八年级数学下册(北师大版)课件：第一章+三角形的证明+专题(一)等腰三角形性质与判定
10．如图，在四边形ABDC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC， AD＝BD. 求证：CD⊥AC.
解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD＝BD，∴AB＝2AE， ∵AB＝2AC，∴AE＝AC，易证△AED≌△ACD， ∴∠ACD＝∠AED＝90°，∴CD⊥AC
类型之四：等腰三角形与勾股定理的综合运用 11．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB于点A， 若BC＝6 cm，求AB的长．
2的运用
类型之一：分类讨论的思想在等腰三角形中的运用 C 1．已知等腰三角形的一个外角为100°，则它的顶角为 ( ) A．80° B．20° C．80°或20° D．80°或40° 2．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰 A 三角形的底角为( ) A．75°或15° B．36°或60°C．75° D．30° 3．若等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则这个 25 等腰三角形的周长为 ___ cm．
1
2018
北师· 数学
y y＋ ＝12， 2
x＝11， 解得 ∵8＋8＞11，∴此种情况成立； y＝8，
y y＋ ＝15， 2 x＝7， 若 解得 ∵10＋10＞7，∴此种情况成立． y y＝10， x＋ ＝12， 2 答：等腰三角形的底边长为 7 cm 或 11 cm
类型之二：角平分线＋平行线(或垂线)⇒等腰三角形 5．如图，△ABC中，CD是角平分线且交AB于D，DE∥BC， 交AC于E，若DE＝3 cm，AE＝4 cm，则AC＝ 7cm ____ ． 6．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D， ∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，若AF＝4，BF＝9， 4 ． 则AE＝ ____
解：设它的底边长为x cm，腰长为y cm，
若解得∵8＋8＞11，∴此种情况成立； 若解得∵10＋10＞7，∴此种情况成立． 答：等腰三角形的底边长为7 cm或11 cm
• 4．已知等腰三角形一腰上的中线把三角 形的周长分成12 cm和15 cm两部分，求 它的底边长．
解：设它的底边长为 x cm，腰长为 y cm，若 y x＋2＝15，
解：AB＝10，分三种情况： ①若AD＝AB＝10，△ABD的周长为20＋4 5 ； ②若BD＝AB＝10，△ABD的周长为32； ③若AD＝BD，设CD＝x，∴x2＋82＝(x＋6)2，
7 解得x＝ 3
80 ，∴△ABD的周长为 3
14．已知△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D 为 BC 的中点，AE＝CF， 连 DE，EF. (1)如图，若 E，F 分别在 AB，AC 上，求证：EF＝ 2DE； (2)若 E，F 分别在 BA，AC 的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？ 请说明理由．
解：连接AE，易证△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°， ∴∠EAD＝90°，DE2＝AD2＋AE2＝AD2＋BD2＝10， CD2＋CE2＝DE2，∴CD＝ 5
13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 点D为射线AC上一点，且△ABD为等腰三角形， 求△ABD的周长．
第5题图
第6题图
7．如图，点P是△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP的 交点，PD∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：BD－CE＝DE.
解：∵PD∥BC，∴∠BPD＝∠PBC，∠CPD＝∠PCF，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACF， ∴∠DBP＝∠PBC，∠ECP＝∠PCF， ∴∠BPD＝∠DBP，∠CPD＝∠ECP，∴BD＝PD，CE＝PE， ∴BD－CE＝PD－PE＝DE
类型之三：活用等腰三角形的“三线合一” 8．已知等腰三角形ABC的周长为40 cm，AD为底边上的高， △ABD的周长为30 cm，则AD＝ 10 cm． 9．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC， AB，AC上，BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点 求证：DG⊥EF.
