专题-高中函数值域的求法(讲义与练习)+

专题 求函数值域的常用方法及值域的应用

三、值域的概念和常见函数的值域........................................... 错误!未定义书签。 四、求函数值域（最值）的常用方法......................................... 错误!未定义书签。

.直接法 ............................................................. 错误!未定义书签。 配方法 .............................................................. 错误!未定义书签。 换元法 .............................................................. 错误!未定义书签。 基本不等式法 ........................................................ 错误!未定义书签。 函数的单调性（导数）法 .............................................. 错误!未定义书签。 数形结合法 .......................................................... 错误!未定义书签。 函数的有界性法 ...................................................... 错误!未定义书签。 分离常数法 .......................................................... 错误!未定义书签。 三角函数中的值域问题 ................................................ 错误!未定义书签。 五、高考真题汇编 ........................................................ 错误!未定义书签。

三、值域的概念和常见函数的值域

1、定义：函数值y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域：

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫

-+∞⎪⎢⎣⎭

，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤

--∞ ⎥⎝

⎦.， 反比例函数()0k

y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x

y a

a a =>≠且的值域为{}0y y >.

对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.

四、求函数值域（最值）的常用方法

.直接法

从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例：求函数2x

y =，[]2,2x ∈-的值域。 1,44

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

例：求函数2

256y x x =-++的值域。 73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦

例 求函数216x y -=的值域。

解析：161602

≤-≤x ， 41602≤-≤∴x

故 所求函数的值域为 []40，

∈y 。 练习

1、求函数()1y x =≥的值域。 )

+∞

2、求函数y = [)1,+∞

3、求函数1y =

+的值域。

4、（2013重庆理）y =

()63a -≤≤的最大值为( )

B.

9

2

C.3

【答案】B

配方法

对于形如()2

0y ax bx c a =++≠或()()()()2

0F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，

均可用配方法求解.

例1：求函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：22

42(2)6y x x x =-++=--+，

∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴2

1(2)9x ≤-≤

∴2

3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤

∴函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例2：求函数的值域：y =

解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =

.又因为

()2

265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =值域为[]0,2.

换元法

利用代数换元，将所给函数转换成易求值域的函数， 形如()

1

y f x =

的函数，令()f x t =；

形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数t =；

[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令

sin ,,22x a ππθθ⎡⎤

=∈-⎢⎥⎣⎦

.

例1.求下列一元二次函数的值域： ;,32)1(2

4

R x x x y ∈+-= .4sin 2cos )3(];

2,1[,324)2(21+--=∈+-=+x x y x y x x

解析： 例

}{;2|.

2),,0[1)

0(,32.

0,,

)4(22≥≥∴+∞∈=≥+-=⇔∴≥∴∈=y y y t t t t y t R x x t 即原函数的值域为：

对称轴方程又原函数令

}{;113|],4,2[13].

4,2[,32].

4,2[],2,1[,

2)5(2≤≤∴∉=∈+-=⇔∴∈∴∈=y y t t t t y t x t x 该函数值域为：

对称轴）同理，

与题（原函数令

}{.62|],

1,1[12].

1,1[,32],

1,1[sin .3sin 2sin 4sin 2)sin 1()6(222≤≤∴-∈=-∈+-=⇔∴-∈=+-=+---=y y t t t t y x t x x x x y 该函数值域为：

对称轴）类似，与题（原函数令原函数变形为

例：求函数的值域：y x =+