逻辑函数及其表示方法
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逻辑函数表示方法与运算方法
逻辑函数表达式具有多样性： 如：Y=A+B+C=ABC。 逻辑表达式的几种常见形式：
与或式： Y=AB+BC 或与式： Y=（A+B）（B+C） 与非-与非式：Y=AB BC 与或非式： Y=A B+B C 或非-或非式：Y=A+B + B+C
运算的优先级别：括号→非运算→与运算→或运算
3.逻辑图 : 用逻辑符号表示逻辑表达式的逻辑运算关系的图。逻辑
·<——> + 1 <——>0
F
+ <——> · 0 <——>1
F
Z <——> Z
注意事项：
变换过程中要保持原式中逻辑运算的优先顺序；不是 一个变量上的反号应保持不变。
例：写出下列逻辑函数的反函数。
（1）
F AB CD
（2）
F (A B) (C D)
F ABC DE
F AB CDE
4.常用公式： 利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用公式。
（4）0 1 律 1·A=A ；A+0=A ；0·A=0 ；A+1=1
（5）互补律
A A 0; A A 1
（6）重叠律 A ·A = A ； A + A =A
（7）还原律 A A
（8）反演律—摩根定律
A B A B; A B A B
证明：反演律—摩根定律
A
B
AB A B
0
0
1
1
0
1
1
1
1
逻辑函数表示方法与运算方法
逻辑函数：输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系 称为逻辑函数， Y = F(A、B、C、D…) A、B、C、D输入逻辑变量
与或式： Y=AB+BC 或与式： Y=（A+B）（B+C） 与非-与非式：Y=AB BC 与或非式： Y=A B+B C 或非-或非式：Y=A+B + B+C
运算的优先级别：括号→非运算→与运算→或运算
3.逻辑图 : 用逻辑符号表示逻辑表达式的逻辑运算关系的图。逻辑
·<——> + 1 <——>0
F
+ <——> · 0 <——>1
F
Z <——> Z
注意事项：
变换过程中要保持原式中逻辑运算的优先顺序；不是 一个变量上的反号应保持不变。
例：写出下列逻辑函数的反函数。
（1）
F AB CD
（2）
F (A B) (C D)
F ABC DE
F AB CDE
4.常用公式： 利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用公式。
（4）0 1 律 1·A=A ；A+0=A ；0·A=0 ；A+1=1
（5）互补律
A A 0; A A 1
（6）重叠律 A ·A = A ； A + A =A
（7）还原律 A A
（8）反演律—摩根定律
A B A B; A B A B
证明：反演律—摩根定律
A
B
AB A B
0
0
1
1
0
1
1
1
1
逻辑函数表示方法与运算方法
逻辑函数：输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系 称为逻辑函数， Y = F(A、B、C、D…) A、B、C、D输入逻辑变量
6.逻辑函数及其表示方法
2.6.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的表示方式有： （1）逻辑函数表达式 （2）真值表 （3）逻辑图 （4）波形图 （5）卡诺图
2.6.2
逻辑函数的表示方法
（1）逻辑函数表达式：把输出与输入之间的 逻辑关系写成或、与、非等运算的组合式 即逻辑代数式，就得到了所需的逻辑函数 式。 例如：
写出图示电路的逻辑函数式。
【例】求函数的最简与—或表达式。
F(A, B, C, D) (A D)(B D)(A B)
2.5.5
逻辑函数化简中的若干问题
1．具有无关最小项的逻辑函数的化简问题 （1）约束、约束项和约束条件。 （2）具有无关最小项的逻辑函数的表示方法 （3）具有无关最小项的逻辑函数的化简。
2．具有多个输出逻辑函数的化简问题
（2）标准与—或表达式：由最小项相或构成 的逻辑表达式称为标准与—或表达式，也 叫最小项之和的标准式。 举例说明：
2）逻辑函数的化简：
（1）化简的意义： （a）表达式越简单，它所表示的逻辑关系越明 显。 （b）可以用最少的逻辑门电路来实现这个逻辑 函数，能提高可靠性。 （2）最简的概念： （a）在与—或逻辑式中所包含的乘积项最少； （b）每个乘积项中所包含的因子的个数最少。
2．用卡诺图表示逻辑函数
（1）若逻辑函数的表达式为最小项之和的标准式， 则只要在卡诺图上将最小项对应的小方格标以1 （简称1方格），把剩余的小方格标以0（简称0方 格）即可。 （2）逻辑函数若由真值表给出，则直接根据真值表 在卡诺图中填写，函数值为1的填1，为0的填0 （可省略）。 （3）如给出的是一般逻辑函数表达式，首先将逻辑 函数表达式转换成与或表达式（不必换成最小项 之和形式），然后在卡诺图中把每一个乘积项所 包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的 公因子）处填1，然后叠加起来，而剩下的填0 （可省略）。
2.3-2.5 逻辑代数的公式、定理、表示方法
0 1 2 3 4 5 6 7
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合 ① 在输入变量的任何取值下有一个最小 ③ 任意两个最小项的乘积为0。 ② 全体最小项和为1。 并成一项并消去一对因子。 项，而且仅有一个最小项的值为1。
二、最大项
在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之 和，而且这n个变量均以原变量或反变 量的形式在M中出现一次，则称M为该 组变量的最大项。
？
思考： 2 个。 n个变量的最小项有多少个？
n
三变量（A、B、C）最小项的编号表：
相 邻
