FFT算法介绍
FFT的算法原理应用
FFT的算法原理应用FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算傅里叶变换的算法，它通过分治法和迭代的方式，将O(n^2)时间复杂度的离散傅里叶变换（DFT）算法优化到O(nlogn)的时间复杂度。
FFT算法在信号处理、图像处理、通信系统等领域应用广泛。
1.算法原理：FFT算法的核心思想是将一个长度为n的序列分解为两个长度为n/2的子序列，然后通过递归的方式对子序列进行FFT计算。
在将子序列的FFT结果合并时，利用了傅里叶变换的对称性质，即可以通过递归的方式高效地计算出整个序列的FFT结果。
具体来说，FFT算法可以分为升序计算和降序计算两个过程。
升序计算是将原始序列转换为频域序列的过程，而降序计算则是将频域序列转换回原始序列的过程。
在升序计算中，序列的奇数项和偶数项被分开计算，而在降序计算中，FFT结果被奇数项和偶数项的和和差重新组合成原始序列。
2.算法应用：2.1信号处理：FFT算法在数字信号处理中广泛应用，可以将信号从时域转换为频域，从而实现滤波、降噪、频谱分析等操作。
例如，在音频处理中，可以利用FFT算法对音频信号进行频谱分析，从而实现声音的等化处理或实时频谱显示。
2.2图像处理：FFT算法在图像处理中也有重要的应用。
图像的二维傅里叶变换可以将图像从空间域转换为频域，从而实现图像的频域滤波、频域增强等操作。
例如，可以通过对图像进行傅里叶变换，找到图像中的频域特征，进而实现图像的降噪、边缘检测等功能。
2.3通信系统：FFT算法在通信系统中也有广泛应用，特别是在OFDM （正交频分复用）系统中。
OFDM系统可以将高速数据流分成多个低速子流，然后利用FFT对每一个子流进行频域调制，再通过并行传输的方式将它们叠加在一起。
这样可以提高信号的传输效率和容量，降低频率的干扰。
2.4数据压缩：FFT算法在数据压缩领域也得到了广泛应用。
例如，在JPEG图像压缩算法中，就使用了离散余弦变换（DCT），它可看做是FFT的一种变种。
fft算法是什么
fft 算法是什么
fft 算法是什幺
FFT 算法（fast Fourier transform），即快速傅里叶变换，是指利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT）的高效、快速计算方法的统称，简称
FFT。
快速傅里叶变换是1965 年由J.W.库利和T.W.图基提出的。
采用这种
算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被
变换的抽样点数N 越多，FFT 算法计算量的节省就越显着。
概念
有限长序列可以通过离散傅里叶变换（DFT）将其频域也离散化成有限长序列。
但其计算量太大，很难实时地处理问题，因此引出了快速傅里叶
变换（FFT）。
1965 年，Cooley 和Tukey 提出了计算离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，将DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此，对快速傅
里叶变换（FFT）算法的研究便不断深入，数字信号处理这门新兴学科也随FFT 的出现和发展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了FFT 的多种算法，基本算法是基2DIT 和基2DIF。
FFT 在离散傅里叶反变
换、线性卷积和线性相关等方面也有重要应用。
FFT算法
FFT算法1。
通常的FFT算法：直接计算离散傅立叶变换具有n^2的复杂度，而cooley 和tukey在1965年发现了一种计算离散傅立叶变换的快速算法(即通常所说的FFT算法)，这个算法在计算变换长度n=2^k的离散傅立叶变换时，具有 n*k 的复杂度，即O(n)=n*log2(n), 下面以此为例，讲讲快FFT的特点。
1)复数运算：傅立叶变换是基于复数的，因此首先知道复数的运算规则，在FFT算法中，只涉及复数的加、减和乘法三种运算。
