分析力学基础 一
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
分析力学的原理与应用
分析力学的原理与应用一、分析力学的概述•分析力学是力学中的一个重要分支，它研究物体的运动和受力情况，基于物体的力学性质和动力学原理来进行分析和计算。
二、分析力学的基本原理1.牛顿第二定律•牛顿第二定律是分析力学的基础，它表明一个物体的加速度与作用在它上面的力成正比。
公式表达为F=ma，其中F是作用在物体上的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
2.动能定理•动能定理是分析力学中重要的定理，它表明当物体受到外力时，由该外力所做的功等于物体动能的变化，即 $W=\\Delta KE$。
其中，W代表功，KE代表动能的变化。
3.力的合成与分解•在分析力学中，力的合成与分解是一个基本的技巧，用于将一个力分解为多个分力或将多个分力合成为一个力。
这在分析力学中的应用十分广泛。
4.质点系的动力学原理•质点系的动力学原理是研究质点系整体运动的理论基础，它基于质点系的质量、速度和力的关系，描述质点系的运动状态。
三、分析力学的应用领域1.静力学•静力学是分析力学的一个重要应用领域，它研究物体在静力平衡状态下受到的力和力的平衡条件。
静力学广泛应用于建筑、桥梁和机械等领域，用于分析和设计各种结构。
2.动力学•动力学是分析力学的另一个重要应用领域，它研究物体在运动状态下受到的力和运动方程。
动力学可以应用于机械、车辆、航空航天等领域，用于分析和设计各种运动系统。
3.振动与波动•分析力学还可以应用于研究物体的振动和波动问题。
振动和波动是许多实际问题中常见的现象，如桥梁的振动、地震波的传播等。
分析力学可以提供对这些问题的详细分析和计算。
4.流体力学•分析力学还可以应用于研究流体力学问题。
流体力学研究流体的运动和受力情况，分析力学提供了用于分析和计算流体力学问题的方法和原理。
四、分析力学的未来发展•随着科学技术的不断进步，分析力学在各个领域的应用越来越广泛。
未来，分析力学将继续发展，提供更多的理论和方法，以解决复杂的力学问题。
同时，随着计算机技术的发展，计算机模拟在分析力学中的应用也将日益重要，可以更加准确地计算和预测物体的运动和受力情况。
振动理论08(2)-分析力学基础
利用广义坐标来描述系统的运动
基于物理坐标的能量原理只能提供一个方程
首先讨论动能和势能
概念 与广义坐标及其导数之间的关系 动能、势能和功之间的本质联系
拉格朗日方程 哈密尔顿原理
2
动能
对于 个自由度系统，可以用广义坐标 和时间 来描 述它的运动，即系统中任意一点 的位置用坐标矢量 表示为
上式对时间求导，则速度可以表示为
速点的动能 系统的总动能
考虑到速度与广义速度的如下关系
动能将是广义速度的零次、一次、二次函数
4
考虑定常约束情况（坐标不显含时间t） 速度的点积
5
把速度的点积代入动能表达式 交换求和次序
6
• 引入广义质量系数
具有对称性，
当 包含刚体位移时， 不为零时也会出现U等于零的 情况，因此U为半正定二次型，其系数矩阵 也是半正 定的
19
动力学普遍方程
利用D ‘Alembert原理，将虚位移原理推广到动力学问 题
D ‘Alembert原理
在质点系运动的任意瞬时，作用于各质点的外力与虚加于 各质点的惯性力组成一平衡力系，这些力的矢量和等于零 ，对任意点的力矩矢量和等于零
11
对比用广义力表示的虚位移原理
可以得到 系统在有势场仅有有势力作为主动力时，系统平衡的
条件是势能取驻值
12
例：重力场
当质量 的质点在重力场中运动时，在任意位置都受 到大小和方向都确定的重力 的作用
重力场内沿任意闭路重力所做功之和等于零
13
例：重力场
重力所做功的负值定义为A点的势能 广义力
主动力 反力
惯性力
20
动力学普遍方程（续）
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础本章是动力学问题的引深，将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法，这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化，有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用，这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一节 达朗贝尔原理达朗贝尔原理（有的书称之为达朗伯原理）的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。
（一） 达朗贝尔惯性力我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即F r m = （6.1.1）这里，r表示该质点在惯性参考基中的位置，F 则表示该质点所受外力的主矢量。
如果将上式改写为0=-r m F（6.1.2）再定义r m F -=* （6.1.3）称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式：0=+*F F （6.1.4）上式可以这样理解：质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。
这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。
下面就（6.1.4）式作出讨论：① 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。
② 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然，它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一种力的平衡形式。
