10.3 最短路问题

Dijkstra最短路算法的特点和适应范围 一种隐阶段的动态规划方法，而且是正向递推 每次迭代只有一个节点获得标记， 若有两个或两个以上节点的标记同时最小， 可任选一个标记； 总是从一个新的标记开始新一轮的标记， 是一种深探法 被框住的标记 Tj 表示 vs 到 vj 的最短路， 因此 要求 dij0，第 k 次迭代得到的标记， 其最短路中最多有 k 个标号的顶点， 因此最多有k1 次迭代.
0 v1 3 2
3
v6 3 v3 1
2.5 2
v9
4 v7 3 2
4
v8
v4
v5
3 3 5
v2
0 v1 3 2
3
v6 3 v3 1
2.5 2
v9
4 v7 2 3
4
4
v4
v8
v5
3 3 5
v2
0 v1 4 3 2
3
v6 5 3 v3 1
2.5 2
v9
4 v7 2 3
4
v4
v8
6 3 3
v5
5
v2
目前公认，在所有的权wij ≥0时，这个算法是寻求 最短路问题最好的算法。
并且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点vs 到任意一个点vj的最短路。
Dijkstra算法基于的事实 如果P是D中从vs 到vj的最短路， vi 是P中的一点， 那么从vs 沿P到vi 路也是从vs 到vi的最短路.
证明：反证法
2
v4
(v1,1)
10
v6
(v4,11)
2
v7
4
v8
(1,)
(1,)
v2
6
(0, 0) 1
(v3,5)
1
2
v5 (v1,) 2
6 3 10
v(v1,) 9
3 4
v
3 1
(v1,3) v3 6
4
2
v8
v4
(v1,1)
10
v6
(v4,11)
2
v7
(v1,)
(v1,)
v2
6
(0, 0)v1
3
min {d12,d16,d42,d47}=min {0+2,0+3,1+10,1+2} =min {2,3,11,3}=2 S经4到达2的最短距离 V={1,2,4}, L12=2
V={1,2,4}
L11=0
1
2 1
10 L14=1 4
L12=2 2
6
3
5
7 5
9
6
3
4.重复第3步， 一直到t点得 到标号为止
这里说的距离只是权数的代称，
在实际的网络图中，权数也可以是时间、费用等等；
求最短路有两种算法: 一是求从某一点至其他各点之间最短距离的 狄克斯屈拉（Dijkstra）算法； 另一种是求网络图上任意两点之间最短距离 的矩阵算法 –福德（Ford)算法
二、最短路算法
（一）狄克斯屈拉(Dijkstra)算法（ D氏标号法） 1.赋权有向图的Dijkstra算法 下面介绍在一个赋权有向图中寻求最短路的方法— —Dijkstra算法，它是在1959年提出来的。
例： 如图，有一批货物要从v1运到v9，弧旁数 字表示该段路长，求最短运输路线。
v5 3 v2 0 3 2 v3 4 v7 2 v8 3 3 v6 5 2.5
v9 2 4
v1
1
3
v4
v5
3 3 5
v2
0 v1 3 2
3
v6 3 v3 1
2.5 2
v9
4 v7 3 2
4
v8
v4
v5
3 3 5
v2
v5
v2
v3 v1
v4
Dijkstra算法基本思路

也称 D氏标号法（Dijkstra），算法的基本思路：
1.
2.
求从图的一点至其他各点之间最短路
从始点出发，逐步顺序地向外探寻
3.
每向外延伸一步都要求是最短的
算法的标号说明

