“代数式求值的常用方法”专题辅导
专题02 代数式【考点精讲】(解析版)
考点1：代数式的概念与求值1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。
求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。
【例1】（2021·四川乐山市·中考真题）某种商品m 千克的售价为n 元，那么这种商品8千克的售价为（ ）A ．8n m （元）B ．8n m （元）C ．8m n （元）D ．8m n（元）【答案】A【分析】先求出1千克售价，再计算8千克售价即可；【详解】∵m 千克的售价为n 元，∴1千克商品售价为n m，∴8千克商品的售价为8n m （元）；故选A．专题02 代数式【例2】（2021·内蒙古中考真题）若1x =+，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D．3-【答案】C 【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=+-+=．故选：C【例3】（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12n n +．有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律. 数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.1．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【答案】B【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【详解】设原件为x元，∵先打九五折，再打九五折，∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，∵先提价50%，再打六折，∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，∵先提价30%，再降价30%，∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，∵先提价25%，再降价25%，∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B2．（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为___________．【答案】2【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．【详解】解：∵x =3＜4∴把x =3代入1(4)y x x =-£，解得：312y =-=，∴y 值为2，故答案为：2．3．（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11´个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22´个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33´个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =´=´´第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =´=´´第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =´=´´第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =´=´´…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+g 故答案为：2n 2+2n ．考点2：整式相关概念1．单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.2．多项式：几个单项式的和叫做多项式. 多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.3．整式：单项式与多项式统称整式.4．同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.【例4】（2021·青海中考真题）已知单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，则m n +=______．【答案】3【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m ，n 的值，再代入代数式计算即可．【详解】解：∵单项式4272m a b -+与223m n a b +是同类项，∴2m =4，n +2=-2m +7，解得：m =2，n =1，则m +n =2+1=3．故答案是：3．【例5】（2021·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，……，第n 个单项式是（ ）A ．21n n a +B ．21n n a -C ．1n n n a +D ．()21n n a +【答案】A【分析】根据题目中的单项式可以发现数字因数是从1开始的正整数的平方，字母的指数从1开始依次加1，然后即可写出第n 个单项式，本题得以解决．【详解】解：∵一列单项式：23456,4,9,16,25a a a a a ，...，∴第n 个单项式为21n n a +，故选：A ．【例6】已知（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，求m 2﹣2m +2＝ ．【答案】17【分析】直接利用单项式的次数确定方法分析得出答案．【详解】解：∵（m ﹣3）x 3y |m |+1是关于x ，y 的七次单项式，∴3+|m |+1＝7且m ﹣3≠0，解得：m ＝﹣3，∴m 2﹣2m +2＝9+6+2＝17．故答案为：17．1．①单项式中的数字因数称为这个单项式的系数；②一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数2．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数1．（2021·上海中考真题）下列单项式中，23a b 的同类项是（）A ．32a b B ．232a b C ．2a b D ．3ab 【答案】B【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致，∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B2．关于多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2，下列说法正确的是（ ）A ．三次项系数为3B ．常数项是﹣2C ．多项式的项是5x 4y ，3x 2y ，4xy ，﹣2D ．这个多项式是四次四项式【答案】B【分析】根据多项式的项、次数的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的三次项的系数为﹣3，错误，故本选项不符合题意；B 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的常数项是﹣2，正确，故本选项符合题意；C 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2的项为5x 4y ，﹣3x 2y ，4xy ，﹣2，错误，故本选项不符合题意；D 、多项式5x 4y ﹣3x 2y +4xy ﹣2是5次四项式，错误，故本选项不符合题意；故选：B ．3．若单项式﹣x 3y n +5的系数是m ，次数是9，则m +n 的值为 ．【答案】0【分析】先依据单项式的系数和次数的定义确定出m 、n 的值，然后求解即可．【解答】解：根据题意得：m ＝﹣1，3+n +5＝9，解得：m ＝﹣1，n ＝1，则m +n ＝﹣1+1＝0．故答案为：0．考点3：整式的运算1．幂的运算性质：（1）同底数幂相乘底数不变，指数相加. 即：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 都是整数).（2）幂的乘方底数不变，指数相乘. 即：(a m )n ＝a mn (m ，n 都是整数).（3）积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：(ab )n ＝a n b n (n 为整数).（4）同底数幂相除底数不变，指数相减. 即：a m ÷a n ＝a m -n (a ≠0，m,n 都为整数).（5）a 0=1(a ≠0), a -n =a1 (a ≠0).2．整式的运算：（1）整式的加减：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，再合并同类项.（2）整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即m (a +b +c )=ma +mb +mc ；多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(m +n )(a +b )=ma +mb +na +nb .（3）整式的除法：单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加.3．乘法公式：（1）平方差公式:(a ＋b )(a -b )＝a 2-b 2.（2）完全平方公式:(a ±b )2＝a 2±2ab +b 2.