中考突破代数式求值(专题复习)学生版
2023年九年级数学中考一轮复习考点专项突破 第二章 代数式 2
第二章 代数式2.1 整式考点突破考点一 列代数式典例1 10名学生的平均成绩是x ，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是__________分. A.284+x B.1542010+x C.158410+x D.1542010+ 思路导引整个组的平均成绩＝15名学生的总成绩÷15.点拨列代数式，需根据题意，找出题目蕴含的数量关系及正确书写代数式是解决问题的关键. 跟踪训练 11.用代数式表示:a 的2倍与3的和，下列表示正确的是（ ）A.2a-3B.2a ＋3C.2（a-3）D.2（a ＋3）2.某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x 元的衣服以（54x-10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（ ）A.原价减去10元后再打8折B.原价打8折后再减去10元C.原价减去10元后再打2折D.原价打2折后再减去10元3.用一根长为a （单位:cm ）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位:cm ）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ）A.4 cmB. 8 cmC.（a ＋4）cmD.（a ＋8）cm考点二 求代数式的值典例2 已知x 2＋2x ＝-1，则代数式5＋x （x ＋2）的值为___________.思路导引先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可.点拨本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键. 跟踪训练 21.已知a ＋b ＝4，则代数式1＋2a ＋2b 的值为（ ）A.3B.1C.0D.-12.观察如图所示的程序计算，若输出的结果为3，则输入的值m 为__________.A.1B.2C.-1D.-23.已知x ＋2y ＝3，则1＋2x ＋4y ＝____________.考点三 同类项合并同类项典例3 若x a ＋1y 3与21x 4y 3是同类项，则a 的值是_____________. 思路导引所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此可得a 的值. 跟踪训练 31.如果3ab 2m-1与9ab m ＋1是同类项，那么m 等于（ ）A.2B.1C.-1D.02.若8x m y 与6x 3y n 的和是单项式，则（m ＋n ）3的平方根为（ ）A.4B.8C.±4D.±83.若单项式2x m-1y 2与单项式31x 2y n ＋1是同类项，则m ＋n ＝___________. 考点四 规律的探索典例4 如图所示各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是:____________.思路导引根据题意，找出图形的规律，得到第n 个图形的黑点数为n(n+1)+(n-1)=(n+1)2-2，即可求出答案.跟踪训练 41.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，依次下去，第n 个正方形的面积为（ ）A.（2）n-1B.2n-1C.（2）nD.2n2.按一定规律排列的一列数:3，32，3-1,33，3-4，37，3-11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是____________.考点五整式的加减运算典例5计算2a-3a，结果正确的是（）A.-1B.1C.-aD.a思路导引根据合并同类项法则合并即可.点拨整式的加减计算，能熟练掌握去括号及合并同类项法则的内容是解题的关键.跟踪训练 51.下列运算正确的是（）A. 2a＋3b＝5abB. a3·a2＝a5C.（a＋b）2＝a2＋b2D.（a2b）3＝a6b2.计算x＋7x-5x的结果等于___________.3.合并同类项:4a2＋6a2-a2＝_____________.考点六整式的乘、除、乘方运算典例6若3m＝9n＝2.则3m＋2n＝_____________.思路导引首先根据幂的乘方的运算方法，求出32n的值；然后根据同底数幂乘法的运算方法，求出3m＋2n的值为多少即可.点拨此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答.跟踪训练 61.计算a·a2结果正确的是（）A.aB.a2C.a3D.a42.下列运算正确的是（ ）A.3x 3·x 2＝3x 5B.（2x 2）3＝6x 6C.（x ＋y ）2＝x 2＋y 2D.x 2＋x 3＝x 53.若关于x 的二次三项式x2＋ax ＋41是完全平方式，则a 的值是__________. 考点七 整式的混合运算及化简求值典例7 先化简，再求值:（a-1）2＋a （a ＋2），其中a ＝2.思路导引先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x 的值代入计算可得答案.点拨整式的混合运算化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则、去括号法则、合并同类项法则.跟踪训练 71.化简:（x-1）2-x （x ＋7）.2.化简:（a ＋2）（a-2）-a （a ＋1）.3.化简求值:（2x ＋3）（2x-3）-（x ＋2）2＋4（x ＋3），其中x ＝2.中考真题1.（2020·聊城）下列计算正确的是（ ）A.a 2·a 3＝a 6B.a 6÷a -2＝a -3C.（-2ab 2）3＝-8a 3b 6D.（2a ＋b ）2＝4a 2＋b 22.下列计算正确的是（ ）A. 2x ＋3y ＝5xyB.（x ＋1）（x-2）＝x 2-x-2C.a 2·a 3＝a 6D.（a-2）2＝a 2-43.计算（-2a 3）2÷a 2的结果是（ ）A.-2a 3B.-2a 4C.4a 3D.4a 44.（2020·攀枝花）下列式子中正确的是（ ）A.a 2-a 3＝a 5B.（-a ）-1＝aC.（-3a ）2＝3a 2D.a 3＋2a 3＝3a 35.（2020·遂宁）下列计算正确的是（ ）A.7ab-5a ＝2bB.（a ＋a 1）2＝a 2＋21aC.（-3a 2b ）2＝6a 4b 2D.3a 2b ÷b ＝3a 2 6.（2020·达州）如图所示，正方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m ，下列代数式表示正方体上小球总数，则表达错误的是（ ）A.12（m-1）B.4m ＋8（m-2）C.12（m-2）＋8D.12m-167.（2020·枣庄）图1是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a 2-b 28.（2020·乐山）已知3m ＝4，32m-4n ＝2.若9n ＝x ，则x 的值为（ ） A.8 B.4 C.22 D.29.（2020·青海）下面是某同学在一次测试中的计算:①3m 2n-5mn 2＝-2mn ；②2a 3b ·（-2a 2b ）＝-4a 6b ；③（a 3）2＝a5；④（-a 3）÷（-a ）＝a 2.其中运算正确的个数为（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个10.（2020·潍坊）若m 2＋2m ＝1，则4m 2＋8m-3的值是（ ）A.4B.3C.2D.1 11.（2020·盐城）把1-9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”.图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（）A.1B.3C.4D.612.（2020·牡丹江）一列数1，5，11，19，…，按此规律排列，第7个数是（）A.37B.41C.55D.7113.（2020·重庆B）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）A.18B.19C.20D.2114.（2020·安顺）化简x（x-1）＋x的结果是_____________.15.（2020·黔西南）若7a x b2与-a3b y的和为单项式，则y x＝___________.16.（2020·临沂）若a＋b＝1，则a2-b2＋2b-2＝____________.17.（2020·宜昌）数学讲究记忆方法，如计算（a5）2时若忘记了法则，可以借助（a5）2＝a5×a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案.你计算（a2）5-a3×a7的结果是____________.18.（2020·北京）如图所示是某剧场第一排座位分布图.甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票.若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序_______________.19.（2020·黔西南）如图所示，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2020次输出的结果为_____________.20.（2020·宁波）计算:（a ＋1）2＋a （2-a ）.21.（2020·攀枝花）已知x ＝3，将下面代数式先化简，再求值:（x-1）2＋（x ＋2）（x-2）＋（x-3）（x-1）.22.（2020·济宁）先化简，再求值:（x ＋1）（x-1）＋x （2-x ），其中x ＝21.23.