3（m），∴四边形AEDC的周长为：3+3+3+6＝（12+3）m．故答案为：6，（12+3）．三．解答题17．解：如图，连接AC，∵AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，∴AC＝＝5，∴S△ACD＝6，在△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴Rt△ABC的面积＝30，∴四边形ABCD的面积＝30﹣6＝24．18．解：（1）连接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，则S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC＝×4×3+×12×5＝36（平方米）；（2）需费用36×300＝10800（元）．19．解：小汽车已超速，理由如下：根据题意得：AC＝24米，AB＝40米，∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理得：BC＝＝＝32（米），∵小汽车1.5秒行驶32米，∴小汽车行驶速度为76.8千米/时，∵76.8＞60，∴小汽车已超速，超速76.8﹣60＝16.8（千米/时）．20．解：（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得4x﹣3x＝5．解得x＝5，∴4x＝20，3x＝15，∴两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，AB＝15×2＝30，AC＝20×2＝40，BC＝50，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴客船航行的方向为北偏东10°方向．21．解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．则秋千绳索的长度为14.5尺．22．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，∴AB＝＝＝15（m），∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），∴BD＝＝＝6（m），∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．答：此时游船移动的距离AD的长是9m．23．解：（1）由题意，AC＝10海里，AB＝6海里，BC＝8海里，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°．由面积法得AC•BE＝AB•BC，即10BE＝6×8，∴BE＝．在Rt△BEC中，CE＝＝，∵艇C的速度为16海里/时，∴所求的时间为÷16＝，答：再过小时艇C会进入我国领海．（2）由题意，AC＝12海里，AB＝8海里，BC＝10海里，设CE＝x，由勾股定理，得AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，即82﹣（12﹣x）2＝102﹣x2，解得x＝，∴CE＝＝7.5，再由勾股定理，得BE＝＝（海里）设反走私艇B的速度为y海里/时，则＝，解得y＝．检验可知y＝是方程的解，且适合题意．答：反走私艇B的速度至少应为海里/时．。