人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练(含答案)

人教版数学八年级下册第17章勾股定理专题培优训练（含答案）一．选择题（共11小题）1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．642．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，44．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（）A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c25．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．56．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B．C．D．a2+b2＝2h27．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2008B．2009C．2010D．19．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米．A．0.5B．1C．1.5D．2二．填空题（共6小题）12．点P（﹣5，12）到原点的距离是．13．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝．14．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是．15．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，这块地的面积为．16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．17．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为．三．解答题（共7小题）18．如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C＝90°，求绿地ABCD的面积．19．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．20．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．22．如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？23．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为m；（2）求这棵树高有多少米？24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．参考答案一．选择题（共11小题）1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．64【解答】解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．2．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，∵a2+b2+c2＝1800，∴2c2＝1800，即c2＝900，则c＝30cm．故选：A．3．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A．32，42，52B．C．9，41，40D．2，3，4【解答】解：A、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C、92+402＝412，故是直角三角形，故符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选：C．4．如图：a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（）A．a2+b2＝c2B．ab＝c C．a+b＝c D．a+b＝c2【解答】解：∵a、b、c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，∴a＝AC2，b＝BC2，c＝AB2．又∵在直角△ABC中，AC2+BC2＝AB2．∴a+b＝c．故选：C．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．5【解答】解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝＝3，∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选：A．6．若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）A．ab＝h2B．C．D．a2+b2＝2h2【解答】解：∵ab＝ch∴h＝∴＝∴＝＝＝．故选C．7．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选：D．8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2008B．2009C．2010D．1【解答】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．推而广之，“生长”了2009次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2010×1＝2010．故选：C．9．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．2.7米B．2.5米C．2米D．1.8米【解答】解：由题意可得：AD2＝0.72+2.42＝6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，BC2+AB2＝AC2，∴AB2+1.52＝6.25，∴AB＝±2，∵AB＞0，∴AB＝2米，∴小巷的宽度为0.7+2＝2.7（米）．故选：A．11．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（）米．A．0.5B．1C．1.5D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2.5米，BC＝1.5米，故AC＝＝＝2米，在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5米，CD＝（1.5+0.5）米，故EC＝＝＝1.5米，故AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5米．故选：A．二．填空题（共6小题）12．点P（﹣5，12）到原点的距离是13．【解答】解：∵点P（﹣5，12），∴点P到原点的距离＝＝13．故答案为：13．13．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且DE∥AC，过点E作EF⊥DE，交CB的延长线于点F．若BD＝5，则EF2＝75．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠C＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDB＝30°，∵∠ABC＝60°，∠EDB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝BD＝5，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝10，∴EF2＝DF2﹣DE2＝75．故答案为：75．14．已知：如图，四边形ABDC，AB＝4，AC＝3，CD＝12，BD＝13，∠BAC＝90°．则四边形ABDC的面积是36．【解答】解：连接BC，∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3∴BC＝5，∵BC＝5，BD＝13，CD＝12∴BC2+CD2＝BD2∴△BCD是直角三角形∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABC＝×4×3+×5×12＝36，故答案为：3615．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，这块地的面积为24m2．【解答】解：如图，连接AC由勾股定理可知AC＝＝＝5，又AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2故三角形ABC是直角三角形故所求面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积＝＝24（m2）．16．如图，将一根长12厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米．【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即＝10cm，∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，故答案为2．17．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF＝2，DE＝8，则AB的长为10．【解答】解：依题意知，BG＝AF＝DE＝8，EF＝FG＝2∴BF＝BG﹣BF＝6，∴直角△ABF中，利用勾股定理得：AB＝＝＝10．故答案是：10．三．解答题（共7小题）18．如图，是一块四边形绿地的示意图，其中AB长为24米，BC长15米，CD长为20米，DA长7米，∠C＝90°，求绿地ABCD的面积．【解答】解：连接BD．如图所示：∵∠C＝90°，BC＝15米，CD＝20米，∴BD＝＝＝25（米）；在△ABD中，∵BD＝25米，AB＝24米，DA＝7米，242+72＝252，即AB2+DA2＝BD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+BC•CD＝×24×7+×15×20＝84+150＝234（平方米）；即绿地ABCD的面积为234平方米．19．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求（a+b）2的值．【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b ﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2．；（2）由图可知，（b﹣a）2＝2，4×ab＝10﹣2＝8，∴2ab＝8，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝2+2×8＝18．20．如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE、BC 相交于点F，则有∠BFE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．（1）判断△ABE的形状，并证明你的结论；（2）用含b代数式表示四边形ABFE的面积；（3）求证：a2+b2＝c2．【解答】（1）△ABE是等腰直角三角形，证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠CAE+∠DAE＝90°，又∵AB＝AE，∴△ABE是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积，∴四边形ABFE的面积等于：b2．（3）∵S正方形ACFD＝S△BAE+S△BFE即：b2＝c2+（b+a）（b﹣a），整理：2b2＝c2+（b+a）（b﹣a）∴a2+b2＝c2．21．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，60，61；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．【解答】解：（1）11，60，61；（2）后两个数表示为和，∵，，∴．又∵n≥3，且n为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：11，60，61．22．如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？【解答】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，∴AO⊥BO，∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，∴OB＝16×1.5＝24海里，AB＝30海里，∴在Rt△AOB中，AO＝＝＝18，∴乙轮船每小时航行18÷1.5＝12海里．23．如图，花果山上有两只猴子在一棵树CD上的点B处，且BC＝5m，它们都要到A处吃东西，其中一只猴子甲沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子乙先爬到树顶D处后再沿缆绳DA线段滑到A处．已知两只猴子所经过的路程相等，设BD为xm．（1）请用含有x的整式表示线段AD的长为15﹣x m；（2）求这棵树高有多少米？【解答】解：（1）设BD为x米，且存在BD+DA＝BC+CA，即BD+DA＝15，DA＝15﹣x，故答案为：15﹣x；（2）∵∠C＝90°∴AD2＝AC2+DC2∴（15﹣x）2＝（x+5）2+102∴x＝2.5∴CD＝5+2.5＝7.5答：树高7.5米；24．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，在Rt△ACD中，AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC＝×5x×4x＝40cm2，而x＞0，∴x＝2cm，则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，∴t＝5；当DN∥BC时，AD＝AN，得：t＝6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．②∵点E是边AC的中点，CD⊥AB，∴DE＝AC＝5，当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t＝4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣4＝5，∴t＝9；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝10；如果MD＝ME＝t﹣4，过点E作EF⊥AB于F，如图3所示：∵ED＝EA，∴DF＝AF＝AD＝3，在Rt△AEF中，EF＝4；∵BM＝t，BF＝7，∴FM＝t﹣7则在Rt△EFM中，（t﹣4）2﹣（t﹣7）2＝42，∴t＝．综上所述，符合要求的t值为9或10或．。