（2020·常州）先化简，再求值:（x ＋1）2-x （x ＋1），其中x ＝2.24.（2020·广东）先化简，再求值:（x ＋y ）2＋（x ＋y ）（x-y ）-2x 2，其中x ＝2，y ＝3.25.（2020·荆门）先化简，再求值:（2x＋y）2＋（x＋2y）2-x（x＋y）-2（x＋2y）（2x＋y），其中x＝2＋1，y＝2-1.26.（2020·北京）已知5x2-x-1＝0，求代数式（3x＋2）·（3x-2）＋x（x-2）的值.27.（2020·河北）有一电脑程序:每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B 区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果.已知A，B两区初始显示的分别是25和-16，如图所示.如，第一次按键后，A，B两区分别显示:（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.参考答案考点突破典例1 B跟踪练习1 1.B 2.B 3.B典例2 4跟踪练习2 1.A 2.C 3.7典例3 3跟踪练习3 1.A 2.D 3.4典例4 119跟踪练习4 1.B 2.bc=a典例5 C跟踪练习5 1.B 2.3x 3.9a 2典例6 4跟踪练习6 1.C 2.A 3.±1典例7 解:原式＝a 2-2a ＋1＋a 2＋2a ＝2a 2＋1，当a ＝2时，原式＝5.跟踪训练71.解:原式＝x 2-2x ＋1-x 2-7x ＝-9x ＋1.2.解:原式＝a 2-4-a 2-a ＝-4-a3.解:原式＝4x 2-9-（x 2＋4x ＋4）＋4x ＋12＝4x 2-9-x 2-4x-4＋4x ＋12＝3x 2-1， 当x ＝2时，原式＝3×（2）2-1＝3×2-1＝6-1＝5.中考真题1.C2.B3.D4.D5.D6.A7.C8.C9.D10.D 11.A 12.C 13.C 14.x 2 15.8 16.-117.0 18.丙，丁，甲，乙 19.120.解:原式＝a 2＋2a ＋1＋2a-a 2＝4a ＋1.21.解:原式＝x 2＋1-2x ＋x 2-4＋x 2-x-3x ＋3＝3x 2-6x ，将x ＝3代入，原式＝27-18＝9.22.解:原式＝x 2-1＋2x-x 2＝2x-1，当x ＝21时，原式＝2×21-1＝0. 23.解:原式＝x 2＋2x ＋1-x 2-x ＝x ＋1，当x ＝2时，原式＝2＋1＝3.24.解:原式＝x 2＋2xy ＋y 2＋x 2-y 2-2x 2＝2xy ，当x ＝2，y ＝3时，原式＝2×2×3＝26.25.解:原式＝[(2x ＋y)-(x ＋2y)]2-x 2- xy ＝（x-y ）2-x 2-xy ＝x 2-2xy ＋y 2-x 2-xy ＝y 2-3xy.当x＝2＋1，y＝2-1时，原式＝(2-1)2-3(2＋1)(2-1)＝3-22-3＝-22.26.解:原式＝9x2-4＋x2-2x＝10x2-2x-4，∵5x2-x-1＝0，∴5x2-x＝1.∴原式＝2（5x2-x）-4＝-2.27.解:（1）A区显示的结果为:25＋2a2，B区显示的结果为:-16-6a；（2）这个和不能为负数，理由:根据题意得，25＋4a2＋（-16-12a）＝25＋4a2-16-12a＝4a2-12a＋9＝（2a-3）2，∵（2a-3）2≥0，∴这个和不能为负数.。
2024年河北省中考数学一轮复习考点突破课件：代数式与整式
单
（1）图 2 中阴影部分正方形的边长是_a_-_b__；
解
读
第三节 代数式与整式
中 考
（2）利用图 2 中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式
考 （a+b）2，（a-b）2，ab 之间的数量关系是 __（__a_+_b_）__2_-_4a_b_=_（__a_-_b_）__2__；
考
以单项式
对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一
点 清 单
5. 整式的 除法
起作为商的一个因式.
解
（2）多项式除以单项式：用多项式的每一项除以这个单项式，再
读
把所得的商相加
第三节 代数式与整式
中 考 考 点 清 单 6. 因式分 解解 读
定义：把一个多项式化成几个整式㉛___乘__积__ 的形式，叫做把这 个多项式因式分解.
·
突
破
重
难
题
型
第三节 代数式与整式
链
接
类型二 代数式求值（8 年 4 考）
河
5 ［2018·河北 18 题］若 a，b 互为相反数，则 a2-b2=__0__．
北
8
6 ［2016·河北 18 题］若 mn=m+3,则 2mn+3m-5nm+10=___1__.
年
中
考
·
突
破
重
难
题
型
第三节 代数式与整式
乘法运算的结果一般为和差形式（有时为单项式）.
第三节 代数式与整式
中 考 考 点 十字相乘法分 清 解因式 单 （知识拓展） 解 读
第三节 代数式与整式
中 考
一题串考点
初中数学《代数式求值》中考专项练习(含答案解析》
．
【分析】先将代数式化简为 a2﹣a，再由 2a2﹣7＝2a 可得 a2﹣a＝ ，即可求解．
【解答】解：原式＝（ ﹣
）×
＝
×
＝a（a﹣1） ＝a2﹣a， ∵2a2﹣7＝2a， ∴2a2﹣2a＝7， ∴a2﹣a＝ ，
∴代数式的值为 ，
故答案为： ．
3．（2022•邵阳）已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ 2 ． 【分析】原式前两项提取3变形后，把已知等式变形代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0， ∴x2﹣3x＝﹣1， 则原式＝3（x2﹣3x）+5 ＝﹣3+5 ＝2． 故答案为：2．
【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣ （2×2）2， 第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2， 第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2， 第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2， 第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2， 故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
4．（2022•广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2， 求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝ 3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数 式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 14 ． 【分析】根据x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，可得：b＝3﹣2a，直接代 入所求式即可解答．
代数式重难点突破
1． 若αβ、是一元二次方程2(1)70mx m x m --+-=的实根，且满足10-<α<，01<β<，则m 的取值范围是_________．2． 等腰△ABC 中，8BC =，若AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的根，则m 的值等于____________． 3． 已知抛物线231y x x =-+经过点(),0m ，求代数式28247m m -+的值． 4．已知如下一元二次方程：第1个方程：23210x x +-=； 第2个方程：25410x x +-=； 第3个方程：27610x x +-=； ……按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为 ；第n （n 为正整数）个方程为 ，其两个实数根为 ．5．已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：()212102k x k x ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭； 方程②：()221230x k x k ++--=．（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根， 请说明此时哪个方程没有实数根， 并（3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式()224235a a k a a +-++的值．6. 已知1x =，求代数式225x x +-的值．7.已知，关于x 的一元二次方程220x x m --=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若a ，b 是此方程的两个根，且满足()2213221241a b b a ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，求m 的值．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，我们称关于x 的一元二次方程20bx c ax +-=为“△ABC 的☆方程”． 根据规定解答下列问题：（1）“△ABC 的☆方程” 20bx c ax +-=的根的情况是_____(填序号)；①有两个相等的实数根②有两个不相等的实数根③没有实数根（2）如图，AD 为O e 的直径，BC 为弦，BC AD ⊥于E ，30DBC ∠=︒，求“△ABC 的☆方程”20bx c ax +-=的解；（3）若14x c =是“△ABC 的☆方程” 20bx c ax +-=的一个根，其中a ，b ，c 均为整数，且40ac b -<，求方程的另一个根．