③ 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。
④ 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。
对于一个由n 个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。
分析力学基础
➢ 系统的动能
分析力学基础
T 1 {q}T [M ]{q} 2
✓在定常约束情况下，动能T是广义速度的二次齐次函 数（或称二次型） ✓系统的动能T除了广义速度全等于零外，它总是大于 零，因此动能T具有恒正的性质。 ✓在线性代数里称T这样的函数为正定二次型，相应地 称它的系数矩阵[M]是正定的。
✓对于正定的矩阵，它的全部主子行列式的值都大于零。
k
mk rk rk
动能T将是广义速度的零次、一次和二次函数
➢ 动能和势能
分析力学基础
讨论约束和时间t无关的定常约束情况，各点的坐标
只是广义坐标的函数而不显含t
rk
rk
(q1
,
q
2
,,
qn
)
rk rk
n il
n
rk
j1 qi
rddk rtk
in1rkqrki
n
qi
i 1
rk q j
qi q j
n
mij qi q j
j 1
由于系数mij仅是广义座标的函数，由上式可见，在定 常约束的情况下，动能T是广义速度的二次齐次函数。
在微振动理论中，若广义座标一律按平衡位置取作原
点，则振动过程中qi是偏离平衡位置的小量，将系数 mij在平衡位置附近按台劳级数展开得
mij
mij
0
n s 1
mij qs
✓ 但这一方法是按照各质点或刚体的运动来建立方程的，为此常 常要引入那些未知的约束反力。
✓ 对于某些复杂的系统，采用这样的方法来建立力或力矩同速度、 加速度等运动量之间的矢量关系不仅显得复杂，而且引入了那些 我们不必知道的未知约束反力。
➢ 引言
分析力学基础
01-1 分析力学基础
1.1 分析力学基础 1.1.1 直角坐标与广义坐标
燕山大学
Yanshan University
平面直角坐标：用平面上的长度值表示平面上一点位置的坐标。 平面直角坐标系oxy。 三维直角坐标：在二维直角坐标系（oxy）的基础上,再添加一个 垂直于x轴、y轴的坐标轴，称为z轴。x轴、y轴、z轴满足右手定 则，则坐标系oxyz为三维直角坐标。 广义坐标：能决定系统几何位置的彼此独立的量。
Q2 P L sin t cos 0
(3)系统运动微分方程
d L dt q j L Qj q j j 1, 2, , n
燕山大学
Yanshan University
Q1 P sin t 0 Q2 P L sin t cos 0
两个相互啮合的光滑表面所构成的约束
燕山大学
Yanshan University
两曲面相互啮合的约束条件：两曲面不能脱
开，也不能相互嵌入；则有： δrN1=δrN2
N1与N2两者互为作用力与反作用力：
N1= -N2 由于δrT1及δrT2与约束力N1及N2相垂直，因 而约束力在该方向不做功。在虚位移下，约 束力所做的虚功为：
x1 l1 x2 l2
特点：从运动的观点来研究系统的静力平衡问题。 优点：只考虑外力，不必考虑支反力，应用方便。
虚位移
燕山大学
Yanshan University
虚位移：约束允许的微小位移。 (1)虚位移是微小的、即时发生的，即不考虑它们发生的过程。
(2)独立的虚位移数等于系统的自由度数。
对于图示杠杆系统，杠杆两端的虚位移δx1和δx2。由于杠杆是单自 由度系统，因此δx1和δx2只有一个是独立的。
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
分析力学基础 2 ຫໍສະໝຸດ 位移原理 虚位移原理受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: d W F d r 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
例 2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和
质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成
双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
1 自由度和广义坐标
自由度
完全确定系统在任何瞬时位置所需的独立坐标数称为自由度。
广义坐标
用某一组独立坐标（参数）就能完全确定系统在任何瞬时的 位置，则这组坐标称为广义坐标。
一般地，建立振动系统数学模型时广义坐标的数目 与自由度相等。
约束
对质点在空间的运动所加的限制称为约束。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
势能
所谓势能是把质点从当前位置移至势能零点的过程中势力所作的功。根据势 能的定义，特别需要强调的是：势能大小与规定的势能零点位置有关。
势能
分析力学基础 3 动能和势能
在线性系统中，势能是广义坐标的二次函数。可用矩阵形式表示成：
U ＝ 1 {q} T [ K ]{q} 2
其中，[ K ]为刚度矩阵。一般地，刚度矩阵是对称、半正定矩阵。
m12
m
21
1 2
m 2 l 1 l 2 cos ( q 2 q 1 )
当系统在平衡位置附近作小运动时，系数 m i j 取其在平衡位置附近泰勒级 数的第一项：
1 m12 m 21 2 m 2 l1 l 2
则系统的动能可写成
V
1 2
(m 1
m2)
l
2 1
q