A' B ' C ' A' B ' C A' BC ' A' BC AB' C ' AB' C ABC' ABC
相 邻
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
证明： A A' B ( A A' )( A B)
A B
两个乘积项相加时，如果一项取反后是另一 项的因子，则此因子是多余的，可以消去。
(23) AB AB' A
当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和B’ 两个因子而其他因子相同，则两项定能合并，且 可将B和B’消去。
(24) A( A B) A
小结： 掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外
一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成 立。
例如，已知 ( A B) A B (反演律)，若用B+C代替 等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
逻辑函数的五种表示方法
逻辑函数的五种表示方法
逻辑函数是计算机科学中的重要概念，它是由逻辑变量和逻辑运算符组成的表达式。
逻辑函数可以用五种不同的方式来表示，分别是真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑电路和逻辑方程。
1. 真值表
真值表是逻辑函数最基本的表示方法，它列出了所有可能的输入组合和对应的输出值。
真值表可以直观地展示逻辑函数的行为，但是对于复杂的逻辑函数，真值表会变得非常庞大，难以处理。
2. 逻辑表达式
逻辑表达式是逻辑函数的一种代数表示方法，它使用逻辑运算符和逻辑变量来表示逻辑函数。
逻辑表达式可以简化逻辑函数，使得它更易于理解和处理。
逻辑表达式可以使用布尔代数和卡诺图等方法来求解。
3. 卡诺图
卡诺图是一种图形化的逻辑函数表示方法，它使用方格和不同颜色的区域来表示逻辑函数。
卡诺图可以用来简化逻辑函数，减少逻辑门的数量，从而降低电路的成本和功耗。
卡诺图可以用来求解布尔代数和逻辑表达式。
4. 逻辑电路
逻辑电路是逻辑函数的一种物理表示方法，它使用逻辑门和电子元件来实现逻辑函数。
逻辑电路可以用来控制计算机和其他电子设备的行为。
逻辑电路可以使用逻辑表达式和卡诺图等方法来设计和优化。
5. 逻辑方程
逻辑方程是逻辑函数的一种代数表示方法，它使用逻辑变量和逻辑运算符来表示逻辑函数。
逻辑方程可以用来求解逻辑表达式和卡诺图，从而简化逻辑函数。
逻辑方程可以使用布尔代数和其他代数方法来求解。
逻辑函数的表示方法及相互转换
2. 逻辑式→真值表
ABC Y 00 0 0
Y A B C A BC
00 1 1 01 0 1
当A=0，B=0，C=0时，
23 8
Y 0 0 0 0 0 0 0
01 1 0 10 0 1 10 1 1
11 0 1
11 1 1
二 逻辑函数的相互转换
3. 逻辑式→逻辑图
方法：用逻辑符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图。
逻辑函数的表示 方法及相互转换
一 逻辑函数的表示方法
1. 逻辑函数的表示
如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出， 当输入变量的取值确定之后，输出变量的取值便随之 而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。
可表示为：Y=F(A,B,C,…)
一 逻辑函数的表示方法
2. 逻辑函数的表示方法有5种
（1）逻辑真值表（真值表）
（2）逻辑函数式（逻辑式或函数式）
（3）逻辑图
（4）波形图
（5）卡诺图
它们之间可以相互转换。
一 逻辑函数的表示方法
①逻辑真值表
唯一性
Y＝A•B
A
B
Y
0
00
0
10
1
00
1
11
一 逻辑函数的表示方法
②逻辑函数表达式
Y＝A•B+A•C 不具有唯一性 简洁、便于化简和转换
一 逻辑函数的表示方法
例：Y A B A B
A B
A
A B
B
二 逻辑函数的相互转换
4. 逻辑图→逻辑式
方法：从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号对应的逻辑式， 即得到对应的逻辑函数式。
G1
例：
G2
第三章逻辑函数及其化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
三变量最小项的编号表
2、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例13 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
或：
Y AB AB A
代入规则
2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例6 化简函数 解：
Y A B A B CD( E F )
Y A B A B CD( E F ) AB
例7 化简函数
Y ABD C D ABC D( E F EF )
第四节
逻辑函数的卡诺图化简法
用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有 些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍的卡 诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的 逻辑函数化简法。 一、最小项及最小项表达式 1、最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
归纳简化任意逻辑函数的方法：
(1) A AB A （吸收法） AB AC BC AB AC (2) A AB A B （消去法） （3）AB AB A （并项法） （4）A A A A A 1 （配项法）
逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)
逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)逻辑函数的逻辑功能的五种表示逻辑函数是数学中的一种特殊函数，它主要用于描述不同条件下的逻辑关系。
逻辑函数的逻辑功能可以用多种方式表示，下面将详细介绍五种常见的表示方法。
1. 真值表表示真值表是逻辑函数最常见的一种表示方法，它用表格的形式展示了逻辑函数在不同输入条件下的输出结果。
对于一个逻辑函数，输入条件可以有多个，每个输入条件都有两种可能的取值：真（1）或假（0）。
真值表根据所有可能的输入条件和对应的输出结果，列出了逻辑函数的所有情况。
以与门（AND gate）为例，它的真值表如下所示：输入1 | 输入2 | 输出 ||||——| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 |1 | 1 |2. 真值公式表示真值公式是逻辑函数的另一种常见表示方法，它通过逻辑运算符和逻辑变量来描述逻辑函数的逻辑关系。
逻辑运算符包括与（∧）、或（∨）和非（¬），逻辑变量表示逻辑函数的输入条件。
对于与门来说，它的真值公式可以表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
3. 简化逻辑公式表示简化逻辑公式是在真值公式的基础上，经过化简处理得到的一种简化形式。
化简的目的是通过逻辑代数的运算规则，将逻辑函数表示为更简洁的形式。
继续以与门为例，其真值公式为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
通过逻辑代数的化简规则，可以将其简化为：输出 = 输入 1 × 输入2。
4. 逻辑图表示逻辑图是一种图形化的表示方法，使用逻辑门和连接线来表示逻辑函数的逻辑关系。
逻辑门有与门、或门和非门等，连接线表示逻辑变量之间的输入输出关系。
与门的逻辑图如下所示：and_gateand_gate5. 逻辑符号表示逻辑符号是逻辑函数的一种特殊表示方法，它使用特定的符号来表示逻辑运算符和逻辑变量。
常见的逻辑符号包括∧（与）、∨（或）和¬（非）等。
同样以与门为例，它的逻辑符号表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
逻辑代数--逻辑函数表示方法
A
0
0
1
A⨁1=ҧ
A⨁
ҧ
A⨁0
A 1
0
0
0 1
1
1
0
1
1 1
0
0
1
Y的结果受控于开关K，
, 当闭合
=ቊ
,ҧ 当断开
11
（4）与或表达式→真值表
可以将所有取值依次代入表达
式计算出结果。也可以根据与或运
算的规律填写。
例1-12：列出逻辑函数的真值表。
ഥ
ഥ
Y=A+BC+
①三个输入变量，八种取值组合
写作
Y = f(A、B、C、D……)
A、B、C、D为有限个输入逻辑变量；
f(function)为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。
表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图、
波形图和卡诺图。
6
2. 逻辑函数的表示方法：真值表(truth table)三变量多数表决器的真值表
（1）真值表是将输入逻辑变
若n=2，22=4，二变量的逻辑函数就有4个最小项。
若n=4，24=16，四变量的逻辑函数就有16个最小项……依此类推。
20
② 最小项的下标表示方法
为了叙述和书写方便，通常对最小项进行编号，用符号mi来表示最小
项。
表1-28 三变量全部最小项真值表
A B
C
0 0
0
0 0
1
0 1
0
0 1
1
1 0
m0
m2
m3
m4
m5
m6
m7
1
0
0
0
0
0
0
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C 0 1 0 1 0 1 0 1
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Y 0 0 0 1 0 1 1 1
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输出变量Y
为1表示通过， 为0表示没通过。
第四节 逻辑函数及其表示方法
2.逻辑函数式
三人表决电路真值表
把输入与输出之间的逻辑关系
A B 0 0 写成与、或、非等运算的组合式， 0 0 就得到了逻辑函数式。 0 1 0 1 根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义， 1 0 三人表决电路的逻辑函数式为： 1 0 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7
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M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
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第四节 逻辑函数及其入变量的任何取值下必有一个最大项，
而且仅有一个最大项的值为0。 2. 全体最大项之积为0。 3. 任意两个最大项的和为1。 4. 只有一个变量不同的两个最大项的乘积， 等于各相同变量之和。
2.最大项
定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和， 而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中 出现一次， 则称M 为该组变量的最大项。
n变量的最大项应为2n个。
输入变量的每一组取值， 都使一个对应的最大项的值等于0。