9．已知关于x 的一元二次方程()22120mx m x -++=． （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m 的整数值； （3）若此方程的两个实数根分别为1x 、2x ，求代数式()()()()33221212122125m x x m x x x x +-+++++的值．AD10. 已知2250x x --=，求()()()21212242x x x x x ⎛⎫-++--- ⎪⎝⎭的值．11. 已知260x x --=，求代数式()()221110x x x x ---+的值．12. 已知2310x x +-=，求()()()2242131x x x x ++---的值．13．已知2210a a -+=，求代数式2212224a a a a+⎛⎫+⋅ ⎪+-⎝⎭的值．14. 先化简，再求值：已知2320x x --=，求代数式()()()1123x x x x +---的值．15. 已知23a a +=，求代数式22112111a a a a a-+-⋅+-的值．16. 已知2310x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值．17．已知2510a a -+=，求421a a+的值．18. 已知232x x +=-，求2(1)(21)(2)x x x +-++的值．19. 已知224a a +=，求221111121a a a a a +-÷+--+的值．20. 已知20a b +=，其中a 不为0，求22222a ab a abb a b +-÷-的值．21. 已知：关于x 的一元二次方程()()2210x m x m -+++=．（1）求证：方程有两个实数根；（2）设0m <，且方程的两个实数根分别为1x ，2x ，（其中12x x <），若y 是关于m 的函数，且2141x y x =-，求这个函数的解析式．22. 已知a 是关于x 的方程240x -=的解，求代数式()()2117a a a a ++---的值．23. 对于平面直角坐标系中的任意两点11122(,)()P x y P x y 2、，，我们把1122x x y y -+-叫做12P P 、两点间的直角距离，记作12()d PP ，． （1）已知点12(3,4)(1)P P -、，1，那么12P P 、两点间的直角距离12()d PP ，=___________； （2）已知O 为坐标原点，动点()P x y ，满足()1d O P =，，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有满足条件的图形；（3）设()000,P x y 是一定点，(),Q x y 是直线y ax b =+上的动点，我们把()0,d P Q 的最 小值叫做点0P 到直线y ax b =+的直角距离．试求点()2,1M 到直线2y x =+的直角距离．24. 先化简，再求值：21)3(21)m m -++2(，其中m 是方程210x x +-=的根．25. 已知)11a b a b+=≠，求()()a b b a b a a b ---的值.26. 已知3=y x ，求22222()x y x y xy xy y --÷-的值．27. 已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=．（1）求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物线2C 的解析式；（3）点(),A m n 和(),B n m 都在(2)中抛物线2C 上，且A 、B 两点不重合，求代数式33222m mn n -+的值．28. 在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换τ得到点(,)P x y '''，该变换记作),(),(y x y x ''=τ，其中⎩⎨⎧-='+='by ax y by ax x ,(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-τ．(1) 当1a =，且2b =-时，(0,1)τ= ； (2) 若(1,2)(0,2)τ=-，则a = ，b = ；(3) 设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换τ得到点(,)P x y '''．若点P 与点'P 重合，求a 和b 的值．29. 已知3x y =，求()22222x y x y xy xy y --÷-的值．30. 已知50x y -=，求222232x y x yx xy y x y-+⋅-++的值．31. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，23(1+=．善于思考的小明进行了以下探索：设(2a m +=+（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有2222n m a m +++∴222a m n =+，2b mn =．这样小明就找到了一种把类似a +的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若2(a m ++用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，则a =______________，b =_________________________________；（2）利用探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：___+(2___+；（3）若(2a m ++且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？32. 对于平面直角坐标系中的任意两点()111,P x y ，()222,P x y 我们把1212x x y y -+-叫做12P P 、两点间的直角距离，记作()12,d P P ．已知O 为坐标原点，动点(,)p x y 满足(,)d O P =1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；设()000,P x y 是一定点，(),Q x y 是直线y ax b =+上的动点，我们把0(,)d P Q 的最小值叫做0P 到直线y ax b =+的直角距离．试求点(2,1)M 到直线2y x =+的直角距离．(0,-1)(0,1)(1.0)(-1,0)Oxy33. 何小旭老师带领一群学生去露营，何小旭老师自己住在一辆超级大的豪华房车里，其余所有学生都住漏风的帐篷，如果每个帐篷住4名学生，则还有19名学生需要露宿田野，如果大家挤一挤，每6名学生住一顶帐篷，则有一顶帐篷里不空也不满，问，大家一共带了多少帐篷？一共多少学生？34. 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？35. 某饮料厂开发新产品，用A、B两种果汁原料按不同比例混合研制甲、乙两种新型饮料．现在分别有A、B果汁原料19千克、17.2千克，试生产两种饮料共50千克，每种饮料所需A、B果汁原料如下表：（1）利用现有原料，工厂能否完成任务？若能，有几种生产方案？请你设计出来．（假设生产甲种饮料x千克）（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，根据（1）的运算结果，确定当甲种饮料生产多少千克时，甲、乙两种饮料的成本总额y最小？36. 下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表．某食品公司准备将三种食品混合成100kg，混合后每千克含硒不低于5个单位含量，含锌不低于4.5个单位含量．要想成本最低，问三种食品各取多少kg?37. GS公司要将100吨货物运往某地销售，派何小旭与运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需2450元，且同一型号汽车每辆的租金相同．（1）求租用一辆甲型汽车、乙型汽车的费用？（2）若GS公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？并求出最优方案．38．先化简，再求值：221a b a b a b ⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中31,31a b =+=-．39.40.。
2025年九年级中考数学一轮复习考点突破课件：第2讲代数式与整式
变式1 (2024广安)下列对代数式-3x的意义表述正确的是(
A.-3与x的和
B.-3与x的差
C.-3与x的积
D.-3与x的商
C )
变式2 甲、乙两个商贩去同一批发商场购买了两次白糖,两次白糖的价
格有变化,甲每次购买200 kg的白糖,乙每次购买1 000元钱的白糖,若两
次购买的白糖的价格分别为m元/kg和n元/kg(m,n均为正整数,且m≠n),
(2)同类项的判定与系数无关,与字母的排列顺序无关.
2 m-1
n 3
变式 3 若单项式 2x y 与- x y 是同类项,则 m+n 的值是
命题点3
6
.
幂的运算(易错点)
例4 (2024德阳)下列计算正确的是(Βιβλιοθήκη B )A.a2·a3=a6
B.-(a-b)=-a+b
C.a(a+1)=a2+1
D.(a+b)2=a2+b2
上解方程求m,n的值可得到结论.
5 3y-4
4x+1 2
例 3 如果单项式 3a b 与- a b 可以合并为一项,那么 x 与 y 的值应分
别为 1和2
.
思路点拨 由单项式可以合并得两个单项式为同类项,根据同类项的定
义可知相同字母的指数相等,从而列出方程组求解.