（3）常用恒等变换:a 2＋b 2＝(a ＋b )2-2ab=(a -b )2＋2ab ；(a -b )2＝(a ＋b )2-4ab.【例7】（2021·河南中考真题）下列运算正确的是（）A ．22()a a -=-B ．2222a a -=C ．23a a a ×=D ．22(1)1a a -=-【答案】C【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．【详解】解：A 、22()a a -=，原计算错误，不符合题意；B 、2222a a a -=，原计算错误，不符合题意；C 、23a a a ×=，正确，符合题意；D 、22(1)21a a a -=-+，原计算错误，不符合题意；故选：C ．【例8】（2021·福建中考真题）下列运算正确的是（）A ．22a a -=B ．()2211a a -=-C ．632a a a ¸=D ．326(2)4a a =【答案】D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．解：A ：()221a a a a -=-=，故 A 错误；B ：()22121a a a -=-+，故 B 错误；C ：63633a a a a -¸==，故C 错误；D ：()()2232332622·44a a a a ´===．故选：D【例9】（2021·江苏连云港市·中考真题）下列运算正确的是（）A ．325a b ab+=B ．22523a b -=C ．277a a a +=D ．()22112x x x -+-=【答案】D【分析】根据同类项与合并同类项、全完平方差公式的展开即可得出答案．【详解】解：A ，3a 与2b 不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；B ，25a 与22b 不是同类项，不能合并得到常数值，故选项错误，不符合题意；C ，合并同类项后2787a a a a +=¹，故选项错误，不符合题意；D ，完全平方公式：()22211221x x x x x =-++-=-，故选项正确，符合题意；故选：D ．1．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：()24a a -×的结果是（）A ．8a B ．6a C ．8a -D ．6a -【答案】B 【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．【详解】解：原式24246a a a a +=×==．2．（2021·四川宜宾市·中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．23a a a +=B ．()32622a a =C ．623a a a ¸=D ．325a a a ×=【答案】D【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可．【详解】解：选项A ：a 与2a 不是同类项，不能相加，故选项A 错误；选项B ：()32628a a =，故选项B 错误；选项C ：62624a a a a -¸==，故选项C 错误；选项D ：33522a a a a +×==，故选项D 正确；故选：D ．3．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）下列计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【详解】A 、，正确，故该选项符合题意；B 、,错误，故该选项不合题意；C 、，错误，故该选项不合题意；D 、与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．考点4：整式化简求值【例10】（2021·湖南永州市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．4=±()2234636m n m n =24833a a a ×=33xy x y -=4=±()2234639m n m n =24633a a a ×=3xy 3x ()()212(2)x x x +++-1x =1x =【详解】解：原式，，将代入得：原式．1．（2021·四川南充市·中考真题）先化简，再求值：，其中．【分析】利用平方差公式和完全平方公式，进行化简，再代入求值，即可求解．【详解】解：原式===，当x =-1时，原式==-22．2．（2020•凉山州）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x=【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x 的值代入计算可得答案．【详解】原式＝4x 2﹣9﹣（x 2+4x +4）+4x +12＝4x 2﹣9﹣x 2﹣4x ﹣4+4x +12＝3x 2﹣1，当x原式＝3×2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．考点5：因式分解因式分解的步骤：(概括为“一提，二套，三检查”)（1）先运用提公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ).（2）再套公式：a 2-b 2=(a +b )(a -b )，a 2±2ab +b 2=(a ±b )2(乘法公式的逆运算).（3）最后检查：分解因式是否彻底，要求必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.22214x x x =+++-25x =+1x =2157=´+=2(21)(21)(23)x x x +---1x =-2241(4129)x x x ---+22414129x x x --+-1210x -()12110´--【例11】（2021·广西贺州市·中考真题）多项式32242x x x -+因式分解为（ ）A ．()221x x -B ．()221x x +C ．()221x x -D ．()221x x +【答案】A 【分析】先提取公因式2x ，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可【详解】解：32242x x x -+()()2222121x x x x x =-+=-故答案选：A ．【例12】（2021·浙江杭州市·中考真题）因式分解：214y -=（ ）A ．()()1212y y -+B ．()()22y y -+C ．()()122y y -+D ．()()212y y -+【答案】A 【分析】利用平方差公式因式分解即可．【详解】解：214y -=()()1212y y -+，故选：A ．【例13】（2020•成都）已知a ＝7﹣3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为 ．【答案】49【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．【详解】∵a ＝7﹣3b ，∴a +3b ＝7，∴a 2+6ab +9b 2＝（a +3b ）2＝72＝49，故答案为：49．本考点是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。
初中数学代数式求值的方法
初中数学代数式求值的方法一：割补法【例题】如图所示是一个长方形．（1）根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；解：S阴影部分=S长方形-S三角形ABC-S三角形DEF=1/2×6-12×1/2×6-1/2×6×（6-x）=72-36-18+3x=18+3x；（2）若x=2，求S的值．解：当x=2时，S=18+3×2=24．二：转化法【例题】某公园准备修建一块长方形草坪，长为a米，宽为b米．并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽2米．（1）用含a、b的代数式表示修建的十字路的面积．解：根据题意得：（2a+2b-4）平方米；（2）若a=30，b=20，求草坪（阴影部分）的面积．解：当a=30，b=20时，ab-（2a+2b-4）=600-96=504（平方米），则草坪的面积是504平方米．三：直接利用面积公式【例题】如图，小明家的住房结构平面图，（单位：米），装修房子时，他打算将卧室以外的部分都铺上地砖．（1）若铺地砖的价格为80元/平方米，那么购买地砖需要花多少钱？（用代数式表示）；解：卫生间面积=y（4x-x-2x）=xy，厨房面积=x（4y-2y）=2xy，客厅面积=2x4y=8xy，∴铺地砖的面积=xy+2xy+8xy=11xy，∴铺地砖的花费为880xy元；（2）已知房屋的高度为3米，现在想要在客厅和卧室的墙壁上贴上壁纸，那么需要多少平方米的壁纸（门窗所占面积忽略不计）？（用代数式表示）；解：卧室的壁纸=（2y+2y+2x+2x）×3=（12x+12y）平方米，客厅的壁纸=2（2x+4y）×3=（12x+24y）平方米，∴共需要壁纸为12x+12y+12x+24y=（24x+36y）平方米；（3）若x=4，y=5，且每平方米地砖的价格是90元，每平方米壁纸的价格是15元，那么，在这两项装修中，小明共要花费多少钱？（各种小的损耗不计）．解：当x=4，y=5时，地砖需要花费：90×11×4×5=19800（元），壁纸需要花费：（24×4+36×5）×15=4140（元），∴小明共花费19800+4140=23。
初中奥数竞赛辅导资料之第六讲代数式求值
第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y 的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．资料来源：回澜阁教育免费下载天天更新。
