九年级数学下册第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题
九年级数学下册第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题课件新人教版
(打“√”或“×”)
(1)抛物线y=ax2,y=bx2,当a>b时,抛物线y=ax2的开口大. ( )
×
(2)抛物线y=(- x)2的开口向下. ( )
3
×
(3)抛物线y=ax2(a≠0)上,若两个点的纵坐标相同,那么这两个
点的横坐标互为相反数. ( ) √
第七页，编辑于星期六：六点 四十三分。
第二页，编辑于星期六：六点 四十三分。
观察函数y=x2,y= x21,y=2x2,y=-x2,y=- x2和y=-21 x2的图象,
2
2
找出它们的异同点:
第三页，编辑于星期六：六点 四十三分。
（1）函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于__轴对 y 称，它的顶点坐标是___(_0_，_．0) （2）由y=x2,y= x21 ,y=2x2的图象，可知：当a>0时，抛物线
第五页，编辑于星期六：六点 四十三分。
(4)顶点:抛物线与___对__称_轴_的交点,叫做抛物线的顶点.抛物线 y=ax2的顶点是__原__点_,当a>0时,顶点是抛物线上位置_____的最点低; 当a<0时,顶点是抛物线上位置_____最的高点. (5)开口大小:|a|越大,抛物线的开口越___. 小 2.二次函数y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系： (1)抛物线y=ax2与y=-ax2关于___x轴对称. (2)抛物线y=ax2与y=-ax2关于____原_成点中心对称.
2
y=ax2开口__向_上__，顶点是抛物线上位置___最__Байду номын сангаас的点，a越大， 抛物线的开口越___小. （3）类似地，由y=-x2,y=- x2和1 y=-2x2的图象，可知：当a＜ 0时，抛物线y=ax2开口__向__下_，2 顶点是抛物线上位置____最_的高点， |a|越大，抛物线的开口越___.
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性
∴－3＝9a，∴a＝－3. ∴抛物线对应的函数关系式为 y＝－13(x＋2)2. (2) 抛物线 y＝－31(x＋2)2 的对称轴是直线 x＝－2，顶点坐标为(－2，0)． (3)∵a＝－13＜0，∴抛物线的开口向下， ∴当 x＜－2 时，y 值随 x 值的增大而增大．
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
a的 二次函数
符号
图象
图象的 图象 图象的 开口方 的对 顶点坐
向 称轴 标
函数值的变 化情况
最值
y＝a(x-h)2 a>0
当 x>h 时，y
图象有最
随 x 的增大
___低___点，
__向__上__
直线 x=h
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
(2)抛物线 y＝a(x－h)2 可由抛物线 y＝ax2 向左(或右)平移得到． 当 h>0 时，抛物线 y＝ax2 向____右____平移 h 个单位，得到抛 物线 y＝a(x－h)2； 当 h<0 时，抛物线 y＝ax2 向____左____平移|h|个单位，得到抛 物线 y＝a(x－h)2.