归律总结
(1)同类项中,相同字母的指数相等;
球数为m,下列代数式表示正方体棱上小球总数,则表达错误的是( A )
A.12(m-1)
B.4m+8(m-2)
C.12(m-2)+8
D.12m-16
思路点拨 正方体有12条棱,每条棱上的小球数为m,则有12m个小球,而
中考专题复习《代数式的化简与求值》练习题(含答案)
中考专题复习代数式的化简与求值类型之一整式的化简与求值【经典母题】已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×1＝7；(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．【中考变形】1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为(C) A．10 B．6 C．5 D．32．已知实数a满足a－1a＝3，则a2＋1a2的值为__11__.【解析】将a－1a＝3两边平方，可得a2－2＋1a2＝9，即a2＋1a2＝11.3．[2017·重庆B卷]计算：(x＋y)2－x(2y－x)．解：原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.4．[2016·漳州]先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)?解：原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1.故该代数式的值与a的取值没有关系．【中考预测】先化简，再求值：(a －b )2＋a (2b －a )，其中a ＝－12， b ＝3. 解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab －a 2＝b 2.当a ＝－12，b ＝3时，原式＝32＝9.类型之二 分式的化简与求值【经典母题】 计算：(1)a b －b a －a 2＋b 2ab ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x －2－x x ＋2·x 2－4x . 解：(1)原式＝a 2－b 2ab －a 2＋b 2ab ＝－2b 2ab ＝－2b a； (2)原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x －2）（x ＋2）·x 2－4x ＝2x 2＋8x x 2－4·x 2－4x ＝2x ＋8. 【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．【中考变形】1．[2017·重庆A 卷]计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2＋a －2÷a 2－2a ＋1a ＋2. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3a ＋2＋a 2－4a ＋2÷（a －1）2a ＋2 ＝（a ＋1）（a －1）a ＋2·a ＋2（a －1）2＝a ＋1a －12．[2017·攀枝花]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1÷x 2－1x 2＋x ，其中x ＝2. 解：原式＝x ＋1－2x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x －1x ＋1·x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x ＋1. 当x ＝2时，原式＝22＋1＝23. 【中考预测】先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3x －3－13－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋1x 2－3x ＋2－2x －2，其中x ＝4. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－4x ＋3x －3＋1x －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（x －1）2（x －1）（x －2）－2x －2 ＝（x －2）2x －3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －2－2x －2＝（x －2）2x －3·x －3x －2 ＝x －2.当x ＝4时，原式＝x －2＝2.类型之三 二次根式的化简与求值【经典母题】已知a ＝3＋2，b ＝3－2，求a 2－ab ＋b 2的值．解：∵a ＝3＋2，b ＝3－2，∴a ＋b ＝23，ab ＝1，∴a 2－ab ＋b 2＝(a ＋b )2－3ab ＝(23)2－3＝9.【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a ＋b ，a －b ，ab 当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．【中考变形】1．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为( C )A ．9B ．±3C ．3D ．52．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：a 2－2ab ＋b 2a 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ，其中a ＝2＋1，b ＝2－1.解：原式＝（a －b ）2（a ＋b ）（a －b ）÷b －a ab ＝a －b a ＋b ·ab b －a ＝－ab a ＋b， 当a ＝2＋1，b ＝2－1时，原式＝－122＝－24. 3．[2017·绵阳]先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y x 2－2xy ＋y 2－x x 2－2xy ÷y x －2y，其中x ＝22，y ＝ 2. 解：原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －y （x －y ）2－x x （x －2y ）÷y x －2y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －y －1x －2y ÷y x －2y＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（x －2y ）－（x －y ）（x －y ）（x －2y ）÷y x －2y ＝－y （x －y ）（x －2y ）·x －2y y ＝－1x －y .当x ＝22，y ＝2时，原式＝－1x －y＝－12＝－22. 【中考预测】先化简，再求值：1a ＋b ＋1b ＋b a （a ＋b ），其中a ＝5＋12，b ＝5－12. 解：原式＝ab ＋a （a ＋b ）＋b 2ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）2ab （a ＋b ）＝a ＋b ab ， ∵a ＋b ＝5＋12＋5－12＝5，ab ＝5－12×5＋12＝1， ∴原式＝ 5.。
中考数学知识点重难点突破与训练5---代数式求值方法梳理
22t
，求 4x 2z
3y 的值 5t
作业12.
若
x 3
=
y 4
=
z 5
，且 3x
2 y + z = 18 ，求 z + 5y
3z 的值；
作业13. 如果 x + y = 2z ，且 x y ，则 x x y + y y z =
题型四 常值代换法求值
常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算
的值为
1 4
，则
4y2
1 + 6y
的值为 1
.
A1
B．－1
C．－ 1 7
D1 5
解析
由
2y2
2 + 3y
+
7
=
1 4
，取倒数得，
2y2
+ 3y 2
+
7
=
4
，即
2y2
+
3y
=1.
( ) 所以 4 y2 + 6 y 1 = 2 2 y2 + 3y
1 = 2×1
1
=
1 ，即
4
y2
1 +6
y
1 =1
变式6
已知
因此，求解等比条件求值问题，若用等比性质来解，需进行复杂的变形，这时选用等比设值
法来解比较好 另外，对等比条件的证明题，运用等比设值法往往可获得巧解
变式8
设
a+2b-5c=0，2a-3b+4c=0(c≠0)，求
3a 2 6a 2
+
2b 2 5b 2
+ +
2024年中考复习-重难点01 代数式规律题与代数式求值(解析版)
重难点01代数式求值与代数式规律题考点一：代数式求值代数式核心考点：1、整式中：同类项与合并同类项、同底数幂的乘除法计算公式、乘法公式、整式的混合运算等；2、分式中：分式的意义、分式的基本性质、分式的化简求值；题型01整式及其运算易错点01：幂的各公式记背⎪⎩⎪⎨⎧∙===∙∙+底数分别乘方的积）（积的乘法，等于各个，指数相乘）（幂的乘方，底数不变数不变，指数相加）（同底数幂的乘法，底n n n n m n m nm n m b a ab a a a a a )()(易错点02：乘法公式的记背与区别完全平方公式：()2222222)(2bab a b a b ab a b a +-=-++=+；首先，需注意公式中ab 乘积项的符号与两数和或差的一致性；其次，公式也是等式，从右往左也可以应用，故应用时要注意两平方项符号的一致性，如：()；2222y x y xy x --=-+-特别注意：当完全平方公式未知项为“中间项”时，答案一般会有两种情况，即正负皆可。
平方差公式：()；22)(b a b a b a -=-+平方差公式从左往右应用，只要一项系数相同，一项系数互为相反数即可，不需要都和公式长的一模一样，而结果特征为符号相同项的平方-符号相反项的平方；如：()；22)(x y y x y x -=---【中考真题练】1．（2023•黑龙江）下列运算正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（a+b）2＝a2+b2C．（xy2）3＝x3y6D．（a5）2÷a7＝a【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方及同底数幂的除法进行计算即可作答．【解答】解：A．不能合并同类项，故本选项不符合题意；B．原式＝a2+b2+2ab，故本选项不符合题意；C．原式＝x3y6，故本选项符合题意；D．原式＝a3，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2023•南充）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据方程组①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，即x+y＝，再根据x+y＝1，得2m﹣n＝3，所以4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．【解答】解：∵方程组，∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，∴x+y＝，∵x+y＝1，∴＝1，∴2m﹣n＝3，∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．故选：D．3．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【分析】根据完全平方公式将原式展开后合并同类项即可．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案为：2a+1．4．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是±2．【分析】利用完全平方式的意义解答即可．【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，∴m＝±2．故答案为：±2．5．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012．