小升初代数式求值专题
小升初精典专题 代数式求值专题讲义【专题一】：代数式求值的基本类型： 一：直接带入求解例1、当2,1-=-=y x 时，求代数式1)1(22+----y xy x 的值的值二：先化简再求值 例2、先化简再求值：()()1222122+---x x x x ，其中2-=x ．〔巩固〕长方形一边等于b a 23+，另一边比它大b a -，求此长方形的周长．三、消元代入法 例3、已知b a 3=,5a c -=,求cb ac b a 200520062007543-+-++.〔巩固〕1、已知112a b -=，求代数式343232a ab ba ab b-++-- 的值。
〔巩固〕2、已知3a b -=，2b c -=；求代数式()2313a c a c -++-的值。
〔巩固〕3、已知3952=-b a ，156-=-b c ，求代数式c a c a 2120077)3(2-++-的值．〔巩固〕4、已知.8463,22的值求---+=-y x y x y x四、利用“整体思想”求代数式的值例4. 已知a -b=5，ab=-1，求(2a+3b -2ab) -(a+4b+ab) -(3ab+2b -2a)的值。
〔巩固〕1、已知2x+3y-2的值为-7，则代数式4x+6y+1的值为 _________. 〔巩固〕2、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.例5． 当4a ba b-=+ 时，则2()4()3()a b a b a b a b -+-+- 的值为 。
〔巩固〕1、x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
〔巩固〕2、已知当2007-=x 时，代数式c bx ax ++24的值为5．当2007=x 时，代数式c bx ax ++24的值为多少？【专题二】：：代数式求值的方法技巧 一、利用有关的概念例1 如果a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是1，求代数式x 2+(a +b )x －cd 的值.〔巩固〕1、若132+n b a 与223b a m --是同类项，则=+n m 32___________.〔巩固〕2、若多项式 2123(2)3mm x y xy -+- 是五次二项式，则 m= .二、利用整体思想方法例2 已知代数式x 2+4x －2的值为3，求代数式2x 2+8x －5的值是多少？三、利用分类讨论方法例3 已知x ＝7，y ＝12，求代数式x +y 的值.四、利用数形结合的思想方法例4 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：试试代数式│a +b │－│b －1│－│a －c │－│1－c │的值.五、利用非负数的性质b ac1例5 已知(a －3)2+│－b +5│+│c －2│＝0.计算2a +b +c 的值六、利用新定义例6 用“★”定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝b 2+1.例如，7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；当m 为实数时，m ★(m ★2)＝＿＿＿.七、利用整数的意义例7 四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ，如果abcd ＝9，那么a +b +c +d ＝（ ） A.0 B.8 C.4 D.不能确定 八、巧用变形降次例8 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.九、巧妙利用假设例10．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bcbcac ac ab ab c c b b a a x +++++=， 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。
数学代数式求值讲解
数学代数式求值讲解
数学代数式求值是数学中的一个重要概念，指的是将一个代数式中的变量用具体的数值代入计算得到一个确定的结果。
本文将从以下三个方面详细讲解数学代数式求值的方法：
一、代数式的概念和表示方法：代数式是由数、变量和运算符号组成的表达式，它可以表示数学中的各种关系和运算。
在代数式中，我们需要注意运算的顺序和优先级，以及如何化简和合并同类项。
二、代数式求值的基本方法：代数式求值的关键在于将变量用具体的数值代入，然后按照运算的顺序计算得到结果。
在实际计算中，我们需要注意运算符号的优先级和用括号控制运算顺序，以避免出错。
三、代数式求值的应用举例：代数式求值在数学中有着广泛的应用，包括解方程、求导数、求极限等等。
本文将以实际的应用举例，帮助读者更好地理解和掌握代数式求值的方法。
通过本文的讲解，读者可以深入了解代数式求值的基本方法和应用，掌握数学中的重要技巧，提高数学学习的效果和水平。
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【常考压轴题】专题05 代数式求值的四种考法(原卷版)2023-2024学年七年级数学上册压轴题攻略
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【变式训练 1】若实数 x 满足 x2 x 1 0 ，则 2x2 2x 2021
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【变式训练 2】若 a 2b 3c 3， 5a 6b 7c 5 ，则 a 6b 8c 的值是（ ）
A． 2
B．2
C．0
D． 1
类型二、降幂思想求值
例 1．已知 2x2 x 5 0 ，则 4x4 4x3 x2 的值为
专题 05 代数式求值的四种考法
类型一、整体思想求值
例 1．当 x 2 时，代数式 ax3 bx 1的值为 45 ，则当 x 2 时，代数式 ax3 bx 1的值
为
．
例 2.已知 x2 - x - 4 = 0 ，则 2 3x2 3x 的值
例 3.已知 m n 2 ，则 m n2 m n 的值为
例．已知 x 1 2021 a0 a1x a2 x2 a3 x3 a2021x2021 ，则 a1 a2 a2021
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【变式训练 1】设 x 13 ax3 bx2 cx d ，则 a b c d 的值为（
）
A．2
B．8
C． 2
D． 8
【变式训练 2】 (2x 1)5 a5x5 a4x4 ... a1x a0 ，则 a2 a4 ___________．
课后训练
1．已知代数式 5 y x 的值是 4 ，则代数式 2x 10 y 10 的值是
．
2．已知 2m 3n2 7 0 ，则代数式 12n2 8m 4 的值等于
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．若 a 与 b 互为相反数，c 与d 互为倒数，e 是绝对值最小的数，则 2 a b 3cd 4e ．
初中数学重点梳理：代数式求值方法
初中数学重点梳理：代数式求值方法代数式求值方法知识定位学习了整式后，经常会遇到一些代数式的求值问题。
代数式涉及的求值类型、方法和技巧是比较多的，比如：特殊值、换元、配方等。
事实上，这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题。
知识梳理知识梳理：代数式求值常用方法1、利用非负数的性质若已知条件是几个非负数的和的形式，则可利用“若几个非负数的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值。
目前，经常出现的非负数有，，等。
2、化简代入法化简代入法是指先把所求的代数式进行化简，然后再代入求值，这是代数式求值中最常见、最基本的方法。
3、整体代入法当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求的代数式中去求值的一种方法。
通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，以便快速求得其值。
4、特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单。
5、倒数法倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法。
6、参数法若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母。
7、配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果。
8、平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方值，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号。
例题精讲【试题来源】【题目】已知25x＝2000，80y＝2000,则??+yx11＝___________ 【答案】1【解析】【知识点】代数式求值方法【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【试题来源】【题目】已知10m=20,10n=15,求293m n÷的值.【答案】81【解析】【知识点】代数式求值方法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】若2310a a -+=，求221a a+ 【答案】7 【解析】【知识点】代数式求值方法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知13x x-=，求441x x +的值。