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分析力学基础（一）华中科技大学CAD中心张云清2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学基础（）分析力学基础（一）一．经典力学概论概二．分析力学的基本概念三．虚位移原理、达朗伯原理四．动力学方程的三种形式四动力学方程的三种形式五．分析力学的变分原理2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析经典力学概论典力学研象于•经典力学的研究对象是速度远小于光速的宏观物体的机械运动；牛力学•牛顿力学•拉格朗日力学•变分原理变原•哈密尔顿力学•分析力学（拉格朗日力学和哈密尔顿力学）析力学（格力学和密尔力学）•运动稳定性•刚体动力学学•多体系统动力学是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析牛顿力学•1687年牛顿（Newton ）《自然哲学的数学原理》出版-------〉牛力学；牛顿力学；•牛顿贡献--发现了制约物质宏观机械运动的普遍规律：–万有引力定律–动力学基本规律–研究这些规律的方法—微积分速度加速度力力牛力学–力学的概念—速度、加速度、力、力矩-----矢量------〉牛顿力学----矢量力学；牛顿力学天体运动的观测资料归纳产生的力学理论，研究对象是不受–----约束的自由质点；•1743年，法国的达朗贝尔（D’Alembert）--D’ Alembert原理；•1755年、1765年，瑞士的欧拉（Euler）将牛顿定律推广到刚体和理想流体，矢量力学------Newton－Euler力学；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析拉格朗日力学•18世纪，机器产生，为受约束机械系统的运动分析，约束作用归为力作用，未约束力（未变）增多，用可以归结为力的作用，未知约束力（未知变量）的增多，矢量力学处理不便；•1788年拉格朗日（Lagrange）----《分析力学》（1755年，拉格朗日19岁写出）；•以虚位移原理、达朗贝尔原理为基础，引入标量形式的广义建坐标、能量、和功等物理量，采用纯分析方法使力学建立在统一的数学基础上--------产生了拉格朗日力学----分析力学-避免了约束力；•拉格朗日没有认识到非完整系统的存在；年赫兹（•1894年，赫兹（Hertz）-----将约束系统分为完整系统与非完整系统；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析变分原理•与牛顿力学及拉格朗日力学不同，变分原理则从另一牛学朗学变种方式解释物质的机械运动规律，变分原理是将真实发生的运动与可能发生的一点加以比较，并提供能将发生的能发生的并能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则，变分原理分为变变为微分型变分原理、积分型变分原理；•微分型变分原理―――1829年高斯（Gauss）原理为代表；积分型变分原理年哈密尔顿（）•―――1834Hamilton 原理为代表；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析哈密尔顿力学与分析力学•将哈密尔顿原理以及由此导出的哈密尔顿正则方程称为哈密将哈密尔原由导出的哈密尔则方称为哈密尔顿力学；•分析力学包含拉格朗日力学和哈密尔顿力学•拉格朗日力学和哈密尔顿力学是分析力学的两个组成部分；不仅适用于离散机械系统而且也适用于更广泛的领域：不仅适用于离散机械系统，而且也适用于更广泛的领域：–连续介质力系统、–机电耦合系统、–控制系统和微观物质系统•对量子力学和统计力学的发展也起到了推动作用，是经典力学向现代物理学过渡的桥梁；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析运动稳定性•矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程，必须对微分方程积分求解才能矢量力学或分析力学方法建立运动微分方程必须对微分方程积分求解才能确定机械系统的运动规律。
分析力学的优点之一是有可能在一些特殊情况下直接提供方程的初积分。
但在一般情况下，寻求微分方程的解析积分在数学上存在困难虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举但在上存在困难，虽然计算机的发展使微分方程的数值积分变得轻而易举，但在工程实践中需要了解机械运动的定性性质，如判断某特定运动的稳定性问题。
对运动工程的定性研究形成了运动稳定性理论。
年拉格朗日就已提出平衡稳定性的般定理并由狄里克雷（Di i hl t •1788年拉格朗日就已提出平衡稳定性的一般定理，并由狄里克雷（Dirichlet ）于1846年给出证明；•1892年李雅普诺夫（Lyapunov）对稳定性给出了严格数学定义，并提出了讨论稳定性的直接方法，以及利用一次近似方程判断稳定性的一系列定理，奠论稳定性的直接方法及利用次近似方程判断稳定性的系列定理奠定了现代稳定性理论的基础；•一次近似稳定性理论是工程中使用最为广泛的稳定性理论，劳斯（Routh）-赫尔维茨（Hurwitz）判据和开尔文（Kelvin）－泰特（Tait）－切塔耶夫（Chetayev）定理(简称开尔文定理)是判断线性系统稳定性的有效工具。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析刚体动力学典学的发展中体动学据重地•经典力学的发展中刚体动力学占据了重要地位。
•刚体的一般运动--分解为质心的运动和相对质心的转动，刚体绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容。