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19
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第四节 逻辑函数及其表示方法
三变量最大项的编号表
最大项
使最大项为0的变量取值
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8
Y
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第四节 逻辑函数及其表示方法
4.各种表示方法间的互相转换
从真值表写出逻辑函数式
一般方法：
（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量 取值的组合。
（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，
其中取值为 1 的写入原变量，
取值为 0 的写入反变量。
（3）将这些乘积项相加，即得输出的逻辑函数式。
课堂练习
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27
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Y
BC
C
13
ABC
上页
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第四节 逻辑函数及其表示方法
从逻辑图写出逻辑函数式 从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应 的逻辑式，即可得到对应的逻辑式。
A
AB
( A B B BC )
B
Y
BC
C
Y ( AB B BC ) BC
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14
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A
B
C
对应的 十进制数
编号
A B C
A B C
A B C
A B C A B C A B C
A B C
A B C
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
20
0 1 0 1 0 1 0 1
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10
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第四节 逻辑函数及其表示方法
从逻辑函数式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式, 求出函数值，列成表。
[例2.4.3]：
已知逻辑函数表达式：
解：
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 1 1 1 1 0 0 1 1 下页
这种逻辑函数是二值逻辑函数。
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2
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第四节 逻辑函数及其表示方法
任何一个具体的因果关系都可以 用一个逻辑函数描述 [例2.4.1]: 三人表决电路： 三人A、B、C当中有两人或两人以上同意时， 表决结果Y为通过，否则表决结果Y为没通过。 表决结果Y的状态（通过与没通过）是 三人A、B、C状态（同意与不同意）的函数。
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15
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第四节 逻辑函数及其表示方法
三变量最小项的编号表
最小项
使最小项为1的变量取值 A B C
对应的 十进制数
编号
ABC ABC ABC
ABC ABC
ABC
ABC ABC
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
16
0 1 0 1 0 1 0 1
展开成最大项之积的形式。 解：已求得
Y mi ( i 1,3,6,7)
i
Y M k M0 M 2 M4 M5
k i
Y ( A B C )( A B C )( A B C )( A B C )
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26
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第四节 逻辑函数及其表示方法
可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式。 [例2.4.6]：给定逻辑函数 则可化为：
Y AB AC
Y AB(C C ) A( B B )C ABC ABC ABC ABC m1 m3 m6 m7
mi ( i 1,3,6,7)
第四节 逻辑函数及其表示方法
第四节 逻辑函数及其表示方法
逻辑函数
逻辑函数的表示方法 逻辑函数的两种标准形式
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1
第四节 逻辑函数及其表示方法
一、 逻辑函数
各种逻辑关系中，输入与输出之间的函数关系， 称为逻辑函数。 表示为： Y F ( A, B , C ,)
变量和输出（函数）的取值只有0和1两种状态，
动画
逻辑函数为： Y F ( A, B , C )
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3