代数式化简求值-初中数学常见的模型方法专题
代数式化简求值方法一：先化简，再代入例1：1. 化简求值：()2222252342ab a b ab ab a b --+-，其中3a =-，12b =． 【答案】24ab ，3-．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()2222252342ab a b ab ab a b --+- 2222252342ab a b ab ab a b =-+-+24ab =，当3a =-，12b =时， 原式()214332⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变：1－12. 先化简，再求值：()()23223232324xy y x y x y y xy y +---++-，其中2x =，3y =-．【答案】xy 2+y 3，9．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2(xy 2+3y 3−x 2y )−(−2x 2y +y 3+xy 2)−4y 3=2xy 2+6y 3-2x 2y +2x 2y -y 3-xy 2-4y 3=xy 2+y 3，当x =2，y =-3时，原式=()()2322339⨯⨯-+-=．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1－2 3. 先化简，再求值：()22222333a ab a ab ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，其中6a =-，23b =. 【答案】232a ab ++,26【解析】【分析】先对整式去括号、合并同类项，再将6a =-，23b =代入求值即可． 【详解】解：()222222223346332323a ab a ab a ab a ab a ab ⎛⎫+-+-=+--+=++ ⎪⎝⎭， 当6a =-，23b =时， 原式()()22636236122263=-+⨯-⨯+=-+= 【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是熟练运用整式的运算法则. 变式1－34. 先化简，再求值：221122y x y x y x xy y ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中x ，y =1﹣．【答案】x y x y-+ 【解析】【分析】先将括号里的通分得()()()()x y x y x y x y +---+，再将2222y x xy y -+分母用完全平方式转化，再将除法转化成乘法，进行化简，化简之后将x ，y 的值代入求解即可.【详解】解：原式=()()()()()2·2x y x y x y x y x y y+----+=()()·2x y x y x y x y y -+-++=x y x y -+ ；当x ，y =1时，原式（ . 方法二：赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围． 例25. 请将式子211111x x x -⎛⎫⨯+ ⎪-+⎝⎭化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x 的值代入求值．【答案】2x +；当0x =时，原式值为2或当2x =时，原式值为4【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算，结合分式有意义的条件确定x 的值，再代入计算即可. 【详解】解：原式(1)(1)11111x x x x x x +-+⎛⎫=⋅+ ⎪-++⎝⎭ 2(1)21x x x x +=+⋅=++． 依题意，只要1x ≠就行，当0x =时，原式=22x +=或当2x =时，原式=24x ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键. 变式2－16. 先化简，2211(1)x x x-+÷，然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值 【答案】x x 1-，x=2时，原式=2. 【解析】【分析】本题可先把分式化简，再将x 的值代入求解；为了使原分式有意义，x 取1，-1和0以外的任何数． 【详解】原式=()2x 1x x (x 1)x 1+⨯+- =x x 1- x=2时，原式=2.【点睛】本题需注意的是：化简后代入的数不能使分母的值为0，变式2－27. 先化简，再求值：2221169x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数． 【答案】3x x -；-2 【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可． 【详解】解：原式23(1)1(3)3x x x x x x x --=⋅=---， 当x 2=时，原式2223==--． 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．方法三：先变形，再整体代入从整体上认识问题和思考问题是一种重要的思想方法，在数学学习中有很广泛的应用，整体思想主要是将所考察的对象作对一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体．不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子． ①变换条件后，整体代入求值例318. 已知2410x x -=+，求43228481x x x x +--+的值．【答案】 1.-【解析】【分析】由2410x x -=+可得232214,4,41,x x x x x x x =-=-+=再利用整体代入的方法把原式降到是二次多项式，再整体代入求值即可. 【详解】解： 2410x x -=+，232214,4,41,x x x x x x x ∴=-=-+=∴ 43228481x x x x +--+()()22221484481x x x x x =-+---+ 22221632832481x x x x x x =-++---+24163x x =--+()2443x x =-++43 1.=-+=-【点睛】本题考查的是利用整体思想求解代数式的值，掌握降次的思想方法是解题的关键.变式3－1－19. 已知212a a -+=，则222a a a a+--的值为________． 【答案】1【解析】 【分析】由已知可知21a a -=，则21a a -=-，代入即可求值．【详解】解：212a a -+=，21a a ∴-=，则21a a -=-，2222111a a a a ∴+-=-=-． 故答案为1．【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出21a a -=和21a a -=-，考查了整体代入的思想．变式3－1－2 10. 116a b +=，求312a ab b a ab b-+++的值． 【答案】16【解析】【分析】结合题意，根据分式加法的性质，得6a b ab +=；再根据分式性质计算，即可得到答案． 【详解】∵116a b+= ∴6a b ab+= ∴6a b ab += ∴312a ab b a ab b -+++3=12a b ab a b ab +-++63=612ab ab ab ab -+318ab ab = 16=． 【点睛】本题考查了分式、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握分式、代数式的性质，从而完成求解．②变换结论后，整体代入求值例3.211. 如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭ 2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()m m n m n m n m m n =⋅+-=+- 1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式3－2－112. 已知2xy =-，3x y +=，求整式(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-的值．【答案】22【解析】【分析】先把整式化简，然后把xy ，x y +分别作为一个整体代入求出整式的值．【详解】(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-310(5223)xy y x xy y x =++--+3105223xy y x xy y x =++--+5310232x x y y xy xy =++-+-88x y xy =++8()x y xy =++．把2xy =-，3x y +=代入得，原式83(2)24222=⨯+-=-=．【点睛】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．变式3－2－213. 已知12x x -=，则221x x +的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据完全平方公式得到214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，据此求解即可． 