【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，故答案为：﹣1012．6．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是25；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，∵a＝3，b＝4，∴a2+b2＝32+42＝25，故答案为：25；（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），∴（m+n）（m+n）＝5，∴（m+n）2＝10，∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，∵a2+b2＝3，∴m2+n2＝，∵（m+n）2＝10，∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，整理得：2mn＝，即mn＝，∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，故答案为：．7．（2023•西宁）计算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．【分析】利用完全平方公式和平方差公式解答即可．【解答】解：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）＝（4a2﹣12a+9）﹣（a2﹣25）＝4a2﹣12a+9﹣a2+25＝3a2﹣12a+34．8．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；（2）利用作差法比较即可．【解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；（2）S1＞S2，理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，又∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，∴S1＞S2．【中考模拟练】1．（2024•天河区校级一模）下列计算，正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．a2+a2＝2a4C．（﹣a2）3＝﹣a6D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求解．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故本选项错误，不符合题意；B、a2+a2＝2a2，故本选项错误，不符合题意；C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项正确，符合题意；D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项错误，不符合题意；故选：C．2．（2024•惠州模拟）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．3．（2023秋•凉山州期末）已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（）A．6B．﹣6C．D．8【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．【解答】解：∵x+y﹣3＝0，∴x+y＝3，∴2y•2x＝2x+y＝23＝8，故选：D．4．（2024•邗江区校级一模）已知a﹣2b＝8，则代数式a2﹣4ab+4b2的值为64．【分析】将代数式a2﹣4ab+4b2因式分解，然后根据a﹣2b＝8，即可解答本题．【解答】解：∵a﹣2b＝8，∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝82＝64，故答案为：64．5．（2024•长安区一模）规定一种新运算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）计算：（3a）☆5＝18a﹣5；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，则x的值为1或．【分析】（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；（2）按照定义的新运算可得：2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，从而整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，然后按照解一元二次方程﹣因式分解法进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：（3a）☆5＝3a•5+3a﹣5＝15a+3a﹣5＝18a﹣5，故答案为：18a﹣5；（2）∵2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，∴2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，（x﹣1）（3x+1）＝0，x﹣1＝0或3x+1＝0，x＝1或x＝﹣，故答案为：1或﹣．6．（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若x满足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2+（x﹣4）2的值．解：设（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a+b＝（6﹣x）+（x﹣4）＝2．所以（6﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．带仿照上例解决下面问题：若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，则（20﹣x）2+（x﹣10）2的值是110．【分析】仿照阅读材料，设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，可得（20﹣x）2+（x﹣10）2＝（a+b）2﹣2ab，代入可得答案．【解答】解：设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，∴（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣5）＝100+10＝110；故答案为：110．7．（2024•南京模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为．【分析】设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝9，m2+n2＝51，求出mn即可．【解答】解：设AC＝m，CF＝n，∵AB＝9，∴m+n＝9，又∵S1+S2＝51，∴m2+n2＝51，由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴92＝51+2mn，∴mn＝15，＝mn＝，∴S阴影部分即：阴影部分的面积为．故答案为：．8．（2024•重庆模拟）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝11．【分析】利用多项式乘多项式法则先计算（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b），再根据积的展开式中不含x2项和x3项求出a、b的值，最后计算a﹣b．【解答】解：（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b＝2x4﹣（2a+1）x3+（a+b+12）x2﹣（ab+6）x+6b．∵（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，∴﹣（2a+1）＝0，且a+b+12＝0．∴a＝﹣，b＝﹣．∴a﹣b＝﹣﹣（﹣）＝﹣+＝11．故答案为：11．9．（2024•郸城县二模）（1）计算：；（2）化简：（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x﹣y）2．【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂的性质，先算乘方、开方和去掉绝对值符号，再算加减即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式计算乘方和乘法，最后合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝4x2﹣4x2+4xy﹣y2﹣y2＝4xy﹣2y2．10．（2024•文水县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务，妙用平方差公式解决问题学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：例计算+观察算式发现：如果将乘这时可以连续运用平方差公式进行计算，为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．解：原式＝＝＝＝＝＝2﹣+＝2．以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程．任务：（1）请仿照上述方法计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1；（2）请认真观察，计算：．【分析】（1）仿照题中给出的方法计算即可；（2）根据平方差公式分别计算，再根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：（1）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）+1＝（38﹣1）（38+1）+1＝316﹣1+1＝316；（2）＝＝＝＝．题型02分式及其化简计算易错点01：分式的判断只需要确定分母中含有未知数即可，不需要看化简后的结果；易错点02：分式的值为0时，必须同步保证分母是有意义的，也就是分母不等于0，否则分式无意义；解题大招01：若0＞B A ，则A、B 同号；若0＜BA，则A、B 异号；解题大招02：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数既要方便计算，又尽可能大点；【中考真题练】1．（2023•赤峰）化简+x ﹣2的结果是（）A ．1B ．C ．D ．【分析】利用分式的加法法则进行计算即可．【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D ．2．（2023•河北）化简的结果是（）A ．xy 6B ．xy 5C ．x 2y 5D ．x 2y 6【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．【解答】解：x 3（）2＝x 3•＝xy 6，故选：A ．3．（2023•凉山州）分式的值为0，则x 的值是（）A ．0B ．﹣1C ．1D ．0或1【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．4．（2023•北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠2．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．5．（2023•宁夏）计算：+＝．【分析】利用同分母分式的加法法则运算即可．【解答】解：原式＝＝．故答案为：．6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为1．【分析】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．