一个复数可表示为 c=( x,yi), x 为复数的实部，y为复数的虚部，i为虚数单位，等于-1的平方根。
复数的运算规则是:若c1 表示为 (x1,y1),c2 表示为(x2,y2),则 (x1+x2,y1+y2)和(x1-x2,y1-y2)分别等于c1+c2的和，c1-c2的差，复数的乘法相对复杂一些，c1*c2的积为 (x1*x2-y1*y2,x1*y2+x2*y1).2)蝶形变换：普通的FFT算法称为基2的FFT算法，这种算法的核心是蝶形变换长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 * n/2 次蝶形变换，若需变换数据表示为一个复数数组c[],则每次蝶形变换有2个输入 c[i],c[i+s],两个输出:c[i],c[i+s]，s成为翅间距。
每个变换的基本算法是：t=wr * c[i+s];c[i+s]=c[i]-t;c[i]=c[i]+t;前面说过，长度为n=2^k1的变换共需要做 k1 * n/2次变换，实际的程序是一个3层循环,共需要k1*k2*(k3/2)次变换(k2*k3/2=n/2)。
前面的wr是w的整数次方，w=e^(-2*PI/k3) (k3=2,4,8,16...n,PI是圆周率)，也成为旋转因子，例如n=32的变换需要log2(32)=5趟变换: 第1趟变换需要16*1次变换，翅间距是1, 若w=e^(-2*PI/2)，则wr=w^1第2趟变换需要8*2次变换，翅间距是2, 若w=e^(-2*PI/4)，则wr=w^1,w^2第3趟变换需要4*2次变换，翅间距是4, 若w=e^(-2*PI/8)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4 第4趟变换需要2*8次变换，翅间距是8, 若w=e^(-2*PI/16)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,w^7,w^8第5趟变换需要16*1次变换，翅间距是16, 若w=e^(-2*PI/32)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5...w^15,w^163)w数组，w 的实部=cos(2*PI/k3),w的虚部= -sin(2*PI/k3),计算出w,则wr数组就好求了，不断即相乘即可，当然也可以通过三角函数直接求。
FFT特征提取算法
FFT特征提取算法
FFT (Fast Fourier Transform) 特征提取算法是一种常用于信号处
理和频谱分析的算法，它通过将信号从时域转换到频域，提取信号频率成
分的方法。
FFT算法的具体步骤如下：
1. 将时域信号分成段落：将连续的时域信号切分成多个窗口，通常
使用汉明窗（Hanning Window）或矩形窗（Rectangular Window）进行窗
口函数处理。
2.进行零填充：对每个窗口的信号进行零填充，将窗口信号长度扩展
到2的幂次方，以提高计算速度。
3.应用快速傅里叶变换：对每个窗口的信号进行FFT变换，将时域信
号转换为频域信号。
4.计算幅度谱或相位谱：从FFT结果中提取对应频率的幅度谱或相位谱，用于表示信号的频率成分。
5.可选的特征提取：根据具体需求，可以对幅度谱或相位谱进行降维、滤波或其他处理，以获得更具体的特征信息。
1.声音信号处理：可以通过提取声音信号频谱特性，实现音频识别、
语音识别和音乐分析等应用。
2.图像处理：可以将图像转换到频域，对图像的频域域特征进行分析，用于图像压缩、滤波和特征提取等任务。
3.通信系统：可用于信号解调、频谱分析和通信信号检测等。
4.生物医学信号处理：包括心电图（ECG）、脑电图（EEG）等生物信号的频谱分析和特征提取。
5.振动信号分析：可用于机械故障检测、结构健康监测和振动信号识别等。
除了FFT算法，还有其他一些相关的频域特征提取算法，如功率谱密度估计、小波变换等。
这些算法在不同领域的信号处理中都具有重要的应用价值。
FFT算法详解
FFT算法详解FFT (Fast Fourier Transform) 是一种高效的离散傅里叶变换算法，用于将时域信号转换为频域信号。
