江苏省南京市秦淮区(四校联考)2019-2020学年上学期初二数学期中试卷(PDF 有答案)

2019【秦淮四校】初二（上）数学期中试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1、下列图形中，轴对称图形的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图，在ABC △和DEC △中，已知AB DE =，还需添加两个条件才能使ABC DEC △≌△，不能．．添加的一组条件是（ ）A ．BC EC =，B E ∠=∠ B ．BC EC =，AC DC = C ．BC DC =，AD ∠=∠ D ．BE ∠=∠，A D ∠=∠（第2题） （第3题） （第7题）3、如图是跷跷板的示意图，支柱OC 与地面垂直，点O 是AB 的中点，AB 绕着点O 上下转动． 当A 端落地时，∠OAC =20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即A OA '∠）是（ ）A ．20︒B ．40︒C ．60︒D ．80︒4、已知直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为（ ） A ．13 B ．5 C ．13或5 D ．45、下列三角形：①有两个角等于60︒；②有一个角等于60︒的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③B ．①③C ．①②④D ．①②③④6、已知锐角三角形ABC 中，65A ∠=︒，点O 是AB 、AC 垂直平分线的交点，则BCO ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒7、如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2和2，……，依此类推，若正方形1的面积为64，则正方形5的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．168、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 是BAC ∠的平分线．若P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值为（ ） A ．245 B ．4 C ．125D ．5（第8题） （第9题） （第13题）二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）9、如图，若ABE ACD △≌△，且65A ∠=︒，20C ∠=︒，则AEB ∠=_____________︒．10、若等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为_____________．11、若ABC △的三边长分别为a ，b ，c ．下列条件：①A B C ∠=∠-∠；②()()2a b c b c =+-；③::3:4:5A B C ∠∠∠=;④::5:12:13a b c =．其中能判断ABC △是直角三角形的是_____________（填序号）．12、若直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线是_____________．13、如图，在ABC △中，AB AC =，D 为BC 中点，且=20BAD ∠︒，则C ∠的度数是_____________°．14、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，4AB =cm ，则AC 的长度是_____________cm ．15、如图，在Rt △ABC 中，90BCA ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD =BD ，若AB =8，BD =5，则CD 的长是_____________．（第15题） （第17题）16、在ABC △中，60ABC ∠=︒，70ACB ∠=︒，若点O 到三边的距离相等，则BOC ∠=_____________°．17、在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，若点P 在边AB 上移动，则CP 的最小值是_____________．18、在ABC △中，AB =5，AC =4，BC =3．若点P 在ABC △内部（含边界）且满足PC PA PB ≤≤，则所有点P 组成的区域的面积为_____________．AB三、解答题（共9小题，共64分）19、（6分）如图，点C、D在AB上，且AC=BD，AE=FB，AE∥BF，求证：△AED≌△BFC．20、（6分）如图，4 5的方格纸中，请你用三种不同的方法在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，使得图中阴影部分构成的图形是轴对称图形．21、（6分）∠BAC为钝角，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，M是BC中点，求证：ME＝MD．AB ED22、（8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =48°，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE =CF ，BD =CE ，求∠EDF 的度数．23、（7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，用直尺和圆规在斜边AB 上作一点P ，使得点P 到点B 的距离与点P到边AC 的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）AB24、（9分）如图，在ABC △中，∠C =90°，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与P A 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接DE ． ⑴判断DE 与DP 的位置关系，并说明理由；⑵若6AC =，8BC =，2PA =，求线段DE 的长．25、（10分）在△ABC 中，AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于点M 、N ．⑴如图① ，若222BM CN MN ，则∠BAC = °；⑵如图②，∠ABC 的平分线BP 和AC 边的垂直平分线相交于点P ，过点P 作PH 垂直BA 的延长线于点H ，若AB =4，CB =10，求AH 的长．图① 图②FADB26、（12分） 【引例】 如图1，点A 、B 、D 在同一条直线上，在直线同侧作两个等腰直角三角形△ABC 和△BDE ，BA =BC ，BE =BD ，连接AE 、CD ．则AE 与CD 的关系是_____________．