第三章 证明(三)
第三章 证明（三）
一、知识回顾 1知识网络图示：
2、几种特殊平行四边形的性质：
边
角
对角线
对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
3、几种特殊平行四边形的判定方法： 平行四边形 矩形 菱形 正方形
证
明
(三) 平行四边形 定义、性质、判定
特殊平行四边形 矩形
菱形 正方形 等腰梯形 三角形中位线定理
定义、性质、判定
定义、性质、判定
等腰梯形
二、例题分析
例1、如图3，已知
ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ，求证：OE =OF .
例2、如右上图ABCD ，四内角平分线相交于E 、F 、G 、H .
求证：四边形EFGH 是矩形
例3、在矩形ABCD 中，O
是对角线AC 的中点，EF 是线段AC 的中垂线，交AD 、BC 于E 、F . 求证：四边形AECF 是菱形
例4、已知，AD 是△ABC 的角平分线，DE
∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F 。
求证：四边形AEDF 是菱形。
例5、如图，CD 是△ABC 的高，E 、F 、G 分别是BC 、AB 、AC 上的中点. 求证：FG =DE
例6、如图，AD 为ΔABC 的中线，E 为AC 上一点，连结BE 交AD 于F ，且AE ＝FE 。
求证：BF ＝AC
A B
C
D
E F
三、习题
1. 已知ABCD 的对角线相交于点O ，它的周长为10cm ， BCO ∆的周长比ABO ∆的周长多2cm ，
则AB= cm 。
2. 如图，已知E 为ABCD 内任一点，ABCD 的面积为40，
那么EAB ECD S S += 。
A D E B C
3. 下列命题①平行四边形的两组对边分别平行且相等；②平行四边形的对角线互相平分且相等；③
平行四边形的对角相等，邻角互补；④平行四边形短边间的距离大于长边之间的距离。
其中正确的命题个数是（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4. 三角形的中位线平行于__________，且等于__________的一半.
5. 连结任意四边形的四边中点，所得到的四边形是__________.
6. 一个三角形的三边长分别为4，5，6，则连结各边中点所得三角形的周长为__________.
7. 已知ABC ∆的周长为50cm ，中位线DE=8cm ，中位线BF ＝10cm ，则另一条中位线DF 的长是（ ）
A.7㎝
B.5 ㎝
C.9 ㎝
D.10㎝
8. 三角形三条中位线将其分成__________个全等三角形. 9. 顺次连结梯形各边中点所组成的图形是
A.平行四边形
B.菱形
C.梯形
D.正方形 10. 顺次连结对角线互相垂直的四边形中点所得图形是
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
11. 等腰梯形的对角线互相垂直，若连接该等腰梯形各边中点，则所得图形是
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
12. 顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 。
顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的图形是矩形。
顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形。
顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形。
13. 已知菱形一个内角为120
，且平分这个内角的一条对角线长为8cm ，则这个菱形的周长为 。
如左下图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，若 14. ∠CAE =15°，求∠BOE 的度数.
15. 求证：等腰梯形下底的中点到两腰的距离相等。
16. 如图，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 和AD 的中点，BE 和CF 交于点P 。
求证：AP ＝AB 。
P F
E
C
A
D
B
17. 如左下图，ABCD 和AEFG 都是正方形.。
求证：BE =DG
18. 已知：如图，E 、F 分别为ABCD 中AD 、BC 的中点，分别连接AF 、BE 交于G ，连接CE 、DF 交
于点H 。
求证：EF 与GH 互相平分。
H
G
F
E
A D
B
C
19. 如图，已知点F 是正方形ABCD 的边BC 的中点，CG 平分∠DCE ，GF ⊥AF 。
求证：AF=FG 。
G
F
C
A
D
B
E
20.已知，如图在ΔABC 中，点D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 边上的中点。
求证：⑴四边形AFDE 是平行四边形；⑵AFDE 周长等于AB+AC 。
D
E
F
A
B
C。
九级数学三角形梯形的中位线讲义第三章
九年级讲义7 第三章《证明（三）》梯形、三角形的中位线一．知识点梳理：1．定义：一组对边平行，另一组对边 的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫 ．一腰和底垂直的梯形叫做 ． 2．等腰梯形的性质：（1）边：等腰梯形的上、下两底 ； （2）角：等腰梯形同一底上的两个角 ； （3）对角线：等腰梯形的两条对角线 ； （4）对称性：等腰梯形是 图形； 3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形． ②对角线 的梯形是等腰梯形． 4．三角形的中位线：连接三角形 的线段叫做三角形的中位线；性质：三角形的中位线 于第三边，并且等于第三边的 ； 5.中点四边形：（1）顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是 ； （2）顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是 ； （3）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 ； （4）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 ； （5）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ； （6）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ； 二．典型例题：1．下列说法正确的是（ ）A ．平行四边形是一种特殊的梯形B ．等腰梯形的两底角相等C ．等腰梯形不可能是直角梯形D ．有两邻角相等的梯形是等腰梯形 2．等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰与下底的夹角是（ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．如图，在梯形ABCD 中，边AB 与CD 平行，对角线BD 与边AD 的长相等．若DCB ∠＝110°，30=∠CBD °，那么ADB ∠等于（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°4．在梯形ABCD 中，两底cm 14=AB ，cm 6=DC ．两底角30=∠A °，B ∠＝60°，则腰BC 的长为（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．3cm5．顺次连结等腰梯形四边中点，所成的四边形是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．菱形6．已知三角形的三边长分别为12cm 、16cm 、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为_____________ 和___________.第4题 第3题DE FPBAC DBCAEF7．如图，四形ABCD 中，对角线相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是AD ，BD ， BC ，AC 的中点。
第三章 域 论
第三章 域 论§1 子域与扩域1.证明子域的交仍是子域.证明 设I i i F ∈}{是域F 的一族子域.显然i I i F ∈∈ 1.其次,设i I i F b a ∈∈ ,.于是,i F b a ∈,,I i ∈∀,从而,i F ab b a ∈-,,I i ∈∀;当0≠a 时,i F a ∈-1,I i ∈∀.因此i I i F ab b a ∈∈- ,;当0≠a 时,i I i F a ∈-∈ 1.所以i I i F ∈ 是域F 的子域.2.设域F 的特征为p ,对于任意的F b a ∈,,证明:(1)n n n p p p b a b a +=+)(;(2)∑-=---=-1011)(p i i p i p b a b a .证明 (1)由于域是整环,根据第二章§5习题第12题,我们有n n n p p p p p b a b a b a +=+=+)(.