【解答】解：∵+＝1，∴+＝＝1，∴ab＝2a+b，∴＝＝＝1．故答案为：1．7．（2023•大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为﹣1或3或1．【分析】根据零指数幂可得x+1＝0，根据有理数的乘方可得x﹣2＝1；x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，再解即可．【解答】解：由题意得：①x+1＝0，解得：x＝﹣1；②x﹣2＝1，解得：x＝3；③x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，解得：x＝1，故答案为：﹣1或3或1．8．（2023•大连）计算：（+）÷．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝．9．（2023•丹东）先化简，再求值：，其中．【分析】先算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可．【解答】解：原式＝[﹣]×＝（﹣）×＝×＝；∵x＝（）﹣1+（﹣3）0＝2+1＝3，∴原式＝＝1．10．（2023•宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•+3＝•+3＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．11．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．【中考模拟练】1．（2024•珠海校级一模）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解．【解答】解：，故A错误，不符合题意；，故B错误，不符合题意；，故C错误，不符合题意；，故D正确，符合题意；故选：D．2．（2024•绵阳模拟）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三数的大小为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】利用负整式指数幂的性质、零次幂的性质分别进行计算即可．【解答】解：a＝﹣3﹣2＝﹣，b＝＝9；c＝＝1，∵﹣＜1＜9，∴a＜c＜b，故选：A．3．（2024•运城模拟）化简的结果是（）A．B．C．D．1【分析】根据分式的加减法运算法则和顺序计算即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝1，故选：D．4．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】先利用异分母分式加减法法则化简要求值代数式，再整体代入得结论．【解答】解：∵﹣＝﹣＝＝﹣．当x﹣y＝3xy时，原式＝﹣＝﹣3．故选：A．5．（2024•湖州一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解．【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，解得：x≠5．故答案为：x≠5．6．（2024•西城区校级一模）如果分式的值为0，则x的值是0．【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．【解答】解：由题意得，x（x﹣2）＝0，x﹣2≠0，解得，x＝0，故答案为：0．7．（2024•新疆模拟）当a＝﹣2时，代数式的值为0．【分析】先根据分式的加减法把原式进行化简，再把a＝﹣2代入求值即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣a﹣2，当a＝﹣2时，原式＝2﹣2＝0．故答案为：0．8．（2024•凤翔区一模）化简：．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．【解答】解：原式＝＝＝2a﹣4．9．（2024•绵阳模拟）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）＝2﹣1﹣++1﹣＝2；（2）＝÷＝•＝＝，当时，原式＝＝+1．10．（2024•天河区校级一模）先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．【解答】解：原式＝（﹣）÷＝•＝•＝•＝﹣，∵x+1≠0，x﹣2≠0，∴x≠﹣1，x≠2，∴当x＝0时，原式＝﹣＝1．11．（2024•兴庆区校级一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．请根据如表的“接力游戏”回答问题：接力游戏老师：化简：甲同学：原式＝乙同学：＝丙同学：＝丁同学：＝．任务一：①在“接力游戏”中，丁同学是依据C进行变形的．A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．分式的基本性质D．乘法分配律②在“接力游戏”中，从乙同学开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号．任务二：请你写出该分式化简的正确结果﹣．【分析】①利用分式的相应的运算法则进行分析即可；②利用分式的运算法则进行分析即可．【解答】解：①丁同学是依据是分式的基本性质进行变形的．故选：C；故答案为：C；②从乙同学开始出现错误，错误的原因是：去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；故答案为：乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；任务二：原式＝＝•＝•＝﹣．故答案为：﹣．题型03利用整体思想解决代数式求值问题代数式求值问题常用处理办法：①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果；【中考真题练】1．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5B．7C．10D．﹣13【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B．2．（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（）A．24B．20C．18D．16【分析】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可．【解答】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，∴a2﹣4a＝12，∴2a2﹣8a﹣8＝2（a2﹣4a）﹣8＝2×12﹣8＝24﹣8＝16，故选：D．3．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为﹣6．【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．【解答】解：2（2a+b）﹣4b＝4a+2b﹣4b＝4a﹣2b＝2（2a﹣b），∵2a﹣b+3＝0，∴2a﹣b＝﹣3，∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．故答案为：﹣6．4．（2023•宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：x/克024610y/毫米1014182230由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝50毫米．【分析】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．【解答】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），……所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米），故答案为：50．5．（2023•赤峰）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（）A．6B．﹣5C．﹣3D．4【分析】分别利用平方差公式和完全平方公式将括号去掉，再合并同类项并利用已知条件即可解答．【解答】解：原式＝（2a）2﹣32+（2a）2﹣4a+1＝2×（2a）2﹣4a﹣32+1＝8a2﹣4a﹣9+1＝8a2﹣4a﹣8＝4（2a2﹣a）﹣8．∵2a2﹣a﹣3＝0，∴2a2﹣a＝3，∴4（2a2﹣a）﹣8＝4×3﹣8＝4．故选：D．6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为1．【分析】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．【解答】解：∵+＝1，∴+＝＝1，∴ab＝2a+b，∴＝＝＝1．故答案为：1．7．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值为2．8．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：（1﹣）÷＝•＝•＝b（a﹣b）＝ab﹣b2，∵3ab﹣3b2﹣2＝0，∴3ab﹣3b2＝2，∴ab﹣b2＝，∴原式＝．故答案为：．9．（2023•菏泽）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．【解答】解：（+）÷＝＝＝2（2x+y），∵2x+y﹣3＝0，∴2x+y＝3，∴原式＝2×3＝6．【中考模拟练】1．（2023•香洲区一模）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（）A．5B．3C．﹣7D．﹣10【分析】根据相反数的定义得：﹣2a﹣3b＝﹣4，首先化简﹣4a﹣6b+1，然后把﹣2a﹣3b＝﹣4代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：∵2a+3b＝4，∴﹣2a﹣3b＝﹣4，∴﹣4a﹣6b+1＝2（﹣2a﹣3b）+1＝﹣8+1＝﹣7，故选：C．2．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（）A．5B．7C．10D．﹣13【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．故选：B．3．（2023•姑苏区校级二模）若a2﹣3a+2＝0，则1+6a﹣2a2＝（）A．5B．﹣5C．3D．﹣3【分析】由题意知a2﹣3a＝﹣2，根据1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1，计算求解即可．【解答】解：由题意知a2﹣3a＝﹣2，∴1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，故选：A．4．（2023•龙江县四模）代数式3x2﹣4x﹣5的值为7，则x2﹣x﹣5的值为（）A．4B．﹣1C．﹣5D．7【分析】根据题意列出等式，变形后求出x2﹣x的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵3x2﹣4x﹣5的值为7，3x2﹣4x＝12，代入x2﹣x﹣5，得（3x2﹣4x）﹣5＝4﹣5＝﹣1．故选：B．5．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】先利用异分母分式加减法法则化简要求值代数式，再整体代入得结论．【解答】解：∵﹣＝﹣＝＝﹣．当x﹣y＝3xy时，原式＝﹣＝﹣3．故选：A．6．（2024•汉川市模拟）已知x2﹣x﹣6＝0，则的值是（）A．B．C．D．1【分析】先把已知条件变形为x2﹣x＝6，再将分式变形为，整体代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝6，∴＝＝＝＝，故选：B．7．（2024•潼南区一模）当x＝1时，ax3+bx+3＝5；则当x＝﹣2时，则多项式ax2﹣2bx﹣2的值为6．