第2课时 二次函数y=a(x-h)²的图象与性质
总结反思
小结 知识点一 二次函数y=a(x-h)²的图象与二次函数y=ax²的图象的关系
(1)二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与 y＝ax2 的图象的形状完全 ___相__同___，但位置___不__同___；y＝a(x－h)2 的图象的顶点坐标为 (h，0)，对称轴为直线___x_=_h ___．
(___h__， 而__增__大__；当 __0___) x<h 时，y 随
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质
第26章 二次函数二次函数y =ax 2的图象与性质1．关于抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知抛物线y ＝ax 2()a >0经过A ()－2，y 1，B ()1，y 2两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>03．在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y ＝3x 2；(2)y ＝－13x 2.4．当物体自由下落时，下落的高度h (m)与下落时间t (s)之间的关系式是h ＝12gt 2(g 为定值，g 取9.8 m/s 2)，这表明h 是t 的函数．(1)当t ＝1、2、3时，求出物体的下落高度h ； (2)画出函数h ＝12gt 2的图象．5．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )A B C D6．[2018·株洲]已知二次函数y ＝ax 2的图象如图，则下列表示的点有可能在反比例函数y ＝a x的图象上的是( )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(2，3)D ．(2，－3)7．[2018·岳阳]在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x(x >0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A (x 1，m )、B (x 2，m )、C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( )A ．1B ．mC ．m2D.1m8．[2018·孝感]如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是______________．9．已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D .若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值．10．二次函数y ＝3x 2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，求菱形OBAC的面积．11．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2(x ≥0)与y 2＝x 23(x ≥0)的图象于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，求DEAB的值．12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m. (1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)设正常水位时桥下的水深为 2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．参考答案【分层作业】 1．B 2．C 3．解：列表：3(2)描点，连线，图略．4．解：(1)把t ＝1、2、3分别代入关系式h ＝12gt 2，可求得h 1＝12×9.8×12＝4.9(m)，h 2＝12×9.8×22＝19.6(m)， h 3＝12×9.8×32＝44.1(m)．(2)列表：答图在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数h ＝12gt 2的图象，如答图所示．5．C 6．C【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∴点(2，3)可能在反比例函数y ＝ax的图象上． 7．D【解析】根据题意可得A ，B ，C 三点有两点在二次函数图象上，一点在反比例函数图象上．不妨设A ，B 两点在二次函数图象上，点C 在反比例函数图象上．∵二次函数y ＝x 2的对称轴是y 轴，∴x 1＋x 2＝0.∵点C 在反比例函数y ＝1x (x >0)上，∴x 3＝1m ，∴ω＝x 1＋x 2＋x 3＝1m .8．x 1＝－2，x 2＝1【解析】∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1， 即方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1. 9． 解：∵AB ∥x 轴，∴点A 、B 关于y 轴对称． ∵AB ＝2，∴AC ＝BC ＝1. ∵∠AOB ＝60°， ∴OC ＝3，AD ＝ 3. 又∵点A 在第二象限， ∴点A 的坐标是(－1，3)． ∴3＝a ·(－1)2，解得a ＝ 3.10．答图解：连结BC 交OA 于点D ，如答图． ∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥O A. ∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°， ∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B (t ，3t )， 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1，∴BD ＝1，OD ＝ 3. ∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝23， ∴菱形OBAC 的面积＝12×2×23＝2 3.11．解：设A 点坐标为(0，a )(a ＞0)， 则x 2＝a ，解得x ＝a ， ∴点B (a ，a )． 又∵x 23＝a ，则x ＝3a ，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ， ∴y ＝(3a )2＝3a ，∴点D 的坐标为(3a ，3a )． ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a ， ∴x 23＝3a ，∴x ＝3a ， ∴点E 的坐标为(3a ，3a )， ∴DE ＝3a －3a ，∴DEAB＝3a－3aa＝3－ 3.12．解：(1)设该抛物线的解析式是y＝ax2.结合图象，把(10，－4)代入，得100a＝－4,∴a＝－125，则该抛物线的解析式是y＝－125x2.(2)当x＝9 m时，则有y＝－125×81＝－3.24，4＋2－3.24＝2.76(m)，所以水深超过2.76 m时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．。
2018年秋九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数y=ax2
2 x 11．如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交函数 y1＝x2(x≥0)与 y2＝ 3 (x≥0)的
图象于 B、C 两点，过点 C 作 y 轴的平行线交 y1 的图象于点 D，直线 DE∥AC， DE 交 y2 的图象于点 E，求 AB 的值．
解：设 A 点坐标为(0，a)(a＞0)， 则 x2＝a，解得 x＝ a， ∴点 B( a，a)． x2 又∵ 3 ＝a，则 x＝ 3a， ∴点 C( 3a，a)． ∵CD∥y 轴， ∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 3a，
(2)当a<0时，图象开口向下，顶点是它的最高点，函数有最大值．在对称轴左 侧(x<0)，y随x的增大而增大；在对称轴右侧(x>0)，y随x的增大而减小.