(2)当b a =时,我们有01101==--=--∑p p i i p i pa b a . 因此∑-=---=-1011)(p i i p i p b a b a .当b a ≠时,我们有p p p p i i p i b a b a b a b a )()(101-=-=-∑-=--.因为0≠-b a ,根据消去律,由上式可得∑-=---=-1011)(p i i p i p b a b a .3.证明Q 和p Z (p 是素数)都是素域.证明 设F 是Q 的子域.于是,F ∈1,从而,F ⊆Z .由于F 是域,因此当Z ∈n m ,且0≠n 时,F nm ∈,从而,Q =F .这就表明Q 是素域. 设F 是p Z 的子域.于是,加群F 是加群p Z 的子群,从而,p F |||.由F 是域可知,2||≥F .因为p 是素数,所以p F =||,从而,p F Z =.这就表明p Z 是素域.4.在)2(3Q 中,求33421++(关于乘法)的逆元.证明 由于11)2()12)(421(33333=-=-++,因此33421++的逆元为123-.5.证明)32()3,2(+=Q Q .证明 显然)3,2(32Q ∈+,因此)3,2()32(Q Q ⊆+.另一方面,由于1)23)(23(=-+,因此)32(23+∈-Q .这样一来,注意到))23()23((213-++=,))23()23((212--+=, 可以断言)32(3,2+∈Q ,从而,)32()3,2(+⊆Q Q .所以)32()3,2(+=Q Q . 6.设E 是域F 的扩域且]:[F E 是素数,证明:F 与E 之间没有非平凡的中间域. 证明 假设L 是F 与E 的中间域.根据定理1.9,]:][:[]:[F L L E F E =.由于]:[F E是素数,因此1]:[=L E 或1]:[=F L ,E L =或F L =.这就是说,F 与E 之间没有非平凡的中间域.7.设E 是域F 的扩域且]:[F E 是素数,F E α\∈,证明:)(αF E =.证明 由F E α\∈可知,)(αF 是F 与E 的中间域且)(αF F ≠.因为]:[F E 是素数,根据上题,F 与E 之间没有非平凡的中间域.所以)(αF E =.§2 单扩域1.证明:)1/(][)(2+≅x x i Q Q .证明 这里给出两种证法.证法一:定义][x Q 到][i Q 的映射φ如下:)())((i f x f φ=,][)(x x f Q ∈∀.显而易见,φ是环][x Q 到环][i Q 的满同态,从而,)Ker()(φi ≅Q .此外,我们有0)()(0)()Ker()(=-=⇔=⇔∈i f i f i f φx f)1()()(|122+∈⇔+⇔x x f x f x ,][)(x x f Q ∈∀,从而,)1()Ker(2+=x φ.所以)1/(][)(2+≅x x i Q Q .证法二:令)1(2+=x N ,定义][i Q 到)1/(][2+x x Q 的映射φ如下:对于任意的][i bi a Q ∈+(其中Q ∈b a ,),N bx a bi a φ++=+)(.显然,φ是域][i Q 到域)1/(][2+x x Q 的单同态.其次,对于任意的][)(x x f Q ∈,根据带余出发,存在][)(),(x x r x q Q ∈,使得)()1)(()(2x r x x q x f ++=,其中,0)(=x r 或者2))(deg(<x r .不妨设dx c x r +=)(,其中Q ∈d c ,.于是,N x f N dx c di c φ+=++=+)()(.因此φ是域][i Q 到域)1/(][2+x x Q 的同构.所以)1/(][)(2+≅x x i Q Q .2.计算]:)3,2([Q Q .解 根据命题 1.7,)3)(2()3,2(Q Q =.显而易见,2是Q 上的代数元,其极小多项式为22-x .这样,根据定理2.6,2]:)2([=Q Q .同理,3是)2(Q 上的代数元,其极小多项式为32-x .2)]2(:)3)(2([=Q Q 这样一来,根据定理 1.9,422]:)2(][)2(:)3)(2([]:)3,2([=⨯==Q Q Q Q Q Q .3.设E 是域F 的扩域,)(u F E =,u 在F 上是代数的且其极小多项式的次数为奇数,证明:)(2u F E =.证明 显然E u F ⊆)(2.设u 在F 上是代数的且其极小多项式的次数为12+n (n 为非负整数).于是,12]:[+=n F E .若0=n ,则1]:[=F E ,从而,F E =.由此可见,)(2u F E =.不妨假设0>n .于是,n u u u 22,,,,1 是F 上的向量空间E 的一个基.显然n n u u u 2222,,,,,1- 是F 上的向量空间)(2u F 中1+n 个线性无关的向量,从而,1]:)([2+≥n F u F .根据定理 1.9,]:)()][(:[]:[22F u F u F E F E =.这样,由12]:[+=n F E 和1]:)([2+≥n F u F 可知2)](:[2<u F E ,从而,1)](:[2=u F E .所以)(2u F E =.总之,)(2u F E =.4.证明:32+在Q 上是代数的,其极小多项式的次数为4.证明 根据§1习题第5题,)32()3,2(+=Q Q .根据第2题,4]:)3,2([=Q Q ,即4]:)32([=+Q Q .