图1【模型建立】如图2，在△ABC 和△BDE 中，BA =BC ，BE =BD ，∠ABC =∠DBE ＝α，连接AE 、CD 相交于点H ． 求证：①AE =CD ；②∠AHC =α．图2【拓展应用】如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BDC =90°，BD =CD ，∠BAD =45°．若AB =3，AD =4，求2AC 的值．图3AB2019【秦淮四校】初二（上）数学期中试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCBCDABA二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）【备注】第16题：若考虑点O 在三角形外，则另有3种情况，感兴趣的同学可自行研究，分别是25°，65°，115°． 第18题：先证明一个引例：当P 点在线段AB 垂直平分线左侧，则P A ＜PB ， 证明如下：延长AP 交线段AB 的垂直平分线l 于点D ，连接DB ∵D 在线段AB 的垂直平分线上 ∴DA =DB∴AP =AD -PD =DB -PD在△PDB 中，两边之差小于第三边 ∴DB -PD ＜PB ∴P A ＜PB解：由18题题意得，P 点在如图所示的阴影三角形内设CF =x ，则AF =BF =4x -，在△BCF 中由勾股定理列方程，可得CF =78，则DF =98，S △DEF =1932728232⨯⨯=．三、解答题（共9小题，共64分） 19、（6分）证明：∵AE ∥BF ，∴∠A =∠B . 又∵AC =BD ，∴AC +CD =BD +CD ，即AD =BC . 在△AED 和△BFC 中，AE BF A B AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AED ≌△BFC （SAS ）．A F解：如图所示，共有4种情况（任选3个即可）：21、（6分）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BEC ＝90°，∠BDC ＝90°，∵在Rt △EBC 和Rt △DBC 中，M 为斜边BC 中点；∴ME ＝12BC ，MD ＝12BC ，∴ME ＝MD ． 22、（8分）解：∵AB =AC ，∠A =48°∴∠B =∠C =66°在△BED 和△CFE 中BD CE B C BE CF⎧=⎪⎪∠=∠⎨⎪=⎪⎩ ∴△BED ≌△CFE （SAS ）∴∠BDE =∠CEF ，∠DEB =∠EFC ，ED =FE ∴∠EDF =∠EFD∵∠B +∠BDE +∠DEB =180° ∠DEF +∠CEF +∠DEB =180° ∴∠DEF =∠B =66°在△EDF 中，∠DEF +∠EDF +∠EFD =180° ∴∠EDF =()118066572︒-︒=︒． 23、（7分）方法一：①作∠B 的平分线交AC 于点D ，②过点D 作AC 的垂线交AB 于点P 或作BD ∴点P 即为所求．（右图为示意图，作图痕迹略）方法二：①过点B 作AB 的垂线交AC 的延长线于点D ，②作∠ADB 的平分线交AB 于点P ， ∴点P 即为所求．（右图为示意图，作图痕迹略）⑴ DP DE ⊥，理由如下：∵PA PD =∴PAD PDA ∠=∠ ∵EF 垂直平分BD ∴ED EB =∴EDB EBD ∠=∠在ABC △中，90C ∠=︒，180C PAD EBD ∠+∠+∠=︒， ∴90PAD EBD ∠+∠=︒ ∴90PDA EDB ∠+∠=︒∵180PDE PDA EDB ∠+∠+∠=︒ ∴90PDE ∠=︒，即DP DE ⊥． ⑵ 解：连接PE∵2PA =，6AC = ∴4PC = ∵PA PD = ∴2PD = 设DE x = ∵DE BE = ∴BE x = ∵8BC =∴8CE BC BE x =-=-Rt PCE △中，90C ∠=︒，则()2222=168PE PC CE x =++-Rt PDE △中，90PDE ∠=︒，则2222=4PE PD DE x =++∴()221684x x +-=+，解得194x =，即194DE =．25、（10分）⑴ 解：连接MA 、NA ∵AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 于点M 、N∴BM=AM ，CN=AN∴∠B =∠BAM ，∠C =∠CAN ∵222BM CN MN ∴222AM AN MN += ∴△AMN 是直角三角形又∵∠AMN =∠B+∠BAM ， ∠ANM=∠C +∠CANFABCMN∴∠AMN =2∠B ，∠ANM=2∠C∴∠AMN+∠ANM=2(∠B +∠C )=90° ∴∠B +∠C=45°∴∠BAC=180°-(∠B +∠C )=180°-45°=135°．⑵ 解：如图，连接P A 、PC ，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ， ∵PN 垂直平分AC ∴P A =PC∵BP 平分∠ABC ∴∠HBP =∠QBP ∵PH ⊥BH ，PQ ⊥BC ∴∠BHP =∠BQP =90° 在△BHP 和△BQP 中HBP QBP BHP BQP BP BP ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△BHP ≌△BQP (AAS) ∴PH =PQ ，BH =BQ在Rt △AHP 和Rt △CQP 中PA PCPH PQ =⎧⎨=⎩∴Rt △AHP 和Rt △CQP (HL)∴AH =CQ设AH =x ，则QC = x ∵AB=4，BC=10∴BH=4+x ，BQ=10-x ∴4+x =10-x ，解得x=3，即AH=3．26、（12分）【引例】AE =CD ，AE ⊥CD ； 【模型建立】① ∵∠ABC =∠DBE∴∠ABC +∠CBE =∠DBE +∠CBE 即∠ABE =∠CBD ， 在△ABE 和△CBD 中，AB CB ABE CBD EB DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ） ∴AE =CD ．② 设AE 与BC 交于点O ，A11 / 12 ∵△ABE ≌△CBD ，∴∠EAB =∠DCB ，在△AOB 和△COH 中，∠OAB +∠AOB +∠ABO =180°，∠OCH +∠COH +∠OHC =180°，∵∠AOB =∠COH∴∠OHC =∠OBA ，即∠AHC =α．【拓展应用】如图，作DE ⊥AD ，截取DE =AD ，连接AE 、BE ，则∠ADE =90°，∠DAE =45°，∴∠EDA +∠ADB =∠BDC +∠ADB即∠EDB =∠ADC ，在△EDB 和△ADC 中，∴△EDB ≌△ADC （SAS ）∴EB =AC∵∠BAD =45°∴∠EAB =∠EAD +∠DAB =90°在Rt △EAB 中，由勾股定理得222AE AB BE +=，在Rt △ADE 中，由勾股定理得222AD DE AE +=，∵AD =4，AB =3∴232AE =∴241BE =∴241AC =．ED AD EDB ADCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩。