逻辑函数的表示及其简化方法
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
第二章 逻辑函数及其简化
L 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 求函数 L AC B D 的反函数：
解： L ( A C) ( B D) 例 求函数 解：
L A B D
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；
A B
如：串联开关电路
逻辑符号和表达式
A B C
P
P = A ·B · C=A×B ×C = A B C
&
真值表：列出输入的所
有状态和输出值。
逻辑1: 表示开关”闭”,灯的” 亮”. 逻辑0: 表示开关”断”,灯的”
A B
断 断 断 闭 闭 断 闭 闭
P
灭 灭 灭 亮
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
B
逻辑符号和表达式
A B C ≥1
真值表：
A B 0 0 0 1 P 0 1 1 1
P = A + B+ C
或逻辑也称逻辑加运算，相当于 集合中的并集，根据并集的概念， 不难确定逻辑加的运算规则： A+B = P 0+ 0 = 0 0+ 1 = 1 1+ 0 = 1
A B P 00 0 0 1 1 1 0 1
第二章 逻辑函数及其简化
2.1 基本概念
2.2 逻辑代数 2.3 逻辑函数的表示方法 2.4 代数法化简逻辑函数 2.5 逻辑函数的卡诺图化简
2.1 基本概念
逻辑门电路：在数字电路中，实现逻辑运算功能的电路。 如：与门、或门、非门。 逻辑状态：在数字电路中；把一个状态分为两种，一种 状态叫逻辑1，另一种状态叫逻辑0 。
名称
逻辑函数及其简化
消去法
运用吸收律 A AB A B 消去多余因子。
L A AB BE A B BE ABE
L AB AC BC
AB A B C
AB ABC
AB C
AB AB C C ABC ABC
AB AC AB AC BC
将某一乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项 进行合并化简。
AB
A
C 00 01 11 10
00 0 1 0
C1 0 1 1 1
B
从逻辑表达式到卡诺图
（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图,方法如下：
逻辑函数包含的最小项，其对应的方格填1。 逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填0。
用卡诺图表示3变量逻辑函数： F ABC ABC ABC ABC
所以：F F * * AC B D B F
不受变量数目的限制。
没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 复杂的逻辑函数化简时需要技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
1. 逻辑函数化简的意义和目标； 2. 逻辑函数的化简方法； 3. 公式法化简的方法和步骤。
逻辑函数的 卡诺图法化简
从真值表到卡诺图
已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。
解 该函数有3个变量，先 画出3变量卡诺图，然 后根据真值表将8个最 小项的取值0或者1填入 卡诺图中对应的8个方 格中即可。
真值表
ABC L
000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 1 110 1 111 1
A AC BD BEF （利用 A AB A ） A C BD BEF （利用 A AB A B ）
化简函数
F A A B A C B D A C E F B F D E F
逻辑函数的化简
不利用随意项 的化简结果为：
Y AD AC D
利用随意项的化 简结果为：
Y D
3、变量互相排斥的逻辑函数的化简 在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量 的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。 变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。
ＢＣ的公因子
3、卡诺图的性质 （1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C 0 1 00 1 0 01 0 1 11 0 1 10 1 0
A B C AB C BC
A BC ABC
AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 0 0 1 11 0 0 0 0
A BC A BC ABC ABC ( A C A C AC AC) B B
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 1 1 1 11 0 1 1 0 10 0 1 0 0
CD
AB
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 0 1 1 0
ＡＤ
ＢＤ
AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 1 0 0 1
ＢＤ
ＢＤ
（3）任何8个（23个）标1的相邻最小 项，可以合并为一项，并消去3个变量。
AB CD 00 01 11 10 00 0 1 1 0 01 0 1 1 0 11 0 1 1 0 10 0 1 1 0