它在信号处理、图像处理、通信领域等具有广泛的应用。
本文将详细介绍FFT算法的原理和实现。
一、傅里叶变换的基本原理傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
它将时域信号分解成多个不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶变换的基本公式为：F(k) = Σ_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-2πikn/N}其中，F(k)是频域信号的复数表示，f(n)是时域信号的复数表示，N是信号长度，k是频率。
二、傅里叶变换的问题传统的傅里叶变换算法的时间复杂度为O(N^2)，计算量较大，不适用于实时处理大型信号。
FFT算法通过分治的思想，将DFT(Digital Fourier Transform)问题转化为多个子问题，从而降低了计算复杂度。
三、蝶形运算蝶形运算的公式为：y_0=x_0+W_N^k*x_1y_1=x_0-W_N^k*x_1其中，x_0、x_1是输入，y_0、y_1是输出，W_N^k是旋转因子，N是信号长度，k是频率。
四、FFT算法的步骤1.将输入信号分成偶数下标和奇数下标的两个子序列。
2.对两个子序列分别进行FFT变换，得到两个子序列的频域表示。
3.将两个子序列的频域表示合并成完整的频域信号。
4.重复上述步骤，直到得到最终的频域信号。
五、FFT算法的实现1.初始化输入信号和旋转因子。
2.将输入信号按照偶数下标和奇数下标分成两个子序列。
3.对两个子序列分别进行FFT变换，递归调用FFT函数。
4.将两个子序列的频域表示合并成完整的频域信号。
5.返回最终的频域信号。
总结：FFT算法是一种高效的离散傅里叶变换算法，通过分治的思想将DFT问题分解为多个子问题，从而降低了计算复杂度。
它在信号处理、图像处理、通信领域等有着广泛的应用。
掌握FFT算法的原理和实现对于理解信号处理技术和提高算法效率具有重要意义。
fft算法原理
fft算法原理FFT算法是快速傅里叶变换( Fast Fourier Transform)的缩写，它是一种高效的计算离散傅里叶变换(DFT)的方法。
傅里叶变换是一种将一个时域信号转换为频域信号的数学技术，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
FFT算法的核心思想是将一个N点的DFT分解为多个较小规模的DFT运算。
具体而言，假设输入序列为x(n)，其中n表示时间（或空间）上的一个离散点。
FFT算法将输入序列分为偶数下标和奇数下标的子序列，分别进行递归的FFT运算。
然后将结果重新组合，得到原始序列的DFT。
首先将输入序列x(n)分为两个子序列x_odd(n)和x_even(n)，其中偶数下标的元素属于x_even(n)，奇数下标的元素属于x_odd(n)。
然后分别对这两个子序列进行递归的FFT运算，得到两个部分的DFT结果X_odd(k)和X_even(k)。
然后将这两个部分的DFT结果重新组合，得到整个输入序列x(n)的DFT结果X(k)。
具体而言，可以利用旋转因子的性质，将X_odd(k)和X_even(k)重新组合成为X(k)的一半。
具体的计算公式如下：X(k) = X_even(k) + W_N^k * X_odd(k)X(k+N/2) = X_even(k) - W_N^k * X_odd(k)其中，k表示频域的一个离散点，取值范围为0到N/2-1；N表示输入序列的长度；W_N表示旋转因子，计算公式为W_N^k = e^(-j*2π*k/N)。
通过递归的方式，FFT算法可以将一个N点的DFT计算时间复杂度从O(N^2)降低为O(NlogN)，大大提高了计算效率。
总之，FFT算法利用分治思想将一个N点的DFT分解为多个较小规模的DFT运算，并通过旋转因子的性质将结果重新组合，从而实现快速的傅里叶变换计算。
它在信号处理和频谱分析等领域得到了广泛的应用，并成为了现代科学和工程中的重要算法之一。
FFT算法设计(含程序设计)