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第四节 逻辑函数及其表示方法
二、逻辑函数的表示方法
常用的表示方法 逻辑真值表 逻辑函数式（逻辑式或函数式） 逻辑图 卡诺图
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4
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第四节 逻辑函数及其表示方法
1.逻辑真值表
将输入变量所有的取值下对应的输出值 找出来列成表格，即可得到逻辑真值表。
Y A BC ABC
求它对应的真值表。
A
ABC
BC
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11
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第四节 逻辑函数及其表示方法
Y A BC ABC
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 BC 0 0 0 1 0 0 0 1
12
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9
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第四节 逻辑函数及其表示方法
[例2.4.2] ：将下图所示真值表转换为逻辑函数式。
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 0 1 1 1
ABC
ABC
ABC
ABC
Y ABC ABC ABC ABC
0 1 2 3 4 5 6 7
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m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
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第四节 逻辑函数及其表示方法
最小项的性质： 1. 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，
而且仅有一个最小项的值为1。 2. 全体最小项之和为1。 3. 任意两个最小项的乘积为0。 4. 具有相邻性的两个最小项之和， 可以合并成一项并消去一对因子。
以三人表决电路为例， 输入变量为1表示同意，0表示不同意，
输出（函数）为1表示通过，0表示没通过。
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5
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第四节 逻辑函数及其表示方法
三人表决电路真值表：
三人表决电路真值表
输入变量A、B、C
为1表示同意， 为0表示不同意；
A 0 0 0 0 1 1 1 1
6
B 0 0 1 1 0 0 1 1
Y AB AC BC
7
C 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 0 0 1 0 1 1 1
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第四节 逻辑函数及其表示方法
3.逻辑图
将逻辑函数中各变量之间的与、或、非等逻辑关系， 用图形符号表示出来， 就可画出表示函数关系的逻辑图。
Y AB AC BC
A B
A C B C
ABC'
Y
0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0 1 1
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第四节 逻辑函数及其表示方法
从逻辑函数式画出逻辑图
用图形符号代替逻辑函数式中的运算符号。 [例2.4.4] ：已知逻辑函数式为
Y ( AB BC ) ABC ，画出对应的逻辑图。
A
B
AB
( AB BC )
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17
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第四节 逻辑函数及其表示方法
相邻性：若两个最小项只有一个因子不同，
则这两个最小项具有相邻性。
ABC ABC ( A A) BC BC
ABC ABC ( A A) BC BC
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18
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第四节 逻辑函数及其表示方法
若给定逻辑函数最小项之和表达式： Y mi 可得其反函数最小项之和表达式：
Y mk
k i
则该逻辑函数的最大项之积形式为：
Y ( mk ) mk M k
k i
25
k i
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第四节 逻辑函数及其表示方法
[例2.4.8]：将逻辑函数 Y AB AC
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第四节 逻辑函数及其表示方法
三、逻辑函数的两种标准形式
1.最小项 定义：在n变量逻辑函数中， 若m为包含n个因子的乘积项，
而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m 中出现一次，
则称m为该组变量的最小项。 n变量的最小项应为2n个。 输入变量的每一组取值， 都使一个对应的最小项的值等于1。
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