这样一来,根据定理2.6,32+ 在Q 上是代数的,其极小多项式的次数为4.注 32+的极小多项式为110)(24+-=x x x m .5.设E 是域F 的有限扩域,E α∈是F 上的代数元,其极小多项式的次数为n ,证明]:[|F E n .证明 由于E 是域F 的有限扩域,因此∞<];[F E .根据定理1.9,我们有]:)()][(:[]:[F αF αF E F E =.由于α的极小多项式的次数为n ,根据定理 2.6,n F αF =]:)([.这样,根据上式可以断言,]:[|F E n .§3 代数扩域1.设E 是域F 的代数扩域,E α∈,0≠α,证明:存在][)(x F x f ∈使)(1αf α=-. 证明 由于E 是域F 的代数扩域,因此α在F 上是代数的.这样一来,根据定理2.6,][)(αF αF =.显然,)(1αF α∈-.所以存在][)(x F x f ∈使)(1αf α=-.2.设E 是域F 的扩域,E βα∈,是F 上的代数元,证明:1,,-±αβαββα (0≠β)均为F 上的代数元.证明 由于α是F 上的代数元,因此∞<]),([F αF .由于β是F 上的代数元,因此β是)(αF 上的代数元,从而,∞<)](),)(([αF βαF .这样一来,根据定理 1.9,∞<]),)(([F βαF .此外,根据命题1.7,))((),(βαF βαF =.所以∞<]),,([F βαF .由于),(,βαF αββα∈±,根据定理 3.2,βα±和αβ为F 上的代数元.同理,当0≠β时,),(1βαF αβ∈-,因此1-αβ为F 上的代数元..3.设E 是域F 的有限扩域,证明:存在E 中有限多个元素n ααα,,,21 使得),,,(21n αααF E =.证明 设E 是域F 的n (n 为正整数)次扩域(参看定义 1.8).于是E 是域F 上的n 维向量空间.任取E 的一个基n ααα,,,21 ,则),,,(21n αααF E =.§4 分裂域1.证明:)2(Q 是多项式22-x 在Q 上的分裂域.证明 我们已经知道,)2(Q 是Q 的一个扩域,2±是多项式22-x 的仅有的两个根,并且)2(2Q ∈±.显然还有)2,2()2(-=Q Q ,所以)2(Q 是多项式22-x 在Q 上的分裂域.2.证明:多项式14+x 在Q 上的分裂域是Q 的单扩域)(αQ ,其中α是14+x 的一个根.证明 我们有))1(22))(1(22))(1(22))(1(22(14i x i x i x i x x ---+----+-=+, 其中i 表示1-的一个平方根.令 )1(22i α+=,))1(222i α-=,)1(223i α+-=,)1(224i α--=. 于是,α是Q 上的代数元.显而易见,14+x 是α在Q 上的极小多项式.因此)(αQ 是Q 上的四维向量空间,并且32,,,1ααα是)(αQ 的基.由于)(32αααQ ∈-=,)(33αααQ ∈=,)(4αααQ ∈-=, 因此),,,()(432αααααQ Q =.所以多项式14+x 在Q 上的分裂域是Q 的单扩域)(αQ .3.设)(x f 是域F 上的n (0>)次多项式,E 是)(x f 在域F 上的分裂域,证明:!]:[n F E ≤.证明 不妨设)())(()(21n αx αx αx a x f ---= .对于每一个}1,,2,1{-∈n i ,令 )())(()(21i i αx αx αx a x q ---= ,)())(()(21n i i i αx αx αx x f ---=++ . 于是,)()()(x f x q x f i i =,11-≤≤n i .显然,对于每一个}1,,2,1{-∈n i ,)(x f 和)(x q i 都是),,,(21i αααF 上的多项式.这样,由)()()(x f x q x f i i =可知)(x f i 也是),,,(21i αααF 上的多项式.将1+i α在),,,(21i αααF 上的极小多项式记做)(1x m i +.由0)(1=+i i αf 可知i n x m i -≤+))(deg(1.再将1α在F 上的极小多项式记做)(1x m .由0)(1=αf 可知,n x m ≤))(deg(1.这样一来,根据定理1.9,我们有]:),,,([];[21F αααF F E n =)],,,(:),,([)](:),([]:)([121211211-⋅⋅⋅=n n αααF αααF αF ααF F αF ))(deg())(deg())(deg(21x m x m x m n ⋅⋅⋅=!12)1(n n n =⋅⋅⋅-⋅≤ .§5 有限域1.证明:四元域不能同构于八元域的子域.证明 设E 是八元域,F 是E 的子域.若F 同构于四元域,则F 也是四元域,并且2]:[≥F E .任取F E α\∈,则α,1线性无关.令},|{F b a αb a S ∈+=.于是,一方面,由于E S ⊆,因此S 至多有8个不同元素;另一方面,显然S 有16个不同元素.这个矛盾表明,四元域不能同构于八元域的子域.2.设F 是元素个数为n p 的有限域,证明:F 中每个元素都有唯一的p 次根. 证明 将F 的素子域记做K .于是,p K Z ≅.根据定理5.3和定理5.4,F 就是多项式][)(x K x x x f n p ∈-=的所有的根组成的集合.因此ααp p n =-)(1,F α∈∀.这就是说,F 中每个元素α都以1-n p α为自己的p 次根.