FFT算法设计（含程序设计）简介快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法，它的运算复杂度是O(nlogn)。
FFT在信号处理、图像处理、通信以及其他领域中广泛应用。
本文将介绍FFT算法的原理，并给出一个简单的FFT算法的程序设计示例。
FFT算法原理FFT算法基于DFT的性质，通过利用对称性和周期性，将一个长度为n的序列划分为多个规模较小的子序列，并对其进行逐步变换，最终得到整个序列的傅里叶变换结果。
FFT算法的核心思想是分治法，即将一个长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列，然后对子序列分别进行FFT变换，再进行组合得到原序列的DFT。
具体的步骤如下：1. 如果n=1，DFT即为序列本身；2. 将长度为n的序列划分为两个长度为n/2的子序列，分别为序列A和序列B；3. 对序列A进行FFT变换得到A的傅里叶变换结果；4. 对序列B进行FFT变换得到B的傅里叶变换结果；5. 将A和B的傅里叶变换结果按照以下公式组合得到原序列的傅里叶变换结果：![FFT公式]()FFT算法程序设计示例下面是一个使用语言实现的简单FFT算法的程序设计示例：import cmathdef fft(x):N = len(x)if N <= 1:return xeven = fft(x[0::2])odd = fft(x[1::2])T = [cmath.exp(-2j cmath.pi k / N) odd[k] for k in range(N // 2)]return [even[k] + T[k] for k in range(N // 2)] + [even[k] T[k] for k in range(N // 2)]测试代码x = [1, 2, 3, 4]X = fft(x)print(X)以上代码实现了一个递归版本的FFT算法。
输入序列x为长度为2的幂次的复数序列，输出序列X为其傅里叶变换结果。
现代通信中的FFT算法
现代通信中的FFT算法现代通信技术的发展离不开算法的支持，其中FFT算法是通信领域中最重要的数学算法之一。
在通信领域，FFT算法通过将连续时间函数转化为离散时间函数，大大地提高了通信的速度和效率。
本文将介绍FFT算法的基本原理、应用场景以及优化对策。
一、FFT算法基本原理FFT算法是快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform）的缩写，是一种高效的信号处理算法，在信号压缩、遥感等领域有着广泛的应用。
FFT算法的基本原理是把连续的信号在一定的时间间隔内取样，然后用傅里叶变换公式将其转化为频域上的信息，再通过逆傅里叶变换将其转换回时域信号。
在通信领域，我们通常使用的是离散傅立叶变换（DFT），即将连续信号按照时间间隔取样，然后再进行傅立叶变换。
然而，直接通过DFT计算机算量巨大，效率低下。
FFT算法通过巧妙地将DFT分解为多个小的子问题，从而减少计算量，提高了算法的效率。
二、FFT算法的应用场景FFT算法广泛应用于数字信号处理、信道估计、多载波调制等领域。
以OFDM（Orthogonal Frequency-Division Multiplexing）技术为例，OFDM技术中的多载波信号可以通过FFT算法实现快速的频域处理，从而实现多载波信号的调制和解调。
此外，FFT算法还广泛应用于卫星遥感、医学影像处理等领域。
三、FFT算法的优化对策虽然FFT算法在通信领域中十分重要，但是其高算法复杂度限制了其在实际中的应用。
为了提高FFT算法的效率和性能，研究人员提出了许多优化对策。
以下是一些优化对策的介绍。
1.快速傅立叶变换算法：FFT算法的核心是快速傅立叶变换算法，其中最知名的是Cooley-Tukey算法。
该算法通过将DFT分解为多个小的子问题，在一定的时间复杂度内实现快速傅立叶变换。
2.算法并行化：随着计算机硬件性能的提高，通过并行化算法可以充分利用计算机多核CPU或GPU的并行计算能力，从而提高FFT算法的运算速度。
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其中,
N 2
1