解：连接DE，DF，易证△BDE≌△CFD，∴DE＝DF，
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°， ∴∠ADB＝60°， 又∠CAD＝60°－30°＝30°， ∴∠CAD＝∠C， ∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∠B＝30°， ∴BD＝2AD＝2CD，∵BC＝6 cm， ∴BD＝4 cm，AD＝CD＝2 cm， ∴AB＝＝2 cm
12．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，D 为AB边上一点，若AD＝1，BD＝3，求CD的长．
解：(1)连 DF，AD，由等腰三角形的三线合一，可得 1 ∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°，AD⊥BC， 2 ∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠C＝45°，∴AD＝CD， 易证△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∴∠EDF＝∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°， 在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得 DE2＋DF2＝EF2， 又 DE＝DF，∴EF＝ 2DE (2)成立，证法同(1)
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
北师大版数学初中八年级下册课件-第1章 三角形的证明-1.1 第1课时 等腰三角形的性质
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
数学课堂教学课件设计
新课讲解
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
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2 等腰三角形的性质及其推论
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
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新课讲解
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
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新课讲解
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. A
D
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
B CE F
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
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1 全等三角形的判定和性质
新课讲解
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 个三角形全等（AAS）.
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上 面的推论吗？
弄清楚证明 一个命题的 一般步骤是 解题的关键
证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知和求证； (4)分析证明思路,写出证明过程.
第1讲 等腰三角形八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
年北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明等腰三角形 1》公开课课件
等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
2、有哪些相等的角？
∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠ A=∠ABD 3、这两组相等的角之间还有什 么关系？
∠BDC=2∠ A
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 °
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A的立柱
AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、
∠CAD的度数.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/232021/7/232021/7/232021/7/237/23/2021
❖ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月23日星期五2021/7/232021/7/232021/7/23
让我们一起 走进美丽的数学世界
细心观察 积极探索 在观察中发现特点 在探索中提高能力
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
共 同 特 点
❖
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/232021/7/23Friday, July 23, 2021
北师大版数学八年级下册1.等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质课件
新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形(第四课时)课件
证明：有一个角等于600的等腰三角形是等
边三角形.
已知：如图，在 ABC中，AB AC，A 60 .
o
你 行 吗 ？
求证：ABC是等边三角形 .
情况二
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A 60o B C 120o (三角形内角和为 180o ) AB AC C B 60o (等边对等角 ) A B (等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形(等边三角形的定义 ).
C B 60o (等边对等角 ) A 60o (三角形内角和为 180o ) A B(等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
定理
在直角三角形中， 300角
所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在RtABC中， A 30o 1 BC AB.(在直角三角形中， 2 30o 角所对的直角边等于斜 边的 一半)
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A B BC AC(等角对等边) A C BC AB(等角对等边) BC AB AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
2014年3月14日星期五 22:59:40
北师大八年级下三角形的证明第1讲：等腰三角形
等腰三角形1、了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2、掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3、理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题；等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.定理：等腰三角形的两底角相等（简称：等边对等角）定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形1、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其余各边为。
2、在等腰△ABC中,其周长为20cm,其中一条边的长度为6cm，则其余各边分别为。
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为。
4、在△ABC中，∠A=40°，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形。
5、如图,AB∥CE,BF交CE于点D,DE=DF,∠F=20°,则∠B的度数为。
6、如图，已知AB=AC=AD，且AD//BC，求证：∠C=2∠D7、如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数。
8、如图,点B 、D 在射线AM 上,点C 、E 在射线AN 上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,则∠A= 。
9、如图,在△ABC 中,D 为AB 上一点,E 为BC 上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE 的度数为 。
等腰三角形的对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.推论：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。
（简称：三线合一）1、下列说话：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形底边上的高是等腰三角形的对称轴；③等腰三角形可能有两条对称轴；④等腰三角形顶角的角平分线是等腰三角形的对称轴；⑤等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴。
8年级 下册 数学北师大版第1单元复习课件
A
B
知识点
五.角平分线 1、性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、逆定理（判定定理）： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这 个角的平分线上. 3、三角形三条角平分线交于一点，这点到三角 形三边距离相等.