归类探究
类型之一 画二次函数y＝ax2的图象 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： 12 12 2 (1)y＝2x ；(2)y＝2x ；(3)y＝－2x ； (4)y＝－2x2.
解：(1)设该抛物线的解析式是 y＝ax2. 结合图象，把(10，－4)代入，得 100a＝－4, 1 1 2 ∴a＝－25，则该抛物线的解析式是 y＝－25x . 1 (2)当 x＝9 m 时，则有 y＝－25×81＝－3.24， 4＋2－3.24＝2.76(m)， 所以水深超过 2.76 m 时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
∴y＝( 3a)2＝3a， ∴点 D 的坐标为( 3a，3a)． ∵DE∥AC，∴点 E 的纵坐标为 3a， x2 ∴ 3 ＝3a，∴x＝3 a， ∴点 E 的坐标为(3 a，3a)， ∴DE＝3 a－ 3a， DE 3 a－ 3a ∴ AB ＝ ＝3－ 3. a
12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水 面 4 m. (1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； (2)设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面 的宽度不得小于 18 m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航 行．
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
26.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
y
Q(0,b)
(-,+) o (-,-)
(+,+)
P(a,0)
x (+,-)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ③.对称于坐标轴的两点: y
C(m,n) M(a,b)
②.各坐标轴上的点: ④.对称于原点的两点:
N(a,-b) A(x,y)
o
x
D(-m,-n) B(-x,y)
试学活动一
二次函数y=ax 二次函数y=ax2的图象和性质
y
x
平面直角坐标系: 一. 平面直角坐标系 1. 有关概念: 2. 平面内点的坐标:
你还记得有关 y 平面直角坐标 P (a,b) b 系的相关知识 吗? a o
(纵轴) 第二象限 第一象限 第三象限 第四象限
x(横轴)
3. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点:
y=－ 2 3 x
2
试学活动二
2
，
的图象。
x
y= 1 2 x y=x2 2
... ... ... ...
-4 -3 8 4.5
-2 -1 2 0.5
0 0 0 0 0 0
1 0.5 0.5 0.5 1
− 2 3
2 2 1 2 1.5 1.5
3 4.5 1.5 4.5 2
− 8 3
4 8 2 8 3 -6
y = 2x2
y = − x2
2 y = − x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 抛物线。 抛物线 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 这条抛物线关于y轴 这条抛物线关于 轴 对称， 轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， y轴就是它的 对称，y轴就是它的 对称， 对称， 轴就是它的 对称轴。 对称轴。轴就是它的 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴。 对称轴与抛物线 抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点。 叫做抛物线的顶点
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
(2)易得点 M，N 的坐标分别为(2，8)，12，12.作点 M 关于 y 轴的对称 点 M′，则 M′(－2，8)，连结 NM′，与 y 轴的交点即为点 P，如图②所示．设 NM′所在直线对应的函数关系式为 y＝kx＋n， 则－12k2＋k＋ n＝n＝ 12，8，解得kn＝＝－ 2，3，即 y＝－3x＋2， 当 x＝0 时，y＝2，所以点 P 的坐标为(0，2)．
大值(或最小值)以及函数值的变化情况可以确定 a 的符号；
(2)利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图象
的直观性解决问题．
13
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
备选目标 二次函数的图象与性质的应用 例 已知二次函数 y＝2x2. (1)点 A(1，a)，B(－2，b)均在二次函数 y＝2x2 的图象上，比 较 a，b 的大小； (2)M，N 是二次函数 y＝2x2 的图象上的点，它们的横坐标分 别为 2 和12，在 y 轴上找一点 P，使得 PM＋PN 最小．
7
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
(4)点取得越多，图象越精确，图象必须光滑，顶点不能画成 尖的，当描出的相邻两点相距较远时，可先用线段连结这两点，再 把此段图象修成光滑的曲线．
8
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
目标二 能理解二次函数y=ax²的性质
例 2 [教材补充例题] 已知二次函数 y＝2x2 和 y＝－2x2 的图象如 图 26－2－1 所示，根据图象回答下列问题：
(1) 指出①的函数关系式是什么， (2) ②的函数关系式是什么；
图 26－2－1
9
26.2.1 二次函数y=ax²的图象与性质
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___侧,即x_大__于0时,y随x的增大而增大.