用dij表示图中两相邻点i与j的距离，若i与j不相邻， 令dij=∞，显然dii=0 用Lsi表示从s点到i点的最短距离，标注于i点旁， 并称i点为标号点, 当有中间点k时, Lsi＝ Lsk ＋dki 标号的点表示已找到它与始点之间的最短路 .
1 3
(v1,6)
1 2
(v1,3) v3 6
v5 (v1,) 2
6 4 3 10
v(1,) 9
3
2
v4
(v1,1)
10
v6
(v1, )
2
v7
4
v8
(1,)
(1,)
v2
6
(v1,6)
1 2
v5 (v1,) 2
6 4 3 10
v(1,) 9
3
v (-, 0) 1
1
3
(v1,3) v3 6
v4
(v1,1)
v6
(v5,10)
2
v7
(v5,12)
(v5,9)
v2
6
(0, 0) 1
(v3,5)
1 2
v5(v2,6)
2 6
v(v1,) 9
3 4
v
3
1
(v1,3) v3 6
4
0 v1 4 3 2
3
5 3 v3
6 v6 1 v7 2.5 2 4 2 3 v9
4
v4
v8
6 3 3
v5
5
v2
0 v1 4 3 2
3
5 3 v3 3
6 v6 1 2.5 2 v9
7
4 v7 2
4
v4
v8
6 3 3
v5
5
v2
0 v1 4 4 v4 3 2
3
5 3 v3 3
6 v6 1 2.5 2
(v3,5)
1
v5 (v2,6) 2
6
3 10
v(v1,) 9
3
4
2
3
v3
2
6 (v1,3) 10
4
1
v8
v4
(v1,1)
v6
(v4,11)
2
v7
(v1,)
(v1,)
v2
6
(0, 0)v1
(v3,5)
1
2
v5(v2,6)
3
2
6
v(v1,) 9
3 4
3 1
v3
2
6 (v1,3) 10
4
10
v8
6 4
2
7 L47=3
3
8
4
8
L16=3
min {d23,d25,d75,d78}=min {2+6,2+5,3+3,3+8} =min {8,7,6,11}=6 V={1,2,4,5,6,7}, L75=6
V={1,2,4,5,6,7}
L11=0 1
2 1
L14=1 4
L12=2 2
6
L23=8 3
2.例10 如图所示的单行线交通网， 每个弧旁边的数字表示通过这条单行线的所需要的费用。 现在有人要从v1出发，经过这个交通网到达v8， 要寻求总费用最小的旅行路线。
v2 6 v1 3
v5
1
2 6 4 2 v4 10 2 v6 10 3
2
v9 3 v8 4
6
1
v7
从v1到v8 的路线是很多的。 比如从v1出发,经过v2 , v5到达v8 或者从v1出发，经过v4 ，v6 ，v7 到达v8 等等。 但不同的路线，所需要的总费用是不同的。 例如，按照第一个线路，总费用是6+1+6=13单位， 按照第二个路线，总费用是1+10+2+4=17单位。 从这个例子中，可以给出一般意义下的最短路问题。


例：求从1到8的最短路径
1 1 3 5 6 4 2 10
2
5 7 2 7 3
6 9 5 4 8
3
4
6
8
V={1}, L11=0
L11=0 1 1 2
2 5
6
9 5 3 4
L14=1 10
4 5 2
3
7
6
4
7
8
1.从点s出发, 因 Lss=0,将此值标注在 3 s旁,表示s点已标号; 2.从s点出发，找出 与s相邻的点中距离 6 最小的一个，设为r。 将Lsr=Lss+dsr的值 标注在r旁，表明点r 也已标号； 此为有向图，注意 8 不可逆向
假设这个结论不成立，设Q是从vs到vi的最短路， 令P’是从vs沿Q到达vi，再从vi沿P到达vj的路， 那么P’的权就比P的权小， 这与P是从vs到vj的最短路矛盾.
• 假定v1→ v2 → v3 → v4是v1→ v4的最短路 • 则v1→ v2 → v3一定是v1→ v3的最短路 • 否则，可设v1 → v3之间的最短路为v1→ v5 → v3， • 就有v1→ v5 → v3 → v4的路必小于v1→ v2 → v3 → v4， 这与原假设矛盾 • 由此可得：要想寻求最短路，只需使每一步都是最短距 离即可.
min {d12,d14,d16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1
V={1,4}, L14=1
V={1,4}
L11=0 1 1 3 5 6 4 2 L14=1 4 2 7 10 7 3 8 L12=2 2 5 5 4 8 6 9 6 3.已标号的点出 发，找出与 这些点相邻 的所有未标 号点p。若有 Lsp=min{Lss +dsp， Lsr+drp},则 对p点标号， 并将Lsp的值 标注在p点旁；