知识巩固
已知：如图，在△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4:2：1，
7
知识巩固
25
1．已知等边三角形边长为5cm，则该三角形面积为 4
3cm. 2
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同
一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 15度.
知 识 点 三.直角（Rt ） 三角 形
1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形； 2、性质： （1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 对的直角边等于斜边的一半；（有逆定理哦！） （2）（定理）直角三角形两锐角互余；
知识巩固
1.用反证法证明三角形中，至少有一个角不小于60度.
2.说出下列命题的逆命题，并判断这对命题的真假. (1)直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半， (2)一加一等于二， (3)两直线平行，同旁内角互补， (4)直角三角形两锐角互余.
本章小结
1.各类三角形，性质、判定要记牢； 2.反证法，特定题目显奇效； 3.中垂线，角平分线，性质、判定皆重要； 4.常见尺规作图别忘了！
2、逆定理（判定定理）： 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上. 3、三角形三边垂直平分线交于一点，这点到三个顶点距 离相等.
知识巩固
已知：如图，△ABC中，∠C=120°，边AC的垂直平分 线DE与AC、AB分别交于点D和点E.
1.1等腰三角形第1课时课件八年级数学下册(北师大版)
已知： △ ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 方法三：作底边的高线AD.
B
AB=AC ( 已知 ), 在△BAD和△CAD中，
AD=AD (公共边) ,
D
C
∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
性质2 等腰三角形的“三线合一”
已知： △ ABC中，AB=AC.
A
求证： ∠B= ∠C.
证明： 方法二：作底边的中线AD.
AB=AC ( 已知 ),
B
D
C
在△BAD和△CAD中， BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
证明 性质1 等腰三角形的两个底角相等
A
D
B
C
E
F
已知：如图在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌ △ DEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A+∠B+∠C=180°∠D+∠E+∠F=180° ，
∴∠C=180°-（∠A+∠B），
∠F=180°-（∠D+∠E）. ∵∠A=∠D,∠B=∠E，
A
D
∴∠C=∠F. 又∵BC=EF,∠B=∠E,
∴△ABC≌△DEF（ASA）
B
CE
F
把该等腰三角形沿顶角平分线折叠,你有什么发现？ A
B
C
A
A
A
B
CD
(1) 等腰三角形是轴对称图形; (2) ∠B=∠C;
等腰三角形(3)课件2022-2023学年北师大版八年级数学下册
6.【例3】用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.
证明:①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角, 则∠B＋∠C＝180°,则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. ②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角, 则∠B＋∠C＞180°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. 综上所述,假设①②错误, 所以∠B,∠C只能为锐角. 故等腰三角形两底角必为锐角.
对点训练
1.(北师8下P8、人教8上P77)如图,在△ABC中,∠B＝∠C,求 证:AB＝AC. (提示:添加辅助线,构造全等三角形)
证法一:如图1,作∠BAC的平分线,交BC于点D.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠B＝∠C,AD＝AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB＝AC.
解:(1)∵∠ABC＝∠ACB, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形. ∵BE＝BD＝BC, ∴△BCD,△BED是等腰三角形. ∴图中所有的等腰三角形有:△ABC,△BCD,△BED.
(2)∵∠AED＝114°,∴∠BED＝180°－∠AED＝66°. ∵BD＝BE,∴∠BDE＝∠BED＝66°. ∴∠ABD＝180°－66°×2＝48°. 设∠ACB＝x°,∴∠ABC＝∠ACB＝x°. ∴∠A＝180°－2x°. ∵BC＝BD,∴∠BDC＝∠ACB＝x°. 又∵∠BDC为△ABD的外角, ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD. ∴x＝180－2x＋48,解得x＝76.∴∠ACB＝76°.
等腰 三角形.
9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,EF∥AD,交 AC于点E,交BA的延长线于点F,求证:△AEF是等腰三角形.