【分析】根据x＝1时，ax3+bx+3＝5可得a+b＝2，然后将x＝﹣2代入ax2﹣2bx﹣2中，可得结果．【解答】解：∵x＝1时，ax3+bx+3＝5，即a+b＝2，当x＝﹣2时，ax2﹣2bx﹣2＝4a+4b﹣2＝4（a+b）﹣2＝4×2﹣2＝6，故答案为：6．8．（2024•咸安区模拟）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝2024．【分析】将已知条件利用完全平方公式整理得（x﹣1）2＝3，将其代入（x﹣1）2+2021中计算即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x+1﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝3，∴（x﹣1）2+2021＝3+2021＝2024，故答案为：2024．9．（2024•安溪县模拟）已知，且x≠y，则的值为3．【分析】先将已知条件化为3y﹣2x＝xy，再代入中化为，即可求值．【解答】解：∵，∴3y﹣2x＝xy，∴＝＝＝＝＝＝3，故答案为：3．10．（2024•武侯区校级一模）若2x2+2xy﹣5＝0，则代数式的值为．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算即可．【解答】解：原代数式＝（+）•＝•＝x（x+y）＝x2+xy，∵2x2+2xy﹣5＝0，∴2x2+2xy＝5，∴x2+xy＝，则原式＝，故答案为：．11．（2024•东阿县模拟）已知：m+＝5，则m2+＝23．【分析】将m+＝5代入m2+＝（m+）2﹣2，计算可得．【解答】解：当m+＝5时，m2+＝（m+）2﹣2＝52﹣2＝25﹣2＝23，故答案为：23．12．（2023•河源一模）已知m2﹣4m+1＝0，则代数式值＝14．【分析】由m2﹣4m+1＝0得出m﹣4+＝0，即m+＝4，再两边平方，进一步求解即可．【解答】解：∵m2﹣4m+1＝0，∴m﹣4+＝0，则m+＝4，∴（m+）2＝16，∴m2+2+＝16，∴m2+＝14，故答案为：14．13．（2024•东城区校级模拟）已知a2+a﹣2＝0，求代数式的值．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【解答】解：＝＝＝＝，∵a2+a﹣2＝0，∴a2+a＝2，∴原式＝．考点二：代数式规律题题型01数字变化类规律题解题大招01：周期型规律题常见处理办法：①.找出第一周期的几个数，确定周期数②.算出题目中的总数和待求数③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；解题大招02：推理型规律题常见处理办法：①依题意推出前3~4项规律的表达式；②类推第N项表达式【中考真题练】1．（2023•牡丹江）观察下面两行数：1，5，11，19，29，…；1，3，6，10，15，…．取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（）A．92B．87C．83D．78【分析】观察第2行数可知第n个数为1+2+3+…+n，第一行数的第n个数为第2行第n个数的2倍减1，即可求出每行数的第7个数，从而得到答案．【解答】解：观察第2行数可知，第7个数为：1+2+3+4+5+6+7＝28，第1行的第7个数为28×2﹣1＝55，∵28+55＝83，∴取每行数的第7个数，这两个数的和是83；故选：C．2．（2023•常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b 列，则a﹣b的值为（）A．2003B．2004C．2022D．2023【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案．【解答】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第（m+n ﹣1）行，第n列，∴在第2042行，第20列，∴a＝2042，b＝20，∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，故选：C．3．（2023•临沂）观察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．【分析】根据数字的变化规律，写出第（n﹣1）个等式即可．【解答】解：观察下列式子：1×3+1＝22；2×4+1＝32；3×5+1＝42；…；按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．故答案为：（n﹣1）（n+1）+1．4．（2023•内蒙古）观察下列各式：S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+…请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝50．【分析】由题干中的式子总结规律，然后利用裂项法进行计算即可．【解答】解：S1+S2+…+S50＝1++1++1++ (1)＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）＝1×50+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝50+（1﹣）＝50+＝50，故答案为：50．5．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为（﹣2）10；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为﹣22024+2024．【分析】观察可得，第①行数的第n个数为（﹣2）n，第②行数的第n个数为（﹣2）n+（n+1），即可得到答案．【解答】解：观察数列可得，第①行数的第10个数为（﹣2）10，第①行数的第2023个数为（﹣2）2023，第②行数的第2023个数为（﹣2）2023+2024，∵（﹣2）2023+（﹣2）2023+2024＝﹣22024+2024，∴取每行数的第2023个数，这两个数的和为﹣22024+2024．故答案为：（﹣2）10，﹣22024+2024．6．（2023•聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：（n2+n+1，n2+2n+2）．【分析】根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的第一个数为n（n+1）+1，“第n个数对的第二个数为（n+1）2+1，于是得到结论．【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．，即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，则第n个数对的第一个数为n2+n+1，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，..．，即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．7．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）写出192﹣172的结果；（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由题意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．【中考模拟练】1．（2024•官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a，2a3，4a5，8a7，16a9，…，则第2024个式子为（）A．22023a2025B．（22024﹣1）a4047C．22023a4047D．22024a4049【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n个式子为：2n﹣1•a2n﹣1，当n＝2024时，第2024个式子为：22023•a4047，即可得出答案．【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16，⋯，则第n个式子的系数为：2n﹣1；式子的指数为1，3，5，7，9，⋯，则第n个式子的指数为：2n﹣1，∴第n个式子为：2n﹣1•a2n﹣1，当n＝2024时，第2024个式子为：22023•a4047，故选：C．2．（2024•渝中区校级模拟）有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此类推，得出下列说法中，正确的有（）个．①a5＝2，，，，②a10＝﹣2，③a2015＝3，④．A．0B．1C．2D．3【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析得出规律，再进行分析即可．【解答】解：∵{a1，a2，a3，a4}对应为{，，，}，∴a5＝2，，，，故①说法正确；a9＝﹣1，a10＝﹣2，a11＝﹣3，a12＝﹣4，∴经过两次操作后，所给的数重复出现，即每12个数为一组，∵2015÷12＝167……11，∴a2015＝﹣3，故③说法错误；②说法正确；∵a1+a2+a3+…+a12＝﹣，∴a1+a2+a3+…+a49+a50＝4×（﹣）+＝﹣＝﹣，故④说法错误．故正确的说法有1个．故选：C．3．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入…12345…输出……那么，当输入数据为8时，输出的数据为（）A．B．C．D．【分析】由表格中的数据可知，输入的数据与输入的数据的分子相同，分母是分子的平方加1，从而可以解答本题．【解答】解：∵由表格可知，输入的数据与输出的数据的分子相同，而输出数据的分母正好是分子的平方加1，∴当输入数据为8时，输出的数据为：＝．故选项A错误，选项B错误，选项C正确，项D错误．故选：C．4．（2024•东兴区一模）对于每个正整数n，设f（n）表示n×（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字）…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）的值是（）A．4020B．4030C．4040D．4050【分析】根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：由题意可得，f（1）＝2，f（1）+f（2）＝2+6＝8，f（1）+f（2）+f（3）＝2+6+2＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+6+2+0＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+6+2+0+0＝10，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝2+6+2+0+0+2＝12，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝2+6+2+0+0+2+6＝18，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝2+6+2+0+0+2+6+2＝20，…，∵2023÷5＝404…3，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2023）＝（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+…+（2+6+2+0+0）+2+6+2＝10×404+10＝4040+10＝4050，故选：D．5．（2024•沈阳模拟）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（）A．B．37C．1D．4【分析】根据题意，通过通过罗列计算可发现从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1．据此解答即可．【解答】解：当n＝12时，第1次结果是：＝3，第2次结果是：3×3+1＝10，第3次结果是：＝5，第4次结果是：3×5+1＝16，第5次结果是：＝1，第6次结果是：3×1+1＝4，第7次结果是：，第8次结果是：3×1+1＝4，•••，可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1．∴第2024次“F”运算的结果是4．故选：D．6．（2024•兰山区校级模拟）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a2023﹣a2021＝4045．【分析】通过归纳出第n个数a n的表达式为进行求解．【解答】解：由题意得，a1＝1，a2＝3＝1+2＝，a3＝6＝1+2+3＝，a4＝10＝1+2+3+4＝，……，∴第n个数记为a n＝，∴a2023﹣a2021＝﹣＝＝4045，故答案为：4045．7．（2024•湖南模拟）观察下面“品”字图形中各数字之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为139．。
