全称量词与全称命题

定义
存在量词:在以上命题中,“有些”“至少有一个” “有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的 含义，这样的词叫作存在量词．
特称命题：这样含有存在量词的命题叫作 特称命题．
例如,命题: 有的平行四边形是菱形;
有一个素数不是奇数;
有的向量方向不定; 存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; 有一些实数不能取对数.
抽象概括 由上述例可知：要说明一个全称命题是错误的， 只需找出一个反例就可以了．实际上是要说 明这个全称命题的否定是正确的． 强调 全称命题的否定是特称命题
问题 判断命题是全称还是特称命题，并指出真假．
(1)10,10 ,10 ,10 ,10 中有一个能被 3整除; (2)方程x 5 x 6 0至少有一个负实根 .
抽象概括 由上述例可知：要说明一个特称命题“存在一 些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所 有的对象都不满足这一性质．实际上是要说 明这个特称命题的否定是正确的． 强调 特称命题的否定是全称命题．
例题讲解
例２，写出下列全称命题和特称命题的否定: (1)三个给定产品都是次品; 2 (2)方程 x 8 x 15 0 有一个根是偶数.
归纳：
判断全称命题"x M,p(x)"是真命题的方法：
——需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立
判断全称命题"x M,p(x)"是假命题的方法：
——只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可 （举反例）
强调
在某些全称命题中,有时全称量词可以省略. 如: 末位数字是偶数的整数能被2整除; 正方形是矩形; 球面是曲面.
例题讲解 例１，判断下列命题哪些是全称命题，哪些 是特称命题： （１）奇数是整数； （２）偶数能被２整除； （３）至少有一个素数不是奇数．
解：（１）“奇数是整数”是指“所有的奇数都是 整数”，所以它是全称命题．
（２）“偶数能被２整除”是指“每一个偶数都能 被２整除”，所以它是全称命题．
（３）“至少有一个素数不是奇数”是特称命题．
2）在锐角ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的
充要条件 ________条件。
在数学中,常常见到下列形式的命题: (1)所有正方形都是矩形; (2)每一个有理数都能写成分数形式; (3)如果直线 l 垂直于平面 内的任意一条直 线,那么直线 l 垂直于平面 ; (4)任何实数乘0都等于0; (5)一切三角形的内角和都等于180度.
§3 全称量词和存在量词
复习回顾
什么是充分条件?什么是必要条件? 什么是充要条件?
在给定的真命题“若p则q”中，如果p q,则p是 q的充分条件，q是p的必要条件．如果p q且 q p,则p是q的充要条件．
填写“充分不必要，必要不充分，充要，既 不充分又不必要”。 既不充分又不必要
1）sinA>sinB是A>B的___________条件。
全称命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),…表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，
全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”可用符号简记为：
x M，p( x),
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。 解：（1）假命题； （2）真命题； （3）假命题。
练习：
1 课本 P13
2 判断下列全称命题的真假：
（1）每个指数函数都是单调函数；
（2）任何实数都有算术平方根；
（ 3）
总结: 什么是全称量词? 什么是全称命题?如何来判断一全称命题的 真假性?
在还有一些数学命题中,反映的是对个体或整 体一部分的判断.如: (1)有些三角形是直角三角形; (2)如果两个数的和为正数,那么这两个数中至 少有一个是正数; (3)在素数中,有一个是偶数; 2 (4)存在实数 x ,使得 x x 1 0 .
2
同一全称命题、特称命题，由于自然语言 的不同，可能有不同的表述方法：
命题 全称命题
x M , p( x)
特称命题
x0 M , p( x)
表 述 方 法
①所有的x∈M，p(x)成立 ②对一切x∈M，p(x)成立 ③对每一个x∈M，p(x)成 立 ④任选一个x∈M，p(x)成 立 ⑤凡x∈M，都有p(x)成立
①存在x0∈M，使p(x)成立 ②至少有一个x0∈M，使 p(x)成立 ③对有些x0∈M，使p(x)成 立 ④对某个x0∈M，使p(x)成 立 ⑤有一个x0∈M，使p(x)成 立
小结：
1、全称量词、全称命题的定义。 2、全称命题的符号记法。 3、判断全称命题真假性的方法。 4、存在量词、特称命题的定义。 5、特称命题的符号记法。 6、判断特称命题
命题(1)(2)均是特称命题．且是假命题．
上述两命题的判断可由另一个角度来考查: 2 3 4 5 (1)中只需指出 10,10 ,10 ,10 ,10 中的每一个 数都不能被3整除,就可以说明原命题是错误的. 2 x 5x 6 0 的每一个 (2)也需只指出“方程 根都不是负的”就可说明原命题是错误的．
３，判断下列特称命题的真假
有一个实数
x,使 x
2
2x 3 0
存在两个相交平面垂直于同一条直线;
有些整数只有两个正因数.
什么是存在量词，特称命题．
全称命题和特称命题有什么区别？
判断下列命题是全称命题还是特称命题, 并说明命题的真假: (1)所有的奇数都是素数; (2)数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数; (3)5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0.
均是全称命题,且都为假命题.
从另一个角度来看以上问题,可知 (1)只需指出“有一个奇数不是素数”就可以说明 “所有奇数都是素数”这个全称命题是错误的． (2)只需指出“数列{1,2,3,4,5}中有一项不是偶数” 就可以说明“数列{1,2,3,4,5}的每一项都是偶数” 这个全称命题是错误的． (3)只需指出“５个数{-2,-1,0,1,2}中有一个数不 大于0”就可以说明“5个数{-2,-1,0,1,2}都大于0” 这个全称命题是错误的．
练习 １，下列命题为特称命题的是（ Ｄ ） A 偶函数的图象关于y轴对称 B 正四棱柱都是平行六面体 C 不相交的两条直线是平行直线 D 存在实数大于等于3
２，下列特称命题中真命题的个数是（Ｄ） ①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形 A 0 B 1 C 2 D 3
在上式的命题条件中,我们发现都有“所有”， “每一个”“任何一个”“任意一个”“一切” 样的描述． 定义 全称量词：像上面的描述，在指定范围内， 表示整体或全部的含义，这样的词叫作全 称量词． 全称命题：含有全称量词的命题，叫做 全称命题．
全称命题举例：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。
分析
(1)“三个给定产品都是次品”这是一个全称命题, 要否定它,只需说明“在这三个给定产品中，有 一个产品不是次品”即可．
(2)“方程 x 8x 15 0 有一个根是偶数” 这是一个特称命题，要否定它，只需说明“方 2 程 x 8x 15 0 的每一个根都不是偶数” 即可． 解: (1)命题“三个给定产品都是次品”的否定是： 三个给定产品中至少有一个是正品； 2 x 8x 15 0 有一个根是偶 (2)命题“方程 2 x 8x 15 0 的每一 数”的否定是：方程 个根都不是偶数．