假设β也是α的p 次根,则 0)()(11=-=---p p p p p n n αβαβ,从而,1-=n p αβ.所以α的p 次根是唯一的.3.设有限域F 的特征为p 且对于任意的F a ∈都有a a p =,证明:p F Z ≅. 证明 将F 的素子域记做K .于是,p K Z ≅,并且n p F =||,其中n 为正整数.考察多项式][)(x K x x x f p ∈-=:由命题5.2的证明可知,)(x f 在K 上的分裂域是p 元域.由于对于任意的F a ∈都有a a p =,因此任意的F a ∈都是)(x f 的根,从而,1=n .所以K F =,从而,p F Z ≅.4.设F 是元素个数为q 的有限域,][)(x F x f ∈,证明:)())((q q x f x f =. 证明 不妨设F 的特征为p ,m p q =,k nk k x a x f ∑==0)(.于是,a a q =,F a ∈∀.下面我们对n 施行数学归纳法.当0=n 时,显然有)())((q q x f x f =.假设当1-=r n (r 为正整数)时有)())((q q x f x f =.现在设r n =.根据二项式定理(即第二章§1命题1.3(7)),我们有j r r j q k r k k q j j q r k q r r k k q x a x a C x a x a x f )()())(())((10010--==-=∑∑∑=+=. 显然,当q j <<0时,j q C p |,从而,0)()(10=--=∑j r r j q k r k k j q x a x a C .这样一来,根据归纳假设,我们有r q q r k r k q k q r r q r k k k q x a x a x a x a x f )()()()())((1010+=+=∑∑-=-= )()()(10q r q r r k q k k x f x a x a =+=∑-=.。
线性代数_第三章
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。
北师大版九年级数学下册第三章8圆内接正多边形
n
其中正确的命题有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案 A ①正多边形都有一个内切圆和一个外接圆,这两个圆是同心圆, 圆心是正多边形的中心,故①正确;②各边相等的圆外切多边形的各内角不 一定相等,故不一定是正多边形,如菱形,故②错误;③圆内接矩形的各内角 相等,但不是正多边形,故③错误;④边数是偶数的正多边形既是轴对称图 形又是中心对称图形,而边数是奇数的正多边形只是轴对称图形,不是中心
2.如图,在正八边形ABCDEFGH中,四边形BCFG的面积为20 cm2,则正八边
形的面积为
cm2.
答案 40 解析 如图,连接AD、HE,分别交BG、CF于点O、P、M、N, 则△ABO,△CDP,△EFN,△HGM均为全等的等腰直角三角形,四边形 BCPO、四边形GFNM为全等的矩形. 设正八边形的边长为a cm,
初中数学（北师大版）
九年级 下册
第三章 圆
知识点一 圆内接正多边形 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正
多边形的外接圆. 把一个圆n(n≥3)等分,依次连接各分点,我们就可以作出一个圆内接正n边 形. (1)相关定义:
名称 中心
半径 中心角 边心距
概念
图形
ห้องสมุดไป่ตู้
一个正多边形的外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心
1.正六边形的边心距与边长之比为 ( ) A. 3 ∶3 B. 3 ∶2 C.1∶2 D. 2 ∶2
答案 B 如图,设正六边形ABCDEF的边长为2a,O为正六边形的中心,连 接OA、OB,作OM⊥AB于M, ∴△OAB是等边三角形, ∴OA=OB=AB=2a,AM=BM=a. 在Rt△OAM中,由勾股定理可得OM= 3 a, 则正六边形的边心距与边长之比为OM∶AB= 3 a∶2a= 3 ∶2,故选B.
2018-2019学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式课件新人教B版必修
三者的大小关系?
a=b 时等号成立.利用作差
法即可证明.
2 ( ������ + ������ ) 提示:a2+b2≥ ≥2ab,当且仅当 2
一
二
三
3.做一做:已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( ) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得 |ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
������+������ 2 (a,b>0),当且仅当 2 ������+������ a,b,数 2 叫做
������+������
a,b 的算术平均值,数 ������������
a=b
1 ②a+������≥2(a>0),当且仅当 a=1 时,等号成立. ������ ������ ③������ + ������≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时,等号成立.