【详解】解：∵12x x -=， ∴214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即41222=+-x x ， ∴2216x x +=， 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决此题的关键．③变换条件和结论后，整体代入求值例3.314. 若2250a ab b +-=，则b a a b-的值为______． 【答案】5【解析】 【详解】∵2250a ab b +-=，∴225b a ab -=，∴b a a b -=22b a ab -=5ab ab =5， 故答案为5．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确地对所给的式子进行变形是解决此题的关键.变式3－3－115. 已知x 2﹣3x+1＝0，求x 221x +的值． 【答案】7【解析】 【分析】先将等式两边同时除以x ，并整理可得x 1x+=3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：∵x 2﹣3x+1＝0，∴x ﹣31x +=0， ∴x 1x+=3， ∴x 221x +=（x 1x+）2﹣2＝32﹣2＝7． 【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．变式3－3－216. 先化简，再求值（1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b --，其中a，b 满足a+b，12=0， 【答案】原式=1a b+=2 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】，1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b-- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+ 由a+b ﹣12=0，得到a+b=12， 则原式=112=2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 方法四：隐含条件求值法先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例417. 若单项式23m a b --与12n b a +是同类项，求代数式()222332m mn n n --++的值． 【答案】0【解析】【分析】先通过3ab -与ba 是同类项这一条件，将m 、n 的值求出，然后再化简求值式后求值．【详解】∵23m a b --与12n b a +是同类项，∴2211m n -=⎧⎨+=⎩， 解得：00m n =⎧⎨=⎩∴()222332m mn n n --++ 223m mn n =+-0300=+⨯-0=．【点睛】本题考查了整式运算、代数式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握同类项、代数式的性质，从而完成求解．变式4－118. 已知2|2|(1)0a b -++=，求()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦的值． 【答案】34【解析】【分析】先通过已知式2|2(1)0a b -++=∣， 求出a 、b 的值，因为绝对值式和平方式都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们均为0，再去括号，合并同类项把原式化简，最后代入求值即可.【详解】解：∵2|2|(1)0a b -++=，又∵|2|0-≥a ，2(1)0b +≥，∴2010a b -=⎧⎨+=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩．， ∴()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦ 222544ab ab a b =+-2294ab a b =-．当2a =，1b =-时，原式2292(1)42(1)=⨯⨯--⨯⨯-1816=+34=．【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算，化简求值，掌握去括号，合并同类项是解题的关键.变式4－219.|83|b -互为相反数，则2127ab ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】37【解析】【分析】直接利用非负数的性质进而得出1﹣3a ＝0，8b ﹣3＝0，求出a ，b 的值，再代入所求代数式中即可求出答案．|83|0b -=，0≥，830b -≥∴130a -=，830b -=， ∴13a =，38b =， ∴222112727827371338ab ⎛⎫ ⎪⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⨯⎝⎭． 故答案为37．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题时利用了绝对值和二次根式的非负性，也利用了互为相反数的两个数的和为0这个结论．方法五：利用“无关”求值或说理方法总结要说明一个代数式值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 例520. 有这样一道题：计算2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，其中12x =-，2y =．甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？【答案】见解析．【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222213823333535x x xy y x xy y =--++++ 2y =，结果与x 的取值无关，故甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，但他计算的结果也是正确的．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式5－121. 已知2231A x xy y =++-，2B x xy =-．（1）若2A B -的值与y 的值无关，求x 的值．（2）若3A mB x --的值与x 的值无关，求y 的值．【答案】（1）x 的值为1-；（2）y 的值为1．【解析】【分析】（1）将A ，B 代入A -2B ，再去括号，再由题意可得10x +=，求解即可； （2）将A ，B 代入A −mB −3x ，再去括号，再由题意可得20m -=，30y my +-=，求解即可；【详解】解：（1）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，∴A -2B=（2231x xy y ++-）-2（2x xy -）=2223122x xy y x xy ++--+331xy y =+-()311x y =+-，∵A -2B 的值与y 的值无关，∴10x +=，∴1x =-；∴x 的值为1-；（2）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，=（2231x xy y ++-）-m （2x xy -）−3x=222313x xy y mx mxy x ++--+-()()22331m x y my x y =-++-+-∵A −mB −3x 的值与x 的值无关，∴20m -=，30y my +-=，∴2m =，1y =；∴y 的值为1．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键． 变式5－222. 已知多项式2233x mx nx x -++-+值与x 的取值无关，求()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦的值．【答案】2.【解析】【分析】对多项式2233x mx nx x -++-+进行变形为(3)(1)3n x m x -+-+，根据多项式的值与x 的取值无关，则令30n -=，10m -=，求出m 、n 的值，然后代入()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦进行计算即可.【详解】2233x mx nx x -++-+解：原式(3)(1)3n x m x =-+-+因为与x 的取值无关所以：30n -=3n =10m -=1m =()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦32332mn m mn m mn =-+--2323mn m m =--当1m =，3n =时原式23213311=⨯⨯-⨯-6312=--=【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.方法六：配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．例623. 已知a 2，b 2，2a ，4b ，5，0，求2a 2，4b ，3的值．【答案】7，【解析】【详解】试题分析：利用交换律凑出完全平方公式，求出a,b 的值，再代入目标整式求值.试题解析：解：因为a 2+b 2+2a -4b +5=0，，，a 2+2a +1，+，b 2-4b +4，=0,即（a +1，2+，b -2，2=0，，a +1=0且b -2=0，，a =-1且b =2，，原式=2×，-1，2+4×2-3=7，变式6－224. 已知2228170x x y y -+++=，求2()x y +的值．【答案】9【解析】【分析】利用配方法将2228170x x y y -+++=变为22(1)(4)0x y -++=，根据非负数的性质得到1,4==-x y ，最后求出答案．