N 2
1
X1(k)
x1
(r
)W
rk
N
x(2r
)W
rk
N
2
2
r 0
r 0
N 2
1
N 2
1
X 2 (k)
x2
(
r
)W
rk
N
x(2r
1)W
rk
N
2
2
r 0
r 0
2.两点结论:
(1) X1(k),X2(k)均为N/2点的DFT。
(2) X(k)=X1(k)+WNkX2(k)只能确定出
这样逐级分解，直到2点DFT
当N = 8时，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)， X6(k)，k = 0, 1
N / 41
1
X3(k)
x3 (l)WNlk/ 4 x3 (l)WNlk/ 4
l0
l0
k 0,1
X 3(0) X 3(1)
x3 (0)W20 x3 (0)W20
W20 x3(1) W21x3(1)
总计
N 2 / 2 N / 2 N N / 2 1 N
N2/2
N2/2
运算量减少了近一半
(二) N/4点DFT 由于N=2 M ,所以 N/2仍为偶数,可以进
一步把每个N/2点的序列再按其奇偶部分
分解为两个N/4的子序列。例如，n为偶 数时的 N/2点分解为:
x1 (2l )
x3 (l),
频率抽选法 DIF: Decimation-In-Frequency
4.2.2、时间抽取法基-2FFT算法基本思想 （基-2 Decimation-In-Time FFT）
1、算法原理
设序列点数 N = 2M，M 为整数。 若不满足，则补零
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x(2) x(2)
WN0 x(6) WN0 x(6)
因此,8点DFT的FFT的运算流图如下
x(0) x(4) WN0 x(2) x(6) WN0 x(1) x(5) WN0 x(3) x(7) WN0
X 3(0)
X3(1)
-1 X4(0)
0
WN
X4(1) WN2 -1 X5(0)
X5(1)
-1
X6(0)
WNnk的特性
WNnk
j 2 nk
e N
对称性
(WNnk )* WNnk WN( N n)k WNn( N k )
WNNk WNnk
WNnN
W nk N
周期性 WNnk WN( N n)k WNn( N k )
可约性
WNnk
W mnk mN
WNnk
W nk / m N /m
j 2 mnk
log2 N 5120
4.2.4 DIF-FFT的运算规律 及编程思想
1）原位计算
运 算 规 律
DIT-FFT的运算过程很有规律，共进行M级运算， 每级由N/2个蝶形运算组成。同一级中，每个蝶形 的两个输入数据只对计算本蝶形有用，与其它蝶形 运算无关。 这样,蝶形运算的两个输出值仍可放回 蝶形运算的两个输入所在的存储器中,这种利用同 一存储单元存储蝶形计算输入、输出的方法即为原 位运算。每一级(列)有N/2个蝶形运算,所以只需N 个存储单元，可以节省存储单元。
第十二讲
第四章 快速傅里叶变换 （FFT）
本章内容：
介绍傅里叶变换的一些快速算法 快速算法的思想
根据原是变换定义的运算规律，及其 中某些算子的特殊性，找出减少乘法和 加法运算次数的有效途径，实现原始变 换的各种高效算法。
本讲学习目标
了解直接计算N点DFT的运算量 了解减少运算量的基本途径 理解按时间抽取的基-2FFT算法的算法原理、
2）旋转引子的变化规律 WNp 的确定
N点DIT―FFT运 算流图中，每级 都有N/2个蝶形。 每个蝶形都要乘 以 因 子 WpN ， 称 其为旋转因子，p 称为旋转因子的 指数。
L 1
WNP
WNJ
WJ 2L
L2
WNP
WNJ
WJ 2L
L3
WNP
WNJ
WJ 2L
一般情况下
J 0 J 0,1 J 0,1,2,3
0
WN
X6(1) WN2 -1
X 1(0)
X (1)
1
X 1(2)
-1 X 1(3)
-1 X 2(0) WN0
X 2(1)
1
WN
X 2(2) WN2
-1 X 2(3)
3
WN
-1
X(0)
X(1)
X(2)
X(3) X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7) -1
