第15章 分析力学基础-哈

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第十五章 分析力学基础
第一节 自由度和广义坐标
一个自由质点在空间的位置由 x, y, z3个坐标可以确定，我们说该 自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自 由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参数 的数目等于系统的自由度数。
例如：一质点M限制在球面的上半 部运动，则
（15-14）
即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对 于每个广义坐标的偏导数分别等于零。上面（15-12）（15-14 ）对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意义。
V 0
（15-12）
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引用势能，还可分析保守系统的平衡稳定性问题，满足平 衡条件的保守系统可能处于不同的稳定状态。
令Qk
n i 1
( Fx i
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1,2,3, , N )（15-7）
N
则（15-6）可以写成 WF Qk qk 0 k 1
（15-8）
上式中 Qk qk具有功的量纲，所以Qk成为与广义坐标qk相对应 的广义力。
由于广义坐标的独立性，q可以任意选取，则若（15-8）成立 ，必须有
fk (r1, r2 , , rn ,t) 0
(k 1,2,3, , s)
（15-3）
设 q1, q2, , qn (N 3n s)为系统的一组广义坐标，我们可以将各 质点的坐标表示为
ri ri (q1, q2 , , qN ,t) 0
(i 1,2,3, , n)
（15-4）
由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到
如上面的质点M的位置由x,y确定，则，x,y就是其一组广义坐标， 此外，我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置：
x y, x y
x , y , z c R2 ( a)2 ( b)2
2
2
2
2
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上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑n个质点组成的系 统受到s个完整双侧约束
ri
N k 1
ri qk
q
(i 1,2,3, , n)
（15-5）
其中 qຫໍສະໝຸດ Baidu(k 1,2,3, , N) 为广义坐标qk的变分，称为广义虚位移。
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第二节 以广义坐标表示的质点系平衡条件
设作用在第I个质点上的主动力的合力Fi在三个坐标轴上的投影 分别为（Fxi ,Fyi ,Fzi ），把（15-5）代入虚功方程，得到
WF Qk qk 从而
Qk
WF qk
（15-10）
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便
令Qk
n
( Fx i
i 1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)
(k 1,2,3, , N )（15-7）
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下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的 主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数，为
如图示，给图a、b、c所示的 球体一个小扰动，图a中球会 回到原来位置，该平衡状态
该平衡状态称为稳定平衡；图b中小球会在周边任何位置平衡， 该平衡称为随遇平衡；图c中小球会滚下去，不会回到原来的平 衡位置，该平衡状态称为不稳平衡。
这样，虚位移原理的表达式成为 V 0
（15-12）
上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件 为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。
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如果用广义坐标q1,q2,…,qN表示质点系的位置，则有
V V (q1, q1, q1, , qN )
由广义力表达式（15-7），在势力场中可将广义力Qk表达为
n
Fi ri 0
i 1
理想约束
WF
n
W Fi
k 1
n i 1
( Fx i
N k 1
xi qk
q
Fyi
N k 1
yi qk
q
Fzi
N k 1
zi qk
q )
N n (Fxi
k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
) q
0
（15-6）
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(x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2
(15 1)
z c R2 (x a)2 ( y b)2
(15 2)
故该质点在空间的位置由x,y就可确定，其自由度数为2。
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一般讲，一个由n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束作 用，则其在空间的位置可由N=3n-s个坐标完全确定下来，我们 把描述质点系在空间中位置的独立参数，称为广义坐标。对完 整系统，广义坐标数目等于系统的自由度数。
V V (x1, y1, z1, , xn , yn , zn )
（15-11）
则虚功方程（15-6）中各力的投影可以表达为
Fxi
V xi
, Fyi
V yi
, Fzi
V zi
WF (Fxixi Fyiyi Fzi zi )
于是有
( Vi xi
xi
Vi yi
yi
Vi zi
zi )
V
Q1 Q2 QN
（15-9）
上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。
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求广义力的方法有两种：一种方法是直接从（15-7）出发进行 计算；
另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个 q 不等 于零，而其他N-1个广义虚位移都等于零，代入
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本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方 法来求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运 动与相互作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原 理的基础上，导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类 方程（简称拉格朗日方程）。成为研究动力学问题的 有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显 得十分简捷、规范。
Qk
( Fx i
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi ) qk
( V xi V yi V zi ) xi qk yi qk zi qk
V (k 1,2,3, , N ) qk
（15-13）
则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式
Qk
V qk
0
(k 1,2,3, , N )