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数式与代数式求值（1）一、知识要点1．代数式的概念：用运算符号把数与字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数和字母也叫代数式.2．代数式书写规范：①乘号要省略，数字因数写在前面；②带分数要化成假分数；③除号要写成分数线；④有单位的和、差形式要添括号. 3．代数式求值的方法与技巧：①先代后算；②整体代入. 4．同类项：所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫同类项. 5．合并同类项：系数相加，字母和字母的指数不变.二、典型例题例1．用代数式表示：（1）一个数x 的31与6的和为__________.（2）甲数为x ，乙数比甲数的一半大5，则乙数为__________.（3）a 的2倍与b 的一半的和的平方，减去a 、b 两数平方和为_________.（4）用100元去买钢笔，买了单位为3元的钢和n 支，则还剩下的钱为______元，最多能买这种钢笔______支. 例2．填空：（1）代数式75212--x x 由三项组成，其中第二项的系数是____________. （2）化简：=-+b b a 52______________.（3）若21-=a ，2=b ，c 、d 互为倒数，则cd b a 3)(2-+的值为__________.（4）若132+n b a 与223b a m --是同类项，则=+n m 32___________.（5）若有理数a 满足1322-=-a a ，则5642--a a 的值为___________. 例3．先化简，再求值：（1）2293576a a a a -+-+，其中3-=a .（2）xy x y xy y x x y 35125122222-+--，其中2-=x ，31=y .例4．对于代数式22225372y kxy x y xy x +-+++，老师提出了两个问题，请写出解答过程.（1）当常数k 为何值时，此代数式不含有xy 项？（2）在（1）问的前提下，若2-=x ，1=y ，此代数式的值是多少？例5．用数组(3,6,9)、(5,10,15)、(7,14,21)……，若第n 组中的三个数的和为m ，写出m 与n的关系式.例6．如图，正方形的边长为a ，分别以AB 、BC 为直径在正方形内作半圆.（1）求图中阴影部分的面积；（2）求当1a =时，估计阴影部分的面积约占正方形面积的百分之几？（π取3.14）例7．一个三位数，个数数字比十位数字少4，百位数字是个位数字的2倍.（1）设x 表示十位数字，用代数式表示这个三位数； （2）指出x 的取值范围； （3）写出满足条件的所有三位数.三、强化练习1．被5除商为n ，余数为r 的数可表示为 . 2．买单价为c 元的球拍n 个，付出450元，应找回 元.3．若单项式234m x y --与37223n x y -是同类项，则22n m += ，22m n += .4．若代数式213-x 的值在1-和2之间，则x 可取的整数值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．已知代数式6432+-x x 的值为9，则6342+-x x 的值为（ ） A ．18B ．12C ．9D ．76．若代数式96222+-++ab b kab a 中，不含有ab 项，则常数=k ________.7．代数式323223310363367a b a b a a b a b a a --+++-的值（ ） A ．与字母a 、b 取值都有关 B ．只与a 有关 C ．只与b 有关D ．与a 、b 取值都无关 8．已知25x y -+=，那么25(2)3(2)60x y x y ----的值为（ ）A ．80B ．10C ．210D ．409．根据如图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为25，则输出的函数值为（ ） A ．23 B ．52 C ．254 D ．42510．已知31-=a ，2-=b ，求代数式b ab a 31362+-的值.11．若a 、b 满足0)21(72=++-+ab b a ，求ab b a ab b a 3)()(2-+-++的值.12．某市出租车收费标准是：起步价10元，可乖3千米；3千米到5千米，每千米收费1.3元；超过5千米，每千米收费2.4元.（1）若某人乘坐了)5(>x x 千米的路程，则他应支付的车费是多少？ （2）若他乘坐了6千米的路程，你能算出他应支付的车费是多少吗？13．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中的数据（单位：m ），解答下列问题：（1）用含x 、y 的代数式表示地面总面积； （2）当4=x ，23=y 时，地面的总面积是多少？若铺12m 地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？14．某科技园区20XX 年高新技术产品出口额达25亿美元，而20XX 年1—6月，该科技园区的新技术产品出口额达11.8亿美元，比去年同期增长18%，按这个增长势头预计20XX 年7—12月的出口额比去年同期增长25%，那么该科技园区20XX 年全年的高新技术产品的出口额预计为多少亿美元？15．如图是一个长方形的平板推拉窗，长宽之比为3:2，装有三块大小相同的活动窗扇，如果将①、②分别向右拉开，恰好使②与③重叠一半，①与②重叠13，用x 的代数式表示比时窗户的通风面积.①②③代数式求值（2）【知识要点】1．代数式的值的意义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号计算出的结果就是代数式的值。
2．求代数式的值的一般步骤：（1）代入。
将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原。
（2）计算。
按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行。
3.求代数式值的一般方法:(1)直接带入求值,(2)整体带入求值 4.对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值. 【典型例题】例1 当12,2x y ==时，求代数式22112x xy y +++的值。
例 2 已知x 是最大的负整数，y 是绝对值最小的有理数，求代数式322325315x x y xy y +--的值。
例3．已知3613211⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯÷-=x ，求代数式1199719981999+++++x x x x 的值。
例4 已知25a b a b-=+，求代数式()()2232a b a b a b a b-+++-的值。
例 5 当7x =时，代数式53-+bx ax 的值为7；当7x =-时，代数式35ax bx ++的值为多少？例6 已知当5=x 时，代数式52-+bx ax 的值是10，求5=x 时，代数式52++bx ax 的值。
【巩固练习】1．当17a =，13b =时，求22a ab b ++的值。
2．已知3a b -=，2b c -=；求代数式()2313a c a c -++-的值。
3.已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，3m =，求代数式213()2263a b cd m m +++-的值。
4．已知5212121311⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯÷÷-=x ，求代数式x x x x x 19991998322199719981999+++++ 的值。
5．当23x y x y -=+时，求代数式22263x y x yx y x y-+++-的值。
6．已知2237x y ++的值是8，则2469x y ++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．11 D ．不能确定7．已知当2x =-时，代数式37ax bx +-的值是5，那么当2x =时，求代数式37ax bx +-的值。
8．已知当2x =-时，代数式42ax bx c ++的值为5.当2x =时，代数式42ax bx c ++的值为多少？【作业巩固】 1．若5x =，12y =，13z =，求代数式22223x y z -+的值。
2．已知a 为3的倒数，b 为最小的正整数，求代数式()()322++-+b a b a 的值。
3．已知3aba b=+，试求代数式()52a b ab a b ab +-+的值。
4．已知当2x =-时，代数式31ax bx ++的值为5.求2x =时，代数式31ax bx ++的值。
5．已知代数式2326x x -+的值为8，求代数式2312x x -+的值。
6．已知1x =，2y =，求代数式223x xy y -+的值。
7．已知当0x =时，代数式211223x xy y -+的值等于2，代数式22152132xz x z ++-的值是0，求这时代数式23xyz xy yz xz -+-+的值。
代数式求值(3)【知识要点】求代数式值的方法还有消元、降次、设参数、代数变形等数学方法。
【典型例题】例1．已知3a b =，2a c =，求abc a b c--++的值。
例2．已知：210x x --=，则3222002x x -++的值为多少?例3 已知312x y z ==且99xy yz zx ++=，求2222129x y z ++的值。
例4 已知0a b c ++=，求111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。
例5 如果不论x 取什么值，代数式43++bx ax （分母不为零）都得到同样的值，那么a 与b 应满足什么条件？例6 已知211=-b a ，求bab a bab a 232343--++-的值。
【巩固练习】1．已知32,3a c b a ==，求代数式cb ac b a -+++的值。
2．若543zy x==，且10254=+-z y x ，求z y x +-52的值。
3．已知211=+y x，求代数式yxy x y xy x 535323+++-的值。
4.已知y x z z x y z y x +=+=+，求zy x+的值。
5．已知11x y +=，11y z +=，求代数式1z x+的值。
6．若不论x 取什么值，代数式83++bx ax 的值都相同，试求a 与b 的关系。
7．已知()01556677713a x a x a x a x a x +++++=- ，试求01567a a a a a +++++ 的值。
8．代数式()218x y --的最大值是（ ）A ．17B ．18C ．1000D ．无法确定9．代数式c bx ax ++5，当3-=x 时值为8，当0=x 时值为1，求当3=x 时，该代数式的值。
【作业巩固】1．若a 、b 均为正数，且1=⋅b a ，试求11+++b b a a 的值。