第三章逻辑函数及其化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
三变量最小项的编号表
2、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例13 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
或：
Y AB AB A
代入规则
2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例6 化简函数 解：
Y A B A B CD( E F )
Y A B A B CD( E F ) AB
例7 化简函数
Y ABD C D ABC D( E F EF )
第四节
逻辑函数的卡诺图化简法
用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有 些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍的卡 诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的 逻辑函数化简法。 一、最小项及最小项表达式 1、最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
归纳简化任意逻辑函数的方法：
(1) A AB A （吸收法） AB AC BC AB AC (2) A AB A B （消去法） （3）AB AB A （并项法） （4）A A A A A 1 （配项法）
逻辑函数化简公式
逻辑函数化简公式逻辑函数化简是一种将复杂的逻辑表达式简化为更简洁形式的方法。
通过化简，我们可以减少逻辑电路的复杂性，提高电路的性能和效率。
公式化简的过程涉及到逻辑运算的规则和性质。
下面是一些常见的逻辑函数化简公式：1. 同一律：A + 0 = A，A * 1 = A。
这表示在逻辑表达式中，与0相或的结果是原始信号本身，与1相与的结果是原始信号本身。
2. 吸收律：A + A * B = A，A * (A + B) = A。
这表示当一个信号与另一个信号的与运算结果相或，或者一个信号的与运算结果与另一个信号相与时，结果都是原始信号本身。
3. 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C，A + (B * C) = (A + B) * (A + C)。
这表示在逻辑表达式中，可以将与运算分配到相或的运算中，或者将相或的运算分配到与运算中。
4. 德摩根定律：(A + B)' = A' * B'，(A * B)' = A' + B'。
这表示在逻辑表达式中，如果一个信号取反后与另一个信号相与，或者一个信号取反后与另一个信号相或，相当于原始信号分别与另一个信号取反后的结果相或相与。
通过运用这些公式，我们可以逐步将复杂的逻辑表达式进行化简，从而得到更简洁的形式。
这有助于我们设计更简单、更高效的逻辑电路，并且减少电路的成本和功耗。
然而，化简过程也需要谨慎进行，需要根据具体情况来选择最优的化简策略。
有时候，过度地化简可能会导致逻辑电路的复杂性增加，或者引入一些错误。
因此，在进行逻辑函数化简时，我们需要充分理解逻辑运算的规则和性质，并结合具体的应用场景来进行合理化简。
2.3逻辑代数及其化简
常用逻辑函数表示方法有：1、逻辑真值表2、逻辑表达式3、逻辑图各种表示方法间的相互转换4、工作波形图常用逻辑函数表示形式：1、逻辑函数的八种表示形式2、逻辑函数的标准表示形式标准表示形式间的相互转换= A利用代入规则：五、综合法 合并项法、吸收法、消去法、配项法。
F = AD + A D + AB + AC + BD + ACEF + BEF + DEFG= A(D + D ) + AB + AC + BD + ACEF + BEF = A(1 + B + CEF ) + AC + BD + BEF = A + AC + BD + BEF 加对乘分配率：A + AC = ( A + A)( A + C ) = A + C + BD + BEFF = A( A + B )( A + C )( B + D )( A + C + E + F )(B + F )( D + E + F ) 解：首先将或－与表达式通过求对偶变为与－或表达式，利用 公式法在与－或表达式中进行化简。
（分配率） ' F = A + AB + AC + BD + ACEF + BF + DEF （合并项） = A + AC (1 + EF ) + BD + BF （包含率）= A + AC + BD + BF （分配率） = A + C + BD + BF第二步：将对偶式再次求对偶，得到原函数的最简或－与式。
F = F = AC ( B + D )(B + F )''代数化简法优点 ： 不受变量限制。
缺点：化简方向不明确，一般采用试凑法，要有一定技巧。
对于任何一个逻辑函数的功能描述都可以作出真值表，根 据真值表可以写出该函数的最小项之和及最大项之积的形式。
例：F = A ⊕ B真值表A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F F = 1 的输入变量组合有 AB = 01、10 两组。
= m1 + m 2 = ∑ (1.2 ) 最小项之和： F = A B + A B 0 1 F = 0 的输入变量组合有 AB = 00、11 两组。
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
☞ 本小节作业
请写出三人表决逻辑问题的真值表
授课提纲
1．逻辑函数的表现形式 2．逻辑函数的运算规则 3．逻辑函数的最小项表达式
4．最简逻辑函数 5．复杂逻辑函数的化简
逻辑函数的运算规则---基本原则