4.2.3 基2DIT-FFT算法与直接DFT 运算量的比较
x(0) x(0)
WN0 x(4) WN0 x(4)
不再 做DFT
N / 41
1
X 4 (k)
x4 (l)WNlk/ 4 x4 (l)WNlk/ 4
l 0
l 0
k 0,1
X 4 (0) X 4 (1)
x4 x4
(0)W20 (0)W20
W20 x4 (1) W21x4 (1)
x1(0)=x(0) x1(1)=x(2) x1(2)=x(4) x1(3)=x(6)
x2(0)=x(1) x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
N/2点 DFT
N/2点 DFT
X1(0)
X1(1) X1(2)
X1(3)
X2(0)
X2(1)
0
WN
X2(2) WN1 X2(3) WN2
原位运算的图示
输入数据、中间运算结果和最后输出均用同一存储器。
xx((04))==AA00((01))WN0
L=1A1(0) -1 A1(1)
L=2 A2(0)
0
A2(1)
L=3 A3(0)=X(0) A3(1)=X(1)
xx((26))==AA00((23))WN0 x(1)=A0(4)
. WN
X
e mN
j 2 N
e N2
e j
1
特殊点： WN0 1
W N/2 N
1
W (kN /2) N
WNk
FFT算法的基本思想： 利用DFT 系数的特性，合并DFT 运算中的某些项， 把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。
FFT算法分类: 时间抽选法
DIT: Decimation-In-Time
-A12(7)
3
WN
A3(7)=X(7)
-1
-1
开始时，输入序列的N个数放于此N个存储器内，倒 序重排后仍存于这N个存储器中，每一次迭代运算后 的结果也仍然存于这N个存储器中，整个运算完成后， 这N个存储器中即为所求的频谱序列X(k) （k = 0、 1、…..、 N-1）。这就是所谓的同址计算，这样可以 大大节约存储元件。
. WN2
-1
.
A1(4)
.
-1 .
-A12(. 4)
0
WN
A3(2)=X(2) A3(3)=X(3) A3(4)=X(4)
x(5)=A0(5)WN0 x(3)=A0(6) -1
. . .
WN0
. WN1 . WN2
A3(5)=X(5) A3(6)=X(6)
x(7)=A0(7)WN0 A1(7)WN2
x 2r 1 WN2r1k
r0
r0
N /21
x1 r
WN2
rk
WNk
N / 21
x2
r
W 2 rk N
r0
r0
N / 21
N / 21
x1
r
W rk N /2
WNk
x2
r
W rk N /2
r0
r0
X1 k WNk X2 k r,k 0,1,...N / 2 1
运算流图、所需计算量和算法特点 了解按时间抽取的基-2FFT算法的编程思想
本章作业练习
P127:
4.1 4.2 4.4 4.5
第四章 快速傅里叶变换
FFT: Fast Fourier Transform 1965年，Cooley, Tukey 《机器计算傅里叶级数的一种算法》
4.2 基-2FFT算法
0,1,,
N 4
1
x1 (2l
1)
x4 (l),
0,1,,
N 4
1
进行N/4点的DFT,得到
X 3 (k )
N 4
1
x3
(l
)WNlk/
4
N 4
1
x1
(2l
)WN2l/k2
l0
l0
(偶中偶)
X4(k)
N 4
1
x4
(l
)WNlk/
4
N 4
1
x1(2l
1)WN(2/l21)k
(偶中奇)
l0
l0
来计算。
4.蝶形运算
由X1(k)、X 2(k)表示X(k)的运算是一种特殊的运算-碟形运算
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
前一半(k
0,1,,
N 2
1)
X (k)
X1(k) WNk X 2 (k)
后一半 (k
N 2
,,
N
1)
实现上式运算的流图称作蝶形运算
（N/2个蝶形)
X1(k) 1
X1(k) X3(k) WNk/2 X 4 (k)