【详解】解：∵2228170x x y y -+++=∴22(21)(816)0x x y y -++++=，∴22(1)(4)0x y -++=∴10,40x y -=+=，∴1,4==-x y ，∴22()(14)9x y +=-=．【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．方法七：平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号．例725. 已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y 的值等于________． 【答案】112【解析】【分析】利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：222()4x y xy x y +-，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.【详解】解：因为7x y +=，12xy =， 所以2222211()y x x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222()47412112144x y xy x y +--⨯===， 又因为x y <，所以110x y->， 所以11112x y -=， 故答案为：112． 【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键. 变式7－126. 已知13x x +=，则1x x-的值是________．【答案】【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出221x x +的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值． 【详解】解：由13x x +=，得到219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2217x x +=， ∴2221125x x x x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，∴1x x-=故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．变式7－227. 若22212,60a b c a b c ++=++=，求ab ac bc ++的值【答案】42【解析】【分析】根据题意先将式子a ＋b ＋c ＝12进行完全平方后展开可得式子2222()144,222a b c a b b ab a c c c +++++=++=结合22260,a b c ++=求出ab ＋ac ＋bc 的值．【详解】根据题意可得：2222()144222a c b ac a b c c b b a +++++=+=+， 将22260a b c ++=代入式子可得2()60144222ab a a b c c bc +++=++=， 则42ab ac bc +=+故答案为42．【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于结合实际运用完全平方公式． 方法八：特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．例828. 若3230123)x a a x a x a x =+++，则()()220213a a a a +-+的值为【答案】1【解析】【分析】把1x =代入已知计算得到301231)a a a a +++=；把1x =-代入已知计算得到301231)a a a a -+-=+；再利用平方差公式即可求解．【详解】解：由3230123)x a a x a x a x =+++，若令1x =，则301231)a a a a +++=；若令1x =-，则301231)a a a a -+-=+，所以()()220213a a a a +-+ ()()02130213a a a a a a a a =++++--331)1)=31)]=1=．故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．变式8－129. 已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 12C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==， ∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++ 2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的化简求值， 妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1． 方法九：设参法遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 例930. 已知234x y z ==，求222xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】2629【解析】 【分析】先根据234xy z ==设出(0)234x y z k k ===≠，得到2x k =，3y k =，4z k =，然后代入分式求值即可． 【详解】解：设(0)234x y z k k ===≠， 则2x k =，3y k =，4z k =． ∴222xy yz zx x y z ++++ 22222261284916k k k k k k++=++ 2226262929k k ==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k ，得出x ，y ，z 与k 的关系，然后再代入待求的分式化简是解题的关键．变式9－131. 若x y a b b z c c a==---，求x y z ++的值． 【答案】0【解析】 【分析】设===---x y z k a b b c c a，则()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，然后计算即可得到答案． 【详解】解：∵x y a b b z c c a ==---， 设===---x y z k a b b c c a， ∴()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，∴()()()x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=ka kb kb kc kc ka -+-+-=0；【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．变式9－232. 已知0347x y z ==≠，求3x y z y ++的值． 【答案】5【解析】【分析】设已知等式等于k ，表示出x ，y ，z ，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：设347x y z k ===， 则x =3k ，y =4k ，z =7k ， ∴394754x y z k k k y k++++==． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x =3k ，y =4k ，z =7k 是解题关键．方法十：利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 直接用根与系数的关系求值例10.133. 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a +=-，12c x x a⋅=根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为_____ 【答案】10【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【详解】解：由题意知，12126,3b x x x x a+=-=-=， 所以()2222121221211212122(6)23103x x x x x x x x x x x x x x +-⋅+--⨯+====⋅⋅. 故答案为：10．变式10－1－134. 已知1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，则1211+x x 的值是（ ） A. 1 B. 12 C. 1- D. 12- 【答案】D【解析】 【分析】根据1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根得到12121,2x x x x +==-，再将1211+x x 变形为1212x x x x +，然后代入计算即可． 【详解】解：∵1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，∴12121,2x x x x +==- ∵12121211x xx x x x ++=， ∴121212111122x x x x x x ++===--， 选D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与系数的关系：若方程的两根为1x 、2x ，则1212,b c x x x x a a+=-=，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．②构造一元二次方程，利用根与系数的关系求值．例10.235. 