2
右
>
(3)二次项的系数满足什么条件时,抛物线的开口方向向下?由 此确定符合条件的m值是多少?在对称轴的哪一侧,y随x的增大 而减小? 提示:二次项的系数小于零时,抛物线的开口向下,所以,符合条件 的m的值为-3,在对称轴的右侧,即x>0时,y随x的增大而减小.
值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x
的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数
是__,二次项的系数不为__.由此得到关于m的方程组是
2
0
__m_2___m___4__2_,解得m=___或m=____. (2m)若 2抛物0, 线有最低点,2则抛物线-3的开口方向_____,所以二次
式,将选项逐一代入解析式验证即可知A正确.
2.二次函数y=ax2与y=2x2的图象,开口大小、形状都相同,开口
方向相反,则a=
.
【解析】由题意得|a|=2,因为二次函数y=ax2的图象开口向下,
所以a=-2.
答案:-2
3.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式是
s= 1 v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一
小 2.二次函数y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系：
(1)抛物线y=ax2与y=-ax2关于___轴对称. (2)抛物线y=ax2与y=-ax2关于x_____成中心对称.
原点
(打“√”或“×”) (1)抛物线y=ax2,y=bx2,当a>b时,抛物线y=ax2的开口大. ( × ) (2)抛物线y=(- x)2的开口向下. ( )
（3）类似地，由小y=-x2,y=- x2和y=-2x2的图象，可知：当a＜
0时，抛物线y=ax2开口_____1，顶点是抛物线上位置_____的点，
|a|越大，抛物线的开口向越下__2_.
最高
小
【归纳】
1.二次函数y=ax2的图象及其性质：
(1)图象:y=ax2(a≠0)的图象是一条_曲__线__,这条__曲__线_叫做抛物线.
4.已知抛物线y=ax2(a<0)上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3), 其中x1<x2<0<x3,且|x3|>|x1|,则y1,y2,y3之间的大小关系是
. 【解析】当a<0时,抛物线的开口方向向下,在对称轴的左侧, y 随x的增大而增大,所以y1<y2;根据对称性可知,点(x3,y3)关于y 轴的对称点在点(x1,y1)的左侧,所以y3<y1.所以y3<y1<y2. 答案:y3<y1<y2
2.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的关系式是:
①y=ax2;
②y=bx2;
③y=cx2;
④y=dx2,
则a,b,c,d的大小关系是 ( )
A.a>b>c>d
B.a>b>d>c
C.b>a>c>d
D.b>a>d>c
【解析】选A.由图象可知a>0,b>0,c<0,d<0,且
a>b>0,d<c<0.
3.已知(x1,y1),(x2,y2)都在抛物线y=3x2上,下列说法正确的是 ()
A.若y1=y2,则x1=x2 B.若x1=x2,则y1=-y2 C.若0<x1<x2,则y1>y2 D.若x1<x2<0,则y1>y2
【解析】选D.对于y=3x2,当函数值相等时,根据对称性可知,其 所对应的自变量的值相等或互为相反数,故A错误;当自变量的值 相等时,函数值也相等,故B错误;在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大,故C错误;在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故D正确.
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【总结提升】解二次函数y=ax2的应用题的三步骤
题组一:二次函数y=ax2的图象与性质
1.抛物线y= 1 x2不具有的性质是 ( ) A.对称轴是y3轴
B.开口向上 C.当x<0时,y随x的增大而减小 D.有最高点 【解析】选D.当a>0时,抛物线开口向上,并且向上无限延伸,所 以没有最高点,只有最低点.