绕定点或质心的转动是刚体动力学的主要内容•1758年，欧拉（Euler）建立了刚体定点运动的动力学方程；•寻求刚体定点运动微分方程解积分问题曾成为经典力学中延续百年之久的重大课题；•在欧拉、拉格朗日、柯瓦列夫斯卡雅（Kovalyevskaya）三种在欧拉拉格朗日柯瓦列夫斯卡雅（可积分情形中欧拉、拉格朗日情形的研究成果仍是陀螺仪和航天器姿态运动的理论基础。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析多体系统动力学----是经典力学的在现代工程需求下的进一步发展•虽然经典力学在19世纪已形成完美的科学体系，但经典力学仍在发展，大型空间站、机器人、高速车辆等现代复杂机械系统的出现，要求分析有多个刚体组成的多体系统。
•虽然经典力学提供的各种方法原则上可以建立任意的机械典学各建意机械系统的数学模型，但由于系统内刚体数目和自由度的增加刚体间约束关系的复杂化传统的数学推导过程变得极，刚体间约束关系的复杂化，传统的数学推导过程变得极其繁琐。
现代计算技术的发展要求数学模型的建立过程》•――――程式化、计算机化；•1960年后，发展了多种多体系统数学模型的建模方法，形成新的学科分支――多体系统动力学。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析分析力学的基本概念•约束及其分类•广义坐标、广义速度、广义加速度•准速度、准坐标、准加速度•位形空间、状态空间、相空间•虚位移•理想约束•微分运算与变分运算的交换关系2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•力学中三种理想模型：质点、质点系、刚体•质点：只有质量，没有大小•质点系：若干质点组成的，有内在联系的集合•刚体：一种特殊的质点系，任意两点距离不变体种特殊的质系意离变•分析力学研究质点系相对某个惯性坐标系的运动。
•质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状质点系各质点在空间的位置的有序集合决定了该质点的位置和形状，称为该质点系的位形。
•自由质点、自由质点系•非自由质点：在空间的位置和运动受到限制某些限制；•非自由质点系•分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动。
分析力学是运用纯数学分析的方法研究质点系的机械运动•约束：在系统点的位置和速度上，事先预加的几何的或者运动学特性的限制，我们把这些限制称为约束。
2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•约束方程•非自由质点系在空间位置以及在运动中受到的限制称为约束，用数学方程表述各质点所受的限制条件称为约束方程。
点所受的限制条件称为约束方程•例如：两个质点在半径为R的球面上运动，且两质点间的距离为L保持不变；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•完整约束与非完整约束•N个质点组成的力学系统，质点的直角坐标为速度为•几何约束：用点的直角坐标和时间表达的非微分方程，表示的约束。
•几何约束的一般形式为：•微分约束：用点的直角坐标为速度为和时间表达的约束。
•微分约束的一般形式为：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•完整约束：几何约束和可积分的微分约束称为完整约束几何约束和可积分的微分约束称为完整约束；•非完整约束：不可积分的微分约束称为非完整约束；•非完整系统：带有非完整约束的系统称为非完整系统；•线性非完整约束：不可积的微分约束中对速度速度是线性的称为线性非完整约束，否则为非线性非完整约束；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析约束及其分类•线性非完整约束的一般形式：其中系数是坐标和时间的函数；•仅具有完整约束的完整系统与具有非完整约束的非完整系统运动性质和研究方法有很大的区别，非完整系统比完整系统复杂得多。
•定常约束：如果时间不显含于约束方程，称为定常约束如果时间显含约束方程称为定常约束；否则为非定常约束；•双面约束：用等式表示的约束；用不等式表示的约束为单面约束；2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义坐标：凡是能够确定系统位置的，适当选取的变量叫广义坐标取的变量叫广义坐标；•当所研究的系统加上约束时，从直角坐标过渡到广义坐标是特别方便，假设系统有N 个质点受d 个完整约束可以选－，受d 个完整约束，可以选n ＝3N d 个广义坐标，系统所有点的直角坐标可用广义来表达坐标和时间t 来表达，定常约束则为•定常约束则为：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义速度：广义坐标对时间的导数称为广义速度；；•系统中点的速度矢量：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度重要关系式2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标广义速度广义加速度广义坐标、广义速度、广义加速度•广义加速度：广义坐标对时间的二次导数，称为广义加速度；•系统中点的加速度矢量：2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标、广义速度、广义加速度广义坐标广义速度广义加速度•非完整约束在广义坐标、广义速度下的表达2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析广义坐标、广义速度、广义加速度广义坐标广义速度广义加速度•非完整约束在广义坐标、广义速度下的表达2009-12-18机械系统动力学计算机辅助分析准速度、准坐标、准加速度准速度准坐标准加速度•在力学系统中引进准坐标的概念和记号非常概非常，学准重要，尤其是非完整力学系统。