一
二
三
2.均值不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何?请对此进行讨论. 提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥ 2 ������������ 中,a,b>0. (2)两者都带有等号,等号成立的条件从形式上看是一样的,但实 质不同(范围不同). (3)证明的方法都是作差比较法. (4)都可以用来求最值. 3.当利用均值不等式求最大(小)值,等号取不到时,如何处理? 提示:等号取不到时,可利用函数的单调性等知识来求解.
第3章_程序的正确性证明
…实例…
(1) 分析这一段说明，列出原因和结果
原因:
1. 售货机有零钱找 2. 投入1元硬币 3. 投入5角硬币 4. 押下橙汁按钮 5. 押下啤酒按钮
建立中间结点，表示处理中间状态
11. 投入1元硬币且押下饮料按钮 12. 押下〖橙汁〗或〖啤酒〗的按钮 13. 应当找5角零钱并且售货机有零钱找 14. 钱已付清
程序测试
1983年IEEE提出的软件工程术语中给软件测试下的定 义是：“使用人工或者自动手段来运行或测定某个系 统的过程，其目的在于检验它是否满足规定的需求或 是弄清预期结果与实际结果之间的差别。”
测试是程序的执行过程，目的在于发现错误。 一个好的测试用例在于能发现至今未发现的错误； 一个成功的测试是发现了至今未发现的错误的测 试。
…实例…
结果：
21. 售货机〖零钱找完〗灯亮 22. 退还1元硬币 23. 退还5角硬币 24. 送出橙汁饮料 25. 送出啤酒饮料
(2) 画出因果图。所有原因结点列在左边，所有结果 结点列在右边。 (3) 由于 2 与 3 ，4 与 5 不能同时发生，分别加上约束 条件E。 (4) 因果图
…实例…
对一个具有多重选择和循环嵌套的程序，不同的路 径数目可能是天文数字。给出一个小程序的流程 图，它包括了一个执行20次的循环。 包含的不同执行路径数达520条，对每一条路径进行 测试需要1毫秒，假定一年工作365 × 24小时，要想 即使能完成这样 把所有路径测试完，需3170年。
的测试，也不意 味差程序没有错 误。如：x=x+z, 错误写成x=x-z,且 当z=0时，这种错 误仍然难以发 现。 测试常常是不充分的，它只能 发现某些错误存在，而不能证 明错误的不存在 。
…实例…
《高等数学》 第三章
1
1
2
(b
a)
，所以
arctan b arctan a
1
12
(b a)
„baBiblioteka ．第一节 微分中值定理例 3 证明 arctan x arccot x π ． 2
证明 令 f (x) arctan x arccot x ，则 f (x) 在 R 上可导，且 xR 有
x
第一节 微分中值定理
例 4 如 果 f (x) 在 [a ，b] 上 连 续 ， 在 (a ，b) 内 可 导 ， 并 且
f (a) f (b) 0 ．证明，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () f () ．
证明 令 F (x) f (x)ex ，由已知，不难验证 （1） F(x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） F(x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 又因为 f (a) f (b) 0 ，所以 F(a) F(b) 0 ．因此， F(x) 在 [a ，b] 满足
f (b) f (a) f ( ) ． g(b) g(a) g( )
第二节 洛必达法则
在讲述极限运算法则的时候，经常会遇到类似下面的问题：
（1） lim x2 1 ； x1 x 1
（2） lim x ． x 1 x2
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 2 （拉格朗日中值定理）如果函数 f (x) 满足： （1） f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续； （2） f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 则在 (a ，b) 内至少存在一点 ，使
f ( ) f (b) f (a) ．
平行四边形(三)演示文稿
我思,我进步
运用巩固
思考题： 3.四边形ABCD是菱形时，四边形EFGH是什么特殊图形? 矩形 H A D E
G
B F C
模型:连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行 四边形。 A
E B H
F
D 要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对 角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具 有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂 直)决定了各中点所成四边形的形状。 G C
证明:如图,延长DE至F, 使EF=DE,连接CF. D ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ABC≌△CDA(SAS). ∴AD=CF,∠ADE=∠F. B ∴BD∥CF. ∵AD=BD, ∴BD=CF. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC. 1 ∴DE∥BC,D E B C .