为方便逻辑函数表达式的电路实现，可 逻辑运算的3个基本规则如下： 对逻辑函数进行适当的变换处理 代入规则、反演规则、对偶规则 可运用逻辑运算的基本公式、常用公式进 行处理
逻辑函数的最小项表达式--相关定义
逻辑函数的最小项表达式是逻辑函数的 逻辑函数可以用代数表达式来表示， 标准形式，表示形式是唯一的 但表示形式不是唯一的 逻辑函数的最小项，就是将函数的所有变 量组成一与项，与项中函数的所有变量以原 变量或反变量的形式仅出现一次
逻辑函数的最小项表达式是由最小项组成 的与或表达式，可通过最小项的含义来理解
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式
逻辑函数的表现形式--3种表现形式
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式
其中，真值表表现方法唯一 逻辑函数的3种表现形式如上 当然，它们均描述了相同的逻辑功能 表达式与电路图之间具有一一对应关系
逻辑函数的表现形式--3种表现形式
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式
授课提纲
1．逻辑函数的表现形式 2．逻辑函数的运算规则
3．逻辑函数的最小项表达式
4．最简数的表现形式--逻辑函数的定义
某逻辑网络的输入逻辑变量为A1， A2 ...... An，输出逻辑变量为F，当A1， A2 ...... An的取值确定后，F的值就唯一被 确定下来，则称F是A1，A2 ...... An的逻辑 函数，记为F＝ f（A1，A2 ...... An)
可得出逻辑问题求解过程： 逻辑问题---真值表----表达式---电路图
由现实世界的逻辑问题求出其相应逻辑 代数描述的过程称为逻辑抽象
逻辑抽象—实例
逻辑抽象的关键步骤是求出待求逻辑问 逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电路 图等多种表现形式 题的真值表
请求出2个1位二进制数加法的真值表 用A、B表示2个二进制数，S、C表示和及进位 根据2个1位二进制 数加法逻辑功能要求 ，可做出真值表如左 表
可利用对偶式来证明 可利用对偶规则记忆逻辑运算基本公式 2个表达式相等 求对偶式时切记不能改变表达式计算 若两逻辑式相等，则对偶式也相等，这 顺序 就是对偶规则
☞ 本小节作业
已知 Y=A(B+C)+CD，求Y
授课提纲
1．逻辑函数的表现形式
2．逻辑函数的运算规则 3．逻辑函数的最小项表达式
4．最简逻辑函数 5．复杂逻辑函数的化简
其中，真值表表现方法唯一 逻辑函数的3种表现形式如上 当然，也可根据表达式画出电路，请大家 当然，逻辑函数还有如卡诺图、波形图等 请写出上面电路图对应的表达式 当然，它们均描述了相同的逻辑功能 表达式与电路图之间具有一一对应关系 自己练习 表现形式，将在后续内容中介绍
交互
淘气：逻辑函数有这么多表现形式 啊，有什么用途哦！ 猫：这都不知道啊，表达式便于书 写，真值表描述了全部逻辑功能，电路 图方便制作电路喽！
逻辑函数的最小项表达式--最小项实例
代入规则的合理性显然易见
逻辑函数的运算规则---代入规则
为方便逻辑函数表达式的电路实现，可 逻辑运算的3个基本规则如下： 对逻辑函数进行适当的变换处理 代入规则、反演规则、对偶规则 请证明等式 A+BCD= (A+B) (A+C ) (A+D ) 任何一个含有变量 A的等式，如果将所有出 现 A的位置都代之以一个逻辑函数，则等式仍 基本公式： A+BC= (A+B) (A+C ) 成立，这个规则称为代入规则 A+BCD= (A+B) (A+CD ) A+CD= ( A+C ) (A+D )
在逻辑函数 YB 的表达式中，将与（ · ）换 请证明等式 A+ • C = (A+B) • (A+C ) 成或（+），或（+）换成与（· ）；并将1换 对偶式： A • (B+C) = (A • B) +(A • C ) 成0，0换成1；所得的新函数为原函数的对 AB + AC = AB + A C 偶函数
逻辑函数的表现形式--逻辑抽象
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式 可由表达式求出真值表（前面做过介绍） 也可由真值表求出表达式（将在后面介绍）
可得出逻辑问题求解过程： 逻辑问题---真值表----表达式---电路图
逻辑函数的表现形式--逻辑抽象
逻辑函数有真值表、表达式、逻辑电 路图等多种表现形式 可由表达式求出真值表（前面做过介绍） 也可由真值表求出表达式（将在后面介绍）
还可运用逻辑运算的3个基本规则进行运
算
除此以外，对逻辑函数所做的任何处 理均为不合逻辑的处理
逻辑函数的运算规则---代入规则
为方便逻辑函数表达式的电路实现，可 逻辑运算的3个基本规则如下： 对逻辑函数进行适当的变换处理 代入规则、反演规则、对偶规则
任何一个含有变量A的等式，如果将所有出 现A的位置都代之以一个逻辑函数，则等式仍 成立，这个规则称为代入规则
逻辑函数的运算规则---反演规则
为方便逻辑函数表达式的电路实现，可 逻辑运算的3个基本规则如下： 对逻辑函数进行适当的变换处理 代入规则、反演规则、对偶规则
+），或（+）换成与（·）；再将原变量换为反 反演式：(A +BC ) • (C +D) 1换成0，0换成1 变量，反变量换为原变量；并将 ；所得的新函数为原函数的反函数 = AC + BC + AD + BCD = AC + BC + AD
在逻辑函数 Y 的表达式中，将与（·）换成或（ 已知 Y=A(B+C) + CD，求Y
反演规则为逻辑函数运算提供了一个新 利用反演规则对表达式进行运算时切记 如通过原函数不能直观证明 2个函数相等 的思路 时可利用反演规则变换到反函数来实现 不可改变表达式运算顺序
逻辑函数的运算规则---对偶规则
为方便逻辑函数表达式的电路实现，可 逻辑运算的3个基本规则如下： 对逻辑函数进行适当的变换处理 代入规则、反演规则、对偶规则