已知21a a -=，21b b -=，求a b b a+的值．【答案】-3【解析】【分析】由已知得a ，b 是方程210x x --=的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵21a a -=，21b b -=，即210a a --=，210b b --=， ∴a ，b 是方程210x x --=的两个根，∴1a b +=，1ab =-，∴2222()212(1)31a b a b a b ab b a ab ab ++--⨯-+====--． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练地掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为12x x 、，则有12b x x a +=-，12c x x a=． 变式10－2－136. 已知2430m m -+=，22310n n -+=，1mn ≠，求值221m n +． 【答案】5或13或10【解析】【分析】通过求解一元二次方程，并结合题意，得到m 和n 的值，再代入计算即可得到答案．【详解】∵2430m m -+=∴()()130m m --=∴1m =或3m =∵22310n n -+=∴()()2110n n --=∴12n =或1n = ∵1mn ≠ ∴当1m =时，12n =；当3m =时，12n =或1n = ∴2215m n +=或13或10． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．③根的含义和根与系数的关系结合使用求值例10.337. 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，求2211222584x x x x ++++的值．【答案】34 【解析】【分析】由1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，可得123x x +=，21131x x =-，22231x x =-，再把原式降次为：()12111x x ++，从而可得答案.【详解】解：∵1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根∴123x x +=，21131x x =-，22231x x =-∴221122112225846253184x x x x x x x x ++++=-++-++()1211133134x x =++=+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.变式10－3－238. 已知α、β是方程210x x --=的两个实根，求5325αβ+的值． 【答案】21 【解析】【分析】由方程的解与根与系数的关系可得：2210,10,+=11,ααββαβαβ--=--==-，再把5325αβ+降次为2255155ααββ++++，再变形，整体代入计算即可得到答案. 【详解】解： α、β是方程210x x --=的两个实根，2210,10,+=11,ααββαβαβ∴--=--==-， 22=+1,=+1,ααββ∴()()2532+5=2+1+5+1αβααββ∴32224255αααββ=++++()22214255ααααββ=+++++226455ααββ=+++ 2255155ααββ=++++()()25251αβαβαβ⎡⎤=+-+++⎣⎦()51251121.=⨯++⨯+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.方法十一：利用分式的基本性质求值例1139. 已知3x y =,求222223x xy y x xy y +--+的值.【答案】127【解析】【详解】试题分析：由3x y =可得：3x y =代入式子222223x xy y x xy y +--+中化简即可. 试题解析， ，3xy=, ， x =3y.∴()()()222222222232322312127733y y y y x xy y y x xy y y y y y y+⨯⨯-+-===-+-⨯+ . 例11－140. 先化简，再求值：2222m n m mn n +-+·(m，n)，其中mn，2.【答案】原式=2m nm n+-=5. 【解析】【详解】【试题分析】先将分母进行因式分解，再约分化简，最后代入即可.2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【试题解析】2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【方法点睛】本题目是一道分式的化简求值，方法是：先将每个式子进行因式分解，再约分，化简.方法十二：利用消元法求值若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 例1241. 如果2a b =，则2222a ab b a b -++= ( ) A.45B. 1C. 35D. 2【答案】C 【解析】【详解】由题意可知，2a b =，因此222222222224233455a ab b b b b b a b b b b -+-+===++，故选C 变式12－142. 若43a b =，则a bb-的值是（ ） A.13 B.23C. 1D.43【答案】A 【解析】【分析】由已知得到43a b =，再代入原式计算即可求解． 【详解】解：∵43a b =， ∴43a b =， ∴4133b ba b b b --==， 故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，由已知得到43a b =再代入计算是解题的关键． 变式12－243. 已知2a c b d ==，求a b a +和c d c d -+值．【答案】32，13【解析】【分析】由2a cb d==可得2a b =，2c d =，再代入求值即可. 【详解】解：∵2a cb d ==，∴2a b =，2cd =．∴2322a b b b a b ++==， 2123c d d d c d d d --==++． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用含有一个字母的代数式表示另外一个字母是解题的关键.变式12－344. 若29a b c +=，25a b c -=，则22222223749a b c a b c ++=-+________． 【答案】2 【解析】【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a 、b 和c 的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案．【详解】∵2925a b ca b c+=⎧⎨-=⎩，∴7a cb c=⎧⎨=⎩∴22222223749a b ca b c++=-+2222222(7)37(7)49c c cc c c++-+22108254cc==故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解．方法十三：利用倒数法求值倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法．例1345. 已知21 13 xx=+，求241xx+的值．【答案】1 7【解析】【分析】由21 13 xx=+可得0x≠，再取倒数可得：213xx+=，即13xx+=，再求解原代数式的倒数242221112,xx xx x x+⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭从而可得答案.【详解】解：由21 13 xx=+知0x≠，所以213xx+=，即13xx+=．所以2422221112327xx xx x x+⎛⎫=+=+-=-=⎪⎝⎭．故241xx+的值为17．【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握222112x xx x⎛⎫+=+-⎪⎝⎭是解题的关键. 变式13－146. 已知21315x x x =-+，求2421x x x ++的值． 【答案】163【解析】【分析】已知等式分子分母除以x 变形求出1x x +的值，两边平方求出221x x+的值，原式分子分母除以2x 变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：由21315x x x =-+知0x ≠，∴2315x x x -+=，即135x x -+=． ∴18x x+=． ∴2164x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22162x x +=， ∴4222211162163x x x x x ++=++=+=．∴2421163x x x =++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式13－247. 若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为( )．A. 1B. －1C. -17 D. 15【答案】A 【解析】【详解】解:设234x x y += ，∵22347x x ++ 的值为14, ∴2174y =+,计算得出y=1, ∴2111681121x x ==+-⨯-.所以A 选项是正确的.点睛：本题主要考查了计算分式的值，设234x x y +=是解题关键，注意整体代入思想的运用.变式13－348. 已知14x x -=，则24251x x x =-+_______．【答案】113． 【解析】【分析】计算21()16x x-=，从而得到221+18x x =，然后先求原式的倒数，从而求解． 【详解】解：∵14x x-= ∴21()16x x-=221-2+16x x = ∴221+18x x = 42222551118513x x x x x --+=-==+∴24215113x x x =-+ 故答案为：113． 【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键．总结：事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题．。