找出它们的异同点2:
2
（1）函数y=ax2（a≠0）的图象是一条抛物线，它关于_y_轴对
称，它的顶点坐标是_(_0_，__0_)．
（2）由y=x2,y= 1 x2,y=2x2的图象，可知：当a>0时，抛物线
y=ax2开口_____，2 顶点是抛物线上位置_____的点，a越大，
向上
最低
抛物线的开口越___.
由①得:m>-1, ∴m=1. 此时,二次函数解析式为y=2x2.
题组二:求二次函数y=ax2的解析式
1.(2013·丽水中考)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则
该图象必经过点 ( )
A.(2,4)
B.(-2,-4)
C.(-4,2)
D.(4,-2)
【解析】选A.将(-2,4)代入y=ax2,计算a的值,写出抛物线解析
【总结提升】二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
x＞0时，y随x的增大而增大， 2x.a＜＜0时0⇔，y开随口x的向增下大⇔而有减最小大. 值⇔
x＞0时，y随x的增大而减小， x＜0时，y随x的增大而增大.
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2,
将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- ,
1
∴抛物线的解析式为y=- x2.
×
(3)抛物线y=ax2(a3≠0)上,若两个点的纵坐标相同,那么这两个
点的横坐标互为相反数. ( ) √
知识点 1 二次函数y=ax2的图象与性质
【例1】函数
是关于x的二次函数,求:
y m 2 xm2m4
(1)满足条件的m的值.
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何
【高手支招】比较抛物线y=ax2(a≠0)上两点函数值大小的方 法 (1)当两点位于对称轴的同侧时,根据y随x的变化规律判断. (2)当两点位于对称轴的异侧时,根据开口方向和这两点距对称 轴的距离的远近判断.
5.已知 y m 1 xm2m是二次函数且其图象开口向上,求m的值
和函数解析式.
【解析】依题意有: m 1＞0 ①， 解②得:m1=-2,m2=1m, 2 m 2 ②，
(2)对称性:抛物线y = ax2关于_____对称. y轴
(3)开口方向:当a>0时,抛物线y = ax2开口_____;
当a<0时,抛物线y = ax2开口_____.
向上
向下
(4)顶点:抛物线与__对__称__轴_的交点,叫做抛物线的顶点.抛物线
y=ax2的顶点是原__点___,当a>0时,顶点是抛物线上位置最__低___的点; 当a<0时,顶点是抛物线上位置_最__高__的点. (5)开口大小:|a|越大,抛物线的开作PG⊥y轴,垂足为G.连接PF.
由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),
∴GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,
∵点P(a,b)为抛物线y=- x2上的动点,
1
∴b=- a2,变形得:a2=-4b4,
在Rt△P1 GF中,由勾股定理可得: 4
辆故10障0 车,此时刹车
有危险(选填“会”或“不会”).
【解析】把v=100代入函数关系式得s=100>80,所以此时刹车会
有危险.
答案:会
4.如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点 A,D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴 上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点 O).
桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到
AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到
直线AB的距离为7m,则DE的长为
m.
【思路点拨】以C为坐标原点建立坐标系→设出抛物线解析式 →把B点坐标代入解析式→求出解析式→把D,E纵坐标代入解 析式→D,E横坐标→DE的长.
PF=
=|b-1|=1-b,
∴PF=PR.
b 12 a2 b 12－4b
【想一想错在哪？】已知A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)分别是 抛物线y=(-a2-1)x2上的三个点,试比较y1,y2,y3的大小.
提示:在对称轴的两侧,二次函数的增减性是不相同的.对称的 两个点的函数值是相同的.
26.1.2 二次函数y=ax2的图象
1.探索二次函数y=ax2的图象的作法.(重点) 2.根据二次函数y=ax2的图象理解y=ax2的性质(图象的形状、 开口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等).(重点) 3.能应用二次函数y=ax2的性质解决相关问题.(难点)
观察函数y=x2,y= 1 x2,y=2x2,y=-x2,y=- 1 x2和y=-2x2的图象,
【自主解答】以顶点C为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设 抛物线y=ax2,
由题意得B(18,-9),把B(18,-9)代入y=ax2,