2
E
F
驶向胜利 的彼岸
C
三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于第 三边，且等于第三边的一半。
A
符号语言： 如图，∵DE是△ABC的中位线 1 ∴DE∥BC，DE＝ BC 2
B
D
E
C
这个定理提供了证明线段平行和线段成倍 分关系的根据。
我思,我进步
运用巩固
①已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连接各 边中点所得的三角形周长是多少？ 周长是12
B
技能方面：
中位线定理证明过程中辅助线的添加；
C
证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连接对角线。
独立 作业
知识的升华
第1,2,3,4题.
P94习题3.3
祝你成功！
A .
O
. B
D
创设情境
九年级上数学第三章知识点
第三章证明（三）一．平行四边形的性质1.平行四边形的对边平行。
2.平行四边形的对边相等。
（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
）3.平行四边形的对角相等。
4.平行四边形的邻角互补。
5.平行四边形的对角线互相平分。
6.特别说明：平行四边形是中心对称图形。
二平行四边形的判定方法7..定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
8..定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
9..定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
10..定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
11.定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
三．等腰梯形的性质12.等腰梯形的两腰相等。
13.等腰梯形在同一底上的两个角相等。
14.等腰梯形的两条对角线相等。
四．等腰梯形的判定方法15.定义：两条腰相等的梯形叫等腰梯形。
16.定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
17.两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
五．矩形的性质(5+2)18.矩形具有平行四边形的一切性质。
19..矩形的四个角都是直角。
20.矩形的对角线相等。
六．矩形的判定方法21.有三个角都是直角的四边形是矩形。
22.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
23.对角线相等的平行四边形是矩形。
七．菱形的性质（5+2）24.菱形具有平行四边形的一切性质。
25.菱形的四条边都相等。
26.菱形的对角线互相垂直。
八．菱形的判定方法27.有四条边都相等的四边形是菱形。
28.邻边相等的平行四边形是菱形。
29.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
九．正方形的性质（5+2+2）30.具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
十．正方形的判定方法31.邻边相等的矩形是正方形。
32.对角线垂直的矩形是正方形。
33.有一个角是直角的菱形是正方形。
34.对角线相等的菱形是正方形。
十一三角形的中位线35.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
36．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
《逻辑学》第三章 命题的自然推理
f9 f8 的矛盾式
f13 f4 的矛盾式
f14 f3 的矛盾式 f15 f2 的矛盾式
f10
f12
f7 的矛盾式
f5 的矛盾式
f11 f6 的矛盾式
f16
f1 的矛盾式
随着变项数目的增加，函项数也增加，当变项数目为3时，函项数目达 到256个。但不管函项数是多少，重言式的函项只是一个，矛盾式的函 项也是一个，其余均是可满足式。真值函项有3类，那么，表达真值函 项的真值形式也有3类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）和可满 足式（可真可假式）。当然，每一类真值函项包括很多的真值形式， 而同一类真值函项的真值形式是等值的。
常见的重言式（逻辑规律）
见教科书p83－84
3.2 命题的真值判定方法
真值表方法
真值表的作用
定义作用：5个基本真值形式的真值 表定义了5个真值形式。如，什么是 合取式？回答是，每一支命题为真， 则它为真的 那种真值形 p q p∧q 式，这正是 t t t 合取式的真 值表反映的 f t f 情况。 f f t f f f
AB
例1 1. p q 2. q r 3. P 4. q 5. r 6. pr 例2 1. p q 2. ¬ q 3. P 4. q 5. q∧¬ q 6. ¬ p / ∴ p r AP 1,3 _ 2,4 _ 3,5 +
例3 1. p q 2. r s 3. p∨r 4. P 5.q 6. q∨s 7. r 8. s 9. q∨s 10. q∨s
判定作用： 1、判定一个公式的性质（重言 式，矛盾式或可满足式）； 2、判定任意多个公式的关系 （等值或矛盾等）； 3、判定一个推理是否有效，即 它是否一个重言的蕴涵式或 等值式。
真值表的作法