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代数式求值的常用方法代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧.本文结合2006年各地市的中考试题，介绍几种常用的求值方法，以供参考.一、化简代入法化简代入法是指把字母的取值表达式或所求的代数式进行化简，然后再代入求值.例1先化简，再求值：()11b a b b a a b ++++，其中a =，b =.解：由a =，b =得，1a b ab +==.∴原式()()22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab a b ab a b ab+++=++===++++.二、整体代入法当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法. 通过整体代入，实现降次、归零、约分，快速求得其值.例2已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ）. A ．6 B ．－6 C ．215 D ．27-解：由114a b -=得，4b aab-=，即4a b ab -=-. ∴()()2242662272787a b ab a ab bab ab ab a b ab a b ab ab ab ab-------====-+-+-+-.故选A. 例3若1233215,7x y z x y z ++=++=，则111x y z++= . 解：把1235x y z ++=与3217x y z++=两式相加得，44412x y z ++=，即111412x y z ⎛⎫++=⎪⎝⎭，化简得，1113x y z ++=.故填3.三、赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法.这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围.例4先化简233211x x x +---，然后选择一个你最喜欢的x 的值，代入求值． 解：原式()()()312321111111x x x x x x x +=-=-=+-----． 依题意，只要1x ≠±就行，如当2x =时，原式1=． 四、倒数法倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法. 例5若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为（ ）.A ．1B ．－1C ．－17D ．15解：由2212374y y =++，取倒数得，223742y y ++=，即2231y y +=. 所以()2246122312111y y y y +-=+-=⨯-=，即211461y y =+-.故选A.五、主元代换法所谓主元法就是把条件等式中某一个未知数（元）视为常数，解出其余未知数（主元），再代入求值的一种方法.例6已知230a b c ++=，350a b c ++=，则2222222322a b c a b c -+--的值______.解：把已知条件看作关于,a b 的方程组230,350.a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ 解得,2.a c b c =⎧⎨=-⎩∴()()222222222222222322391229222c c c a b c c a b c c c c c--+-+-===------.故填1. 六、配方法通过配方，把已知条件变形成几个非负数的和的形式，利用“若几个非负数的的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值.例7若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则23a b c ++=____ 解：由222a b c ab bc ca ++=++，得2222222220a b c ab bc ca ++---=.所以()()()2220a b b c a c -+-+-=，由非负数的性质得，0,0,0a b b c a c -=-=-=， 即a b c ==.又∵2312a b c ++=，∴2a b c ===. 原式=2322214++=.故填14.七、数形结合法在数学研究中，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。
数形结合法是指根据题目中的数或形的意义，利用“式结构”或“形结构”的特点及其相互转化，达到求值的一种方法.例8如图1，数轴上点A A 关于原点的对称点为B ，设点B 所表示的数为x ，求(0x 的值．解：点A B 与点A 关于原点对称，∴点B 表示的数是x =∴((0(121x ==-=-.例9如图2，一次函数5y z =+的图象经过点(),P a b 和(),Q c d ，则()()a c d b cd ---的值为_________． 解：由点(),P a b 和(),Q c d 在一次函数5y z =+的图象上，则5b a =+，5d c =+，即5a b -=-，5c d -=-.所以()()()()()()5525a c d b c d c d a b ---=--=-⨯-=.故填25. 八、利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可以看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值. 当所求的代数式不是轮换对称式，可根据其特点构造对称式或利用方程根的定义综合求值.例10一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12,x x ，则221212x x x x +的值是（ ）.Ａ．3Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-解：由根与系数的关系得，123x x +=，121x x =-. 原式()()2212121212133x x x x x x x x =+=+=-⨯=-.故填3.例11如果αβ、是一元二次方程23 1 0x x +-=的两个根，那么2+2ααβ-的值是___________解：由根与系数的关系得，3αβ+=-；由方程根的定义得，23 1 0αα+-=，即231αα+=.所以()22+2(+3)()134ααβαααβ-=-+=--=.故填4.九、特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单.例12若)3230123x a a x a x a x =+++，则()()220213a a a a +-+的值为_______.解：由)3230123x a a x a x a x =+++知，若令1x =，则)301231a a a a +++=；若令1x =-，则)301231a a a a -+-=.所以()()()()22021*********a a a a a a a a a a a a +-+=++++--)))33311111⎡⎤===⎣⎦.故填1.十、常值代换法常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值.例13已知实数a b ，满足：1a b =，那么221111a b +++的值为_____． 解：把1a b =代入，得222211111ab ab b aa b a ab b ab a b a b+=+=+=++++++. 故填1. 事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题. 解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题.练习：1．已知221x y -=，那么2243x y -+=_________． 2．已知实数x 满足24410x x -+=，则代数式122x x+的值为_______．3．如图3，数轴上与1A ，B ，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C表示的数为x ，则︱x +2x=________. 4．已知12,x x 是方程2560x x --=的两个根，则代数式2212x x +的值是（ ）.A ．37B ．26C ．13D ．105．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根，那么b a a -+2的值为（ ）.A ．-7B ．0C ．7D ．11 6．先化简后求值：2522412+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+x x x x x ， 其中22+=x7．请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：()211121a a a a -+-+-.答案：1．5； 2．2； 3． 4．A ； 5．D ； 6．原式12x ==-2-； 7．原式122a =+，1a ≠的任意实数均可求得其值.。